概率统计习题
1
习题一
1．设A 、B 、C 是某一随机试验的3个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：
（1）A 、B 、C 都发生； （2）A 、B 、C 都不发生； （3）A 与B 发生，而C 不发生； （4）A 发生，而B 与C 不发生； （5）A 、B 、C 中至少有一个发生； （6）A 、B 、C 中不多于一个发生； （7）A 与B 都不发生； （8）A 与B 中至少有一个发生; （9） A 、B 、C 中恰有两个发生.
2．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及
A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．
3．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A
（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：
（1） 呼唤次数大于2 ；
（2） 呼唤次数在5到10次范围内； （3） 呼唤次数与8的偏差大于2 4．下列命题是否成立,并说明理由: (1) A
B AB B = (2) A B AB -=
2
(3) ()()
AB AB =Φ (4) AB AB = (5) 若A B ?,则=A AB (6)若A B ?则A B ?
5．事件A 、B 、C 两两互不相容与ABC =Φ是否为一回事?为什么? 6.设A 、B 、C 是3个事件()()()1
4
P A P B P C ===，()()0P AB P BC ==,
()1
8
P AC =,求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率.
7. ()()()111
34
2
P A P B P A
B ===
，，,求()P AB ,()
P A B . 8．设A 、B 、C 是三个随机事件，且有C A B A ??， ，()0.9P A = ，
()P B C = 0.8 ，求()P A BC -．
9．将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率 10.10个号码:1号,2号,…,10号,装于一袋中,从中任取3个,按从小到大的顺序排列,求中间的号码恰好我5号的概率.
11.从一批由35件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率. 12. 一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n
. （1） n 件是同时取出的； （2） n （3） n 件是有放回逐件取出的. 13．两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率． 14.同时抛m 枚硬币,求至少有一枚出现正面的概率. 15. 一个袋内装有大小相同的10个球，其中4个是白球，6个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 16．某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率． 17.50个零件,其中48个精度合格,45个表面粗糙度合格,44个精度和表面粗糙度都合格.现从中任取一个,已验得其表面粗糙度合格,问其精度合格的可能性多大? 3 18.已知()14P A = ,()13P B A =,()1 2 P A B =,求()P A B . 19．设()0.5P A =，()0.6P B =．问 (1) 什么条件下()P AB 可以取最大值，其值是多少？(2) 什么条件下()P AB 可以取最小值，其值是多少？ 20．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件A ）的概率为 4 15 ,刮风（记为事件B ）的概率为 715，既刮风又下雨的概率为1 10 ．求(|),(|)().P A B P B A P A B 及 21.某人有5把钥匙,其中两把可以打开门,从中随机取一把试开房门,求第三次才打开门的概率. 22. 一猎人用猎枪向一野兔射击,第一枪距离野兔200m 远，如果未击中，他追到离野兔150m 处第二次射击，如果仍未击中，他追到距离野兔100m 处进行第三次射击，此时击中的概率为 1 2 .如果这个猎人射击的命中率与他到野兔的距离的平方成反比,求猎人击中野兔的概率. 23.已知某种疾病的发病率为0.1%, 该种疾病患者一个月以内的死亡率为90%；且知未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为0.1%；现从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内死亡的概率是多少？若已知此人在一个月内死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多少？ 24. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？ 25. 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？ 26．设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的．开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收． （1）求该箱产品通过验收的概率； （2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率 27．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%. (1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。 （1）现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 28.甲、乙、丙3人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击 中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 29..电路由电池A与两个并联的电池B、C串联而成,设电池A、B、C损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生断电的概率. 30.三人独立地破译一份密码,已知每人能破译的概率分别是111 、、,求密码能被破译的 534 概率. 31.某类灯泡试用时间在1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后: (1)都没有坏的概率. (2)坏了一个的概率. (3)最多只有一个坏了得概率. 32. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60 ％，其余的需重新调试． 经重新调试 的产品中有80 ％经检验合格，而20 ％会被判定为不合格产品而不能出厂．现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率： （1）全部仪器都能出厂； （2）恰有10台不合格. 33.甲乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8,每人投篮3次,求 (1)两人进球数相等的概率. 4 5 (2)甲比乙进球数多的概率. 34.假设每个人的生日在任何月份都是等可能的,已知某单位中至少有一人的生日在一月份的概率不小于0.96,问这个单位有多少人? 35．某自动化机器发生故障的概率为0.2，如果一台机器发生故障只需要一个维修工人去处理，因此，每8台机器配备一个维修工人，试求： (1) 维修工人无故障可修的概率； （2）工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出故障则待维修. 如果认为每四台机器配备一个维修工人，还经常出故障得不到及时维修。那么，四台机器至少应配备多少个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于3%． 36*.巴拿赫火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根．试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少（r=1,2,3，┄，N ）？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又是多少？ 习题二 1. 设随机变量X 的分布律为{}(),1,2,,918 ak P X k k == =. (1) 求常数a ; (2)求概率{}14P X X ==或;(3)求概率7-12P X ??≤≤??? ? . 2. 设随机变量X 的分布律为{}() (),1,2, 1c P X k k k k == =+,求c 的值. 3. 盒中有5只球,分别编号为1、2、3、4、5号.在从盒中同时取出3只球,用X 表示取出的3只球中最大的编号,写出X 的分布律. 4. 抛一枚硬币,直到出现正面为止,求抛的次数的分布律. 5 .一批零件中有9个正品和3个次品,现从中任取一个,.如果每次取出的是次品,则不再放回,再取下一个,直到取到正品为止,求在取到正品以前已取得出的次品数的分布律. 6. 10门炮同时向敌舰各射击一发炮弹,当有不少于两发炮弹击中时,敌舰将被击沉,设每门炮射击一发炮弹的命中率为0.6,求敌舰被击沉的概率. 7.某街道有10部公用电话,调查表明在任一时刻每部电话被使用的概率为0.85,求在同一时刻 (1)被使用的电话部数X的分布律; (2)至少有8部电话被使用的概率; (3)至少有一部电话未被使用的概率; (4)为保证至少有一部电话不被使用的概率不小于90%,应再安装多少部公用电话? 8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率. 9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布,求 (1)每分钟恰有3次呼唤的概率; (2)每分钟呼唤次数大雨的概率. 10.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书 中恰有5册错误的概率. 11.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人 死亡 的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险 公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率; （2）保险公司获利不少于10000元的概率. 13.某射手射击一个固定目标,每次命中率为0.3,每命中一次记2分,否则扣1分,求两次射击后该射手得分总数的分布函数. 6 7 14.已知随机变量X 的分布函数为()0,0,0.8,01,1,1x F x x x =≤ 求X 的分布律. 15. 已知随机变量X 的密度函数为 f (x )=A e -|x |, -∞ 求：（1）A 值；（2）P {0 16.已知随机变量X 的密度函数为2,01 ()0 x x f x < ?其他,求 (1) {}0.5P X ≤,(2) {}0.5P X =,分布函数()F x . 17. 连续型随机变量X 的分布函数为,1()ln , 1,a x F x bx x cx d x e d x e =++≤≤??>? （1）试确定常数a,b,c,d 的值 （2）2e P X ? ?≤ ????.1ln 22 e - 18. 在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 19.某条线路的公共汽车每隔15min 发一班车，某人来到车站的时间是随机的，问此人在车站至少要等6min 才能上车的概率是多少？ 20. .设随机变量在(0,5) 上服从均匀分布,求关于x 的一元二次方程24+420x Xx X ++=有实根的概率. 21. 某类节能灯管的使用寿命(单位:h) X 服从参数为1 2000 λ=的指数分布，任取一根灯管，求 （1）能正常使用1000h 以上的概率； （2）正常使用1000h 后还能使用1000h 以上的概率. 8 22.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5 E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 23. 设X ~N （3，22）， （1） 求P {2 （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 24. 已知()22,X N σ,{}240.3P X <<=求{}0P X <. 25.设测量两地间的距离带有随机误差X ，其概率密度函数为 ( )()()223200 ,x f x x -- = -∞<<+∞ 试求（1）测量误差的绝对值不超过30的概率； （2）接连测量3次，每次测量相互独立进行，求至少有一次绝对误差不超过30的概率. 26.某城市男子身高()170,36X N , (1)问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01; (2)若车门高为182cm,求100个男子中与车门碰头的人数不多于2个的概率. 27. .设随机变量X 的分布律为 求Y =X 2的分布律. 28. 设随机变量13,4X B ?? ??? ,求1Y X =-的分布律. 29. 设随机变量X 的分布律为{}1 ,0,1,2,2 k P X k k ===求sin 2Y X π?? = ??? 