2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文)(北京卷)
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合{}0,1,2,4A =,{}1,2,3B =,则A
B =( )
(A ){}0,1,2,3,4 (B ){}0,4 (C ){}1,2 (D ){}3 (2)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )
(A )x
y e -= (B )y x = (C )ln y x = (D )y x = (3)已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( )
(A )()5,7 (B )()5,9 (C )()3,7 (D )()3,9 (4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )
(A )1 (B )3 (C )7 (D )15
(5)设a 、b 是实数,则“a b >”是“22a b >”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 (6)已知函数()26
log f x x x
=
-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( )
(A)()0,1 (B)()1,2 (C)()2,4 (D)()4,+∞
(7)已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -,
()(),00B m m >,
若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=,则m 的最大值为( ) (A )7 (B )6 (C )5 (D )4 (8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足的函数关系2p at bt c =++(a 、b 、c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根
据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) (A )3.50分钟 (B )3.75分钟
(C )4.00分钟 (D )4.25分钟
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 (9)若()()12x i i i x R +=-+∈,则x = . (10)设双曲线C
的两个焦点为()
,
)
,一个顶点式()1,0,则C 的方程为 .
(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
(12)在ABC ?中,1a =,2b =,1
cos 4
C =
,则c = ;sin A = .
(13)若x 、y 满足11010y x y x y ≤??
--≤??+-≥?
,则z y =+的最小值
为 .
(14)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,
每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。 (15)(本小题13分)
已知{}n a 是等差数列,满足13a =,412a =,数列{}n b 满足14b =,420b =, 且{}n n b a -为 等比数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.
侧(左)视图
正(主)视图
(16)(本小题13分)
函数()3sin 26f x x π?
?=+ ??
?的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间,212π
π??-
-????
上的最大值和最小值.
(17)(本小题14分)
如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,
AB BC ⊥,12AA AC ==,
E 、
F 分别为11A C 、BC 的中点.
(Ⅰ)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ; (Ⅱ)求证:1//C F 平面ABE ; (Ⅲ)求三棱锥E ABC -的体积.
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
(18)(本小题14分)
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率; (Ⅱ)求频率分布直方图中的a ,b 的值;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读
时间的平均数在第几组(只需写出结论)
阅读时间
频数
(19)(本小题14分)
已知椭圆C :2
2
24x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值.
(20)(本小题13分)已知函数3
()23f x x x =-. (Ⅰ)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;
(Ⅱ)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;
(Ⅲ)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论)
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文)(北京卷)答案及解析
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合{}0,1,2,4A =,{}1,2,3B =,则A
B =( )
(A ){}0,1,2,3,4 (B ){}0,4 (C ){}1,2 (D ){}3 【答案】C
【解析】因为}2,1{=B A ,所以选C.
【考点】本小题主要考查集合的基本运算,属容易题,熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键. (2)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )
(A )x
y e -= (B )y x = (C )ln y x = (D )y x = 【答案】B
【解析】对于选项A ,在R 上是减函数;选项C 的定义域为),0(+∞;选项D ,在)0,(-∞上是减函数,故选B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性,属基础题,难度不大. (3)已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( )
(A )()5,7 (B )()5,9 (C )()3,7 (D )()3,9
【答案】A
【解析】因为)8,4(2=a ,所以)7,5()1,1()8,4(2=--=-b a
,故选A. 【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题
(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )
(A )1 (B )3 (C )7 (D )15 【答案】C
【解析】当k=0时,1=S ;当k=1时,321=+=S ; 当k=2时,743=+=S ;当k=3时,输出7=S ,故选C.
【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识,难度不大,程序框图是高考新增内容,是高考的重点知识,熟练本部分的基础知识是解答的关键. (5)设a 、b 是实数,则“a b >”是“2
2
a b >”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 【答案】D
【解析】若2,0-==b a ,则2
2
b a <,故不充分;
若0,2=-=b a ,则22a b >,而b a <,故不必要,故选D.
