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2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)

2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)
2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(文)(北京卷)

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合{}0,1,2,4A =,{}1,2,3B =,则A

B =( )

(A ){}0,1,2,3,4 (B ){}0,4 (C ){}1,2 (D ){}3 (2)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )

(A )x

y e -= (B )y x = (C )ln y x = (D )y x = (3)已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( )

(A )()5,7 (B )()5,9 (C )()3,7 (D )()3,9 (4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )

(A )1 (B )3 (C )7 (D )15

(5)设a 、b 是实数,则“a b >”是“22a b >”的( )

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 (6)已知函数()26

log f x x x

=

-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( )

(A)()0,1 (B)()1,2 (C)()2,4 (D)()4,+∞

(7)已知圆()()2

2

:341C x y -+-=和两点(),0A m -,

()(),00B m m >,

若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=,则m 的最大值为( ) (A )7 (B )6 (C )5 (D )4 (8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足的函数关系2p at bt c =++(a 、b 、c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根

据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) (A )3.50分钟 (B )3.75分钟

(C )4.00分钟 (D )4.25分钟

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 (9)若()()12x i i i x R +=-+∈,则x = . (10)设双曲线C

的两个焦点为()

)

,一个顶点式()1,0,则C 的方程为 .

(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .

(12)在ABC ?中,1a =,2b =,1

cos 4

C =

,则c = ;sin A = .

(13)若x 、y 满足11010y x y x y ≤??

--≤??+-≥?

,则z y =+的最小值

为 .

(14)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,

每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:

则最短交货期为 工作日.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。 (15)(本小题13分)

已知{}n a 是等差数列,满足13a =,412a =,数列{}n b 满足14b =,420b =, 且{}n n b a -为 等比数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.

侧(左)视图

正(主)视图

(16)(本小题13分)

函数()3sin 26f x x π?

?=+ ??

?的部分图象如图所示.

(Ⅰ)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间,212π

π??-

-????

上的最大值和最小值.

(17)(本小题14分)

如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,

AB BC ⊥,12AA AC ==,

E 、

F 分别为11A C 、BC 的中点.

(Ⅰ)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ; (Ⅱ)求证:1//C F 平面ABE ; (Ⅲ)求三棱锥E ABC -的体积.

C 1

B 1

A 1

F

E C

B

A

(18)(本小题14分)

从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率; (Ⅱ)求频率分布直方图中的a ,b 的值;

(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读

时间的平均数在第几组(只需写出结论)

阅读时间

频数

(19)(本小题14分)

已知椭圆C :2

2

24x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值.

(20)(本小题13分)已知函数3

()23f x x x =-. (Ⅰ)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;

(Ⅱ)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;

(Ⅲ)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论)

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(文)(北京卷)答案及解析

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合{}0,1,2,4A =,{}1,2,3B =,则A

B =( )

(A ){}0,1,2,3,4 (B ){}0,4 (C ){}1,2 (D ){}3 【答案】C

【解析】因为}2,1{=B A ,所以选C.

【考点】本小题主要考查集合的基本运算,属容易题,熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键. (2)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )

(A )x

y e -= (B )y x = (C )ln y x = (D )y x = 【答案】B

【解析】对于选项A ,在R 上是减函数;选项C 的定义域为),0(+∞;选项D ,在)0,(-∞上是减函数,故选B.

【考点】本小题主要考查函数的单调性,属基础题,难度不大. (3)已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( )

(A )()5,7 (B )()5,9 (C )()3,7 (D )()3,9

【答案】A

【解析】因为)8,4(2=a ,所以)7,5()1,1()8,4(2=--=-b a

,故选A. 【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题

(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )

(A )1 (B )3 (C )7 (D )15 【答案】C

【解析】当k=0时,1=S ;当k=1时,321=+=S ; 当k=2时,743=+=S ;当k=3时,输出7=S ,故选C.

【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识,难度不大,程序框图是高考新增内容,是高考的重点知识,熟练本部分的基础知识是解答的关键. (5)设a 、b 是实数,则“a b >”是“2

2

a b >”的( )

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 【答案】D

【解析】若2,0-==b a ,则2

2

b a <,故不充分;

若0,2=-=b a ,则22a b >,而b a <,故不必要,故选D.