的分布律. 30.设()0,1X N ,求X Y e =的概率密度. 31.随机变量X 的概率密度为()(),X f x x -∞<<+∞,求3Y X =概率密度函数 9 32.测量球的直径,设直径服从[],a b 上的均匀分布,求球体积的概率密度. 习题三 1. 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取4个球，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 2. 将一颗骰子连掷两次，令X 为第一次掷出的点数，Y 为两次掷出的最大点数，求 (,)X Y 的联合分布律和边缘分布律. 3.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 4. 设(,)X Y 的联合密度为 20 (,)0x y Ae x y f x y -->?=?? ，，，其它 （1） 求常数A ；（2） 求(,)X Y 的分布函数； （3） 求1 0112P X Y ??<<< ， 与{}21P X Y +< 5.设随机变量(,)X Y 的概率密度为 f （x ，y ）=???<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 10 6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为 f Y （y ）=???>-., 0, 0,55其他y y e 求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. 7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???>>----., 0, 0,0),1)(1(24其他y x y x e e 求（X ，Y ）的联合分布密度. 8.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 f （x ，y ）= 4.8(2),01,0, 0,.y x x y x -≤≤≤≤??? 其他 求边缘概率密度. 9. 设(,)X Y 的联合密度为 24(1)001 (,)0y x y x y x y f x y -->>+ ? ，，，，其它 求边缘概率密度. 10. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 0(,)0y e x y f x y -< ?，，其它 （1） 求随机变量X 的密度函数 ()X f x ； （2） 求概率{}1P X Y +< ． 11.袋中有5个号码1，2，3，4，5，从中任取3个，记这3个号码中最小的号码为X ， 最大的号码为Y . 11 （1） 求X 与Y 的联合分布律； （2） X 与Y 是否相互独立？ 12.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 13.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为 f Y （y ）=?????>-. , 0,0, 2 12/其他y y e （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 14.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 15. 甲、乙相约9：10在车站见面．假设甲、乙到达车站的时间分别均匀分布在9：00 ～ 9：30及9：10 ～ 9：50之间，且两人到达的时间相互独立．求下列事件的概率： （1） 甲后到； （2） 先到的人等后到的人的时间不超过10分钟． 16.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从 参数为2n ，p 的二项分布. 17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为 12 2 3 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 18.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}. 19.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度？ 20.设二维随机变量),(Y X 的分布律为X 与Y 相互独立，求,,a b c 的值 21.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于 X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. 22*.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车 的概率为p （0 13 23. 设X 与Y 相互独立且 0()0 0x X e x f x x -?>=?≤?，22 0 ()0 0 y Y e y f y y -?>=?≤?.求Z X Y =+的概率密度函数. 24．设X 与Y 相互独立且都服从（0 ，a ）上的均匀分布，求随机变量Z X Y =+的概率密度函数. 25设 ()X Y ，的概率密度为( )22 2 1 ,,2x y f x y e Z π +- = =,求Z 的概率密度. *26.设随机变量X 与Y 的概率分布分别为 且2 2()1P X Y == 求：（1）二维随机变量),(Y X 的分布律；（2）Z=XY 的分布律. 习题4 1、填空题 (1).若X 的分布函数为0 01 023 ()5 246 1 4x x F x x x ，则X 的数学期望()E X = （ ）. (2).设随机变量~(3,)X B p 且1 {1}27 P X <= ，则(1)E X -=（ ）. (3).设随机变量~(1,1)X U -，则(32)E X -=（ ）. 14 (4).设随机变量X 服从泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，则(32)E X -=（ ）. (5).若随机变量X 的概率密度为24 ()x X p x - = ，则2()E X =（ ）. (6).设X 的密度函数为2 01 ()0 x x p x < ? 其它，则X 的方差D X （） ＝（ ）. (7).设~(0,2)X U ，令0 1 1 1 X Y X ≥?，则Y 的方差D Y （） ＝（ ）. (8).设X Y 与的协方差(,)1Cov X Y =-，且~(0,9) ,~(1,4)X N Y N -，则 (3)D X Y -=（ ）. (9).设()4D X =，(,)2Cov X Y =，令2Z X Y =+，则(,)Cov X Z =（ ） 2、选择题 (1).