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2019—2020学年度高二数学期中考试题(含答案)

2019—2020学年度上期期中考试

高二数学试题

（全卷共150分，考试时间为120分钟）

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.经过点A(2,0)与B(0,1)的直线方程为（）

A. x+2y?2=0

B. x+2y?1=0

C. x?2y?2=0

D. x+2y=0

2.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，直线3x+2y?4=0过抛物线的焦点，则

抛物线方程为（）

A. y2=4x

B. x2=8y

C. y2=8x

D. x2=4y

3.若ax2+by2+cxy+2ax?4by+a3=0表示面积为π的圆的方程，则实数a的值为（）

A. 2

B. ±2

C. 1

D. ±1

4.方程ax2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）

A. a<1

B. 0

C. a>1

D. 1

5.已知双曲线C：x2

a2?y2

=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则点(3，0) 到双曲线C渐近线

的距离为（）

A. 3√5

5B. √3 C. 3√2

D. √6

6.已知圆C1:(x+2)2+y2=1与圆C2:(x?a)2+y2=4相交，则实数a的取值范围是（）

A. 3

B. ?5

C. ?1

D. ?1

7.已知抛物线y2=2px(p>0)，若过点C(4,0)的直线与抛物线交于A、B两点，且OA⊥OB

（其中O为坐标原点），则p的值为（）

A. 2

B. 4

C. 7

D. 与直线AB的斜率有关8.方程√x2+y2?4x+4=9?√x2+y2?4y+4对应的曲线为（）

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 线段

D. 射线

9.下列命题错误的是（）

①y=√x与y2=x表示的是同一条抛物线；

②所有过原点的直线都可设为y=kx；

③若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则必有D2+E2?4F>0

④椭圆x2+4y2=8的短轴长为√2

A. ①②

B. ②④

C. ③④

D. ①②④

10.为迎接祖国“70岁”生日，某画家准备在一个外形为半个椭圆的墙面上开辟一个矩形墙面

MNST作画，如图，已知AO=OB=5米，OC=3米，OC⊥AB，则该画家能够作画的最大面积是（）

A. 10平方米

B. 10√3平方米

C. 15平方米

D. 10√2平方米

11.已知A(1,4)，点P为抛物线y2=12x上一动点，点P到直线x=?2的距离是d，则|PA|+

d的最小值为（）

A. 2√5?1

B. 2√5+1

C. 2√5

D. 3

12.双曲线C：x2

?y2

=1(a>0,b>0)左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1,A2，B为虚轴的上顶点，若直线BF2上存在两点P i(i=1,2)使得A1P i⊥A2P i(i=1,2)，且过双曲线的右焦点F2作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的范围是（）

A. √3

B. √2

C. √3

D. √2

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．

13.直线√3x?y+c=0的倾斜角为__________．

14.经过点O(0,0)，A(2,3)，B(?1,5)的圆的方程为__________．

15.过点P (2，4) 作两条互相垂直的直线l1,l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，若点M

是线段AB上的点，且满足|BM|=2|AM|，则点M的轨迹方程是__________．

16.已知方程xy=1

的图像是双曲线，且该双曲线的渐近线分别是直线x=0,y=0，则双曲线的焦距为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.(10分) 已知直线l1：2x?y?1=0，l2：ax+(a+1)y+2=0．

(1)若l1//l2，求实数a的值；

(2)点P(1,2)关于直线l1的对称点Q在直线l2上，求实数a的值．

18.(12分) 已知点F是椭圆C：x2

a2+y2

=1(a>b>0)的右焦点，且其短轴长4√2，若

A(a2

c ,0)点满足FO

????? +2FA

????? =0? (其中点O为坐标原点)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点B，若点P是线段BQ的中

