最全2021年高考数学大一轮复习必刷题 精选最新模拟题及真题
2021年高考数学大一轮复习各专题检测汇总
1、集合
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4 D ．{x |2 解析：因为M ＝{x |－4 2．(2020·广东湛江测试)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，则集合A ∩B 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析：因为A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }， 所以B ＝{－1，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}， 所以A ∩B 的子集个数为22＝4. 答案：C 3．(2019·浙江卷)已知全集U ＝{－1，0，1，2，3}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，0，1}，则(?U A )∩B ＝( ) A ．{－1} B ．{0，1} C ．{－1，2，3} D ．{－1，0，1，3} 解析：因为?U A ＝{－1，3}，所以(?U A )∩B ＝{－1}． 答案：A 4．(多选题)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝? ??? ?? x |1x <1，则下列关系正确的是( ) A ．M N B ．N ?M C ．M ＝N D ．M ∪N ＝M 解析：集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝? ??? ?? x |1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝ N ，则B 、C 、D 正确． 答案：BCD 5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1≥0}，全集U ＝R ，则A ∩(?U B )＝( ) A ．(－∞，1) B ．(－2，1) C ．(－3，－1) D ．(3，＋∞) 解析：由x 2－5x ＋6>0，得A ＝{x |x <2或x >3}， 又B ＝{x |x ≥1}，知?U B ＝{x |x <1}， 所以A ∩(?U B )＝{x |x <1}． 答案：A 6．若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0} C ．{－1，1} D ．{0} 解析：B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为?U (A ∪B )．A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}， 所以?U (A ∪B )＝{0}． 答案：D 7．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ?(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：由? ????x ＋y ＝1，x －y ＝3，得?????x ＝2，y ＝－1， 所以A ∩B ＝{(2，－1)}． 由M ?(A ∩B )，知M ＝?或M ＝{(2，－1)}． 答案：C 8．(2020·佛山一中检测)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ?B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，3) B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，3] 解析：由log 2(x －1)<1，得A ＝(1，3)， 又|x －a |<2，得B ＝(a －2，a ＋2)． 由A ?B ，所以? ????a －2≤1， a ＋2≥3，解之得1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[1，3]． 答案：B 9．(2019·江苏卷)已知集合A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R}，则A ∩B ＝________． 解析：因为A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R}， 所以A ∩B ＝{1，6}． 答案：{1，6} 10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是________． 解析：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ?B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1. 答案：[1，＋∞) 11．已知集合A ＝???? ??（x ，y ）??x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R}，若对 任意实数k ，A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是________． 解析：由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 2 2＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0， m )在椭圆x 24＋y 2 2 ＝1上或在其内部，所以m 2≤2，所以－2≤m ≤ 2. 答案：[－2，2] 12．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(?U B )＝________． 解析：集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， 因为log 3(2－x )≤1＝log 33，所以0<2－x ≤3， 所以－1≤x <2，所以B ＝{x |－1≤x <2}， 所以?U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， 所以A ∩(?U B )＝{x |x <－1或x ≥2}． 答案：{x |x <－1或x ≥2} 13．(多选题)(2020·东莞中学质检)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |3x 2＋6x ＝1}，则( ) A ．A ∪ B ＝(－4，4)∪{－6} B ．B ?A C ．A ∩B ＝{0} D ．A ?B 解析：因为A ＝{x |x 2－16<0}，所以A ＝{x |－4 答案：AC 14．如图，集合A ＝{x |log 12 ( x －1)>0}，B ＝???? ?? x |2x －3x <0， 则阴影部分表示的集合是( ) A ．[0，1] B ．[0，1) C ．(0，1) D ．(0，1] 解析：图中阴影部分表示集合B ∩?R A . 因为A ＝{x |log 12 (x －1)>0}＝{x |1 ????? x |0 所以?R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩?R A ＝{x |0 15．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________． 解析：A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}＝{x ∈R|－5 则B ＝{x |m 答案：－1 1 6．对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ?B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |y ＝lg(9－x 2)}，则B －A ＝________，A *B ＝________． 解析：因为A ＝{y |y ≥0}＝[0，＋∞)，B ＝(－3，3)， 所以A －B ＝{x |x ≥3}，B －A ＝{x |－3 因此A *B ＝[3，＋∞)∪(－3，0)＝(－3，0)∪[3，＋∞)． 答案：(－3，0) (－3，0)∪[3，＋∞) 2、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．(2020·河南八所重点高中联考)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集．若命题p ：?f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则?p 为( ) A ．?f (x )∈A ，|f (x )|? B B ．?f (x )?A ，|f (x )|?B C ．?f (x )∈A ，|f (x )|?B D ．?f (x )?A ，|f (x )|?B 解析：全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论． 