【考点】本小题主要考查不等式的性质,熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. (6)已知函数()26

log f x x x

=

-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) (A)()0,1 (B)()1,2 (C)()2,4 (D)()4,+∞ 【答案】C

【解析】因为022

3

)4(,014)2(<-=

>-=f f ,所以由根的存在性定理可知,选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

(7)已知圆()()2

2

:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,

若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=,则m 的最大值为( ) (A )7 (B )6 (C )5 (D )4 【答案】B

【解析】由题意知,点P 在以原点(0,0)为圆心,以m 为半径的圆上,又因为点P 在已知圆上,所以只

要两个圆有交点即可,所以5

1=

-

m,故选B.

【考点】本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力. (8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系2

p at bt c

=++(a、b、c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()

(A)3.50分钟(B)3.75分钟

(C)4.00分钟(D)4.25分钟

【答案】B

【解析】由图形可知,三点)5.0,5(

),

8.0,4(

),

7.0,3(都在函数c

bt

at

p+

+

=2的图象上,

所以

?

?

?

?

?

=

+

+

=

+

+

=

+

+

5.0

5

25

8.0

4

16

7.0

3

9

c

b

a

c

b

a

c

b

a

,解得2

,5.1

,2.0-

=

=

-

=c

b

a.

所以

16

13

)

4

15

(2.0

2

5.1

2.02

2+

-

-

=

-

+

-

=t

t

t

p,当

4

15

=

t=75

.3时,p取最大值,故选B.

【考点】本小题以实际应用为背景,主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识,考查同学们分析问题与解决问题的能力.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)若()()

12

x i i i x R

+=-+∈,则x= .

【答案】2

【解析】由题意知:i

xi2

1

1+

-

=

-,所以由复数相等的定义知2

=

x

【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算,难度不大,

复数是高考的重点,年年必考,熟练复数的基础知识是解答好本类题

目的关键.

(10)设双曲线C的两个焦点为(),),一个顶点式

()

1,0,则C的方程为 .

【答案】1

2

2=

-y

x

【解析】由题意知:1

,2=

=a

c,所以1

2

2

2=

-

=a

c

b,又因为双曲

线的焦点在x轴上,所以C的方程为1

2

2=

-y

x.

【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、c

b

a,

,的关系式,考查分析问题与解决问题的能力. (11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .

侧(左)视图

正(主)视图

【答案】22

【解析】由三视图可知:该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥,底面为边长为2的等边三角形,棱锥

的高为2,所以最长的棱长为22222

2=+.

【考点】本小题主要考查立体几何的三视图,考查同学们的空间想象能力,考查分析问题与解决问题的能力.

(12)在ABC ?中,1a =,2b =,1

cos 4

C =

,则c = ;sin A = . 【答案】2,

8

15 【解析】由余弦定理得:44

1

225cos 22

2

2

=?

?-=-+=C ab b a c ,故2=c ;因为8

7

222144cos =??-+=

A ,所以815sin =A . 【考点】本小题主要考查解三角形的知识,考查正弦定理,三角函数的基本关系式等基础止水,属中低档题目.

(13)若x 、y 满足1

1010y x y x y ≤??

--≤??+-≥?

,则z y =+的最小值为 .

【答案】1

【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线y x z +=3可得,当直线经过

两条直线1=y 与01=-+y x 的交点(0,1)时,z 取得最小值1.

【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.

(14)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,

每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:

则最短交货期为 工作日.

【答案】42

【解析】因为第一件进行粗加工时,工艺师什么都不能做,所以最短交货期为4221156=++天. 【考点】本小题以实际问题为背景,主要考查逻辑思维能力,考查分析问题与解决问题的能力. 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。 (15)(本小题13分)

已知{}n a 是等差数列,满足13a =,412a =,数列{}n b 满足14b =,420b =, 且{}n n b a -为 等比数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和. (15)(共13分)

解:(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得41123

333

a a d --=

== 所以()()11312n a a n d n n =+-==,,.

设等比数列{}

n n b a -的公比为q , 由题意得344112012

843

b a q b a --=

==--,解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而()13212n n b n n -=+=,,

(Ⅱ)由⑴知()13212n n b n n -=+=,,

数列{}3n 的前n 项和为()312

n n +,数列{}

1

2n -的前n 项和为1212112n n -=--×.

所以,数列{}n b 的前n 项和为()3

1212

n n n ++-.

(16)(本小题13分)

函数()3sin 26f x x π?

?=+ ??

?的部分图象如图所示.

(Ⅰ)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间,212π

π??--????

上的最大值和最小值. (16)(共13分)

解:(Ⅰ) ()f x 的最小正周期为π

07π6

x =

. 03y =

(Ⅱ) 因为ππ212x ??∈--????,,所以π5π2066x ??

+∈-????

,.

