3概率分布与数学期望

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1037

[中国高考数学母题](第265号)

概率分布与数学期望

离散型随机变量的分布列和数学期望具有递进关系,若分布列已知,可利用定义直接求数学期望;数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平,其中,二项分布和正态分布是两个典型分布.

[母题结构]:(Ⅰ)分布列:如果离散型随机变量ξ所有可能的取值

为:x 1,x 2,x 3,…,x n ,且ξ取值x i 时的概率为p i ,即P(ξ=x i )=p i (i=1,2,3,…,n),

则称右表为随机变量ξ的分布列;

(Ⅱ)数学期望:称x 1p 1+x 2p 2+x 3p 3…+x n p n 为ξ的数学期望,记为E ξ;

[母题解析]:略.

1.解题程序

子题类型Ⅰ:(2016年天津高考试题)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

(Ⅰ)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;

(Ⅱ)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.

[解析]:(Ⅰ)从10人中选出2人的选法共有C 102=45种,参加次数的和为4,情况有:①1人参加

1次,另1人参加3次;②2人都参加2次,共有C 31C 41+C 22=15种?P(A)=31;

(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2;P(X=0)=21024

2323C C C C ++=154,P(X=1)=210

14131313C C C C C +=157?P(X=2)=154?X 的分布列为?EX=1. [点评]:解答离散型随机变量数学期望问题的关键有:①确定离散型随机变量的取值集合;②确定每个离散型随机变量的值k 对应的事件A k ;③用已知事件表示待求的事件A k .

[同类试题]:

1.(2006年全国Ⅱ高考试题)某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验,设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.

(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;

(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝购买的概率.

2.(2007年安徽高考试题)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了2两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔,以ξ表示笼子内还剩下的果蝇的只数.

(Ⅰ)写出ξ的分布列; (Ⅱ)求数学期望E ξ; (Ⅲ)求概率P(ξ≥E ξ).

2.取值集合

子题类型Ⅱ:(2012年浙江高考试题)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出此3球所得分数之和. (Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E(X). [解析]:(Ⅰ)由a,b,c ∈{1,2}?X=a+b+c=3,4,5,6?X 的取值集合是{3,4,5,6},P(ξ=3)=3935C C =425,P(ξ=4)=39

1425C C C = 2110,P(ξ=5)=392415

C C C =145,P(ξ=6)=393

4C C =211?X 的分布列为: (Ⅱ)E(X)=3×425+4×2110+5×145+6×211=3

13.

[点评]:求离散型随机变量X 的取值集合:首先要分析随机变量X 是哪个或哪些基本变量的函数F,然后,由基本变量的取 1038 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 值集合,确定函数F 的值域(基本变量所有可能的取值情况),即得随机变量X 的取值集合.

[同类试题]:

3.(2008年辽宁高考试题)某地批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;

(Ⅱ)己知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:

千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.

4.(2009年安徽高考试题)某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区.B 肯定是受A 感染,对于C,因为难以断定他是受A 还是受B 感染的,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是

21.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是31

.在这种假定之下,B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量.写出X 的分布列(不要求写出计

算过程),并求X 的均值(即数学期望).

3.对应事件

子题类型Ⅲ:(2012年安徽高考试题)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n+m 道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量.(Ⅰ)求X=n+2的概率; (Ⅱ)设m=n,求X 的分布列和均值(数学期望).

[解析]:设两次调题调用A 类试题的事件分别为M,N;(Ⅰ)X=n+2表示两次调题均为A 类型试题?P(X=n+2)=P(MN)=P(M) P(N)=11n m n

C C +?1211+++n m n C C =)

2)(()1(++++n m n m n n ; (Ⅱ)当m=n 时,P(M)=11n m n C C +=21,P(N)=1211+++n m n C C =11n m n C C +=2

1,X 的取值集合为{n,n+1,n+2}; P(X=n)=P(M N )=41,P(X=n+1)=P(M N +M N)=21,P(X=n+2)=P(MN)=41?X 的分布列为:EX=n+0×41+1×21+2×4

1=n+1.

