北京市2020年中考数学模拟试卷(含解析)

北京市2020年中考数学模拟试卷

含答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1．中共中央、国务院近日印发的《国家创新驱动发展战略纲要》强调，要增强企业创新能力，发展壮大创新型企业家群体，推动创新创业，激发全社会创造活力．据悉，2015年全社会研发资金达14 000多亿元．将14 000用科学记数法表示应为（）

A．0.14×105B．1.4×104C．1.4×105D．0.14×106

2．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（）

A．﹣3 B．5 C．6 D．7

3．如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的概率为（）

A．B．C．D．

4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）

A．B．C．D．

5．如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2的度数为（）

A．58° B．90° C．32° D．38°

6．如图，已知：矩形ABCD中对角线，AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE．若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为（）

A．5 B．6 C．8 D．10

7．如图，是某工厂去年4～10月全勤人数的折线统计图，则图中统计数据的众数为（）

A．46 B．42 C．32 D．27

8．如图，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A处，测得树顶B 的仰角∠α=74°，则树BC的高度为（）

A．米B．4sin74°米C．4tan74°米D．4cos74°米

9．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的为（）

A．B．C．D．

10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，若点P的运动路程为x，DP=y，则y关于x的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：3x3+6x2y+3xy2= ．

12．若分式的值为0，则x的值为．

13．有一条抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，这条抛物线的表达式可能是（写出一个即可）．

14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数有多少人，鸡的价钱是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，可列方程组为．15．在?ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为．

16．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△OA1B1的顶点A1的坐标是；△B6A7B7的顶点A7的坐标是；△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶

点A2n+1的坐标是．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．计算：（）﹣1+|1﹣|﹣+6tan30°．

18．已知m2﹣3m=7，求代数式（2m+1）（m﹣1）﹣（m+1）2的值．

19．已知：如图，直线y=kx﹣1（k≠0）经过点A．

（1）求此直线与x轴，y轴的交点坐标；

（2）当y＞0时，x的取值范围是．

20．如图，四边形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，AC平分∠BAD，连接CE．求证：CB=CE．

21．列方程或方程组解应用题

我区为缓解某景区的交通拥挤状况，区政府对通往景区的道路进行了改造．某施工队承包道路改造任务共3300米，为了减少施工对周边居民及交通的影响，施工队加快了速度，比原计划每天多改造10%，结果提前3天完成了任务，求原计划每天改造道路多少米？

22．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．

（1）求证：AE=BD；

（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=4．求CD的长．

23．已知：a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根．

（1）求n的取值范围；

（2）若等腰三角形三边长分别为a，b，2，求n的值．

24．青少年“心理健康”问题越来越引起社会的广泛关注，某区为了解学生的心理健康状况，对中学初二学生进行了一次“心理健康”知识测试，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘制了频率分布表和频率分布直方图的一部分．

学生心理健康测试成绩频率统计表

分组频数频率

50～60 4 0.08

60～70 14 0.28

70～80 m 0.32

80～90 6 0.12

90～100 10 0.20

合计 1.00

请解答下列问题：

（1）学生心理健康测试成绩频率统计表中的m= ；

（2）请补全学生心理健康测试成绩频数统计图；

（3）若成绩在60分以下（不含60分）心理健康状况为不良，60分﹣70分（含60分）为一般，70分﹣90分（含70分）为良好，90分（含90分）以上为优秀，请补全学生心理健康状况扇形统计图．

25．如图，△ABC中，AB=AC，以边BC为直径的⊙O与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作⊙O的切线DE，使DE⊥AC于E．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，连接FH，若BC=4，求FH的长．

26．对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．分段函数在不同的定义域上，函数的表达式也不同．例如：y=是分段函数．当x≥0时，它是二次函数y=x2﹣2x，当x＜0时，它是正比例函数y=2x．

（1）请在平面直角坐标系中画出函数y=的图象；

（2）请写出y轴右侧图象的最低点的坐标是；

（3）当y=﹣1时，求自变量x的值．

27．反比例函数y=（k≠0）过A（3，4），点B与点A关于直线y=2对称，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B和C（0，3）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求抛物线的表达式；

（3）若抛物线y=﹣x2+bx+m在﹣2≤x＜2的部分与y=无公共点，求m的取值范围．

28．已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD（点C，F在直线AB的两侧），连接DC，DF，CF．

