高中数学复数讲义.教师版教程文件
高中数学复数讲义.教
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一、复数的概念
1． 虚数单位i:
（1）它的平方等于1-，即21i =-；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
（3）i 与－1的关系:
i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：
41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．
2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)
i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =??
+=??+≠??
+≠??
实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：
形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:
通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．
5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当
0a b ==时，z 就是实数0
知识内容
复数
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R
C 苘苘
7． 两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =
二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴：
复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，
是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，
，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．
复数z a bi =+←???→一一对应
复平面内的点()Z a b ，
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
三、复数的四则运算
1． 复数1z 与2z 的和的定义：
12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++
2． 复数1z 与2z 的差的定义：
12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-
3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+
4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：
设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：
（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ??=?? （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：
满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bi
c di
++ 8． 除法运算规则：
设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+
由复数相等定义可知cx dy a dx cy b
-=??+=?，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad
y c d +?=??+?-?=?+?
， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222
ac bd bc ad
i c d c d +-=
+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将
i
i
a b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()i
i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+?-+-=
==
++-+ 222222
()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad
c d c d c d ++-+-=
=++++．
∴(()(i)i a b c d +÷+=
2222
i ac bd bc ad
c d c d
+-+++
点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想
方法，而复数i c d +与复数i c d -积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．
9． 共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
1． 复数的概念
【例1】 已知2(1a i bi i i -??
=-+ ?+??
为虚数单位），那么实数a ，b 的值分别为（ ）
A ．2，5
B ．-3，1
C ．-1．1
D ．2，32
-
【答案】D
【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 【答案】952i +
【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+?=+L
【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）
A ．z 的对应点Z 在第一象限
B ．z 的对应点Z 在第四象限
C ．z 不是纯虚数
D ．z 是虚数
【答案】D
【解析】
2222(1)10t t t -+=-+≠．
【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；
④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1
z z
=
． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
例题精讲
【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z
为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．
2． 复数的几何意义
【例5】 复数2i
12i
m z -=
+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】 由已知2(2)(12)1
[(4)2(1)]12(12)(12)5
m i m i i z m m i i i i ---=
==--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则40
10
m m ->??
+
【例6】 若3
5ππ4
4θ??∈ ???，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当35ππ4
4θ??
∈ ???，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，
．
【例7】 如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ）
A ．1
B C ．2 D
【答案】A
【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，
所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．
i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，
到点(11)--，的距离，其距离为1．
【例8】 满足1z =及13
22
z z +
=-的复数z 的集合是（ ）
A ．1
122????-+
-????
?
?， B ．1111i i 2222??+-????，
C
．??????? D
．1122????
-??????
， 【答案】D
【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =
上（1322z z +=-表示z 到点102??- ???，与点302??
???
，
的距离相等，故轨迹为直线1
2
x =），故选D ．
【例9】 已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，
y
x
的最大值为_______．
【解析】
2i x y -+=∵ 22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，
圆上，y
x
表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知
y
x
【例10】 复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【答案】A
【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ?++=+-，
化简得：22
215
339
x y ????+
++= ? ?????，故为圆． 【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；
②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．
【例11】 复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：2
122
0z z <．
精品文档
【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r
，2OZ u u u u r 为
邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ∴⊥u u u u r u u u u r
，故可设
1
2
(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2
222122
i 0z k k z ==-<． 也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=，
122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故2
2112220z z z z ??=< ???
．
【例12】 已知复数1z ，2z
满足11z =
，21z =，且124z z -=，求
1
2
z z 与12z z +的值．
【答案】；4． 【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z
，由于2221)1)4+=，
故222
1212z z z z +=-，
故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r
，则
12z z ==；12124z z z z +=-=．
【例13】 已知12z z ，
∈C ，121z z ==
，12z z +=12z z -． 【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r
，
2OZ u u u u r
为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，
由12z z += 1120PZ O ∠=?（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=?， 从而121z z -=．
【例14】 已知复数z
满足(23i)(24z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．
【答案】max d =
，min 1d = 【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程2
2
(2)14
y x -+=．
d =
3． 复数的四则运算
【例15】 已知m ∈R ，若6(i)64i m m
+=-，则m 等于（ ）
A ．2-
B ．
C ．
D ．4
【答案】B
【解析】
66366
(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-?=?=
【例16】 计
12
+
【答案】511- 【解析】 原式12121269100
1
21511(i)
=
+
=
=-+=--
．
【例17】 已知复数1cos i
z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ?的最大值为（ ）
A ．3
2
B C
D ．3
【答案】A
【解析】 12(cos i)(sin
i)(cos sin 1)(cos
sin )i z z θθθθθθ?=-+=++-=
=， 故当sin21θ=±时， 12z z ?32
=．
【例18】 对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，
．
（１）设z 是方程1
0x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；
（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．
【答案】（1）13
；（2）12z =-．
【解析】 （1）∵z 是方程210x +=的根，
∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，， 于是24
21C 3P =
=． （2）
取1
2
z =-
，则212z =--及31z =． 于是23{}z M z z z =，，
或取12z =--．（说明：只需写出一个正确答案）．
【例19】 解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=． 【答案】123i 2x x =-=，．
【解析】 错解：由复数相等的定义得223
5602220x x x x x x x ?==?-+=??=?
