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清华大学数学实验期末试卷

计算方法（数学实验）试题（第1组） 2000.6.22

班级姓名学号说明：（1）1，2题必做，答案直接填在试题纸上；

（2）3，4题任选1题，将简要解题过程和结果写在试题纸上；（3）解题程序以网络作业形式提交，文件名用英文字母。

A 工人5天的生产能力数据和

B 工人4天的生产能力数据如下：A 87 85 80 86 80；

B 87 90 87 84。要检验：A 的生产能力不低于85，你作的零假设是，用的Matlab 命令是，检验结果是。要检验：A 工人和B 工人的生产能力相同，你作的零假设是，用的Matlab 命令是，检验结果是。作以上检验的前提是。

2．用电压V =14伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压满足：

)

exp()()(0τt

V V V t v ---=，

其中0V 是电容器的初始电压，τ是充电常数。试用下列数据确定0V 和τ。

你用的方法是，结果是0V = ，τ= 。

3. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）。重力加速度取9.8米/秒2. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；

求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度。

4. 种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记x k (t )为第t 年初k 岁（指满k-1岁，未满k 岁，下同）的种群数量，b k 为k 岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），d k 为k 岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），h k 为k 岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b 1=b 2=b 5=0，b 3=2，b 4=4，d 1=d 2=0.3，d 3=d 4=0.2，h 1=400，h 2=200，h 3=150，h 4=100。建立x k (t+1)与x k (t )的关系（k=1,2,?5, t=0,1,?），如11112)()()1(h t x d t x t x --=+。

为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量x k (t )计算，不考虑死亡率。

用向量T

t x t x t x ))(),(()(5

1 =表示t 年初的种群数量，用b k 和d k 定义适当的矩阵L ，用h k 定义适当的向量h ，将上述关系表成h t Lx t x -=+)()1(的形式。设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。又问设定的捕获

量能持续几年。

种群各年龄的数量等于多少，种群数量x (t )才能不随时间t 改变。

记D 的结果为向量x *, 给x * 以小的扰动作为x (0)，观察随着t 的增加x (t )是否趋于x *, 分析这个现象的原因。

计算方法（数学实验）试题（第1组） 2000.6.22 答案

A 工人5天的生产能力数据和

B 工人4天的生产能力数据如下：A 87 85 80 86 80 (84 85 80 82 80)；B 87 90 87 84 (85 90 82 84)。要检验：A 的生产能力不低于85，你作的零假设是H 0:μ0≥85，用的Matlab 命令是ttest(x,85,0.05，-1)，检验结果是接受（拒绝）H 0 。要检验：A 工人和B 工人的生产能力相同，你作的零假设是H 0：μ1=μ2，用的Matlab 命令是ttest2(x,y)，检验结果是接受H 0。作以上检验的前提是数据来自正态总体，相互独立。

2．用电压V =14伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压满足：

)

exp()()(0τt

V V V t v ---=，

其中0V 是电容器的初始电压，τ是充电常数。试用下列数据确定0V 和τ。

你用的方法是线性最小二乘法，结果是0V =5.0001，τ= 3.6165。

V =10 伏结果是0V =0.8550，τ= 3.1944。 3．

n j m i x n

j b x m i a x t s x x x c c c ij n ij i

m ij j

T mn mn ,,1,,,1,0,,1,

,,1,.

.),,,)(,,,(min 12111211 ==≥===≤∑

∑

)35,30,20,15(),,()50,25,25(),,(11==n m b b a a ????? ??=8,4,3,96,7,2,87,6,5,10)(ij c ，答案：?

???? ??=0,30,5,1510,0,15,025,0,0,0)(ij

x ，535元

)35,30,20,15(),,()40,30,30(),,(11==n m b b a a ???

??=8,4,3,96,7,2,87,6,5,10)(ij c ，答案：?