(完整word版)常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

61随机变量的概率分布、期望与方差1

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列

常见分布的期望和方差

常见分布得期望与方差 ?概率与数理统计重点摘要 1、正态分布得计算:。 2、随机变量函数得概率密度:就是服从某种分布得随机变量,求得概率密度:。(参见P66～72) 3、分布函数具有以下基本性质: ⑴、就是变量x,y得非降函数; ⑵、,对于任意固定得ｘ,y有:; ⑶、关于x右连续,关于y右连续; ⑷、对于任意得,有下述不等式成立: ４、一个重要得分布函数:得概率密度为: ５、二维随机变量得边缘分布: 边缘概率密度: 边缘分布函数:二维正态分布得边缘分布为一维正态分布、 6、随机变量得独立性:若则称随机变量Ｘ,Y相互独立、简称X与Y独立。 7、两个独立随机变量之与得概率密度:其中Z=X+Y

8、两个独立正态随机变量得线性组合仍服从正态分布,即。 9、期望得性质:……(３)、;(4)、若X,Y 相互独立,则。 10、方差: 。 若X,Y 不相关,则,否则, 11、协方差:,若Ｘ,Y 独立,则,此时称:X 与Y 不相关。 1２、相关系数:,,当且仅当X 与Ｙ存在线性关系时,且 13、k 阶原点矩:,k 阶中心矩:。 1４、切比雪夫不等式:{} {}2 2 () () (),()1D X D X P X E X P X E X εεε ε -≥≤ -<≤- 或、贝努利大数定律:。 15、独立同分布序列得切比雪夫大数定律:因,所以。 1６、独立同分布序列得中心极限定理: (1)、当n 充分大时,独立同分布得随机变量之与得分布近似于正态分布。 (2)、对于得平均值,有,,即独立同分布得随机变量得均值当n 充分大时,近似服从正态分布、 (３)、由上可知:{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞ <≤=Φ-Φ?<≤≈Φ-Φ。 1７、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设ｍ就是ｎ次独立重复试验中事件A 发生得次数,p 就是事件A 发生得概率,则对任意, , 其中。 (1)、当n 充分大时,m 近似服从正态分布,。 (2)、当ｎ充分大时,近似服从正态分布,。 １８、参数得矩估计与似然估计:(参见P ２00) 19 20、关于正态总值均值及方差得假设检验,参见Ｐ243与P ２48。

概率分布与数学期望

概率分布与数学期望

例谈离数型随机变量概率分布与数学期望 数学期望=每个个数X每个它的概率，再相加从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。 一、定义法求解概率分布与数学期望 定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。 可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。

例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1 ；从袋中任意摸出2个球，得到黑球的概率是2 5 ． 个球，至少得到1个白球的概率是7 9 （1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ． （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1 ．并指出袋中哪种颜色的个黑球的概率不大于7 10 球个数最少． 分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。 解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球7，设其中有X个白球，我们将至少得到的概率为 9 7，又∵P（A）一个白球的事件为A，则P（A）= 9

概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析

白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布

概率分布以及期望及方差.docx

概率分布以及期望和方差 上课时间 : 上课教师： 上课重点 : 掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布 及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一两点分布 知识内容 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X10 P p q 其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布． X 10 P 0.80.2 两点分布又称 0 1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试 验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 典例分析 ，针尖向上； 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令X1，如果针尖向上的 ，针尖向下 . 概率为 p ，试写出随机变量 X 的概率分布． 2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的

，当取到白球时， 白球个数”，即 X ，当取到红球时， ，求随机变量 X 的概率分布． 3、若随机变量 X 的概率分布如下： X 1 P 2 3 8C 9C C 试求出 C ，并写出 X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 ) 1, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数 ) 试写出随机变量 的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得 1 分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命 中率的概率为 P ． ⑴ 记投篮 1次得分 X ，求方差 D ( X ) 的最大值； ⑵ 当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投 3 次篮，求所得总分 Y 的分布列及 Y 的期望与方差． 二 超几何分布

常见分布的期望和方差

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5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

第十章 统计与概率10-9离散型随机变量的期望、方差与正态分布(理

第10章 第9节 一、选择题 1．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 [答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B. 2．设随机变量ξ的分布列如下： 其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1 3，则D (ξ)＝( ) A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D [解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×????－1－132＋13????0－132＋12????1－132＝5 9 . 3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( ) A ．100人 B ．125人 C ．150人