?=-=??
或． 分析：“i i a b c d a c +=+?=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．
法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)?=---=-=-．
由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-=
=-，2(5i)(1i)
22
x ---==． ∴原方程的解为13i x =-，22x =．
法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，
22
(56)(252)i 0a b a b ab b a ?---++-+-=22
5602520a b a b ab b a ?---+=???-+-=??
①
②，
由②得：52
21b a b +=
+，代入①中解得：31a b =??=-?或20a b =??=?
，
故方程的根为123i 2x x =-=，．
【例20】 已
知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的
取值范围．
【答案】112a ?
?∈- ??
?，．
【解析】
12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．
当120a -=，即1
2
a =时，不等式恒成立；
当120a -≠时，2
120
112
4(12)(1)0
a a a a ->??-<<
?
---
12a ??
∈- ???
，．
【例21】 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【答案】1a =±
【解析】 误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∴?=---=-≥．
解得a
a ≤． 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．
正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定
义，得2000
210
0x ax x a ?++=??+=??，解得1a =±．
【例22】 设方程220x x k -+=的根分别为α，β
，且αβ-=k 的值． 【答案】1k =-或3k =．
【解析】 若α，β为实数，则440k ?=-≥
且2
222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，
解得1k =-．
若α，β为虚数，则440k ?=-<且α，β共轭，
2
222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．
综上，1k =-或3k =．
【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，
． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．
【解析】 1n =时，结论显然成立；
若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++
(cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++
cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，
从而知对1n k =+，命题成立．
综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，
． 易直接推导知：
(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=
故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．
(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-
cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．
【例24】 若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解，
求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．
【解析】 将解代入原方程得：
11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=L ，
将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有：
12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=L ，
即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=L ，
1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=L L ，
由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．
【例25】 设x 、y 为实数，且5
11213x y i i i
+=
---，则x y +=________． 【答案】4 【解析】 由
511213x y i i i +=
---知，5
(1)(12)(13)2510
x y i i i +++=+， 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=??+-=?，解得1
5x y =-??=?
，故4x y +=．
【例26】 已知
1
z
z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】以102??
???，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．
【解析】 法一：
设i z x y =+（x y ∈R ，），
则222
i (1)i 11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数， 故220(0)x y x y +-=≠，
即z 的对应点的轨迹是以1
02?? ??
?，
为圆心，1
2
为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．
法二：
∵1
z z -是纯虚数，∴011z z z z ??+= ?--??（0z ≠且1z ≠） ∴
011
z z z z +=--，∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到2
2z z z =+， 设z x yi =+（x y ∈R ，），则22x y x +=（0y ≠）
∴z 的对应点的轨迹以1
02?? ??
?，
为圆心，1
2
为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．
【例27】 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．
【解析】 由题意，2
4z z z =?=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．
设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤， 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．
∴当1
2
a =
时，2min 40z z -+=，此时12z =；
当2a =-时，2min 410z z -+=，此时2z =-．
【例28】 若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -． 【答案】64i --
【解析】 ∵()23i f z z z =+-，
∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴ 22i 63i z z +-=-
设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴ 2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-，
由复数相等定义得36
1a b =??
-=-?
，解得21a b ==，．∴2i z =+． 故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．
【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：
①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2
220z z z z z ?=?>?=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ?
