绝对值化简方法辅导
下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简
首先我们要知道绝对值化简公式：
例题1：化简代数式 |x-1|
可令x-1=0，得x=1 （1叫零点值）
根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分
1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1
2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0
3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1
另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分
1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1
2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1
例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2|
解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
3）当-1
4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
另解，将零点值归到零点值右侧部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
2）当-1≤x<2时，x+1≥0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3
3）当x≥2时，x+1>0，x-2≥0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
例题3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）当-13
5）当-11
7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
另解，将零点值归到零点值右侧部分
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2）当-13≤x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13≥0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 3）当-11≤x<12时，x+11≥0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 4）当x≥12时，x+11>0，x-12≥0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
解:令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
(3)当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
（4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
（5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时间
同学们若不熟练可以针对以上3个例题反复化简熟练之后再换新的题进行练习
习题：化简下列代数式
|x-1|
|x-1|+|x-2|
|x-1|+|x-2|+|x-3|
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|
初一学生作业-绝对值中最值问题一
例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、
1）非负数：0和正数，有最小值是0
2）非正数：0和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0
4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0 -|x+m|≤0有最大值是0
（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）
5）x是任意有理数，m和n是常数，
则|x+m|+n≥n，有最小值是n -|x+m|+n≤n，有最大值是n
(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）
总结：根据3）、4)、5）可以发现，当绝对值前面是“+”时，代数式有最小值，有“—”号时，代数式有最大值
在没有学不等式的时候，很好的理解（4）和（5）有点困难，若实在理解不了，请同学们看下面的例题答案，分析感觉下，就可以总结出上面的结论了）
例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3可知和3）问一样
即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3
4)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
请同学们总结一下问题
若x是任意有理数，a和b是常数，则
1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
含有绝对值的代数式化简问题：化简代数式 |x+1|+|x-2|
化简代数式 |x+1|+|x-2|
化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|
初一学生作业-绝对值中最值问题二
【例题1】：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：
可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
3）当-1
4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
我们发现：
当x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3
当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3
所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时： -1≤x≤2
解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3
评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值
请总结，若a>b，则请回答当x在什么范围内时，代数式|x-a|+|x-b|有最小值，最小值是多少？
【类似习题】求代数式|x-4|+|x-5|的最小值，并确定此时x的取值范围
【例题1】：（1）若|x-2|＞a，求a的取值范围是多少？（2）若|x-2|≥a，求a的取值范围是多少？【分析】：我们知道|x-2|的最小值是0，则（1）有0＞a，即可以求出a的范围是a＜0，（2）0≥a，即a≤0
【解】：（1）∵不论x为何值时|x-2|≥0
∴|x-2|有最小值是0
∵|x-2|＞a
∴0＞a
∴a＜0
（2）∵不论x为何值时|x-2|≥0
∴|x-2|有最小值是0
∵|x-2|≥a
∴0≥a
∴a≤0
【总结】：解决本题的关键是很好的理解绝对值的含义及找代数式的最值
【例题2】：（1）若|x+1|+|x-2|>a，求a的取值范围是多少？（2）若|x+1|+|x-2|≥a，求a的取值范围是多少？
【分析】：根据绝对值化简可以求出|x+1|+|x-2|的最小值是3，仿照例题1可以求出a的取值范围【解】：（1）∵x取任意有理数时|x+1|+|x-2|≥3
