浙江省嘉兴市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试

高二数学 试题卷 命题： 审题：

满分分 ，时间分钟 2015年11月

一．选择题（每小题3分）

1. 若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )

A ．相交

B ．平行

C ．异面

D ．平行或异面 2. 已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．异面

3. 正三棱锥ABC S -的侧棱长和底面边长相等， 如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ）

A ．900

B ．600

C ．450

D ．300

4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450

，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） A.

2221+

B. 22+

C. 21+

D. 2

2

1+ 5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )

6. 已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同的动点．给出以下四个结论：

①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；

②存在P ，Q 两点，使BP ，DQ 与直线B 1C 都成45°的角； ③若PQ ＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值；

④若PQ ＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 以上各结论中，正确结论的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7. 设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个

8. 将3个半径为1的球和一个半径为2－1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ） A ．32＋63

B ．

3＋26

3

C ．

2＋26

3

D ．22＋63

二．填空题（前三题每空2分，后四题每空3分）

9. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若一球内切于该正方体，则正方体的边长与球的半径之比为 ；若一球与该正方体的所有棱相切，则正方体的边长与球的半径之比为 10.在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的表面积之比为 ，它们的体积之比为 .

11.四面体A BCD -各面都是边长为

的全等三角形，则该四面体的体积为 ，顶点A 到底面BCD 的距离为 ．

12. 点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角的大小是 13.对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：

①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ； ②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD ． 其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）

14．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．

15. 球O 为边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，

DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为

三．解答题（第16-19题每题10分，第20题12分）

16. 在边长为5＋2的正方形ABCD 内以A

切，切点为M ，N ．又与扇形的弧EF ⌒

切于K ⊙O 为圆锥的底面， （1）求圆锥的母线长 （2）求圆锥的体积．

17．如图，S 是正方形ABCD SB=（1）设M 为棱SA 中点，求异面直线DM 与SB 所成角的大小 （2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小．

18. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.

(1)证明：AB ⊥A 1C ；

(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．

19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，

∠CDA ＝45°.

(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB ＝AP .

①若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；

②在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到P 、B 、C 、D 的距离都相等？说明理由．

20. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AA AB AD ==，

且11(01)PC CC λλ=<< ． （1）求证：对任意01λ<<，总有AP BD ⊥； （2）若1

3

λ=

，求二面角1P AB B --的余弦值； （3）是否存在λ，使得AP 在平面1B AC 上的射影平分1B AC ∠？若存在, 求出λ的值, 若

不存在，说明理由．

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试

高二数学 参考答案及评分标准 命题人： 审核人

一．选择题 DCCB ACCA 二．填空题

9.2:1 10.1:4,1:9 11. 2，127 12. 60° 13.①④ 14. 三．解答题

16.（1）（2）

3

（1）设扇形半径为l ，即AE ＝AF ＝AK ＝l ，圆O 的半径为R ，即OM ＝ON ＝OK ＝R ，则OC ＝2R ，由题知A ，K ，O ，C 共线，于是AK ＋KO ＋OC ＝2（5＋2）＝52＋2．即l ＋（2＋1）R ＝52＋2．为使扇形和⊙O 能围成一个圆锥，则圆周长等于扇形弧长，即2πR ＝π

2

l ，即l ＝4R ．故

R ＝2．l =（6分）

（2）圆锥的高h ＝l 2－R 2＝30，∴圆锥体积V ＝13πR 2

h ＝2303π．（10分）

17. （1）解：取AB 中点P ，连接MP ，DP ． 在△ABS 中，由中位线定理得MP∥SB， ∴∠DMP 或其补角为所求． ∵

，又

，

∴在△DMP 中，有DP 2

=MP 2

+DM 2

，∴∠DMP=90°， 即异面直线DM 与SB 所成的角为90°．（5分） （2）解：∵SD⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴可把四棱锥S ﹣ABCD 补形为长方体A 1B 1C 1S ﹣ABCD ，

如图2，面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角， ∵SC⊥BC，BC∥A 1S ，∴SC⊥A 1S ，

又SD⊥A 1S ，∴∠CSD 为所求二面角的平面角．

在Rt△SCB 中，由勾股定理得SC=，

在Rt△SDC 中， 由勾股定理得SD=1．

∴∠CSD=45°．即面ASD 与面BSC 所成的二面角为45°． （10分） 18. (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .

因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .

由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .（4分）

(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．

以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA

|为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系O-xyz.

由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．

则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C

＝(0，－3，3)．

设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，

则?

??

??

n ·BC ＝0，

n ·1BB ＝0.即?

??

??

x ＋3z ＝0，

－x ＋3y ＝0.

可取n ＝(3，1，－1)．

故cos n ，1A C ＝n ·1A C

|n ||1A C |

＝－10

5.

所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为

10

5

.（10分） 19．（I ）因为平面ABCD ，

平面ABCD ，所以，

又所以

平面PAD 。

又

平面PAB ，所以平面

平面PAD 。（3分）

（II ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A — xyz （如图） 在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，则

在中，DE=，

所以，

的法向量为，由，，得取，得平面的一个法向量，

又，故由直线所成的角为，得

解得（舍去，因为AD），所以（

）（其中）

则，

由得

得，（

，化简得（

20. 解：（I）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、

z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

设AB=1，则可得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），

B1（1，1，2），C1（0，1，2），P（0，1，2-2λ）

∴，可得=0

∴，即对任意0＜λ＜1，总有AP⊥BD；…（4分）

（II）由（I）及，得，

设平面AB1P的一个法向量为

可得，解之得

∴平面AB1P的一个法向量为，

又∵平面ABB1的一个法向量为，

∴设二面角P-AB1-B的大小为θ，可得

因此可得二面角P-AB1-B的余弦值为…（8分）

（III）假设存在实数λ（0＜λ＜1）满足条件，

由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，

即，约去有，

解得．

所以存在满足题意的实数λ=，使得AP在平面B1AC上的射影平分∠B1AC．…（12分）