广东省揭阳一中11-12学年高二上学期期中考试 数学(理)
2011——2012学年度揭阳一中 高二级第一学期期中考试 数学科（理）试卷
一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）
1、关于x 的不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集是(－12, 1
3)，则a ＋b 的值是( )
A ． －14
B ． －10
C ．14
D ．10 2. 数列
{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为 （ ）
A ．21n a n =-
B ．32n n a =-
C ．21n
n a =- D ．321-=+n n
a
3. 在ABC ?中，5=a ，7=c ，?
=120C ,则三角形的面积为（ ）
A. 215
B. 415
C. 4315
D. 2315
4. 函数
4
(1)1y x x x =+
>-的最小值是 （ ）
A ． 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是 （ ）
A ．0b a ->
B ．330a b +<
C ．22
0a b -< D. 0b a +>
6．若函数y ＝ax2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个不同交点，则点(a ，b)在aOb 平面上的区域(不含边界)为(
)
7．右边给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列成等差数列；从第三行起，每一行 1
4 的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 12 1
4 i 行第j 列的数为(,,)ij a i j i j N +
≥∈，则 34 38 3
16
83a ＝ （ ）
A ．18
B ．14
C ．1
2 D ． 1
8.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且)(1*
+∈-=N n a a b n n n ，若23
-=b ，1210=b ，则
=8a （ ）
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11 二、填空题（共6小题，每小题5分）
9. 不等式3
1
<+x x 的解集为 . 10.设数列{
}n n ?--1
)1(的前n 项和为n S ，则=2009S .
11.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，5
,3
==
b C π
，ABC ?的面积为310.
则=a ，=c .
12.设变量x y ，满足约束条件
1
42x y x y y --??
+???
≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为 .
13．已知ABC ? 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面 积为_______________ . 14.已知等比数列{}
n a 满足
0,1,2,n a n >=
，且
25252(3)
n n a a n -?=≥，
则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++=
.
三、解答题（共6小题） 15．（本小题12分）设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a ＝24，011=S ．
(1) 求数列{
n a }的通项公式；
（2）当n 为何值时，
n S 最大，并求n S 的最大值．
16.（本小题12分）二次函数)(x f 满足1)1(,1)2(-=--=-f f ，且)(x f 的最大值是8，
（1）求)(x f ； （2）求不等式
732)3108(35)(2
2-++-->m x m x x f )(R m ∈的解集. 17. （本小题14分）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),(b a m = ，
(sin ,sin )n B A = ，).2,2(--=a b p
（1）若m //n
，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2）若m ⊥p
，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积
18．（本小题14分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
19．（本小题14分）数列{}n a 的通项是关于x 的不等式
)(2*
∈<-N n nx x x 的解集中整数的个数， )(12111)(*∈++++++=
N n n a a a n f n n n .
（1）求数列
{}n a 的通项公式； （2）当*∈N n 时，判断)(n f 的单调性，并证明；
（3）是否存在实数a 使不等式
32
)1(log 121)(+->
a n f a 对一切大于1的自然数n 恒成立，
若存在，试确定a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
20.（本小题14分）已知点（1，31
）是函数
,0()(>=a a x f x
且1≠a ）的图象上一点，等比数列
}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －
1
-n S =
n
S +
1
-n S （2n ≥）.
（1）求数列
}
{n a 和
}
{n b 的通项公式；
（2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问
10002009n T >的最小正整数n 是多少? . （3）设
,
2n n
n a b c =
求数列{}n c 的前n 项和n P
2011——2012学年度揭阳一中
高二级第一学期期中考试数学科（理）答案 一、选择题 ACCB DCCB 二、填空题
9. ??
????
><210|x x x 或 10. 1005 11. 8 ， 7 12. 13
13. 315 14. 2
n
三、解答题
15解：（1）依题意有?????=?+=+0210
111124211d a d a ，解之得???-==8401d a ，∴n a n
848-=. （2）由（1）知，
1a ＝40，n a n 848-=，
∴ n S ＝1()(40488)22n a a n n n
++-=＝2444n n -+＝－42
112n ??- ??
?＋121， 故当5=n 或6=n 时，
n S 最大，且n S 的最大值为120.
16解：（1）设
)0()(2
≠++=a c bx ax x f 1)1(,1)2(-=--=-f f ，且)(x f 的最大值是8，
?????????=--=+--=+-<∴8441
1240
2a b ac c b a c b a a 解得?????-=-=-=73108
36c b a
7310836)(2---=∴x x x f （2）由（1）知不等式
732)3108(35)(2
2-++-->m x m x x f 等价于 >---73108362x x 732)3108(352
2-++--m x m x
即0232
2
<+-m m x x 即0)2)((<--m x m x
当0=m 时，所求不等式的解集为空集；
当0>m 时，所求不等式的解集为{}m x m m 2|<<； 当0 17解：（1）证明：m ∥n ， ,sin sin B b A a =∴由正弦定理， 得 22a b a b R R ? =?，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，∴a b = ABC ∴?为等腰三角形 （2）解：m ⊥p ， ∴0=?p m ，即0)2()2(=-+-a b b a a b ab ∴+= 又由余弦定理可知，C ab b a c cos 22 2 2 -+= 即2224()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去 21世纪∴ 33sin 421sin 21=??== π C ab S 18.解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ， 则P=6x+8y ， 约束条件为 ?????? ?∈∈≥≥≤+≤+N y N x y x y x y x ,0,01101053002030 可行域如图所示 y x P 86+=可化为P x y 8143+-=，可看作一组斜率为43 - 的直线， 由图知直线y=－34x+1 8P 过点M 时，纵截距最大这时P 也取最大值， 由? ? ?=+=+1101053002030y x y x 解得)9,4(M ∴Pmax=6×4+8×9=96（百元） 故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元 19解：（1）因为)(2*∈<-N n nx x x 所以 0)1(2 <+-x n x 解得10+< n a n = （2） 因为 n a n = 则 n n n n n f 21312111)(+++++++= ∴ 221 121213121)1(+++++++++= +n n n n n n f ∴ 0221 12111221121)()1(>+-+=+-+++= -+n n n n n n f n f 所以)(n f 在*N 上单调递增 （3）由（2）知当1>n 时)(n f 的最小值为 127 )2(= f ， 若存在实数a 使不等式 32)1(log 121)(+-> a n f a 对一切大于1的自然数n 恒成立， 则有32 )1(log 12 1127+ ->a a 即01)1(log <+-a a 解得2511+< 2511+<