???? ??=0,30,25.1,75.85,0,75.18,25.630,0,0,0)(ij

x ， 530元

4. 小型火箭初始质量为900（1200）千克，其中包括600（900）千克燃料。模型分两段：

0)0()0(,0,12

==≤≤-+-=x x t t mg T x k x m m =900-15t （m =1200-15t ）, t 1 =600/15=40秒 (t 1=900/15=60秒)为引擎关闭时刻。

2）．的终值给出由1)(),(,,1112t x t x t t mg x k x m

≤--=，m=300 引擎关闭瞬间火箭的高度8323米（13687.9米），速度259米/秒（271.34米/秒），

加速度0.7709米/秒2（0.8254米/秒2 关闭前）， –99.2291米/秒2（–132.5079米/秒2 关闭后）；

到达最高点的时间51秒（69.89秒），高度9192米（14469.8米）。

5．A. 444451111255111)()()1()()()1()()()1(h t x d t x t x h t x d t x t x t x b t x b t x --=+--=+++=+

B. 记k k

d s -=1，????????????=????????????=41415210,0000h h h s s b b b L ，则 h t Lx t x -=+)()1(

b 1=b 2=b 5=0，b 3=2，b 4=4，d 1=d 2=0.3，d 3=d 4=0.2，h 1=400，h 2=200，h 3=150，h 4=100。

C. x (1)= (6000, 300, 500, 650，700)T x (2)= (3600, 3800, 10, 250, 420)T

x(3)=(1020, 2120, 2460, -142, 100)T . 有负值，所以只能持续2年. x *=(2000, 1000, 500, 250, 100)T

x (t )不趋于x *，因为L 的特征根是 0 1.2982 -0.1953 + 1.1370i -0.1953 - 1.1370i

-0.9076 谱半径大于1。 ---eig

b 1=b 2=b 5=0，b 3=1，b 4=4，d 1=d 2=d 3=d 4=0.2，h 1=200，h 2=300，h 3=150，h 4=50。 C. x (1)= (5500, 680, 580, 730, 830)T x (2)= (3500, 4200, 244, 314, 534)T x (3)=(1500 2600 3060 45.2 201.2)T

x(4)=(3240.8, 1000, 1780, 2298, -13.8)T . 有负值，所以只能持续3年. x *=(1500, 1000, 500, 250, 150)T

E. x (t )不趋于x *，因为L 的特征根是 0 1.3029 -0.1118 + 1.2016i -0.1118 - 1.2016i -1.0793 谱半径大于1。

计算方法（数学实验）试题（第2组） 2000.6.22

班级姓名学号说明：（1）1，2题必做，答案直接填在试题纸上；

（2）3，4题任选1题，将简要解题过程和结果写在试题纸上；（3）解题程序以网络作业形式提交，文件名用英文字母。 1.

设

,0)0(,1)0(,0sin )()(='==-''y y x x y x y 用数值解法算出

y (1)= ,你用的方法是，调用的 Matlab 命令是，算法精度为。

2．设总体),(~2

σμN X ，σ未知，现用一容量n=25的样本x 对μ作区间估计。若已算出样本均值4.16=x ，样本方差4.52

=s ，作估计时你用的随机变量

是，这个随机变量服从的分布是，在显著性水平0.05下μ的的置信区间为 . 若已知样本),(1n x x x =，对μ作区间估计，调用的 Matlab 命令是。

小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k 。火箭升空过程的数学模型为

)0()0(,0,12==≤≤-+-=x x t t mg T x k x

m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度，m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量，T （=30000牛顿）为推力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻。今测得一组数据如下（t ~时间（秒），x ~高度（米），v ~速度（米/秒））：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v 190 200 210 216 225 228 231 234 239 240 246

现有两种估计比例系数k 的方法：

1．用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值（共11个），再用它们来估计k 。 2．用这组数据拟合一个k 。

请你分别用这两种方法给出k 的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）。

4. Inter-Trade 公司由中国大陆、菲律宾购买无商标的纺织品，运到香港或台湾地区进行封装和标签后，再运到美国和法国销售。已知两地间的运费如下（美元/

假设封装与标签不改变纺织品的重量，台湾只有封装和标签65吨的能力，

A. 若美国市场需要有标品80吨，法国市场需要有标品55吨，试给该公司制订一个运费最少的运输方案。

B. 若美国市场的需求量增至100吨，法国市场的需求量增至60吨，已知美国市场和法国市场的基本售价分别为每吨4000美元和6000美元，而当供应量不能满足需求时，其售价为基本售价加上短缺费用，设短缺费用为每吨2000美元乘以k ，其中k 为当地短缺量(市场需求量减去供应量)占市场需求量的比例。试为该公司制订一个盈利最大的运输方案，并给出盈利额（假设从中国大陆和菲律宾购买无标品的价格均为2000美元/吨，在香港和台湾地区封装和标签的费用均为500美元/吨）。