④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =?，特别地有22()z z =；11
22
z z z z ??=
???；2
z z z =?．
⑤z z =，2
2
z z zz ==．1212z z z z ?=?，
11
22
z z z z =，121222z z z z z z -±+≤≤． 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．
【例29】 已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明
2
ωω=，并求23111
ωωω++与2
11ω
ω
++的值．
【答案】0
；12-+
【解析】 法一：
321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =
或12x =-±．
由题意知12ω=-+，证明与计算略； 法二：
由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=?++=．
又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，
． 由韦达定理有1ωω=3
21
ωωωωω
?===．
222331
1
1
1
10ωωωωωωωω
++++==++=．
2
22
111121ωωωωω
ωω++-====-+-+．
些ω相关的复数的幂的问题．
【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω++
+++=L （012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，），
求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L
【解析】
23201232n n a a a a a ωωωω+++++L 3647258036147258()()()a a a a a a a a a ωωωωωωωω=+++++++++++L L L 2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω=+++++++++++=L L L
设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++L L L ，，，
则有2
0A B C
ωω++=
，即11022A B C ????
+-++-= ? ? ?
?????
，
202)0A B C
B C --?=??
?-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L ．
【例31】 设z 是虚数，1
w z z
=+是实数，且12w -<<．
（1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11z
u z
-=
+，求证：u 为纯虚数； （3）求2w u -的最小值．
【答案】（1）1z =；z 的实部的取值范围是1
12
??
- ??
?，；（3）1． 【解析】 （1）设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠
则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ?
???=++
=++- ? ?+++????
， 因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =． 于是2w a =，122w a -<=<，1
12
a -<<，
所以z 的实部的取值范围是1
12
??
- ??
?
，． （2）2222
11i 12i i 11i (1)1
z a b a b b b
u z a b a b a ------====-++++++．
因为1
12
a ??
∈- ??
?
，，0b ≠，所以u 为纯虚数． （3）
222
2211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ??=++-??+??
． 因为1
12
a ??
∈- ??
?
，
，所以10a +>，
故223431w u -?=-=≥． 当1
11
a a +=
+，即0a =时，2w u -取得最小值1．
【例32】 对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，
． （1）设σ
是方程1
x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合M σ； （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω?．
【答案】（1
）i)i)i)i)M σ??
=+--+-?????
，，；（2）略
【解析】 （1）∵σ
是方程1
x x
+
∴1i)σ=
+
或2i)σ-，
当1i)σ=+时，∵21i σ=，221
1111()i n n n σσσσ-==． ∴1
1111i
1i 1M σσσσσ??--=?
???，，
，i)i)i)i)??
=+-+-?????，，，
当2i)σ-时，∵2
2
i σ=-，
∴2i)i)i)i)M σ??=+--+-?????
，，．
∴i)i)i)i)M σ??=+-+-?????
，，；
（2）∵z M ω∈，∴存在m ∈N ，使得21m z ω-=．
于是对任意n ∈N ，21(21)(21)n m n z ω---=．
由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，∴z M M ω?．
【例33】 已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数
单位，且对于任意复数z ，有0w z z =?，2w z =．
（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；
（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上
点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时， 试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试
求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）
x x y y
?'=+??
'=-??；（2）(22y x =-；
（3）这样的直线存在，其方程为y =
或y = 【解析】 （1）由题设，002w z z z z z =?==，∴02z =，
于是由214m +=，且0m >，得m ，
因此由(i))i x y i x y x y ''+=+=+-，得关系式
x x y y
?'=+??
'=-??．
（2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足
(1
1)1
x x y x ?'=+??
'=-??，
消去x ，得(22y x ''=-，故点Q 的轨迹方程为(22y x =-． （3）假设存在这样的直线，
∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠．
∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点()Q x y -仍在该直线上，
()y k x b -=++，即1)(y k x b -+=+，
当0b ≠时，方程组1)1
k k
?-+=????无解，故这样的直线不存在．
当0b ==
220k +=，解得k =或k =．
故这样的直线存在，其方程为3
3
y x =
或3y x =-．
【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）
A ．()15，
B ．()13，
C ．()15，
D ．()13，
【答案】C
【解析】 21z a =+，而02a <<，∴15z <<
【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复
平面的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-=
=->，cos()
cot tan 0sin cos A B B A B A
+-=<．
【习题3】 复数
45
(13i)-等于（ ）
A ．13i +
B ．13i -+
C ．13i -
D ．13i --
【解析】原式4
25
22
516(1i)1(2i)2
213i 21313(2)i i 22ωω+=
=-?===-+??
??
--+-+ ? ? ?
???
??
，选B ．
【习题4】 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．
【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z z z -==，以
1OZ u u u u r
，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形
的一条对角线，所以122z z +=．
课后检测
【答案】5
【解析】 121212z A z A z A z A z A z A +?+=+?+=+?+
121212()()z A z A z z A z A z A A =++=?+?+?+?，
把12120z z A z A z ?+?+?=代入上式，得2
125z A z A A A A +?+=?==．