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3
∵|x+1|+|x-2|>a
∴3>a
∴a＜3
（2）（1）∵x取任意有理数时|x+1|+|x-2|≥3
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3
∵|x+1|+|x-2|≥a
∴3≥a
∴a≤3
【例题3】：（1）若|x+11|+|x-12|+|x+13|＞a, 求a的取值范围是多少？
（2）若|x+11|+|x-12|+|x+13|≥a, 求a的取值范围是多少？
【分析】：由绝对值化简可以得出代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，同例题1或例题2可以顺利求出本题a的取值范围
【解】：∵不论x为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|≥25
∴|x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是25
∵|x+11|+|x-12|+|x+13|＞a
∴25＞a
∴a＜25
(2) ∵不论x为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|≥25
∴|x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是25
∵|x+11|+|x-12|+|x+13|≥a
∴25≥a
∴a≤25
【练习】：
1.(1)若|x+3|＞a，求a的取值范围是多少？(2)若|x+3|≥a，求a的取值范围是多少？
2.(1)若|x+2|+|x-4|>a，求a的取值范围是多少？（2）若|x+2|+|x-4|≥a，求a的取值范围是
多少？
3.(1）若|x-7|+|x-8|+|x-9|>a，求a的取值范围是多少？
（2）若|x-7|+|x-8|+|x-9|≥a，求a的取值范围是多少？
初一学生作业-绝对值中最值问题三
【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）当-13
5）当-11
7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
可知：
当x<-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
当x=-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-13 当x=-11时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25 当-11 当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48 当x>12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48 观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11 解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12 可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25 评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。 例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 分析:回顾化简过程如下 令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4 (1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 （2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 (3)当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 （4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 （5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10 根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值 解：根据绝对值的化简过程可以得出 当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6 当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6 当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4 当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4＜2x-2 ＜6 当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6 则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3 归档总结：若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值 若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值 习题：求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值，并求出此时x的值，并确定此时x的值或者范围？ 初一学生作业-乘方最值问题 知识点铺垫： 若a为任意有理数，则a2为非负数，即a2≥0,则-a2≤0 可以判断出当a=0时，a2有最小值是0，-a2有最大值是0 问题解决： 例题： （1）当a取何值时，代数式（a-3)2有最小值，最小值是多少？ （2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少？ （3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少？ （4）当a取何值时，代数式-（a-3)2有最大值，最大值是多少？ （5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少？ （6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少？ （7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？ 分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)2为非负数，即（a-3)2≥0，则-（a-3)2≤0 可以进一步判断出最值 解（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2有最小值是0 （2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2+4有最小值是4 （3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2-4有最小值是-4 （4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2有最大值是4 （5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2+4有最大值是4 （6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2-4有最大值是4 绝对值计算化简专项练 习 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 绝对值计算化简专项练习 1．