计算方法（数学实验）试题（第2组） 2000.6.22 答案

1. 设,0)0(,1)0(,0sin )()(='==-''y y x x y x y 用数值解法算出 y (1)= 1.1635 , 设,0)0(,1)0(,0cos )()(='==+''y y x x y x y 用数值解法算出 y (1)= 0.5721, 你用的方法是

Runge-Kutta ，调用的 Matlab

命令是

ode45('filename',[0,1],[1，0])，算法精度为4阶。

2．设总体),(~2

σμN X ，σ未知，现用一容量n=25 (20) 的样本x 对μ作区间估计。若已算出样本均值4.16=x (14.3) ，样本方差4.52

=s (4.5)，作估计时你用

的随机变量是 n s x /μ

-，这个随机变量服从的分布是t （n-1），在显著性

水平0.05下μ的的置信区间为 [15.441，17.359] ( [13.3072 15.2928]) . 若已知样本),(1n x x x =，对μ作区间估计，调用的 Matlab 命令是[mu, sigma, muci, sigmaci]=normfit(x, alpha)。

3. 在用数值积分计算?-+-1

122

e x

(?-+-3

22dx

e x

) 时，若要求误差至少是2阶的，你用的计算公式是 Simpson 公式 (梯形公式) ，调用的Matlab 命令是 quad('fun',-1,1), （y=f(x), trapz(x,y)），算出的数值为2.3978 (2.2750) ；若用蒙

特卡罗的均值估计法，你设定的近似公式是]1,0[~,)12(2

U u u f n i i ∑-，(]1,0[~,))12(5.25.0(5

U u u f n

i i ∑-+) Matlab 实现时你选定的随机数个数是，计算的结果为。

4. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料.

1) 11个k= 0.4313 0.4005 0.3815 0.4043 0.4193 0.3984 0.3949 0.3912 0.3961 0.4035 0.4135 平均值0.4032 2）1个k =0.4022 （无常数项）

接受 k=0.4 (p=0.4681, k 置信区间 [0.3938 0.4125] ) 拟合一次式（用m 除）：常数项：-0.6070 （置信区间[-3.8653 2.6513]），一次项： 0.3944（置信区间[0.3517 0.4372]） stat = 0.9798 435.5734 0.0000 拟合一次式（不用m 除）：常数项：-1046.86（置信区间[-4299 2205]）一次项： 0.3816（置信区间[0.3168 0.4464]） stat= 0.95175 177.53 0.0000

小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。

1) 11个k= 0.5321 0.4877 0.4953 0.4847 0.4811 0.5294 0.5193

0.4923 0.4919 0.4832 0.3888 平均值 0.4896 2）1个k =0.4821（无常数项）

接受 k=0.5 (p=0. 3894, k 置信区间 [0.4639 0.5153] ) 拟合一次式（用m 除）：常数项：-5.6373 （置信区间[-13.4576 2.1829]），一次项： 0.3775（置信区间[0.2299 0.5252]） stat = 0.7880 33.4574 0.0003 拟合一次式（不用m 除）：常数项：-6365.6（置信区间[-15866.7 3135.3]）一次项：0.3603（置信区间[0.1732 0.5473]） stat= 0.6783 18.98 0.0018

xij:从i国购买无标品到j地区的量，yij:从i地区运有标品到j国家的量。

x=[ x11 x12 x21 x22 y11 y12 y21 y22]

1) Min c*x’

s.t. x11+x12=90

x21+x22=45

y11+y21=80

y12+y22=55

x11+x21=y11+y12

x12+x22=y21+y22

x12+x22<=(A 65 B 60)

x,y>=0.

A c=[ 55 67 72 58 160 190 150 210]

结果：x=[90 0 0 45 35 55 45 0 ] cost=30360

B c=[ 50 60 70 50 150 180 130 200]

结果：x=[75 15 0 45 20 55 60 0 ] cost=27600

max (4000+2000(100-y11-y21)/100)(y11+y21)

+(6000+2000(60-y12-y22)/60)(y12+y22)- –c*x’- (2000+500)*(90+45)

s.t. x11+x12=90

x21+x22=45

x11+x21=y11+y12

x12+x22=y21+y22

y11+y21<=100

y12+y22<=60

x12+x22<=(A 65 B 60)

x,y>=0.