①依题意补全图1；

②判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°．求证：BD=CE．

29．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），顶点为P，连接PA，PB，那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值；

（3）若△PAB是抛物线y=﹣x2+c的“抛物线三角形”，是否存在以点A为对称中心的矩形PBCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1．中共中央、国务院近日印发的《国家创新驱动发展战略纲要》强调，要增强企业创新能力，发展壮大创新型企业家群体，推动创新创业，激发全社会创造活力．据悉，2015年全社会研发资金达14 000多亿元．将14 000用科学记数法表示应为（）

A．0.14×105B．1.4×104C．1.4×105D．0.14×106

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：14 000=1.4×104，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（）

A．﹣3 B．5 C．6 D．7

【考点】数轴．

【专题】压轴题．

【分析】此题借助数轴用数形结合的方法求解．结合数轴，求得两个点到原点的距离之和即线段AB的长度．

【解答】解：数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为B点坐标减去A点坐标即2﹣（﹣5）=7．故选D．

【点评】本题考查数轴上两点间距离的求法：右边点的坐标减去左边点的坐标；或两点坐标差的绝对值．

3．如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】概率公式．

【分析】由有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的有2种情况，

∴从中随机抽取一张，点数是2的倍数的概率是：．

故选：B．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）

A．B．C．D．

【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图．

【分析】由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解．

【解答】解：∵主视图和左视图是长方形，

∴该几何体是柱体，

∵俯视图是圆，

∴该几何体是圆柱，

∴该几何体的展开图可以是．

故选：A．

【点评】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．

5．如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2的度数为（）

A．58° B．90° C．32° D．38°

【考点】平行线的性质．

【分析】由平行线的性质得出∠3=∠1=58°，由垂直的定义得出∠MPQ=90°，即可得出∠2的度数．

【解答】解：如图所示：

∵a∥b，∴∠3=∠1=58°，

∵PM⊥l，

∴∠MPQ=90°，

∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣58°=32°；

故选C．

【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．

6．如图，已知：矩形ABCD中对角线，AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE．若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为（）

A．5 B．6 C．8 D．10

【考点】矩形的性质．

【分析】由矩形的性质得出OA=OC，∠ADC=90°，证出OE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出CD=2OE=6，再由勾股定理求出AC即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，∠ADC=90°，

∵E是AD中点，

∴OE是△ACD的中位线，

∴CD=2OE=6，

∴AC===10；

故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形中位线定理求出CD是解决问题的关键．

7．如图，是某工厂去年4～10月全勤人数的折线统计图，则图中统计数据的众数为（）

A．46 B．42 C．32 D．27

【考点】众数；折线统计图．

【分析】根据众数的定义回答：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止

一个．

【解答】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32．

故选C．

【点评】本题为统计题，考查众数的意义，解题的关键是通过仔细的观察找到出现次数最多的数．

8．如图，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A处，测得树顶B 的仰角∠α=74°，则树BC的高度为（）

A．米B．4sin74°米C．4tan74°米D．4cos74°米

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．

【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，

∴=tanα，

∴BC=AC?tanα=4tanα（米）．

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

9．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的为（）

A．B．C．D．

【考点】作图—基本作图．

【专题】作图题．

【分析】根据对称的性质对B进行判断；根据作已知线段的垂直平分线对C进行判断；根据圆周角定理对D进行判断．

【解答】解：A、没有任何作法依据，A选项的作法错误；

B、作了P点关于l的对称点，则PQ⊥l，所以B选项的作法正确；

C、作了线段的垂直平分线，则PQ⊥l，所以C选项的作法正确；

D、作了直径所对的圆周角，则PQ⊥l，所以D选项的作法正确．

故选A．

【点评】本题考查了基本作图：掌握5个基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．注意D选项要运用圆周角定理判断．

10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，若点P的运动路程为x，DP=y，则y关于x的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】数形结合．

【分析】结合图形特点可知点P在A→B路线移动时，DP长在增大，在B→C路线移动时，DP长在减少，通过矩形的边长可以得出xy轴上的值从而确认答案．

【解答】解：∵AB=3，BC=4，∠A=90°

∴当动点P在A→B路线移动时，DP2=AP2+AD2=x2+16（0≤x≤3）

∴本段图象应为抛物线，且y随x增大而增大

同理可得动点P在B→C路线移动时，DP2=CP2+DC2=（7﹣x）2+9（3＜x≤7）

∴本段图象应为抛物线，且y随x增大而减少

故选：B

【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象性质，解题的关键是将点P按A→B→C的方向移动时两种情况进行分类讨论．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：3x3+6x2y+3xy2= 3x（x+y）2．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取3x，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：3x3+6x2y+3xy2=3x（x2+2xy+y2）=3x（x+y）2，