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b| 2．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|． 3．已知xy ＜0，x ＜y 且|x|=1，|y|=2． （1）求x 和y 的值； （2）求的值． 4．已知|m ﹣n|=n ﹣m ，且|m|=4，|n|=3，求（m+n ）2的值． 5．a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a ﹣b|﹣|a+b|． 6．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a ﹣c|﹣|a ﹣b|﹣|b ﹣c|+|2a|． 7.若|x|=3，|y|=2，且x ＞y ，求x ﹣y 的值． 8.已知：有理数a 、b 在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 9．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+| ﹣| 10.阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >??==??- 知识要点 1、a 的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离； b -a 的几何意义是：在数轴上，表示数b a ,对应数轴上两点间的距离。 2、去绝对值符号的法则： 一、根据题设条件化简： 例1、设 化简 例2、三个有理数c b a ,,，其积不为零，求 c c b b a a ++的值 二、借助数轴化简 例3、有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简 a c b b a b a --+++-。 例4、c b a ,,的大小如下图所示，求 ac ab ac ab a c a c c b c b b a b a --+--+-----的值 a c x 0 b a b 0 x 1 c ()()()?? ???<-=>=时当时当时当000 0a a a a a a 三、采用零点分段讨论法化简 例5、化简|x+2|+|x-3| 例6、若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 该满足的条件及此 常数的值。 例题精讲 1、当52<<-x 时，化简5772----+x x 2、如果32≤≤-x ，求322-+-+x x x 的最大值. 3、化简3223++-x x 4、已知0≠abc ，求 abc abc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ++++++的值 5、当x 的取值范围为多少时，式子4311047+---+-x x x 的值恒为一个常数，试求出这个值及x 的 取值范围. 6、若21< 环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号：副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 1、能够根据绝对值的意义、性质及非负性进行绝对值的化简； 2、灵活运用绝对值的性质进行化简和方程的解决。 【趣味链接】 由于研究的需要，人类创造了了大量的数学符号，来代替和表示某些数学概念和规律，简化了数学研究工作，促进了数学的发展．在中学数学中，常见的数学符号有以下八种：数量符号、运算符号、关系符号、结合符号、性质符号、简写符号、逻辑符号、集合论符号，其中，绝对值符号属于性质符号中的一种，常见的性质符号还有正号（＋）和负号（－）。数学符号不仅随着数学发展的需要而产生，而且也随着数学的发展不断完善。我国宋朝科学家沈括说过，数学方法应该“见繁即变，见简即用”。数学符号正是适应这种变“繁”为“简”的实际需要而产生的。 【知识梳理】 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 【经典例题】 【例1】（2012毫州）若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________. 【例2】（2012曲阜）（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿； （2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿； （3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿. 【例3】（2012徐州）若|a|=b ，求|a+b|的值. 【例4】（2012淮北）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求 y xy x 4312--的值. 【例5】（2012商丘）|m+3 |+|n-2 7|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值. 绝对值计算化简专项练习 Prepared on 22 November 2020 绝对值计算化简专项练习 1．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b| 2．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|． 3．已知xy ＜0，x ＜y 且|x|=1，|y|=2． （1）求x 和y 的值； （2）求的值． 4．已知|m ﹣n|=n ﹣m ，且|m|=4，|n|=3，求（m+n ）2的值． 5．a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a ﹣b|﹣|a+b|． 6．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a ﹣c|﹣|a ﹣b|﹣|b ﹣c|+|2a|． 7.若|x|=3，|y|=2，且x ＞y ，求x ﹣y 的值． 8.已知：有理数a 、b 在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 9．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+| ﹣| 10.阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >??==??- 绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1．已知a、b、c、d满足且，那么 2．若，则有（）。 （A）（B）（C）（D） 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）． 绝对值教案设计 课题：§1.2.4 绝对值 学习目标: 1.初步理解绝对值的概念. 2.会求一个数的绝对值，并利用绝对值解决实际问题. 3.理解绝对值的非负性. 重点难点: 1.重点：对绝对值概念的理解及运用. 2.难点：对绝对值非负性的理解. 课时安排：2课时 学习过程，（学法指导） 一、学习准备: (一)已学知识: 上一节我们学过互为相反数的两个数到原点的距离相等. 1、什么叫相反数？互为相反数的两个数的代数及几何特征如何？ ２、到原点的距离为2.5的点有几个？它们有什么特征？ (二)相关知识: 距离表示点与点之间的线段长度.距离总是一个非负数。 二、新课导学 ※ 自学探究（阅读教材P11~ P13） 探究任务一： 问题探究：绝对值的概念和表示方法。 1. 观察：－5与5是相反数，把它们在数轴上表示出来，这两个数到原点的距离是多少？ －5与5在数轴上所表示的点到原点的距离是个单位长度，它们的符号不同。我们把这个距离5叫做＋5和－5的绝对值。 概括： 一般地，数轴上表示数a的点叫做数a的绝对值(absoute value)，记作：。读作a的绝对 值. 例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。 2．试一试：你能从中发现什么规律? (1)∣＋1∣＝_____ (2)| +2.5 |=______；(3) |+6|=_____； (4)∣－5∣＝____ (5)∣－0.5∣ ＝____(6) |-0.1|=____；(7) |-101|=____； (8)∣0∣ ＝_____ 思考：上述各数的绝对值与这些数本身有什么关系？ 正数的绝对值是 ; 负数的绝对值 是 ; 0的绝对值是. 小结：代数意义，用式子表示为： |a|= 所以|a| 0（绝对值的非负性） 3.知识延伸： （1）－3的符号是_______，绝对值是______；（2）＋3的符号是_______，绝对值是______； （3）－6.5的符号是_______，绝对值是______；（4）＋6.5的符号是 _______，绝对值是______ 在上一节课中我们规定只有符号不同的两个数称互为相反数。今天学习了绝对值以后，你能给相反数一个新的解释吗？ 下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简 首先我们要知道绝对值化简公式： 例题1：化简代数式 |x-1| 可令x-1=0，得x=1 （1叫零点值） 根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0 3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1 另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1 例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2| 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1 v1.0可编辑可修改 绝对值难题解析 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数 学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值 符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉 绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例 1设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号 待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（ B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例 2实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（ C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可 采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例 1 介绍的方法解答 l 、2 题 1.2.4 绝对值 【教学目标】 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题. 【教学重难点】 1、重点：绝对值的概念。 2、难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 【教法与学法】 1、教法指导：创设问题情境，引起学生学习兴趣，让学生通过自主合作，观察、探究知识的产生、发展过程。利用数形 结合思想，引入绝对值概念，形象生动。归纳有理数的绝对值时，利用分类讨论思想对正数、0，负数的绝对值进行总结。利用类比的方法，把数轴上数的大小与温度计中度数的高低进行比较，总结出负数比较大小的规律。讲解例题时，让学生先结合所学知识点进行自主探究，然后教师再规范、总结解题过程。 2、学法指导：通过小组交流、合作、自主探究知识的产生、发展过程，探索各个知识点之间的联系，充分利用已学的数 形结合思想，并体会分类讨论思想、类比思想方法，以此来加深理解绝对值的概念，以及负数比较大小的规律。 【探究课堂】 【教学准备】 教师：刻度尺，小黑板或多媒体，温度计图片 学生：刻度尺 【教学过程】 一、情境引入 问题两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处如图，它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？ 学生讨论回答 教师总结：两辆车的行驶路线相反，它们行驶的路程相同都是10km。 我们把上面这个过程看成一个数轴，那么就有数轴上表示-10和10的两个点到原点的距离都是10。 数轴上，一个点到原点的距离，是“形”的描述，那么对于“数”是表示一个数的绝对值。下面我们一起来学习今天的新知识——绝对值。 二、互动新授 问题1 如图数轴上有A、B、C、D、四个点， 点A表示的数是（），点A到原点的距离是（）个长度单位； 点B表示的数是（），点B到原点的距离是（）个长度单位； 点C表示的数是（），点C到原点的距离是（）个长度单位； 点D表示的数是（），点D到原点的距离是（）个长度单位； 学生活动：小组合作探究 教师总结：点A-2 2；点B2 2；点C-0.5 0.5；点D0.5 0.5； 数学上定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。如上面的-2的绝对值是2；2的绝对值也是2。还有0.5与-0.5的绝对值都是0.5。用绝对值符号表示为：︱-2︱=2，︱2︱=2， ︱-0.5︱=0.5，︱0.5︱=0.5，显然︱0︱=0 设计意图：利用学生故有知识，从特殊到一般来理解绝对值“形”的含义。 问题2 a的绝对值等于什么？ 学生活动：根据问题2的结论，来总结任意正、负数a的绝对值怎么表示。 师生合作探究：a在这里可能是正数、0、负数，那么我们应该分类来讨论a的绝对值，结果去掉绝对值符号并用含a的式子来表示。我们可以利用绝对值定义写成下面的式子：（1）当a是正数时，︱a︱=_____；（2）当a是负数时，︱a︱=______；（3）当a=0时，︱a︱=____ 教师总结：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。 初一数学绝对值化简求值练习试题 下文是数学绝对值化简求值练习试题 设a，b，c为实数，且化简|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 【解析】 |a|+a=0，即|a|=-a，a |ab|=ab，ab0，b |c|-c=0，即|c|=c，c0 原式=-b+a+b-c+b-a+c=b 【答案】b 二、【考点】有理数运算、绝对值化简 【人大附期中】 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算# 法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2 如：(-1)#2#3=[|(-1-2-3)|+(-1)+2+3]/2=5 (1)计算：3#(-2)#(-3)___________ (2)计算：1#(-2)#(10/3)=_____________ (3)在-6/7,-5/7-1/7,0,1/9,2/98/9这15个数中，①任取三个数作为a、b、c的值，进行a#b#c运算，求所有计算结果的最大值__________，②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行a#b#c运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值 是___________ 【分析】将a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2进行取绝对值化简。