A结果：x= [90 0 0 45 30 60 45 0 ] income=329490 B结果：x= [75 15 0 45 15 60 60 0 ] income=332250

考试课程数学实验 2001.01.05

班级姓名学号说明：（1）第1，2，3题每题10分，直接将答案填在试题纸上；（2）第4题20分，将简要解题过程和结果写在试题纸上。

1．给定方程01sin 2

=--x x 。用迭代公式1sin 21+=+k k x x 求该方程在区间[0，

2]内的解，则迭代是阶收敛的。若取迭代初值为=0x 0, 则=50x （精确到10位小数）。该方程的Newton 迭代公式是，迭代是阶收敛的。

2．设,0)0(,1)0(,0sin )()(='==+'-''y y ye x x y x y x

用数值解法算出

y (1)= （精确到4位小数）, 你用的方法是，调用的 Matlab 命令是，算法精度为。 3. 假定取95%置信水平。从甲种汽油抽取5桶的含硫量为（%）：1.2, 1.5, 0.9, 0.8 1.3, 甲种汽油含硫量的置信区间为（精确到4位小数）；从乙种汽油抽取4桶的含硫量为（%）：1.2, 0.8, 1.5, 1.7, 要检验：甲的含硫量小于乙，作的零假设是，用的Matlab 命令是，检验结果是，作这个检验的前提是。

4. 某厂用甲、乙两种原料添加填充剂制成一种新型材料，经实验知道，新型材料的强度y 主要取决于单位体积内原料甲的含量x 1(千克) 和原料乙的含量x 2(千克)，并得到以下数据：

在投入正式生产时得知，每千克原料甲含有毒物质5克，每千克原料乙含有毒物质1克，而单位体积新型材料中规定有毒物质不得超过100克；每千克原料甲售价300元，每千克原料乙售价400元，而生产单位体积新型材料用于购买甲、乙两种原料的成本预算限额为12,000元；由于技术原因，单位体积新型材料中原料乙的含量不得超过25千克。（精确到4位小数）（1）确定新型材料的强度y 与单位体积内原料甲的含量x 1和原料乙的含量x 2之间的关系，并求甲、乙两种原料的含量x 1，x 2，在满足上述条件下使新型材料的强度y 最大。

（2）如果购买甲、乙两种原料的成本预算限额增加100元，问可使新型材料的强度提高百分之几。

（3）讨论实验数据的随机误差对（1）的结果会有什么影响。

2001年1月5日计算方法（数学实验）考试答案

1. 1 1.8971943063

k k k k k x x x x x 2sin 11sin 21

----

=+ 2

2. 0.2713；龙格-库塔; ode23(‘f’,ts,x0); 2~3阶; 或： 0.2714；龙格-库塔; ode45(‘f’,ts,x0); 4~5阶

3. [ 0.7823, 1.4977]； H 0:μ1<μ2, h=ttest2(x,y,0.05,1)，接受H 0，数据来自正态总体，相互独立。

4．（1）作x1~y, x2~y 散点图，近似线性关系。用数据拟合：22110x c x c c y ++=,并作假设：0:2100===c c c H 。用回归分析，计算得：

c 0=21.6289 c 1=3.2175 c 2=2.8553, 置信水平0.95下的置信区间为

c 0（2.2220 41.0357） c 1（2.3947 4.0403） c 2（2.2707 3.4399）置信区间均不含零点，且R 2= 0.9666 f=101.2543 p=0.0000，拒绝H 0. 残差置信区间均含零点，无异常数据，得

212.85533.21756289.21x x y ++

= 以2211x c x c y +=（去掉常数c 0）为目标函数建立优化问题的数学模型：

,,25120

43100

5.. 2.8553x 3.2175x max 21221212

1,2

1≥≤≤+≤++=x x x x x x x t s z x x

计算结果：x 1 =16.4706 x 2=17.6471, lag= 0.2532 0.6505 0

22110max x c x c c y ++==125.0100

甲乙两种原料的含量分别为16.4706（千克）和17.6471（千克）使新型材料的强

度最大。

（2）由1的计算结果：lag （2）= 0.6505，可知购买甲乙两种原料的成本预算限额增加100元，新型材料的强度提高0.6505，与上面结果y=125.0100相比，增加0.52%.