已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且 2.4, 1.44E X D X ==（）（），则参数 ,n p 的值为（ ）. ()4,0.6 ()6,0.4 ()8,0.3 ()24,0.1 a n p b n p c n p d n p ======== (2).已知随机变量X 的数学期望为E X （） ，则必有（ ）. 22222 2 2 2 ()()(()) ()()(())()()(()) ()()(())1 a E X E X b E X E X c E X E X d E X E X =≥≤+= (3).设X 服从泊松分布，且(3)2D X +=，则 {0}P X ==（ ）. 221 () 0 ()2 () ()2 a b e c e d -- (4).设随机变量X 的分布密度为 )(21)(4 2+∞<<-∞=- x e x x π ?, 则(2)D X -= （ ）. () 2 () 2 () 4 () 4a b c d -- (5)．对于两个随机变量X 与Y ，若()E XY E X E Y =?（）（） ，则（ ）. 15 ()()()() ()()()()() ()a D XY D X D Y b D X Y D X D Y c X Y d X Y =?+=+与相互独立与不相互独立 (6).设,,,a b c d 为不为零的常数，随机变量X 与Y 的协方差为(,)XY Cov X Y σ=，令11,X aX b Y cY d =+=+，则11X Y 与的协方差为（ ）. () () () () XY XY XY XY a b ac bd c bd ac d ac σσσσ++ (7).设随机变量12,X X 独立同服从参数为λ的指数分布。令121 ()2 Y X X =+,则（ ）. 21122 11()() ()()211 ()(,) ()(,)2a E Y b D Y c Cov X Y d Cov X Y λλλλ= === 3.设随机变量X 的分布律为 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 4.设随机变量X 的分布律为 且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 5．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望． 6．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望. 7．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的 2 1 ，求该地每年因交通事故死亡的平均人数. 8．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 16 9．设连续型随机变量X 的概率密度为 01() (,0)0 b ax x f x a b ?<<=>??其它 又知()0.75E X =,求,a b 的值 10．设随机变量X 的概率密度为 0<1()2 120 x x f x x x =-≤ 其它 求数学期望()E X . 11*．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？ 12.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X . 13.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 14.设某公共汽车站在5分钟内的等车人数X 服从泊松分布，且由统计数据知，5分钟内的平均等车人数为6人,求{()}P X D X >. 15.已知随机变量X 的概率密度为 17 0()0 0 x e x f x x -?>=?≤? (1)设21Y X =+,求(),()E Y D Y . (2)设2X Z e -=,求(),()E Z D Z . 16*.设随机变量X 和Y 同分布，均具有概率密度 2 3, 02 ()8 0,x x f x ?< 令{},{},A X a B Y a =>=>已知A 与B 相互独立，且3 ()4 P A B = .试求：（1）a 的值.（2） 2 1 X 的数学期望. 17. 设二维随机变量（X ,Y ）的联合概率密度为 1 () 02,02 (,)8 0 x y x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其它 求()E XY . 18.设二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为 1 15,1(,)8 0 x y x f x y ?≤≤≤≤?=???其它 试求2()E XY . 19.设随机变量X,Y 的概率密度分别为 242 04 0 (), ()0 00 0 x y X Y e x e y f x f y x y --??>>==??≤≤?? 求(23)E X Y +. 18 20.设随机变量X 与Y 相互独立，且()()0E X E Y ==，()()1D X D Y ==求 2[()]E X Y + 21.将一颗均匀的骰子连掷10次，求所得点数之和的数学期望及方差。 22.设（X,Y ）的概率密度函数为 , 01,01, (,)0, x y x y f x y +<<< ? 其他. 求cov(X ,Y ). 23.设(X,Y)的联合概率分布为 X Y -1 0 1 0 0.1 0.2 0.1 1 0. 2 0. 3 0.1 求,,,,(,).XY E X E Y D X D Y Cov X Y ρ（）（）（）（）及相关系数 24*.设X 与Y 是相互独立的两个随机变量，且均服从参数为λ的指数分布。试求随机变量143Z X Y =-与23Z X Y =+的协方差。. 25.设随机变量X 与Y 均服从标准正态分布，相关系数为0.5.求 ()()D X Y D X Y +-及 26.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服 从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 27.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量 X =???->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =???>≤-. 1,11,1U ，U 若若 试求D （X +Y ）. 28.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为 19 试求X 和Y 的相关系数XY ρ. 29 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20,100）上的均匀分布，且顾客消费额是相互独立的。试求： （1）该餐厅每天的营业额； （2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率。 30.某公司生产的电子元件合格率为99%。