所以?p ：?f (x )∈A ，|f (x )|?B . 答案：C 2．(多选题)使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是( ) A ．x <0 B ．x ≥3 C ．x ∈{－1，3，5} D ．x ≤－1 2 或x ≥3 解析：2x 2－5x －3≥0?x ≥3或x ≤－1 2 . 所以BC 是充分不必要条件，D 为充要条件，A 项为既不充分又不必要条件． 答案：BC 3．在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 22＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：由a 1＋a 3＝－3，a 1·a 3＝1，?a 22＝a 1·a 3＝1， 但a 22＝1 a 1＋a 3＝－3. 因而“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是a 22＝1的充分不必要条件． 答案：A 4．(2020·日照一中月考)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x >2 解析：A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1 x >2，所以D 是假命题． 答案：B 5．(2019·北京卷)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC → |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：|AB →＋AC →|>|BC →|?|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|?AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>AB →2＋AC →2－2AB →·AC → ?AB →·AC →>0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈????0，π 2，故AB →·AC →>0?AB →，AC → 的夹 角为锐角． 答案：C 6．(多选题)下列四个命题：其中命题不正确的是( ) A ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递增，则f (x )在R 上是增函数 B ．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)与x 轴没有交点，则b 2－8a <0且a >0 C ．当a >b >c 时，则有ab >ac 成立 D ．y ＝1＋x 和y ＝（1＋x ）2表示不同函数 解析：设函数f (x )＝? ????x ＋1，x ≤0， x －1，x >0. 则f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增， 但f (x )在R 上不单调，A 不正确． B 项中，f (x )与x 轴无交点，则Δ＝b 2－8a <0，B 不正确． 当c <0时，a >b >0，有ac C 不正确． 答案：ABC 7．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若m ?α，n ?α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ?α，n ?α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件． 答案：A 8．已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“?x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.???? 12，1 B ．(1，＋∞) C.????12，＋∞ D.???? 12，1∪(1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝a 2x －2a ＋1， 命题“?x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题， 所以原命题的否定是“?x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， 所以f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， 所以(a －1)2(2a －1)>0，解得a >1 2且a ≠1， 所以实数a 的取值范围是???? 12，1∪(1，＋∞)． 答案：D 9．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________． 解析：直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2，解 之得－1 答案：－1 10．若“?x ∈????0，π 4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：因为y ＝tan x ，x ∈????0，π 4上是增函数， 所以y max ＝tan π 4 ＝1. 依题意，m ≥y max ＝1，所以m 的最小值为1. 答案：1 11．“a ＝1”是“函数f (x )＝e x a －a e x 是奇函数”的________条件． 解析：当a ＝1时，f (－x )＝－f (x )(x ∈R)，则f (x )是奇函数，充分性成立． 若f (x )为奇函数，恒有f (－x )＝－f (x )，得(1－a 2)(e 2x ＋1)＝0，则a ＝±1，必要性不成立．故“a ＝1”是“函数f (x )＝e x a －a e x 是奇函数”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 12．(2020·山东潍坊模拟)下列三个说法： ①若命题p ：?x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则?p ：?x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0； ②“φ＝π 2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件； ③命题“若0 a ”是真命题． 其中说法正确的是________(填序号)． 解析：①显然正确；“φ＝π 2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，故②错 误；因为0 a >1＋a ，所以log a (a ＋1)>log a ????1＋1a ，故③错误． 答案：① 13．命题“?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n B ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n C ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n D ．?x 0∈R ，?n ∈N *，使得n 所以?p 应为?x 0∈R ，?n ∈N *，使得n 14．(2020·安徽合肥模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 所以f (a )>f (b )?f (|a |)>f (|b |)?|a |>|b |. 则a >|b |?|a |>|b |?f (a )>f (b )，但|a |>|b | a >| b |. 所以“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 答案：A 15．已知p ：实数m 满足3a 的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________． 解析：由2－m >m －1>0，得1 2. 因为p 是q 的充分条件， 所以?????3a ≥1，4a ≤32，解之得13≤a ≤3 8. 答案：????13，38 16．(答案不唯一)(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是_____________________________________． 解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在????0，π2上是增函数，在????