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概率论论文

院系：市政环境工程学院班级：1027001

学号：1102700127

姓名：何泽

关于概率论的起源发展及其应用

市政环境工程学院学号：1102700127 姓名：何泽

摘要

概率论是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是非常有特色的一个数学分支。当前，概率论与数理统计已广泛运用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中并且广泛的与其他学科渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科运用、研究的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已成为大学生中绝大数专业的学生必修的一门基础课。

关键词起源发展，实际应用，思想方法

一、概率论的起源

概率论是一门研究事情发生的可能性问题，但最初的概率的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达洛开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。十七世纪中叶，当时法国宫廷盛行着掷骰子游戏，游戏的规则是玩家连续掷四次骰子，如果其中没有六点出现，玩家赢，如果出现一次6点则庄家赢。按照这一游戏规则，长期来看，庄家扮演赢得角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要以此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为了使游戏更加刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家用两个筛子连续投掷

24次不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

二，概率论的发展

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李雅普洛夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.纳维、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人

作了杰出的贡献。

三、概率论在实际应用中的简单模型（建模思想）

1、生物学：一个多指男性与一个正常女性婚配，生了一个白化病女孩。问：若

再生一个孩子，两病兼患的概率是多少？（注：多指为显性遗传，白化病为隐性

遗传）

解析:根据基因遗传的规律，多指与白化病的遗传是相互独立的。设P1为

患多指病的概率，P2为患白化病的概率，P 为两病兼患的概率。则由独立事件

的乘法公式可得P=P1×P2.

设A 为多指基因，b 为白化病基因，白化病女孩的基因型为aabb 。

可以推得父母的基因型分别为：父亲AaBb 母亲aaBb 。遗传图谱如下所示：

P1: Aa

× aa P2: Bb × Bb

Aa(1/2) aa(1/2) BB(1/4) Bb(1/2) bb(1/4)

因此，P1=1/2，P2=1/4.

两病兼患的基因型为Aabb, 概率P=P1×P2=1/8.

2、医学检查：设换肺病的病人，被查出的概率为0.95，未患肺病的人检查时被

误诊的概率为0.002，设在全城中患有肺病的概率为0.001。若在居民中随机抽取

一人检查，诊断为有肺病，求此人确实患有肺病的概率。

解析：该问题属于条件概率问题，可以利用贝叶斯公式进行求解。设

1A ,2A ......n A 是互不相容的事件，且()i A P >0(i=0,1,2……，n).若对任意事件B 有

1A +2A +3A +……+n A ?B,且P(B)>0，则贝叶斯公式为：

()()∑==n j j j

i

i i A B p A p A B p A p B A P 1

以A 表示居民患肺病的事件，则A 表示居民无肺病。设B 为检查后诊断为

有肺病的事件，那么问题就是求P(A|B)。

由于A B ?+A ，又与互不相容，故由贝叶斯公式知

)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

P(A)=0.001, P(A )=0.999, P(A|B)=0.95, P(B|A)=0.002

因此，

3223.0999.0002.095.0001.095.0001.0)|(≈?+??=B A P

3、二项分布管理科学中的应用

设有同类型的仪器300台，其工作是相互独立的，且发生事故的概率均为0.01.一台仪器发生故障，一个工人可以排除。

①至少配备多少维修工人才能保障仪器发生故障但不能即使排除的概率小于0.01？

②若一人包干20台仪器，求仪器发生故障但不能及时排除的概率。

解析：①设事件A=“仪器发生故障不能及时排除”，设配备x 个维修工人，则事件A 等价与“同时发上故障仪器数>x ”。由于300台仪器在同一时间内是否正常工作可看成300重伯努利实验，发生故障的概率为p=0.01,所以

所以 k x k k k x k C k P A P -+=+=∑∑==

30030013003001300)99.0()01.0()()(

∑∑+=-+=-≈≈3001330013!3!3)(x k k x k k k e k e A P

由题意有 P(A)<0.01 ,通过查表解的x=8.

故，只需配备8个工人就可达到要求。

②设仪器发生故障而不能及时排出的时间为B ，则B 等价于事件“在 20台仪器中，同一时间发生故障的仪器数>1”.与①同理：

k

k k k K C k P B P -==∑∑==202022020220)99.0()01.0()()(

解得 P （B ）=0.01725

由①②知，P （B ）>P （A ）。由此得出结论：当一个工人包干20台仪器的维修任务时，仪器发生故障而不能及时维修的概率大于0.01；而当8个工人共同负责300台仪器的维修任务时（平均每人37.5台），仪器发生故障而不能及时维修的概率却小于0.01。故一个人单干，不如8个工人合作好，同时经济效益也没有8个人合作好。

这个案例表明，概率的方法，在国民经济的某些问题中，对有效的使用人力和物力进行科学管理等方面有着重要的作用！

4，伯努利定理的使用

题目：从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率?%1≤p

解析：假设该工厂的次品率%1≤p ，则检查200件产品其中次品率6≥X 的概率应为

∑∑=-=--=≤≥5

02002002006200200)09.0()01.0(1)99.0()01.0()6(x X X X x x x x C C

X P 因为200=n 很大，且01.0=p 较小，故可按近似公式计算，并有201.0200=?=λ，从而

0166.0 )0361.00902.01804.02707.02707.01353.0(1!21)6(25

=+++++-≈-≤≥-=∑e x X P x x

在工业生产中一般把概率小于0.05的事件认为是小概率事件，由此可见上述事件X 6≥是小概率事件。按小概率事件的实际不可能性原理，小概率事件在个别试验中实际上是不可能发生的，而现在却发生了，所以不能相信该工厂产品的次品率p 1≤%。

四、函数与方程思想在概率中的应用

函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系的观点建立变量之间固有或潜在的关系，通过函数形式，利用相关的函数性质，使问题得到解决。而方程的思想是将所求的量设成未知数，根据题目或问题中隐藏的等量关系列出符合条件的方程，通过解方程或对方程进行研究，来解决问题。函数与方程的思想相辅相成，那么，在实际问题中，列出未知量与已知量之间的方程关系或函数关系就至关重要了。下面举两个简单实例来说明。

一、方程思想

题目：甲乙两人独立解出同一道数学题的概率相同，已知该题被解出的概率为0.36。求甲独立解出该题的概率。

解析：可以设甲独立解出该锁题的概率为X 。题被解出开三种情况：

①甲解出，乙未解出； ②乙解出，甲未解出；③甲乙都解出。可以得到一个方程式;

0.36=2X(1-X) + X ?X

解得 X=0.2 即甲独立解出该题的概率为0.2。

二，函数思想

题目：设某种商品每周的需求量X 服从区间上的均匀分布的随机变量，二经销商店的进货数量为区间中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，没处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时没一单位商品仅获利300元。为使商品所获利的期望不少于9280元，试确定最少进货量。

解析：设商店获得利润为T ，进货量为y ，则依据题意有

???<≤?--≤

???<≤-<≤+==.10,100600,30,200300)(y X y X X y y X X g T 由题意知，期望ET ≥9280，有

?+∞∞-=≤dx x f x g ET )()(9280

????

??++-=??y y dx y x dx y x 1030)200300()100600(201 ,52503505.72++-=y

y 即

040303505.72≤+-y y 解不等式得到

263220

≤≤y 即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位。

注：这个案例在充分展现概率论中的函数思想外，同时也很好地体现了概率在经济学中的完美应用。它解决了商品销售中的效益最大化问题，具有很重大的指导意义。

参考文献：

王勇等，概率论与数理统计。北京：高等教育出版社，2007

徐传胜，问题到方法论学科：概率论发展史研究。北京：科学出版社2010