【考点】本小题主要考查不等式的性质,熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. (6)已知函数()26
log f x x x
=
-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) (A)()0,1 (B)()1,2 (C)()2,4 (D)()4,+∞ 【答案】C
【解析】因为022
3
)4(,014)2(<-=
>-=f f ,所以由根的存在性定理可知,选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
(7)已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,
若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=,则m 的最大值为( ) (A )7 (B )6 (C )5 (D )4 【答案】B
【解析】由题意知,点P 在以原点(0,0)为圆心,以m 为半径的圆上,又因为点P 在已知圆上,所以只
要两个圆有交点即可,所以5
1=
-
m,故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力. (8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系2
p at bt c
=++(a、b、c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()
(A)3.50分钟(B)3.75分钟
(C)4.00分钟(D)4.25分钟
【答案】B
【解析】由图形可知,三点)5.0,5(
),
8.0,4(
),
7.0,3(都在函数c
bt
at
p+
+
=2的图象上,
所以
?
?
?
?
?
=
+
+
=
+
+
=
+
+
5.0
5
25
8.0
4
16
7.0
3
9
c
b
a
c
b
a
c
b
a
,解得2
,5.1
,2.0-
=
=
-
=c
b
a.
所以
16
13
)
4
15
(2.0
2
5.1
2.02
2+
-
-
=
-
+
-
=t
t
t
p,当
4
15
=
t=75
.3时,p取最大值,故选B.
【考点】本小题以实际应用为背景,主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识,考查同学们分析问题与解决问题的能力.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若()()
12
x i i i x R
+=-+∈,则x= .
【答案】2
【解析】由题意知:i
xi2
1
1+
-
=
-,所以由复数相等的定义知2
=
x
【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算,难度不大,
复数是高考的重点,年年必考,熟练复数的基础知识是解答好本类题
目的关键.
(10)设双曲线C的两个焦点为(),),一个顶点式
()
1,0,则C的方程为 .
【答案】1
2
2=
-y
x
【解析】由题意知:1
,2=
=a
c,所以1
2
2
2=
-
=a
c
b,又因为双曲
线的焦点在x轴上,所以C的方程为1
2
2=
-y
x.
【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、c
b
a,
,的关系式,考查分析问题与解决问题的能力. (11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
侧(左)视图
正(主)视图
【答案】22
【解析】由三视图可知:该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥,底面为边长为2的等边三角形,棱锥
的高为2,所以最长的棱长为22222
2=+.
【考点】本小题主要考查立体几何的三视图,考查同学们的空间想象能力,考查分析问题与解决问题的能力.
(12)在ABC ?中,1a =,2b =,1
cos 4
C =
,则c = ;sin A = . 【答案】2,
8
15 【解析】由余弦定理得:44
1
225cos 22
2
2
=?
?-=-+=C ab b a c ,故2=c ;因为8
7
222144cos =??-+=
A ,所以815sin =A . 【考点】本小题主要考查解三角形的知识,考查正弦定理,三角函数的基本关系式等基础止水,属中低档题目.
(13)若x 、y 满足1
1010y x y x y ≤??
--≤??+-≥?
,则z y =+的最小值为 .
【答案】1
【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线y x z +=3可得,当直线经过
两条直线1=y 与01=-+y x 的交点(0,1)时,z 取得最小值1.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
(14)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,
每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时,工艺师什么都不能做,所以最短交货期为4221156=++天. 【考点】本小题以实际问题为背景,主要考查逻辑思维能力,考查分析问题与解决问题的能力. 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。 (15)(本小题13分)
已知{}n a 是等差数列,满足13a =,412a =,数列{}n b 满足14b =,420b =, 且{}n n b a -为 等比数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和. (15)(共13分)
解:(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得41123
333
a a d --=
== 所以()()11312n a a n d n n =+-==,,.
设等比数列{}
n n b a -的公比为q , 由题意得344112012
843
b a q b a --=
==--,解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而()13212n n b n n -=+=,,
(Ⅱ)由⑴知()13212n n b n n -=+=,,
.
数列{}3n 的前n 项和为()312
n n +,数列{}
1
2n -的前n 项和为1212112n n -=--×.
所以,数列{}n b 的前n 项和为()3
1212
n n n ++-.
(16)(本小题13分)
函数()3sin 26f x x π?
?=+ ??
?的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间,212π
π??--????
上的最大值和最小值. (16)(共13分)
解:(Ⅰ) ()f x 的最小正周期为π
07π6
x =
. 03y =
(Ⅱ) 因为ππ212x ??∈--????,,所以π5π2066x ??
+∈-????
,.
