3.1第5课时 空间向量运算的坐标表示
一、选择题
1.已知a =(cos α,1,sin α),b =(sin α,1,cos α) ,且a b 则向量a +b 与a -b 的夹角是( )
A .90°
B .60°
C .30°
D .0°
[答案] A
[解析] ∵|a |2
=2,|b |2
=2, (a +b )2(a -b )=|a |2-|b |2=0, ∴(a +b )⊥(a -b ).
2.已知空间四点A (4,1,3),B (2,3,1),C (3,7,-5),D (x ,-1,3)共面,则x 的值为( ) A .4 B .1 C .10 D .11
[答案] D
[解析] AB →=(-2,2,-2),AC →=(-1,6,-8),AD →
=(x -4,-2,0), ∵A 、B 、C 、D 共面,∴AB →、AC →、AD →
共面, ∴存在λ、μ,使AD →=λAB →+μAC →
,
即(x -4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ),
∴????
?
x -4=-2λ-μ-2=2λ+6μ0=-2λ-8μ
,∴????
?
λ=-4μ=1
x =11
.
3.下列各组向量中共面的组数为( ) ①a =(1,2,3),b =(3,0,2),c =(4,2,5) ②a =(1,2,-1),b (0,2,-4),c =(0,-1,2) ③a =(1,1,0),b =(1,0,1),c =(0,1,-1) ④a =(1,1,1),b (1,1,0),c =(1,0,1) A .0 B .1
C .2
D .3
[答案] D
[解析] ①设a =x b +y c ,则
????
?
1=3x +4y 2=02x +2y 3=2x +5y
,解得?
??
??
x =-1
y =1.
故存在实数x =-1,y =1使得a =-b +c , ∴a ,b ,c 共面.
②中b =-2c ,③中c =a -b . 故②③中三个向量共面.
4.下列各组向量不平行的是( ) A .a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4) B .c =(1,0,0),d =(-3,0,0) C .e =(2,3,0),f =(0,0,0)
D .g =(-2,3,5),h =(16,-24,40) [答案] D
[解析] b =-2a ,d =-3c ,f =0e ,只有D 不存在实数λ,使g =λh .
5.若两点的坐标是A (3cos α,3sin α,1),B (2cos θ,2sin θ,1),则|AB →
|的取值范围是( )
A .[0,5]
B .[1,5]
C .(1,5)
D .[1,25]
[答案] B
[解析] |AB →
|2=(2cos θ-3cos α)2+(2sin θ-3sin α)2=13-12cos θcos α-12sin θsin α
=13-12cos(θ-α)∈[1,25], ∴1≤|AB →
|≤5.
6.已知a =(x,2,0),b =(3,2-x ,x ),且a 与b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是( ) A .x <-4 B .-4
[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角,∴a 2b <0, 即3x +2(2-x )+02x =4+x <0. ∴x <-4.
又当夹角为π时,存在λ<0,使b =λa ,
∴????
?
3=λx 2-x =2λx =0
,此方程组无解,因此选A.
7.如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1,B 1E 1=14A 1B 1,则BE 1→等
于( )
A .(0,1
4,-1)
B .(-1
4,0,1)
C .(0,-1
4,1)
D .(1
4
,0,-1)
[答案] C
[解析] B (1,1,0)、E 1(1,34,1),BE 1→
=(0,-14
,1).
8.已知a =(1,2,-y ),b =(x,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则( ) A .x =1
3,y =1
B .x =1
2,y =-4
C .x =2,y =-1
4
D .x =1,y =-1 [答案] B
[解析] a +2b =(2x +1,4,4-y ), 2a -b =(2-x,3,-2y -2), ∵(a +2b )∥(2a -b ), ∴????
?
2x +1=λ(2-x )4=3λ4-y =(-2y -2)λ
,∴?????
x =12y =-4
9.如图AC 1是正方体的一条体对角线,点P 、Q 分别为其所在棱的中点,则PQ 与AC 1所成的角为( )
A .arctan 2
2 B .arctan 2 C.π
3
D.π2
[答案] D
[分析] 建立空间直角坐标系,求出AC 1→与PQ →的坐标,转化为求AC 1→与PQ →
的夹角. [解析] 设正方体棱长为1,以点A 1为坐标原点,A 1B 1、A 1D 1、A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则P ????12,0,0,Q ???0,1,12,A (0,0,1),C 1(1,1,0),所以PQ →
=
????-12,1,12,AC
1→=(1,1,-1),故PQ →2AC 1→=-1231+131+12
3(-1)=0,
∴PQ →⊥AC 1→
,即PQ 与AC 1所成的角为π2
.
10.已知向量OA →=(2,-2,3),向量OB →
=(x,1-y,4z ),且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为(0,32,-1
2
),则(x ,y ,z )=( )
A .(-2,-4,-1)
B .(-2,-4,1)
C .(-2,4,-1)
D .(2,-4,-1) [答案] A
[解析] 由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z ) =2???
?0,32,-1
2,
∴(x +2,-1-y,3+4z )=(0,3,-1),
∴????
?
x =-2y =-4z =-1
.
二、填空题
11.已知a =(1,0,-1),b =(1,-1,0),单位向量n 满足n ⊥a ,n ⊥b ,则n =________. [答案] ?
????33,33,33 ? ??
??
-33,-33,-33
[解析] 设n =(x ,y ,z ),由条件????
?
x -z =0x -y =0
x 2+y 2+z 2=1
,
∴x =y =z =
33或-3
3
. 12.已知空间三点A (1,1,1)、B (-1,0,4)、C (2,-2,3),则AB →与CA →
的夹角θ的大小是____________.
[答案] 120°
[解析] AB →=(-2,-1,3),CA →
=(-1,3,-2), AB →
2CA →=-7,|AB →|=14,|CA →
|=14,
∴cos θ=
-7
14314=-12,
∴θ=120°.
13.已知向量a =(-3,2,5),b =(1,-3,0),c =(7,-2,1),则: (1)a +b +c =________; (2)(a +b )2c =________; (3)|a -b +c |2=________. [答案] (5,-3,6) -7 54
[解析] (1)a +b +c =(-3,2,5)+(1,-3,0)+(7,-2,1)=(5,-3,6). (2)a +b =(-2,-1,5),
(a +b )2c =(-2,-1,5)2(7,-2,1)=-7. (3)a -b +c =(3,3,6),|a -b +c |2
=54.
14.已知a ,b ,c 不共面,且m =3a +2b +c ,n =x (a -b )+y (b -c )-2(c -a ),若
m∥n ,则x +y =__________________.
[答案] -4
[解析] ∵a 、b 、c 不共面,m ∥n , ∴
x +23=
-x +y 2
=
-y -2
1
,∴?
??
??
x =-2y =-2.
三、解答题
15.已知点A (2,3,-1),B (8,-2,4),C (3,0,5),是否存在实数x ,使AB →与AB →+xAC →
垂直?
[解析] AB →=(6,-5,5),AC →
=(1,-3,6),
AB →
+xAC →
=(6+x ,-5-3x,5+6x ),
∵AB →⊥(AB →+xAC →)
∴6(6+x )-5(-5-3x )+5(5+6x )=0, ∴x =-
9651=-3217,∴存在实数x =-3217
, 使AB →与AB →+xAC →
垂直.
16.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、DC 的中点. 求证:(1)AE ⊥D 1F ; (2)AE ⊥平面A 1D 1F .
[证明] 设正方体的棱长为1,以DA →、DC →、DD 1→
为坐标向量,建立空间直角坐标系D -
xyz ,如图所示.
(1)易知A (1,0,0)、E (1,1,12)、F (0,1
2,0)、D 1(0,0,1).
∵AE →=(0,1,12),D 1F →
=(0,12,-1).
又AE →2D 1F →
=(0,1,12)2(0,12,-1)=0,
∴AE ⊥D 1F .
(2)DA →=(1,0,0)=D 1A 1→
,
∴D 1A 1→2AE →
=(1,0,0)2(0,1,12)=0,
∴AE ⊥D 1A 1,
由(1)知AE ⊥D 1F ,且D 1A ∩D 1F =D 1, ∴AE ⊥平面A 1D 1F .
17.已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →
. (1)设|c |=3,c ∥BC →
,求c . (2)求a 与b 的夹角.
(3)若k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k . [解析] (1)∵c ∥BC →,BC →
=(-2,-1,2).
∴设c =(-2λ,-λ,2λ),
∴|c |=(-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2=3|λ|=3 ∴λ=±1
∴c =(-2,-1,2)或c =(2,1,-2). (2)a =AB →
=(-1+2,1-0,2-2)=(1,1,0)
b =AC →
=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2).