装箱出售时：（1）若每箱中装1000只，不合格品在2到6只之间的概率是多少？（2）若要以99.5%的概率保证每箱中合格品数不少于1000只，每箱至少应多装几只这种电子元件？ 习 题五 1．设X 是掷一颗骰子所出现的点数，若给定ε=1，2 ，实际计算{|-()|}P X E X ε≥， 并验证切比雪夫不等式成立． 2．已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3ⅹ109，标准差是0.7 ⅹ109．试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2ⅹ109至9.4ⅹ109之间的概率的下界. 3．将一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，.试估计1018P X <<{}． 4．.设随机变量X 与Y 的数学期望均为2,方差分别为1和4，而相关系数为0.5，试用切贝雪夫不等式估计6P X Y -≥{}． 5．设事件Ａ发生的概率记为P, P 未知，若试验1000次，用发生的频率替代概率 P ，估计所产生的误差小于10%的概率为多少？ 6. 随机变量序列X 1 ，X 2 ，… ，X n ，…相互独立同分布N （μ ，2σ），当n 充分 20 大时，可否认为 1 ,n i i X =∑近似服从正态分布N （n μ ，n 2 σ ），为什么？ 7．设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，… ，X n ，…相互独立同分布，其概率密度 21 (),(1) i i f x x π= + i =1,2, …, 问它们是否满足中心极限定理，为什么？ 8．一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1为了使整个系统起作用，至少需有85个部件。求整个系统工作的概率。 9．设有30个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T 1,T 2,…,T 30服从参数λ=0.1的指数分布。其使用情况使第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。令T 为30个器件使用的总时间，求T 超过350小时的概率。. 10．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，。问应检查多少产品才能使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9. 11．某商店负责供应某地区1000人的某种商品，设该商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,并假设这段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应准备多少这种商品才能以99.7%的概率保证该商品不脱销？ 12*．某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元概率. ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()( 一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 《概率论与数理统计》同步练习册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 161,169,166. 3. 2113. 4. 43,407. 5. 4 3 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,6 24612 11?C ,6246121112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21=-=b a ，（2）161 . 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 649,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 34. 6. 3 1. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解：() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?== = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解：() ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =， 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求： （1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） () P B A 。解：（1）()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1 ()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= . 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？ 解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())() ()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨= =+-= 0.660.750.60.50.60.58 ==+- 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D. 9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0 概率统计练习题答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案：D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又12,,,,n c k k k ， 为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11 n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312x x e ?-= D 、()()4211x x ?π= + 答案：D 概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；概率论与数理统计复习题带答案
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