点，求该直线方程；

若l1//l2，求实数a的值；

19.(12分) 已知双曲线C：x2

a2?y2

=1(a>0,b>0)与双曲线x2

?y2

=1有相同的渐近线，且

双曲线C过点(4,√3)．

(1)若双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，使得∠F1PF2=

60°，求△F1PF2的面积；

(2)过双曲线C的右焦点F2作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△F1AB的周长是40

，求直线l的方程．20.(12分) 若圆O：x2+y2=r2(r>0)的内接矩形的周长最大值为8√2．

(1)求圆O的方程；

(2)若过点P(1,0)的直线l与圆O交于A，B两

点，如图所示，且直线l的斜率k∈

[?√3,√3]，求1

|AP|

|BP|

的取值范围．

21.(12分) 已知抛物线E：y2=2px(p>0)焦点F，过点F且斜率为2的直线与抛物线交于

A、B两点，且|AB|=5．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设O是坐标原点，P，Q是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OP

????? ?OQ

?????? =

①证明：直线PQ必过定点，并求出定点G的坐标；

②过G作PQ的垂线交抛物线于C，D两点，求四边形PCQD面积的最小值．

22.(12分) 已知圆O1：(x+√3)2+y2=16，A为圆O1上任意一点，点D在线段O1A

上．B(√3,0)，已知BC

????? =CA

????? ，DC

????? ?AB

????? =0．

(1)求点D的轨迹方程H；

(2)若直线y=kx+m与方程H所表示的图像交于E，F两点，G(x0,y0)是椭圆x2

+y2

= 1上任意一点．若OG平分弦EF，且my0>?1，SΔGEF=1，试判断四边形OEGF形状并证明．

西南大学附中2019—2020学年度上期期中考试

高二数学试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分． 1—5 ABBCD 6—10 CAADC 11—12 AD

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13．π

14．(x +1

)2+(y ?5

)2=

132

15．3x +12y ?20=0 16．2

三、解答题：共70分．

17. (1) ∵l 1∥l 2，∴2a +2=?a?, a =?2

3 ；

(2) 设Q(m?,n) ，

∵P(1, 2),Q(m, n)?关于?2x ?y ?1=0对称，

∴{

n?2

m?1

? 2=?1

2 ?

m+12

n+22

?1=0

，解得{

m =9

5n =8

，

∴Q(9

5, 8

5)代入l 2得：a ? 9

5+(a +1) ? 8

5+2=0， ∴a =?18

17 .

18．解：(1) 由题意知：F(c, 0)，

∵FO ????? +2FA ????? =0? ，∴(?c, 0)+2(a 2c

?c, 0)=(0, 0)，

∴?c +2(

a 2c

?c)=0，由{

a 2=

b 2+

c 22b =4√2

?c +2(a 2c ?c)=0

，解得{a =2√6

b =2√2，

∴椭圆方程为：x 2

24+

y 28

=1；

(2) 设直线l 为：y =x +m?,P(x 1,y 1)?,Q(x 2,y 2)?,B(0,m)，

联立{y =x +m

x 224+y

=1，得4x 2+6mx +3m 2?24=0，∴{x 1+x 2=?3m

x 1x 2=3m 2?244

， ∵P 为BQ 中点，∴

x 2+02

=x 1?，

即?x 2=2x 1，代入得：{x 1+2x 1=?3m

x 1???2x 1=3m 2?24

4，解得：m =±2√6 ，经检验m =±2√6时，

，∴直线l 的方程为y =x ±2√6.

19.解：(1) 设双曲线C ：

x 2

?y 24

=λ，点(4, √3)代入得：λ=1

∴双曲线C ：

x 2

?y 2=1

在△PF 1F 2中，设|PF 1| =m , |PF 2| =n ， ∴{

|m ?n|=4 ①

cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2?202mn =1

② ，由②得：(m ?n)2+2mn ?20=mn ， 16+2mn ?20=mn ， mn =4 ， ∴S ?PF 1F 2=1

2mn ? sin 60°=√3；

(2) ∵C ?F 1AB = |AF 1|+ |BF 1|+|AB| = |AF 2|+ 2a +|BF 2|+ 2a +|AB|=8+2|AB|=

403

∴|AB| =8

3 ，

1°当直线AB 斜率不存在时，|AB| =1，不符合题意（舍） 2°当直线AB 斜率存在时，设AB ：y =k(x ?√5) 联立：{y =k(x ?√5)x 2

?y 2

,?(4k 2?1)x 2?8√5k 2x +20k 2+4=0 ，

∴|AB| =√1+

k 2|x 1?x 2|=

√1+k 2 ? √16k 2+16

|4k 2?1|

=4(k 2+1)|4k 2?1|

=83

，

解得：k =±1，此时Δ>0 ，

∴直线l 方程：y =x ?√5?或y =?x +√5.