（3）实验数据的随机误差导致回归系数有置信区间：c 1（2.3947，4.0403），c 2（2.2707， 3.4399）。用置信区间的左右端点重新计算，发现当取c 1=2.3947，c 2=3.4399时，最优解改变为x 1 =6.6667 ，x 2=25.0000，

22110max x c x c c y ++==123.5898，即实验数据的随机误差会影响最优解。

考试课程数学实验 2002.01.15 A 卷

1. （10分）用数值积分公式计算 (结果保留小数点后8位)：

d θsin 15.0120

22?

-=π

取积分步长2/π=h , 用梯形公式计算S= 。要求相对误差为10-6, 用Simpson 公式S= ，Matlab 命令是__________________________. 2.（10分）在化学反应中, 根据试验所得生成物的浓度与时间关系如下表 (所有

y=_____________________________, 拟合的残差平方和Q=____________________。

给出经过坐标原点 (0, 0 ) 的三次多项式拟合函数:

y=_________________________________________________。 3．（15分）已知某切割机正常工作时，切割一段金属棒的长度服从正态分布，均值为12厘米，标准差为1.2厘米，

(1) 大量生产时，长度不超过10厘米或超过15厘米的金属棒的比例为。

(2) 大量生产时，金属棒长度以93%的可能性落入的最小区间是。

(3) 从一批金属棒中实际测量了15根的长度数据为

11.10, 12.43, 12.57, 14.50, 10.84, 14.10, 11.98, 9.88, 12.05, 13.00, 14.00, 13.00, 12.09, 8.85, 14.60 问：在显著性水平α=0.05时，这批金属棒长度的标准差是否为1.2厘米（）；你采用的是以下哪种检验： z 检验, t 检验, χ2检验, F 检验（）

(4) 在显著性水平α=0.05时，利用上面的15个数据检验这批金属棒长度的均值是否为12厘米（）。

4. （15分）某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A 、B 两种牌号的饮料。甲饮料厂生产A 饮料的效率为8吨/小时，生产B 饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A 饮料的效率为10吨/小时，生产B 饮料的效率为4吨/小时。甲饮料厂生产A 饮料和B 饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A 饮料和B 饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。现该公司接到一生产订单，要求生产A 饮料1000吨，B 饮料1600吨。假设甲饮料厂的可用生产能力为200小时，乙饮料厂的生产能力为120小时。请你为该公司制定一个完成该生产订单的生产计划，使总的成本最小（要求建立相应的线性规划模型，并给出计算结果）。由于设备的限制，乙饮料厂如果生产某种牌号的饮料，则至少要生产该种牌号的饮料300吨。此时上述生产计划应如何调整（给出简要计算步骤）？

考试课程数学实验 2002.01.15 B 卷

1.（10分）用数值积分公式计算 (结果保留小数点后8位)：

θd θsin 3.0120

22?π

-=S (1)

取积

分

步

长

/π=h , 用梯形公式计算

S= 。 (2)要求相对误差为10-6, 用Simpson 公式S= ，Matlab 命令是__________________________.

2. （10分）在化学反应中, 根据试验所得生成物的浓度与时间关系如下表 (所

y=_____________________________, 拟合的残差平方和Q=____________________。

(2)给出经过坐标原点 (0, 0 ) 的三次多项式拟合函数:

y=_________________________________________________。

3. (15分)已知某切割机正常工作时，切割一段金属棒的长度服从正态分布，均值为12厘米，标准差为1.8厘米，

（1) 大量生产时，长度不超过10厘米或超过15厘米的金属棒的比例为。

（2) 大量生产时，金属棒长度以93%的可能性落入的最小区间是。

（3) 从一批金属棒中实际测量了14根的长度数据为

11.10, 12.43, 12.57, 14.50, 10.84, 14.10, 11.98, 11.88, 12.05, 13.00, 14.00, 13.00, 12.09, 8.85