[答案] C [解析] 由条件知，P (ξ>620)＝P (ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4．(2010·山东济南模拟)下列判断错误的是( ) A ．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的； B ．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本； C ．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布； D ．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”． [答案] D 5．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6 7 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．2 [答案] A [解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2 C 72＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x ) 21， P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1) 42， ∴0× (7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝6 7 ， ∴x ＝3. 6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( ) A ．39元 B ．37元

数学期望与分布列专题

离散型随机变量的数学期望 称E(X)= 切七+…曲+…7竹为随机变帚K 的均 侑或数学期犁,它反映了离散型随机变最取值的士均 水平. A.丄 B. 1 C. — D.— 18 9 9 20 鱸析由分布列的件质， 可得2x+3x+7x+2x+3r^x=l f 几芹=/. A E(X)=0X2xHX 3E 2 X 7x+3 X 2工+4 X 3JT +5JC 20 =40x= — 9 2.已知某一随机变量占的槪率分布列如F, M 日门= 电3, !(|陆的值为 (C ) J B.6 C. 7 D.B 解析 由分布列性虞知，0?&+O.1+U 0. 4. :? E? 4X0.5+aX0. 1+9X0, 4-6,3, :,a-l. 某中学组建了 A 、B 、C 、D 、E 五个不同 的社团组织，为培养学生的兴趣爱好 必须参加，且只能参加一个社团 ?假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是 ,要求每个学生

等可能的. (1) 求甲、乙、丙三名学生参加五个社团 的所有选法种数; (2) 求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率； (3) 设随机变量E为甲、乙、丙这三名学生参加A社 团的人数，求E的分布列与数学期望. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品,从中任取3件，若E表示取到次品的个 数 E(E )=_ 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量E 选出的志 表示愿者中女生的人数，则数学期望E(E)=_ 袋中有相同的5个球，其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当 两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量E为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量E的概率分布列； (2)随机变量E的数学期望与方差

概率、期望与方差的计算和性质

概率与统计 知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型； 1、 古典概型的基本特点： （1） 基本事件数有限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 事件所包含的基本事件数 总的基本事件数 ; 类型二：几何概型； 1、 几何概型的基本特点： （1） 基本事件数有无限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 构成事件的区域长度（或面积或体积或角度） 总的区域长度（或面积或体积或角度） ； 注意： （1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如 果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比； （2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪 一个是等可能的； 例如：等腰ABC ?中，角C= 23 π ，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求 使得AM AC ≤的概率； 解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度 之比，所求概率： 13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755 = =1208 P ?； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ?（积事件） ：表示A 、B 两个事件同时发生； A （对立事件） ：表示事件A 的对立事件；

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ σ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞ +∞-∞==? ? 边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞ -∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=???? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差

离散型随机变量的数学期望和方差 知识点 一、离散型随机变量的数学期望 1.定义 一般地，如果离散型随机变量的分布列为 则称n n i i p x p x p x p x X E +++++=ΛΛ2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。 2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。 3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义 一般地，如果离散型随机变量的分布列为 则称∑=-= n i i i p X E x X D 1 2 )) (()(为随机变量的方差。 2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。 3.性质：)()(2 X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差 如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。

题型一离散型随机变量的均值 【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝() A.0.2 C．－0.2 D．0.4 【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为() A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________． 【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题21 概率分布与数学期望-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘

高考冲刺 提分必备 2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析 专题21 概率分布与数学期望 【真题感悟】 1、【2019年江苏,23】在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =?， {(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两 个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 （1）当1n =时，X 的所有可能取值是12 X 的概率分布为22667744 (1),(C 15C 15 P X P X == ====， 22662222 (2),(C 15C 15 P X P X == ====． （2）设()A a b ， 和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法； ②若01b d ==，， 则AB =≤所以X n > 当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==， ，有2种取法； ③若02b d ==， ，则AB ≤3n ≥ n ≤，所以X n >当 且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，， 则AB =≤所以X n > 当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==， ，有2种取法．

概率分布与数学期望

例谈离数型随机变量概率分布与数学期望 数学期望=每个个数X 每个它的概率，再相加 从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。 一、定义法求解概率分布与数学期望 定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。 可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。 例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79 ． （1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 7 10 ．并指出袋中哪种颜色的球个数最少． 分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。 解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球的概率为 9 7 ，设其中有X 个白球，我们将至少得到一个白球的事件为A ，则P （A ）=97 ，又∵P （A ）=972102 1 1 10=+C C C C x x ，∴ 97 2 10 2 1 1 10=+C C C C x x ，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。 （2）记从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ的事件为B ，则P （B i ）=P(ξ=i) i =0,1,2,3 则P （ξ=o ）=12131035=C C ，P （ξ=1）=125 3102 515=C C C ， P （ξ=2）=1053101 52 5=C C C ，P （ξ=3）=1213 10 3 102 5=C C C

