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最新人教版高中数学必修2第二章《空间中的垂直关系》课堂探究(第1课时)

课堂探究

知能点一：线面垂直的判定定理及推论的应用

利用判定定理证明线面垂直，一定要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，运用时一定要明确指出．

【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.

要证B1O⊥平面P AC，根据判定定理，只需证B1O垂直于平面P AC内的两条相交直线．

证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，设其棱长为2a，因为B1B⊥平面AC，且AC平面AC，

所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，

所以AC⊥BD.又BD∩B1B＝B，所以AC⊥平面B1BO.

而B1O平面B1BO，所以B1O⊥AC.

又PO2＋OB12＝3a2＋6a2＝9a2，

PD12＋B1D12＝a2＋8a2＝9a2，

PB12＝PD12＋B1D12，所以PO2＋OB12＝PB12.

所以B1O⊥PO.

又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面P AC.

本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．

1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2和G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF和EF把这个正方形折起，使点G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是()．

A．SD⊥平面EFG B．SG⊥平面EFG

C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF

答案：B

2．S是△ABC所在平面外一点，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，H是△ABC的垂心，求证：SH⊥平面ABC.

证明：∵SA⊥SB，SA⊥SC，且SB∩SC＝S，

∴SA⊥平面SBC，

又BC平面SBC，

∴SA⊥BC.

又H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，又SA∩AH＝A，

∴BC⊥平面SAH.又SH平面SAH，

∴BC⊥SH.同理AB⊥SH，又AB∩BC＝B，

∴SH⊥平面ABC.

知能点二：线面垂直的性质的应用

线面垂直的性质是由线面垂直到线线垂直的转化，它是证明线线垂直的一种常用的方法，用它也可证明两直线平行(垂直于同一个平面的两直线平行)．【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.

线线垂直的证明通常转化为证明线面垂直．

证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，

∴SA⊥BC.

∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.

∵AB∩SA＝A，

∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.

又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.

∴AE⊥SC.

又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.

又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.

∴DC⊥AG.

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，

∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.

线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为：

1．下列命题中正确的个数是()．

①平行于同一条直线的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③平行于同一个平面的两条直线互相平行；

④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：B

2．如图所示，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为点A，EB⊥β，垂足为点B.

求证：CD⊥AB.

证明：∵EA⊥α，CDα，

根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .

同样，∵EB ⊥β，CD

β，

则有EB ⊥CD .

又EA ∩EB ＝E ，

根据直线和平面垂直的判定定理，则有CD ⊥平面AEB .

又∵AB 平面AEB ，∴CD ⊥AB . 知能点三：点到平面的距离问题

求点到平面的距离的基本方法是：由点向平面作垂线，确定垂足位置，再

归结到三角形中，利用勾股定理或等面积法求解．当垂足位置不好确定时，可利用等体积法求解．

【例3】如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别为BD 、BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，

(1)求证：AO ⊥平面BCD ；

(2)求点E 到平面ACD 的距离．

本题等量较多，可以以算代证；求距离可利用等体积法．

证明：(1)连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，在△AOC 中，AO ＝1，OC ＝3，AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ，∵BD ∩OC ＝O ，

∴AO ⊥平面BCD .

解：(2)设点E 到平面ACD 的距离为h ，∵V EACD ＝V ACDE ，∴13h ·S △ACD ＝13

AO ·S △CDE ，在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2，∴S △ACD ＝12×2×22－(22)2＝72

，而AO ＝1，S △CDE ＝12×12×2×3＝32，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×327

＝217，∴点E 到平面ACD 的距离为217.