问：在显著性水平α=0.05时，这批金属棒长度的标准差是否为1.8厘米（）；你采用的是以下哪种检验：z检验, t检验, χ2检验, F检验（）

（4) 在显著性水平α=0.05时，利用上面的14个数据检验这批金属棒长度的均值是否为12厘米（）。

4．（15分）某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A、B两种牌号的饮料。甲饮料厂生产A饮料的效率为8吨/小时，生产B饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A饮料的效率为10吨/小时，生产B饮料的效率为4吨/小时。甲饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。现该公司接到一生产订单，要求生产A饮料2000吨，B饮料3200吨。假设甲饮料厂的可用生产能力为400小时，乙饮料厂的生产能力为240小时。

（1）请你为该公司制定一个完成该生产订单的生产计划，使总的成本最小（要求建立相应的线性规划模型，并给出计算结果）。

（2）由于设备的限制，乙饮料厂如果生产某种牌号的饮料，则至少要生产该种牌号的饮料300吨。此时上述生产计划应如何调整（给出简要计算步骤）？

考试课程数学实验 2002.01.15

A卷（姓名学号）答案

1．（1）6.24764132 （2）6.24769187 quad (' f ',0,2*pi,1e-6)

2．（1）y=-0.0445t2 +1.0660t+4.3875; Q=4.9071；

（2）y=0.0203t3–0.5320t2+4.1870t

3．（1）0.0540

（2）[ 9.8257 14.1743]

(3) 标准差不为1.2厘米；c。

（4）均值为12厘米。

设甲饮料厂生产A饮料x1吨，生产B饮料x2吨；乙饮料厂生产A饮料x3吨，生产B饮料x4吨, 则可建立如下模型：

Min z= 1000x1 + 1100 x2 + 850x3 + 1000x4

s.t. x1 + x3 = 1000

x2 + x4 = 1600

x1 / 8 + x2 / 10 <= 200

x3 / 10 + x4 / 4 <= 120

x1, x2, x3, x4 >=0

解得：x =（0，1520，1000，80）, z = 2602000

（2）当x3 =0时，无解；

当x3 >=300, x4 = 0时，解得：x =（0，1600，1000，0）, z = 2610000 (最优解); 当x3 >=300, x4 >=300时，解得：x =（550，1300，450，300）, z = 2662500.

B 卷（学号姓名）答案

1.（1）6.13848104 （2）6.13933386 quad (' f ',0,2*pi,1e-6)

2.（1）y=-0.0470t 2+1.1360t+

3.9256; Q=

4.2513； (2) y=0.0178t 3-0.4774t 2+3.9046t 3．(1) 0.1811

（2）[ 8.7386 15.2614] (3) 标准差为1.2厘米；b 。（4）均值为12厘米。

4. （1）解为：x =（0，3040，2000，160）, z = 5204000 （2）当x3 =0时，无解；

当x3 >=300, x4 = 0时，解得：x =（0， 3200， 2000， 0）, z = 5220000 (最优解); 当x3 >=300, x4 >=300时，解得：x =（350，2900，1650，300）, z = 5242500.

考试课程数学实验 2002.06.15 A 卷

1. 已知非线性方程0

)]sin(41

[)(1=+=?-x dt t x f 。取初值5.00=x ，在满足

110

-+≤-k

k x x 的条件下，试用迭代公式

)]1cos(41

41arccos[

1++=+k k x x 求该方程

[0, 1] 内的根=*

x ____________ (保留小数点后5位), 该迭代方法是_____阶收

敛。给出求解该方程的Newton 迭代公式

=+1k x ___________________________________________________。

2．已知常微分方程初值问题：0)0(',1)0(,0)sin('"===+-+y y y x y e y y x

。试用

数值方法求y(1)=__________________ (保留小数点后4位)，你用的方法是_________________。

3．假定显著性水平01.0=α。已知某厂生产某种家用装修材料，某有害物质含量服从正态分布。在一次连续五天的抽查检验中，得其材料的有害物质含量为

)10(3-: 1.1, 1.0, 0.9, 0.8, 0.5，试问这种材料有害物质含量的置信区间（精确到3位小数）为____________________; 若规定这种材料的有害物质含量不能超过万分之五，试根据这次抽样的结果作假设检验。你的原假设为______________________, 用的Matlab 命令是__________________________, 检验结果是____________。