专题21 概率分布与数学期望-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)

专题21 概率分布与数学期望 【真题感悟】 1、【2019年江苏,23】在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =?， {(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2), ,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n n n n M A B C =.从集合M n 中任取两 个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 （1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，． X 的概率分布为22667744 (1),(2)C 15C 15 P X P X == ====， 22662222 (2),(5)C 15C 15 P X P X == ====． （2）设()A a b ， 和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法； ②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+， 所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==， ，有2种取法； ③若02b d ==， ，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+， 所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==， ，有2种取法． 综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且 2222 24 24 42 (1),(4)C C n n P X n P X n ++=+= =+= ．

高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc

2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差 1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生 在面试时得分的期望值为分． 2．随机变量ξ服从二项分 布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于． 3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ． 4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随 机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下： ξ﹣1 0 1 P a b c 其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是． 6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y= ． ξ 1 2 3 P X y x 7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ． 8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是． 9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲 袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机 抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ． 10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得 分的期望是分． 11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是． X ﹣ 1 0 1 P a c

常见分布的期望和方差78835

常见分布的期望和方差 5

5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

概率论分布列期望方差习题及答案

圆梦教育离散型随机变量的分布列、期望、方差专题 姓名：__________班级：__________学号：__________ 1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望. 2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数； (2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率． 3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为，出现“×”的概率为.若第次出现“○”，则a=1；出现“×”，则a=.令S=a+a+…+a. (1)当时，求S2的概率；(2)当，时，求S=2且S≥0(i=1,2,3,4)的概率.

4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表： 当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为，且各个问题回答正确与否互不影响． （Ⅰ）按照答题规则，求该选手回答正确但所得奖金为零的概率； （Ⅱ）设该选手所获奖金总数为，求的分布列与数学期望． 5．某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。每套系统都由三种电子模块T1,T2,T3组成（如图所示已知T1,T2,T3正常工作的概率都是，且T1,T2,T3能否正常工作相互独立.(注：对每一套系统或每一种电子模块而言,只要有电流通过就能正常工作.) (I )分别求系统M,N正常工作的概率； (II)设该装I中两套系统正常工作的套数为，求的分布列和期望.

数学期望和概率

数学期望 2017：（12分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 经 计 算 得 ， ，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数 作为的估计值，用样本标准差作为的估计 值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则 ， 2(,)N μσ(3,3)μσμσ-+(1)P X ≥X (3,3)μσμσ-+1 9.97 16i i x x ===∑0.212s ==≈i x i 1,2,,16i =???x μ?μs σ?σ????(3,3)μσμσ-+μσZ 2(,)N μσ(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=

． 2016：选择题第4题：某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）（B ）（C ）（D ） （12分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列； （II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值； （III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 2015：选择题第4题：．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是 160.997 40.959 2=0.09≈13122334

概率分布期望方差(大全)

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X=0）= 33 A 2= 3 1 ； P （X=1）= 33 13A C = 21；P （X=3）=33 A 1 =61； ∴随机变量X 的分布列为 （2）E （X ）=1×21+3×6 1 =1. D （X ）=(1-0)2 · 31+(1-1)2·21+(3-1)2 ·6 1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的均值. 解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P （X=0）=3 109?? ? ??=0001729； P （X=10）=101×2 109??? ??+10 9×12C × 101×109=0001243; P(X=20)= 101×12C × 10 1×109=000118; P(X=50)=109 ×210 1=00019; P(X=60)= 3 101 = 000 11 . 故X 的分布列为

（2）E （X ）=0× 0001729+10×0001243+20×000 118+50×00019+60×00011 =3.3(元). 3（本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优 等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产 品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。 解：（1） 98 7,573514 =?=，即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的 优等品2,5 故乙厂生产有大约2 35145 ? =（件）优等品， （3）ξ的取值为0， 1，2。 211 23323222 555331 (0),(1),(2)10510 C C C C P P P C C C ξξξ?========= 所以ξ的分布列为