于是当π206x +=,即π

12

x =-时,()f x 取得最大值0; 当ππ262x +

=-,即π

3

x =-时,()f x 取得最小值3-.

(17)(本小题14分)

如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,

AB BC ⊥,12AA AC ==,

E 、

F 分别为11A C 、BC 的中点.

(Ⅰ)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ; (Ⅱ)求证:1//C F 平面ABE ; (Ⅲ)求三棱锥E ABC -的体积. (17)(共14分)

解:(Ⅰ)在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥底面ABC .

所以1BB AB ⊥. 又因为AB BC ⊥. 所以AB ⊥平面11B BCC . 所以平面ABE ⊥平面11B BCC . (Ⅱ)取AB 中点G ,连结EG ,FG .

因为E ,F 分别是11A C ,BC 的中点, 所以FG AC ∥,且1

2

FG AC =

. 因为11AC AC ∥,且11AC AC =, 所以1FG EC ∥,且1FG EC =. 所以四边形1FGEC 为平行四边形. 所以1C F EG ∥.

又因为EG ?平面ABE ,1C F ?平面ABE , 所以1C F ∥平面ABE .

C 1

B 1

A 1

F

E C

B

A

G

C 1

B 1

A 1

F

E C

B

A

(Ⅲ)因为

12

AA AC

==,1

BC=,AB BC

⊥,

所以AB=.

所以三棱锥E ABC

-的体积

1

111

12

332

ABC

V S AA

=?=??=

(18)(本小题14分)

从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;

(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;

(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)

(18)(共13分)

解:(Ⅰ)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210

++=名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是

10

10.9

100

-=.

从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

(Ⅱ)课外阅读时间落在组[46)

,的有17人,频率为0.17,所以

0.17

0.085

2

a===

频率

组距

课外阅读时间落在组[810)

,的有25人,频率为0.25,

阅读时间

频数

所以0.25

0.1252

b =

==频率组距. (Ⅲ)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. (19)(本小题14分)

已知椭圆C :2

2

24x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)设O 为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值. (19)(共14分)

解:(Ⅰ)由题意,椭圆C 的标准方程为22

142

x y +=.

所以24a =,22b =,从而2222c a b =-=.

因此2a =

,c =C

的离心率2

c e a =

=

. (Ⅱ)设点A ,B 的坐标分别为()2t ,,()00x y ,,其中00x ≠.

因为OA OB ⊥, 所以0OA OB ?=, 即0020tx y +=,解得0

2y t x =-

. 又22

024x y +=,所以 ()()22

2002AB x t y =-+-

()2

2000022y x y x ??=++- ??

?

2

220

20

44y x y x =+++

()2

202

002

24442x x x x --=+++ ()2

20020

84042x x x =++<≤. 因为()22

00

20

84042x x x +<≥≤,且当204x =时等号成立,所以28AB ≥. 故线段AB

长度的最小值为

(20)(本小题13分)已知函数3

()23f x x x =-. (Ⅰ)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;

(Ⅱ)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;

(Ⅲ)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论) (20)(共13分)

解:(Ⅰ) 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.

令()0f x '=,得x =或x =

因为()210f -=-,2f ?-= ??

()112f f ?==- ??

所以()f x 在区间[]21-,上的最大值为2f ?-= ??

(Ⅱ) 设过点()1P t ,的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ,,

则300

023y x x =-,且切线斜率为2

063k x =-, 所以切线方程为()2

0063y y x -=-()0

x x -,

因此()

()2000631t y x x -=-- . 整理得32

04630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++,

则“过点()1P t ,存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.

()g x 与()g x '的情况如下:

)

所以,g 当(0)30g t =+≤,即3t -≤时,此时()g x 在区间(]1-∞,和(1)+∞,上分别至多有1个零点,所以()g x 至多有2个零点.

当(1)10g t =+≥,即1t -≥时,此时()g x 在区间(0)-∞,和[)0+∞,上分别至多有1个零点,所以()g x 至多有2个零点.

当()00g >且()10g <,即31t -<<-时,因为()()1702110g t g t -=-<=+>,,所以()g x 分

别在区间[)10-,,[)01,

和[)12,上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞,和()1+∞,上单调,所以()g x 分别在区间()0-∞,和[)1-∞,上恰有1个零点.

综上可知,当过点()1P t ,存在3条直线与曲线()y f x =相切时,t 的取值范围是()31--, .

(Ⅲ) 过点()12A -, 存在3条直线与曲线()y f x =相切;

过点()210B ,

存在2条直线与曲线()y f x =相切; 过点()02C , 存在1条直线与曲线()y f x =相切.:

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