4.某投资公司经理正在考虑将30万元基金用于股票投资。经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了三种股票作为候选投资对象。经过分析，该经理认为每年股票1的期望收益为每股5（元），方差为4；股票2的期望收益为每股8（元），而方差为36；股票3的期望收益为每股10（元），而方差为100。假设

不同股票的收益是相互独立的，目前股票1、2、3的市价分别为每股20元、25元，30元。投资风险用收益的方差大小来衡量，如股票1投资x 股时，投资风险为4x 2。

如果不考虑投资风险，如何投资可以得到最大的期望收益？

如果该投资人期望今年至少得到5万元的投资收益，但是希望投资的总风险最小，则应如何投资？

计算在不同的投资期望收益（从0到最大收益，以整万元为单位）下投资的总风险，将计算结果填入下表（保留四位有效数字），并根据该问题的实际意义和以

考试课程数学实验 2002.06.15 B 卷

1. 已知非线性方程0

)]sin(81

[)(1=+=?-x dt t x f 。取初值5.00=x ，在满足

110

-+≤-k

k x x 的条件下，试用迭代公式

)]1cos(81

81arccos[

1++=+k k x x 求该方程

[0, 1] 内的根=*

x ____________ (保留小数点后5位), 该迭代方法是_____阶收

敛。给出求解该方程的Newton 迭代公式

=+1k x ___________________________________________________。

2．已知常微分方程初值问题：0)0(',1)0(,01)sin('"===-+-+y y y x y e y y x

。试

用数值方法求y(1)= (精确到4位小数)，你用的方法是 ,Matlab 命令是。 3．假定显著性水平01.0=α。已知某厂生产某种家用装修材料，某有害物质含量服从正态分布。在一次连续五天的抽查检验中，得其材料的有害物质含量为

)10(3-: 1.1, 1.0, 0.9, 0.8, 0.7，试问这种材料有害物质含量的置信区间（精确到3

位小数）为____________________; 若规定这种材料的有害物质含量不能超过万分之五，试根据这次抽样的结果作假设检验。你的原假设为______________________, 用的Matlab 命令是__________________________, 检验结果是____________。

4. 某投资公司经理正在考虑将30万元基金用于股票投资。经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了三种股票作为候选投资对象。经过分析，该经理认为每年股票1的期望收益为每股5（元），方差为4；股票2的期望收益为每股8（元），而方差为36；股票3的期望收益为每股20（元），而方差为100。假设不同股票的收益是相互独立的，目前股票1、2、3的市价分别为每股20元、25元，60元。投资风险用收益的方差大小来衡量，如股票1投资x 股时，投资风险为4x 2。

如果不考虑投资风险，如何投资可以得到最大期望收益？

如果该投资人期望今年至少得到5万元的投资收益，但是希望投资的总风险最小，则应如何投资？

考试课程数学实验 2002.06.15

A 卷答案

解：由原方程积分可得：f(x)=x/4+1/4+cos(1)-cos(x)=0

=*x 0.44655; 1;

)sin(4/1)

cos()1cos(4/14/1k k k k k x x x x x +-++-

2. [0.386 1.334]; 5.0:0≤μH ; ttest(x, 0.5, 0.01, 1); 接受H 0

3. 1.3090 (or 1.3091); R-K 方法

4.. 参考解答：

问题1）全部投资于股票3，最大的期望收益10万元。

问题2）分别用x 1 、x 2和 x 3 表示投资股票1、2、3的数量，决策目标可以表示为

Min 2

32221100364x

x x ++ （1）

投资的期望收益约束为

5x1+8x2 +10x3>=50000 （2）

考虑可用于投资的资金的限制，即

20x1+25x2+30x3 300000 （3）

（1）-（3）构成本题的优化模型（加上x1 和x2的非负限制）。MATLAB 程序如下：

H=[8 0 0;0 72 0;0 0 200];

A=[-5 -8 -10;20 25 30];

c=[0 0 0];

b=[-50000,30000];

v1=[0,0,0];

[x,f]=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);

VAR=f

REV=-A(1,:)*x

计算结果为：

X= 6923.0769*******,1230.76923076923,553.84615384615

VAR = 2.769230769230770e+008

REV = 50000

由于在投资时购买股票的数量必须是整数，我们简单将上述结果取整。例如：x1=6923，x2=1231，x3=554（股）。所用去的资金为185855（元），期望利润为50003（元），此时的风险（方差）为276956312。

问题3）: 分别计算期望利润为0~10万元的情况，MATLAB程序如下：

H=[8 0 0;0 72 0;0 0 200];

A=[-5 -8 -10;20 25 30];

c=[0 0 0];

v1=[0 0 0];

for i=1:11,

b=[10000*(-i+1),300000];

x=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);

REV(i)=-A(1,:)*x;

VAR(i)=x'*H*x/2.0;

end

plot(REV,VAR);

xlabel('REV');

ylabel('VAR');

B 卷答案

1．=*

x 0.71553; 1;

)sin(8/1)

cos()1cos(8/18/1k k k k k x x x x x +-++-

2. [0.574 1.226]; 5.0:0≤μH ; ttest(x, 0.5, 0.01, 1); 拒绝H 0

3. 1.6296 (or 1.6297); R-K 方法

4. 参考解答：

问题1）全部投资于股票3，最大的期望收益10万元。

问题2）计算结果为：X= 5196.30484988453, 923.78752886836, 831.40877598153

VAR = 2.078521939953814e+008 REV = 50000 由于在投资时购买股票的数量必须是整数，我们简单将上述结果取整。例如： x 1=5196，x 2=925，x 3 =831（股）。所用去的资金为176905（元），期望利润为50000（元），此时的风险（方差）为 207852264。问题3）

数学实验试题 2003.6.22 上午

班级姓名学号得分说明：

（1）第一、二、三题的答案直接填在试题纸上；

（2）第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上；卷面空间不够时，可写在背面；

（3）考试时间为90分钟。一．（10分，每空2分）（计算结果小数点后保留4位有效数字）

地区的月降雨量的置信区间：在90%的置信水平下，A 地区的月降雨量是否不小于70（mm ）？在90%的置信水平下，A 、B 地区的月降雨量是否相同？ A 地区某条河流上半年6个月对应的径流量数据如下（单位：m 3）：110，184，145，122，165，143。该河流的径流量y 与当地的降雨量x 的线性回归方程为；若当地降雨量为55mm ，该河流的径流量的预测区间为（置信水平取90%）。

二．（10分）

（1）（每空1分）给定矩阵

??? ??=???? ??=34,133212b A ，如果在可行域}0,|{≥=x b Ax x 上考虑线性函数x c T ，其中T c )1,1,4(=，那么x c T 的最小值

是，最小点为；最大值是，最大点

为。

（2）（每空2分）给定矩阵

A ???? ??--=4011211

104，T

b )1,3,4,2,1(=，考虑二次规划问题}0,|4244)({m i n

212

22121≥≤--+-=x b Ax x x x x x x x f ，其最优解为，最优值为，在最优点处起作用约束

为。

三．（10分）对线性方程组： b Ax =，其中Ａ＝ ??

???

???1,,,1,,,1a a a a a a ， b=????

????321

（3分）当

a 时，用高斯—赛德尔迭代法求解

b Ax =。取初值为

[]T

x 0,0,00=，写出迭代第4步的结果4x =____________________。（4分）当

a 时，用Jacobi 迭代法求解

b Ax =是否收敛？__________ ,

理由是_________________________________________________ 。

（3分）求最大的c, 使得对任意的 [)c a ,0∈，用高斯—赛德尔迭代法求解b Ax =一定收敛，则c 应为__________。四．（20分）一个二级火箭的总重量为2800公斤。第一级火箭的重量为1000公斤，其中燃料为800公斤。第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落，第二级火箭立即继续燃烧。第二级火箭中的燃料为600公斤。假设火箭垂直向上发射，两级火箭中的燃料同质，燃烧率为15公斤/秒，产生的推力为30000牛顿。火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4公斤/米。

（1）建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度；

（2）建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。

（提示：牛顿第二定律f=ma ，其中f 为力，m 为质量，a 为加速度。重力加速度9.8米/平方秒。）

数学实验试题 2003.6.22 上午 (A 卷；90分钟)

(4) y=91.12+0.9857x (5) [130.9,159.7]