【解析答案】 (1)原式=3 (2)原式=4/3 (3)当a＜b+c时，原式=b+c，当ab+c时，原式=a ①令b=7/9，c=8/9时a#b#c的最大值为b+c=5/3 ②4（提示，将1/9,2/98/9分别赋予b、c同时赋予a四个负数；最后一组，a=0，b、c赋予两个负数即可） 三、【考点】绝对值与平方的非负性、二元一次方程组 【北京四中期中】 已知：(a+b)+|b+5|=b+5，|2a-b-1|=0，求ab的值. 【分析】考察平方和绝对值的非负性，若干个非负数的和为零，则每个数都为零。 【解析】 由题意知b+50，(a+b)+b+5=b+5，即(a+b)=0① 2a-b-1=0② 解得a=1/3，b=-1/3 所以ab=-1/9 【答案】-1/9 四、【考点】绝对值化简，零点分段法 【北大附中期中】 “绝对值的化简”例题解析 无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有 。 下面关于绝对值的化简题作一探讨。 一、含有一个绝对值符号的化简题 1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。 如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式。 2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。 如，化简（必须进行讨论） 我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。 （1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。 （2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或 。 （3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原 式。 又如，化简 此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x＋y看作一个整体未知数，找出界值，使 的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。 （1）当时， （2）当时 （3）当时 二、含有两个绝对值符号的化简题 1. 已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。如：当时，化简 解：原式 2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论 如：化简 的界值为－3，的界值为 所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。 解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值） 原式 （2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值） 原式 （3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值） 原式 又如，化简 此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体 即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。 的界值为2，的界值为－2。 解：（1）当时， 原式 （2）当时， 原式 【知识梳理】 １、什么叫绝对值? 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于 5，记作|＋5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-３|=３． 拓展：︱x －２︱表示的是点ｘ到点2的距离。 例:(1）｜x|=5，求x 的值． (2）|x －3｜＝５,求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？ （1)一个正数的绝对值是它本身；例如,|４|=４ , |+7.1| ＝ 7.1 (2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如,｜-2|＝2,|－5.２｜＝5．2 （３)0的绝对值是0． 容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等.如|-５|＝|+5｜=5． 绝对值的性质： ① 对任何有理数a,都有|a ｜≥0 ②若|a|=0，则|a ｜＝０，反之亦然 ③若|ａ|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有｜a|=｜-ａ| 何一个有理数的绝对值都是非负数,即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??- 绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0） 分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么 分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ， 整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。 绝对值的知识是初中代数的重要内容， 在中考和各类竞赛中经常出现， 含有绝对值符号的数 学问题又是学生遇到的难点之一， 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义， 将绝对值 符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题， 确定绝对值符号内部分的正负， 借以去掉 绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例 1 设二’「[化简二二 TT 的结果是（ ）。 思路分析 由八? 一「-可知工一；吒＜ -可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值 符号待合并整理后再用同样方法化去. 2-|2-|x-2||=2-|2-(2-z)|=2-|x| = 2-(-x)=2-Fx ???应选（B ）. 归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺 利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示, 则代数式的 值等于（ ） 思路分析 由数轴上容易看出，这就为 去掉绝对值符号扫清了障碍. 解 原式 [’」 ；■- . ■; 二 - 应选（C ） (A ) __二 (B )-_?; (C ) 一 丄+ '： (A ) — * (D ) 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一 定弄清： 1.零点的左边都是负数，右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3化简■ HI - 1 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论， 可采用零点分段讨论法，本例的难点在于’■' ' ■的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一一讨论. 解令"-■-=-得零点：丁二I ; 令讥I丨_」得零点：?