20.解：(1) 设矩形在第一象限点为 (x ，y ) (x > 0，y > 0)，则x 2+y 2=r 2，

∴C 矩形=4(x +y) ， ∵2(x 2+y 2)≥(x +y)2，

∴x +y ≤√2r ，

∴4(x +y)≤4√2r ，

当且仅当{x =y x2+y2=r2x >0,y >0,{x =√22r

y =√2

2r 取“=” ∴(C 矩形)max =4√2r =8√2，

∴r = 2，∴圆O 的方程：x 2+y 2=4

(2) 设直线AB ：y =k(x ?1)，A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,

联立：{

x 2+y 2=4

y =k(x ?1)

消去y 并整理得?(k 2+1)x 2?2k 2x +k 2?4=0， ∴x 1+x 2=2k 2

k 2+1,x 1x 2=k 2?4

k 2+1，

∴|AP |=√(x 1?1)2+y 12=√1+k2|x 1?1|，

同理：|BP| =√1+k 2 ? |x 2?1|

∴|AP |·|BP |=(1+k2)·|(x 1?1)(x 2?1)|=(1+k2)·|x 1x 2?(x 1+x 2)?1| =(k 2+1)|

?3k 2+1

|=3，

∵(x 1?1)(x 2?1)=?3

k 2+1<0，∴(x 1?1), (x 2?1)异号，

∴|AP| + |BP| =√1+k 2 ? (|x 1?1|+|x 2?1|)=√1+k 2 ? |(x 1?1)?(x 2?1)|=√1+k 2 ? √(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√1+k 2 ? √4(3k 2+4)

(k 2+1)2=2√3k 2+4√k 2+1

∴1

|AP|+1

|BP|=|AP|+|BP|

|AP| ? |BP|=2

3 ? √3k 2+4

k 2+1=2

3 ? √3+1

k 2+1 ， ∵k 2∈[0, 3]，

∴k 2+1∈[1, 4]?,?1

k 2+1∈[1

4, 1]?,?3+1

k 2+1∈[13

4, 4]， ∴

1|AP|

1|BP|

∈[

√13

3, 43] 21.解：(1) 设直线：y =2(x ?p

2) ，联立：{

y 2=2px

y =2(x ?p 2)

得： 4x 2?6px +p 2

=0，x 1+

x 2=

3p 2

∵|AB| =x 1+x 2+p =

5p 2

=5，∴p = 2，∴抛物线方程为：y 2=4x ；

(2) ①设直线PQ ：x =my +n ,P(x 1,y 1) ,Q(x 2,y 2) 联立：{

y 2=4x

x =my +n

得：y 2?4my ?4n =0，∴y 1+y 2=4m,y 1y 2=?4n ，

∵OP

????? ??OQ ?????? =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)2

+y 1y 2=n 2?4n =94

， ∴n =92

或 n =?12

(舍)，∴G(9

, 0) ②|PQ|?=√1+m 2|y 1?y 2|=√1+m 2??

?√(y 1+y 2)2?4y 1y 2 =√1+m 2???√16m 2+72

同理：|CD|=√1+1

m 2 ? √16 ? 1

m 2+72 S 四PCQD =1

2|PQ| ? |CD|=4√(m 2

m 2)+2 ?