于是当π206x +=,即π
12
x =-时,()f x 取得最大值0; 当ππ262x +
=-,即π
3
x =-时,()f x 取得最小值3-.
(17)(本小题14分)
如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,
AB BC ⊥,12AA AC ==,
E 、
F 分别为11A C 、BC 的中点.
(Ⅰ)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ; (Ⅱ)求证:1//C F 平面ABE ; (Ⅲ)求三棱锥E ABC -的体积. (17)(共14分)
解:(Ⅰ)在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥底面ABC .
所以1BB AB ⊥. 又因为AB BC ⊥. 所以AB ⊥平面11B BCC . 所以平面ABE ⊥平面11B BCC . (Ⅱ)取AB 中点G ,连结EG ,FG .
因为E ,F 分别是11A C ,BC 的中点, 所以FG AC ∥,且1
2
FG AC =
. 因为11AC AC ∥,且11AC AC =, 所以1FG EC ∥,且1FG EC =. 所以四边形1FGEC 为平行四边形. 所以1C F EG ∥.
又因为EG ?平面ABE ,1C F ?平面ABE , 所以1C F ∥平面ABE .
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
G
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
(Ⅲ)因为
12
AA AC
==,1
BC=,AB BC
⊥,
所以AB=.
所以三棱锥E ABC
-的体积
1
111
12
332
ABC
V S AA
=?=??=
△
.
(18)(本小题14分)
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210
++=名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
10
10.9
100
-=.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(Ⅱ)课外阅读时间落在组[46)
,的有17人,频率为0.17,所以
0.17
0.085
2
a===
频率
组距
.
课外阅读时间落在组[810)
,的有25人,频率为0.25,
阅读时间
频数
所以0.25
0.1252
b =
==频率组距. (Ⅲ)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. (19)(本小题14分)
已知椭圆C :2
2
24x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值. (19)(共14分)
解:(Ⅰ)由题意,椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=.
所以24a =,22b =,从而2222c a b =-=.
因此2a =
,c =C
的离心率2
c e a =
=
. (Ⅱ)设点A ,B 的坐标分别为()2t ,,()00x y ,,其中00x ≠.
因为OA OB ⊥, 所以0OA OB ?=, 即0020tx y +=,解得0
2y t x =-
. 又22
024x y +=,所以 ()()22
2002AB x t y =-+-
()2
2000022y x y x ??=++- ??
?
2
220
20
44y x y x =+++
()2
202
002
24442x x x x --=+++ ()2
20020
84042x x x =++<≤. 因为()22
00
20
84042x x x +<≥≤,且当204x =时等号成立,所以28AB ≥. 故线段AB
长度的最小值为
(20)(本小题13分)已知函数3
()23f x x x =-. (Ⅰ)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;
(Ⅱ)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;
(Ⅲ)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论) (20)(共13分)
解:(Ⅰ) 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.
令()0f x '=,得x =或x =
因为()210f -=-,2f ?-= ??
()112f f ?==- ??
所以()f x 在区间[]21-,上的最大值为2f ?-= ??
(Ⅱ) 设过点()1P t ,的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ,,
则300
023y x x =-,且切线斜率为2
063k x =-, 所以切线方程为()2
0063y y x -=-()0
x x -,
因此()
()2000631t y x x -=-- . 整理得32
04630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++,
则“过点()1P t ,存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.
()g x 与()g x '的情况如下:
)
所以,g 当(0)30g t =+≤,即3t -≤时,此时()g x 在区间(]1-∞,和(1)+∞,上分别至多有1个零点,所以()g x 至多有2个零点.
当(1)10g t =+≥,即1t -≥时,此时()g x 在区间(0)-∞,和[)0+∞,上分别至多有1个零点,所以()g x 至多有2个零点.
当()00g >且()10g <,即31t -<<-时,因为()()1702110g t g t -=-<=+>,,所以()g x 分
别在区间[)10-,,[)01,
和[)12,上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞,和()1+∞,上单调,所以()g x 分别在区间()0-∞,和[)1-∞,上恰有1个零点.
综上可知,当过点()1P t ,存在3条直线与曲线()y f x =相切时,t 的取值范围是()31--, .
(Ⅲ) 过点()12A -, 存在3条直线与曲线()y f x =相切;
过点()210B ,
存在2条直线与曲线()y f x =相切; 过点()02C , 存在1条直线与曲线()y f x =相切.: