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33.E_U_0时势垒贯穿问题的讨论

收稿日期:2007203222.

作者简介:彭丽萍,女,湖北浠水人,助教,主要从事光学和大学物理课程的教学工作.

第27卷第3期

黄 冈 师 范 学 院 学 报V o l .27N o .32007年6月Jou rnal of H uanggang N o rm al U n iversity Jun .2007

E =U 0时势垒贯穿问题的讨论

彭丽萍

(黄冈师范学院物理科学与技术学院,湖北黄州438000)

摘 要 一般教材中,讨论量子力学关于势垒贯穿的问题时,通常没有讨论E =U 0的情况,遇到此类问题一般只将E >U 0或E

关键词 势垒贯穿;波函数;透射系数

中图分类号 O 413.1 文献标识码 A 文章编号 100328078(2007)0320086203

A d iscussion on the problem of barr ier penetra tion when E =U 0

PENG L i -p i ng

(Co llege of Physical Science and T echno logy ,H uanggang N o rm al U n iversity ,H uangzhou 438000,H ubei ,Ch ina )Abstract T he barrier p enetrati on in the case of E =U 0has no t been discu ssed in the cu rren t tex tbook of quan tum m echan ics .It’s un reasonab le to m ake a sub stitu ti on of E >U 0(o r E

help of tw o distinct m ethods

.Key words barrier p enetrati on ;w ave functi on ;p enetrati on coefficien t

图1 方势垒上的透射

势垒贯穿问题是量子力学的基本问题之一。它讨论的问题是:

一维空间中,能量为E 的自由运动的粒子在方型势垒

U (x )=0,(x <0,x >a )U 0,

(0≤x ≤a )上散射(图1),求粒子在势垒上的透射系数。

现在国内的一般教材上大多都讨论了E >U 0和E

况,而当E =U 0时的情况直接套用到上面两种情况的结果中,这是

不严密的,忽视了这种特殊情况下的条件,刘明等[1]对此已经提出

过疑问,并且在实际的问题中出现不合理的结果。但是关于这个问

题目前的解答还不是很详细和全面,本文从薛定谔方程出发就E =U 0势垒贯穿问题运用两种不同的方法进了讨论,得出了一致的结果。1 E =U 0时透射公式的推导

1.1 从定态的薛定谔方程导出

下面先用教材书上传统的方法讨论E =U 0时粒子在势垒上的透射系数。在各区间粒子波函数满足

的定态薛定谔方程为:

-Γ22Λd 271d x 2

=E 71, (x <0),(1)-Γ22Λd 272d x 2

+

33.E_U_0时势垒贯穿问题的讨论

U 072=E 72, (0≤x ≤a ),(2)-Γ22Λd 273d x 2=E 73, (x >a ).

(3)令k 1=2ΛE Γ2,k 2=2Λ(E -U 0)

Γ2.当E =U 0时,k 2=0,于是上面三个方程变为:

d 271d x 2+k 2171=0, (x <0),(4)

d 272d x 2=0, (0≤x ≤a ),(5)

d 273d x 2+k 2173=0, (x >a ).(6)

在x <0区域内,方程的解为:71=A e ik 1x +A ′e -ik 1x ;(7)

在0≤x ≤a 区域内,方程的解为:72=B x +B ′;(8)

在x >a 区域内,方程的解为:73=C e ik 1x +C ′e ik 1x .(9)

按照公式7(x ,t )=7(x )e -i ΓE t ,定态波函数是71,72,73再分别乘上一个含时间因子e -i ΓE t ,就得

到向左或向右传播的平面波。由此很容易看出式(7)第一项是左向右传播的平面波,第二项是反射波,而在x >a 区域内由于没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的入射波,所以在式(9)中有C ′=0。

再利用波函数及其微商在x =0点和x =a 点的连续条件来确定波函数中其他的参数。当x =0时,由71=72得:A +A ′=B ′;

(10)当x =0时,由d 71d x =d 72d x

得:ik 1A -ik 1A ′=B ;(11)当x =a 时,由72=73得:B a +B ′=C e ik 1a ;

(12)当x =a 时,由d 72d x =d 73d x

得:B =ik 1C e ik 1a .(13)联合(10)到(13)式得到:C A =11-i 2ak 1e -ik 1a =11-i 2a 2ΛE Γ2

e -ia 2ΛE Γ2,(14)故透射系数D 为:D =C A 2=11-i 2ak 1e -ik 1a 2=11+14

a 2k 21 =11+12ΛE a 2Γ2

=2Γ22Γ2+ΛE a 2=2Γ2

2Γ2+ΛU 0a 2.(15)

1.2 从E >U 0和E E 和U 0

D =J D J I =C A 2=4k 21k 22(k 21-k 22)2sin 2(k 2a )+4k 21k 22,(16)

其中,k 1=2ΛE Γ2,k 2=2Λ(E -U 0)

Γ2

.初步观察发现式(15)和(16)相差很大,而且当k 2=0,即E =U 0时,D 的分式表达式的分子和分母都为零,故不能将E =U 0时结果直接代入到式(16)中的原因。对式(16)作极限处理,当k 2→0时,取D 的极?78?第3期彭丽萍:E =U 0时势垒贯穿问题的讨论

限值,就可以得到式(15)的结果:

li m k 2→0D =li m k 2→04k 21k 22(k 21-k 22)2sin 2(k 2a )+4k 21k 22=li m k 2→04k 21k 22(k 21-k 22)2k 22a 2+4k 21k 22

=li m k 2→04k 21(k 21-k 22)2a 2+4k 21=4k 21k 41a 2+4k 21=11+14k 21a 2=11+12ΛE a 2Γ2

=2Γ22Γ2+ΛE a 2=2Γ2

2Γ2+ΛU 0a 2.(17)3 讨论

上面两种做法,不论是直接求解,还是将U 0>E 和U 0

U 0=0时即此时的势垒不存在,那么粒子直接贯穿,因此它的透射率为1,代入到式(15)或(17),D =1,是相符合的;如果当U 0→∞时,即此时的势垒无限高,粒子跃迁的几率为0,代入到式(15)或(17),D =0,也是相符的。当

33.E_U_0时势垒贯穿问题的讨论

E =U 0时透射系数与势能函数的关系如图2所示。

图2 透射系数与势能的关系曲线

从图2也可以很容易地看出,当U 0=0时,透射率趋近于1;U 0→∞时,透射率趋近于0。与实际情况相符。可见,E =U 0时的势垒问题不同于E >U 0和E

参考文献:

[1] 刘 明.势垒贯穿中U =E 时的透射系数研究[J ].大学物理,2005,5:34~36.

[2] 曾谨言.量子力学题解[M ].北京:科学出版社.2003.38.

[3] 周世勋.量子力学教程[M ].北京:高等教育出版社.1979.44.

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