√18(m 2+

)+85 ，设m 2+

1m 2

=t (t ≥2)，∴S 四边形PCQD =?4√t +2???√18t +85 ，

∵f(t)=4√t +2 ? √18t +85在[2, +∞)递增， ∴当t = 2时，即m =±1时，∴S min =88

22.解：(1) ∵BC ????? =CA ????? , DC ????? ? AB

????? =0， ∴DC 为AB 中垂线， ∴|DA| = |DB|，

∴|DO 1| + |DB| = |O 1A| =4> |O 1B|，

∴D 的轨迹是以O 1(?√3 , 0) ,B(√3 , 0)为焦点的椭圆，且2a =4 ， ∴{2a =4c =√3b 2+c 2=a 2，解得{a =2b =1c =√3，

∴点D 轨迹方程H ：x 2

4+y 2=1；

(2) 联立{y =kx +m

x 2+4y 2?4=0

，(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2-1)=0，设E(x 1,y 1) ,F(x 2,y 2) ，

∵OG 平分EF ，∴由中点弦公式有k ? y 0x 0

=?1

4， ①

∴|EF|=√k 2+1|x 1?x 2|=4√k 2+14k 2+1

√4k 2+1?m 2，

又G 到EF 距离为?=

|kx 0?y 0+m|√k 2+1

，

∴S ?GEF =1

2|EF| ? ?=

2|kx 0?y 0+m|

4k 2+1

√4k 2+1?m 2，

利用①以及x 02+4y 02

=8有S △GEF =

2|m?

y 0

|2y 02√2

y 0

2?m 2=1?，

化为(2?m 2y 02

)(2?my 0)2=1，

令my 0=t ，则(2?t 2)(t ?2)2=1 （*），观察有t = 1是一解， ∴(t ?1)(t 3?3t 2?t +7)=0，又my 0>?1，∴t >?1，

又由

，

∴t 3?3t 2?t +7=(t ?3)(t 2?√2)+(t +1)>0 ， ∴方程（*）有唯一解t = 1即my 0=1， ∴d G?EF =

|kx 0?y 0+m|√k 2+1

|m?

2y 0

|√k 2+1

|m|√k 2+1

=d O?EF ，

∴EF 也平分OG ，

故四边形OEGF 对角线相互平分，四边形OEGF 是平行四边形

新高二数学上期末试卷带答案

新高二数学上期末试卷带答案一、选择题 1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A．0795B．0780C．0810D．0815 2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A．3 20 B． 7 20 C． 3 16 D． 2 5 3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（） A． 1 16 B． 1 8 C．3 8 D． 3 16 4．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2 S=（单位：升），则输入k的值为 A．6 B．7 C．8 D．9 5．执行如图所示的程序框图，若输入8 x=，则输出的y值为（）

A ．3 B ． 52 C ． 12 D ．34 - 6．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（） A ．30 B ．20 C ．12 D ．8 7．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（） ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；

新人教版高二数学下学期期中考试试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 =（） A．B．C．D． 2. 下列有关命题的说法正确的是（） A．命题“若 =1,则x=1的否命题为” 若“ =1,则x 1 ” B．若为真命题，则，均为真命题 C．命题“ 使得+x+1 ”的否定是：“ 均有+x+1 ” D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题 3. 曲线在点处的切线方程是( ) A. B．C．D． 4. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( ) A. B. C. D. 5. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为( ) A． B．1 C．2 D．4 6. 设是函数的导函数, 的图象如右图所示，则的图象最有可能的是( ) 7. 执行下面的程序框图，输出的S 值为（） A． B． C． D ． 8. 右侧茎叶图表示的是甲、乙两人在5次

综合测评中的成绩，其中一个数字被污损. 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（） A．B． C． D． 9. 若，则的单调递增区间为（） A．B．C．D． 10.椭圆的两顶点为，且左焦点为，是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B． C. D． 11. 已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（） A．B． C． D． 12. 已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上一点，且，则的取值范围是（） A．B．C． D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校. 14. 以F1（-3，0）、F2（3，0）为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程是 __________________; 15. 已知函数在处的切线与直线平行，则 =_____； 16. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是__________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设互为共轭复数，满足，且在复平面内对应的点在第一象限，求 . 18.（本小题满分12分）直线过抛物线的焦点F，是与抛物线的交点，若 , 求直线的方程. 19 .（本小题满分12分）已知p：，q：x2－2x＋1－m2 0(m>0)，若 p是 q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 20.（本小题满分12分）有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5. 同时投掷这两枚玩具一次，记为两个朝上的面上的数字之和. （1）求事件“m不小于6”的概率；（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论.