故答案为3x（x+y）2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

12．若分式的值为0，则x的值为4．．

【考点】分式的值为零的条件．

【专题】计算题．

【分析】根据分式的值为零的条件可以得到，从而求出x的值．

【解答】解：由分式的值为零的条件得，

由x﹣4=0，得x=4，

由x+2≠0，得x≠﹣2．

综上，得x=4，即x的值为4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

13．有一条抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，这条抛物线的表达式可能是（写出一个即可）答案不唯一，如：y=x2﹣2x ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据抛物线开口向上，可得出a＞0，再由左同右异的原则，可得出b＜0，从而得出抛物线的解析式（答案不唯一）．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴右侧，

∴b＜0，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x，

故答案为y=x2﹣2x（答案不唯一）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，该题是结论开放型题型，通过开口方向，对称轴的位置反映的数量关系写二次函数解析式．

14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数有多少人，鸡的价钱是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，可列方程组为．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】设人数有x人，鸡的价钱是y钱，根据每人出8钱，多余3钱得出等量关系一：鸡的价钱=8×买鸡人数﹣3；根据每人出7钱，还缺4钱得出等量关系二：鸡的价钱=7×买鸡人数+4，依此两个等量关系列出方程组即可．

【解答】解：设人数有x人，鸡的价钱是y钱，

由题意得．

故答案为．

【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据鸡价得到等量关系是解决本题的关键．

15．在?ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为55°或35°．【考点】平行四边形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．

【解答】解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，

∴∠ADB=90°﹣20°=70°，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD==55°．

情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，

∴∠BDE=70°，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=∠BDE=×70°=35°．

故答案为：55°或35°．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．

16．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△OA1B1的顶点A1的坐标是（1，）；△B6A7B7的顶点A7的坐标是（13，）；△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；等边三角形的性质．

【专题】规律型．

【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出A n的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．

【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，

∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），

∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，

∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，

∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，

∴点A2的坐标是（3，﹣），

∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，

∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，

∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，

∴点A3的坐标是（5，），

∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，

∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，

∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，

∴点A4的坐标是（7，﹣），

…，

∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，

∴A n的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，

∵当n为奇数时，A n的纵坐标是，当n为偶数时，A n的纵坐标是﹣，

∴顶点A2n+1的纵坐标是，

∴△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，），

∴△B6A7B7的顶点A7的坐标是（13，），

故答案为：（1，）、（13，）、（4n+1，）．

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出A n的横坐标、纵坐标各是多少．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．计算：（）﹣1+|1﹣|﹣+6tan30°．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及负整数指数幂、绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：（）﹣1+|1﹣|﹣+6tan30°

=4+﹣1﹣3+6×

=4+﹣1﹣3+2

=3．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算．

18．已知m2﹣3m=7，求代数式（2m+1）（m﹣1）﹣（m+1）2的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【专题】计算题；整式．

【分析】原式利用多项式乘多项式，完全平方公式化简，去括号合并后将已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=2m2﹣2m+m﹣1﹣m2﹣2m﹣1=m2﹣3m﹣2，

∵m2﹣3m=7，

∴原式=7﹣2=5．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．已知：如图，直线y=kx﹣1（k≠0）经过点A．

（1）求此直线与x轴，y轴的交点坐标；

（2）当y＞0时，x的取值范围是x＞．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）先根据直线y=k﹣1过点A（﹣1，﹣3）求出k的值，进而可得出直线的解析式，求出此直线与坐标轴的交点即可；

（2）根据直线与x轴的交点可直接得出结论．

【解答】解：（1）∵直线y=k﹣1过点A（﹣1，﹣3），

∴﹣k﹣1=﹣3．

∴k=2，

∴y=2x﹣1．

令x=0时，得y=﹣1，

∴直线与与y轴交于（0，﹣1）．

令y=0时，x=，

∴直线与x轴交于（，0）．

（2）∵直线与x轴交于（，0），