一 ', 把数轴上的数分为三个部分（如图） 丄 _____________________ 1___________ I _____ k -4 0 2 ①当X工2时兀一220」+蚪>0 ???原式：'■' ②当-4K2时，x亠处1卄4工0 , ? 原式打 ,：|. ； ③当葢工一4时A-2 <0^+4 <0 初一上学期期中考试重难点分析 ----绝对值的化简求值 进入初一上学期，同学们会发现大部门知识学起来还是比较简单，唯独绝对值的化简和 求值成为了众多学生的拦路虎。 无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a 取任意有理数都有||a ≥0。 经过仔细分析，绝对值的考查无非就三种题型，用到的思想基本上就是分类讨论和数形结合，方法大部分题型考查的就是零点分段讨论，下面我们简单的分析下： 零点分段讨论法：我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做零点，一个代数式里有几个绝对值符号，通常就有几个零点。比如|42||3|-++x x ，有两个绝对值，就有两个零点，分别是-3和2。确定了零点后，再根据两个零点在数轴上把整个数轴分成几段，就进行几类分类讨论。 题型一：含一个绝对值符号的化简 1、已知未知数的取值或取值范围进行化简 典型题型：当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式=-+=-2333x x x 。 2、没有告知未知数的取值或取值范围进行化简 典型题型：化简||x x -+52（此题中零点是5,5把数轴分成了两部分，因此分两类讨论） 解：（1）当5≥x 时，则05≥-x 是一个非负数，则它的绝对值应是它本身，所以原式=-+=-x x x 5235。 （2）当x <5时，则x -<50，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式=--+=-++=+()x x x x x 52525。 人大附中2009年期中测试真题：化简||2612 x y x y +-+- 此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y 看作一个整体未知数，找出零点，使260x y +-=的整体未知数的值是26x y +=，我们把6叫做此题的零点，这样又可分两种情况进行讨论。 （1）当62≥+y x 时， ||2612x y x y +-+- =+-+ -= -261252 6x y x y x 绝对值化简专题训练 去绝对值的法则：1、正数的绝对值等于它本身a a=()0?a 2、负数的绝对值等于它的相反数a =()0?a a- 3、零的绝对值等于零。0 a()0=a = 1．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则 （1）b﹣a0，a﹣c0，b+c0（用“＞”“＜”或“=”填空）．（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c| 2．如图，数轴上的a、b、c分别表示有理数a、b、c． （1）化去下列各式的绝对值： ①|c|=；②|a|=；③|a﹣b|=． （2）化简：|b﹣a|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣c|． 3．数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简：|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|． 4．已知：有理数a、b、c在数轴上如图所示．化简：|a|+3|c﹣a|+|b+c|． 5．已知a、b、c这三个有理数在数轴上的位置如图所示， 化简：|b﹣c|﹣|a﹣b|+|a+c|． 6．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+|a+b|． 7．有理数a，b，c在数轴上如图所示，试化简|2c﹣b|+|a+b|﹣|2a﹣c|． 8．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 化简：|a﹣b|﹣|a+c|﹣|c﹣a|+|a+b+c|+|b﹣c| 9．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C．（1）填空：A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，A、C之间的距离为； （2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|； （3）a、b、c在数轴上的位置如图所示，且c2=4，﹣b的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是﹣2，求﹣a+2b﹣c﹣2（a﹣4c﹣b）的值． 绝对值计算化简专项练习30题（有答案）1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2．有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|． 3．已知xy＜0，x＜y且|x|=1，|y|=2． （1）求x和y的值； （2）求的值． 4．计算：|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|． 5．当x＜0时，求的值． 6．若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜﹣c，求代数式的值． 7．若|3a+5|=|2a+10|，求a的值． 8．已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值． 9．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|． 11．若|x|=3，|y|=2，且x＞y，求x﹣y的值． 12．化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 13．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 14．++=1，求（）2003÷（××）的值． 15．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？ （2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？ （3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？ 16．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1，求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值． 18．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． 第三讲绝对值 内容概述 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义及性质 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义） （6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）； （7）|a|=|a|=a； （8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b) （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a绝对值计算化简专项练习
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