(1)已知线段长证明两直线垂直时，常常利用勾股定理的逆定理；(2)求点到平面的距离常常利用等体积法，通过转换顶点与底面，转移到已知有线面垂直关系的顶点上来．

高中数学必修1第二章课后习题解答

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数练习（P54） 1. a 2 1=a ,a 4 3=43a ,a 5 3-= 5 3 1 a ,a 3 2- = 3 2 1 a . 2. (1)32x =x 3 2, (2)43)(b a +=(a +b )4 3, (3)32 n)-(m =(m -n )3 2, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)5 6q p =p 3q 2 5,(6) m m 3=m 2 13- =m 2 5. 3. (1)(4936)23 =［(76)2］23 =(76)3=343 216; (2)23×35.1×612=2×32 1×(2 3)31×(3×22)61=231311--×361 3121++=2×3=6; (3)a 21a 4 1a 8 1- =a 8 14121-+=a 8 5 ; (4)2x 3 1- (21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 32 21--=1-4x -1=1x 4 -. 练习（P58） 1.如图图2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =3 2 -x 的定义域为｛x |x ≥2｝; (2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(2 1 )x 1 的定义域是｛x ∣x ≠0｝. 3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1 A 组（P59） 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .

2解：(1) 6 2 3 b a a b =212 162 122 12 3)(?? ?b a a b =2 3 232121--?b a =a 0b 0=1. (2)a a a 2 12 1=21212 1a a a ?=2121a a ?=a 2 1. (3) 4 15643)(m m m m m ???= 4 16 54 13 12 1m m m m m ??= 4 165413121+++m m =m 0=1. 点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按1 2,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可. 答案：4.728 8; 对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可. 答案：8.825 0. 4.解：(1)a 3 1a 4 3a 12 7=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 4 3÷a 6 5=a 6 54332-+=a 12 7; (3)(x 3 1y 43-)12=124 3123 1?-?y x =x 4y -9; (4)4a 32b 3 1- ÷(32-a 31-b 31 -)=(3 2-×4)31 313 1 32+-+b a =-6ab 0=-6a ; (5))2516(4 6 2r t s -2 3-= ) 2 3(4) 2 3(2) 2 3(6)23(2) 2 3 (45 2-?-?-?--?-?r t s =6393652----r t s =3 6964125s r r ; (6)(-2x 4 1y 3 1-)(3x 2 1-y 3 2)(-4x 41y 3 2)=［-2×3×(-4)］x 3 232314 12141++-+-y x =24y ; (7)(2x 21+3y 4 1-)(2x 2 1-3y 4 1-)=(2x 21)2 -(3y 41-)2=4x -9y 2 1 - ; (8)4x 4 1 (-3x 4 1y 3 1-)÷(-6x 2 1 - y 3 2- )=3 2 3121 41416 43+-++-?-y x =2xy 31 . 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.

高中数学必修二第二章经典练习题

绝密★启用前 201*年**中学同步教学测试试卷 **测试试卷考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四五总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单项选择 1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确B．仅①、④正确 C．仅①正确D．四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α（） A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条3. 平面α有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（） A 必有外接圆 B 必有切圆 C 既有切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（） A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中

高中数学吧必修2第四章知识点总结

高中数学吧必修２第四章知识点总结 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：2 22() ()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆2 22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）220 0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022 =++++F Ey Dx y x 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用

人教版高中数学必修三第二章单元测试(二)及参考答案

2018-2019学年必修三第二章训练卷统计(二) 注意事项： 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知x ,y 是两个变量,下列四个散点图中,x ,y 是负相关趋势的是( ) A. B. C. D. 2.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( ) A.40.6,1.1 B.48.8,4.4 C.81.2,44.4 D.78.8,75.6 3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图,则下面结论中错误的一个是( ) A.甲的极差是29 B.乙的众数是21 C.甲罚球命中率比乙高 D .甲的中位数是24 4.某学院A ,B ,C 三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生,则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 5.在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 6.两个变量之间的相关关系是一种( ) A.确定性关系 B.线性关系 C.非确定性关系 D.非线性关系 7.如果在一次实验中,测得(x ,y )的四组数值分别是A (1,3),B (2,3.8),C (3,5.2),D (4,6),则y 与x 之间的回归直线方程是( ) A.y ＝x ＋1.9 B.y ＝1.04x ＋1.9 C.y ＝0.95x ＋1.04 D.y ＝1.05x －0.9 8.现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈. ③东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 9.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下：此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号