π 2，2上是减函数，由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0，2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，但f (x )在[0，2]上不一直都是增函数． 答案：f (x )＝sin x (答案不唯一) “任意性或存在性”问题 1．形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”． [典例1] 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ，g (x )＝ 196x －1 3 ，若对任意x 1∈[－1，1]，总存在x 2∈[0，2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：由题意知，g (x )在[0，2]上的值域为??? ?－1 3，6. 令h (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x 2＋2x －a (a ＋2)，则h ′(x )＝6x ＋2，由h ′(x )＝0得x ＝－1 3. 当x ∈????－1，－13时，h ′(x )<0；当x ∈????－1 3，1时，h ′(x )>0. 所以h (x )min ＝h ????－13＝－a 2－2a －1 3 . 又由题意可知，h (x )的值域是??? ?－1 3，6的子集， 则?????h （－1）≤6， －a 2 －2a －13≥－1 3，h （1）≤6. 解得－2≤a ≤0， 所以实数a 的取值范围是[－2，0]． [解题思路] 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等价转化，即“函数f (x )的值域是g (x )的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a 的不等式组，求得参数的取值范围． 2．形如“存在x 1∈A 及x 2∈B ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立”． [典例2] 已知函数f (x )＝???2x 2 x ＋1 ，x ∈????12，1，－13x ＋16，x ∈???? 0，12. 函数g (x )＝k sin πx 6 －2k ＋2(k >0)，若存在x 1∈[0，1]及x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围． 解：由题意，易得函数f (x )的值域为[0，1]，g (x )的值域为????2－2k ，2－3k 2，并且两个值域有公共部分． 先求没有公共部分的情况，即2－2k >1或2－32k <0，解得k <12或k >4 3，所以要使两个值 域有公共部分，k 的取值范围是???? 12，43. [解题思路] 1.该问题的实质是“两函数f (x )与g (x )的值域的交集不是空集”，上述解法的关键是利用了补集思想． 2．若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f (x )的值域和g (x )的值域相等”来求解参数的取值范围． 3．形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1) [典例3] 已知函数f (x )＝x ＋4 x ，函数g (x )＝2x ＋a ，若?x 1∈????12，1，?x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意知f (x )max ≤g (x )max . 因为f (x )＝x ＋4x 在???? 12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ????12＝17 2. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12. 答案：????12，＋∞ [解题思路] 理解量词的含义，将原不等式转化为f (x )max ≤g (x )max ，利用函数的单调性，求f (x )与g (x )的最大值，得到关于a 的不等式，求得a 的取值范围． 3、相等关系与不等式关系 1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式为( ) A ．v <40 km/h B ．v >40 km/h C ．v ≠40 km/h D ．v ≤40 km/h 解析：由汽车的速度v 不超过40 km/h ，即小于等于40 km/h ， 即v ≤40 km/h. 答案：D 2．(2020·厦门期末检测)实数x ，y 满足x >y ，则下列不等式成立的是( ) A.y x <1 B ．2－x <2－ y C ．lg(x －y )>0 D ．x 2>y 2 解析：由x >y ，得－x <－y . 由y ＝2t 是增函数，得2－ x <2－ y . 答案：B 3．(2020·衡水第十三中学质检)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中不一定成立的是( ) A ．a 12 B.1a －c >1b －c C.a ＋2b ＋2>a b D ．ac 2 解析：因为y ＝x 12 在(0，＋∞)上递增，且b >a >0. 所以a 12 ，A 成立． 由y ＝1x －c 在(0，＋∞)上递减，得1b －c <1 a －c ，B 成立． 因为a ＋2b ＋2－a b ＝2（b －a ）（b ＋2）b >0，所以a ＋2b ＋2>a b ，C 成立． 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，D 不成立． 答案：D 4．(多选题)已知1a <1 b <0，给出下列四个结论： ①a |b |；④ab B ．② C ．③ D ．④ 解析：由1a <1 b <0，得b 所以a ＋b <0 5．(多选题)若0 A ．a 2＋b 2>2ab B ．a <12 C ．b <12 D ．b >a 2＋b 2 解析：由0 2 由b >a >0，得a 2＋b 2>2ab ，A 正确． 又a 2＋b 2－b ＝(a ＋b )2－2ab －b ＝1－2ab －b ＝a －2ab ＝ a (1－2b )<0， 所以b >a 2＋b 2，因此D 正确． 答案：ABD 6．(2020·济南调研)已知a >b >0，x ＝a ＋b e b ，y ＝b ＋a e a ，z ＝b ＋a e b ，则( ) A ．x D ．y 解析：法一 由题意，令a ＝2，b ＝1，则x ＝2＋e ，y ＝1＋2e 2，z ＝1＋2e ，显然有1＋2e 2>1＋2e>2＋e ，即x 法二 a >b >0时，e a >e b ，所以a e a >a e b >b e b ，所以b ＋a e a >b ＋a e b >b ＋b e b ，所以y >z ，因为z －x ＝(b －a )＋(a －b )e b ＝(a －b )(e b －1)>0，所以z >x .所以x 答案：A 7．(2020·南宁联考)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4， 所以－4<－|β|≤0，所以－3<α－|β|<3. 答案：(－3，3) 8．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1 b 的大小关系是________． 解析：a b 2＋b a 2－????1a ＋1 b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝ (a －b )·????1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ） 2 a 2 b 2. 因为a ＋b >0，(a －b )2≥0， 所以（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0. 所以a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1 b 9．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是 ________． 解析：由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件． 答案：① 10．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d ； (2)已知1 b 的取值范围． (1)证明：因为bc ≥ad ，bd >0，所以c d ≥a b ， 所以c d ＋1≥a b ＋1，所以a ＋b b ≤ c ＋ d d . (2)解：因为1 ， 所以18 <2. 11．已知00 B ．2a － b <12 C ．log 2a ＋log 2b <－2 D ．2a b ＋ b a <12
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