∴cos=a2b
|a|2|b|
=
(1,1,0)2(-1,0,2)
235
=-
1010
. ∴a 和b 的夹角为=π-arccos
1010
. (3)k a +b =(k -1,k,2),k a -2b =(k +2,k ,-4).
又(k a +b )⊥(k a -2b ),则(k a +b )2(k a -2b )=(k -1,k,2)2(k +2,k ,-4)=2k 2+k -10=0,
∴k =2或k =-5
2
.
18.已知空间三点A (0,2,3)、B (-2,1,6)、C (1,-1,5). (1)求以AB →、AC →
为邻边的平行四边形面积;
(2)若|a |=3,且a 分别与AB →、AC →
垂直,求向量a 的坐标. [解析] (1)由题中条件可知 AB →
=(-2,-1,3),AC →
=(1,-3,2),
∴cos〈AB →
,AC →
〉=AB →
2AC
→
|AB →|2|AC →|
=-2+3+614314=1
2,
∴sin〈AB →,AC →
〉=32
,
∴以AB →,AC →
为邻边的平行四边形面积
S =|AB →|2|AC →|2sin〈AB →,AC →
〉=7 3.
(2)设a =(x ,y ,z ),
由题意得????
?
x 2+y 2+z 2
=3,-2x -y +3z =0,
x -3y +2z =0.
解得????
?
x =1,y =1,
z =1,
或????
?
x =-1,y =-1,z =-1.
∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1)
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ) A .0 B.1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11C A 是 ( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( ) A .// B .⊥ C .也不垂直于不平行于, D .以上三种情况都可能 4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于 ( ) A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B = ( ) A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=19,则向量a 与b 之间的夹角><,为( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 7.若a 、b 均为非零向量,则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知则35,2,23+-=-+= ( ) A .-15 B .-5 C .-3 D .-1
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ) A .0 B.1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11C A 是 ( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( ) A .// B .⊥ C .也不垂直于不平行于, D .以上三种情况都可能 4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于 ( ) A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B = ( ) A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=19,则向量a 与b 之间的夹角><,为( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 7.若a 、b 均为非零向量,则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知则35,2,23+-=-+= ( ) A .-15 B .-5 C .-3 D .-1
高二选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A . 321=x B . 2=y C . 32 1 =y D . 2-=y 2.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹方程是 ( ) A . 22 1169x y += B . 22 11612x y += C .22 143x y += D .22 134 x y += 1.已知向量a =(3,-2,1),b =(-2,4,0),则4a +2b 等于 ( ) A .(16,0,4) B .(8,-16,4) C .(8,16,4) D .(8,0,4) 2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,则A 1B → = ( ) A .a +b -c B .a -b +c C .-a +b +c D .-a +b -c 4.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( ) A.OM →=2OA →-OB →-OC → B.OM →=15OA →+13OB →+12OC → C.MA →+MB →+MC → =0 D.OM →+OA →+OB →+OC → =0 6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式:①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →;②(BC → + BB 1→)-D 1C 1→; ③(AD →-AB →)-2DD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 7.已知向量a =(1,-1,1),b =(-1,2,1),且k a -b 与a -3b 互相垂直,则k 的值是 A .1 B .15 C .35 D .-20 9 8.若a =(2,-3,1),b =(2,0,3),c =(0,2,2),a ·(b +c )的值为 ( ) A .4 B .15 C .7 D .3 9.已知四边形ABCD 满足:AB →·BC →>0,BC →·CD →>0,CD →·DA →>0,DA →·AB → >0,则该四边形 为 ( ) A .平行四边形 B .梯形 C .长方形 D .空间四边形
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ,且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:C 2.已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任一点O ,OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案:D 3.在以下命题中,不正确的个数是( ) ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 5.下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案:B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为矩形ABC D的对角线的交点,设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案:a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案:m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线,对平面ABC 外一点O ,在下列各条件下,点P 是否与A 、B 、C 一定共面? (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ; (2)OP=2OA-2OB-OC. 解:(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图,已知四边形ABCD 是空间四边形,E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,F 、G 分别是边CB 、CD 上的点,且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证:四边形EFGH 是梯形. 证明:∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1, EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图,平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11B A =a ,11D A =b ,11A A =c ,则下列向量中与B 1M 相等的向量是( )