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谱半径与二范数

若矩阵A是正规阵:A的二范数等于A的谱半径.

这个比较简单,给出两种证明过程:

命题:A是正规阵,必然存在酉阵Q满足:Q' * A * Q = D,D为对角阵且每个对角元为A的特征值.

1.A的二范数A的最大奇异值max(sqrt(eig(A' * A))) max(sqrt(eig(D' * D))) D的模最大对角元A的谱半径,证毕!

2.记D = diag{λ1,λ2,...,λn}满足|λ1| ≥|λ2| ≥...≥|λn|,则|λ1|为A的谱半径.

2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1,必然有:||A*x1||?/ ||x1||?= |λ1| ≤||A||?

2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量,即:||y1||?= 1且||A||?= ||A*y1||?.y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1,且z1也为单位向量.不难得出:||A||?= ||A*y1||?= ||A*Q*z1||?= ||D*z1||?≤|λ1|

综合2.1和2.2可得:||A||?= |λ1|,证毕!