一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程知识点

考点1：一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．

一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

例1:已知关于x 的方程（m 2 -1）x 2+（m+1）x+m-2=0，当 时，方程为一元二次方

练习1

练习2：已知关于x 的一元二次方程x

考点2：一元二次方程的解法

1.直接开平方法：对于能够化成形如x 2 =a 或(x+a ）2=b （a 、b ≥0）的方程两边直接开平方而转化

为两个一元一次方程的方法。x+a=±b ∴1x =-a+b 2x =-a-b 例2: 解方程：（1）16 x 2－25=0 （2）4(x －1）2－49=0

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：

①化为 ；②移项，将 移到方程的右边；③化 系数为1，即

方程两边 ；④配方，即方程两边都加上 ；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用 来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程 ． 例3：（1） x 2－2x －5=0 （2）4x 2－8x+1=0 （3）x （x ＋2）=63

练习1：代数式2x 2－3x+1的最小值为

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元

二次方程的求根公式是a

ac b b x 242-±

-=

(b 2

－4ac ≥0)。 用公式法的步骤：①把方程转化为 ；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，若b 2

－4ac ≥0时代入求根公式；当b 2－4ac ＜0时方程无解。 例4：用公式法解方程：（1） x 2－2x －5=0 （2）4x 2－8x+1=0 （3）x （x ＋2）=63

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，

则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

因式分解的方法：提公因式、公式法。

例5：（1）(x－2）2=3(x－2）（2）(3x－4）2=(4x－3）2

5．一元二次方程的注意事项：

⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，

即不是一元二次方程．

⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c

的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．

⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－

2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。

⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，

解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

6．一元二次方程解的情况

⑴b2－4ac≥0?方程有两个不相等的实数根；

⑵b2－4ac=0?方程有两个相等的实数根；

⑶b2－4ac≤0?方程没有实数根。

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点3：根与系数的关系:韦达定理

对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，x1 +x2 =—a b ，x1●x2= a c

。

利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如212

2122212)(x x x x x x -+=+

212

12111x x x x x x +=+。

解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达

定理。

二、经典考题剖析：

【考题1－1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ．ax2＋bx+c=0 B. k2 x ＋5k+6=0

C.3x2＋2x+x 1

=0 D.( k2＋3) x2＋2x+1=0

【考题1－2】解方程：x2＋2x －3=0 【考题1－3】（2009、青岛，6分）已知方程5x2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k

的值．

三、针对性训练：

1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）

222

2

2

11

.3(1)2(1) .

20.0 .21A x x B x y

C ax bx c

D x x x +=++-=++=+=-

2、若2

2324x ( )x x +-与互为相反数，则的值为

A ．12

B 、2

C 、±2

D 、±1

2

3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0

化为

1681)47(2=

-t D.3y2-4y-2=0化为

910

)32(2=

-y 4、关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m

+++-

30-=的一个根为x=0，则m 的值为（ ） A ．m=3或m=－1 B ．m=－3或m= 1 C ．m=－1 D ．m=－3

5、(2009济南)若x1 ，x2 是方程x2 －5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ） A .1 B.5 C. －5 D.6

6、(2009眉山) 若x1 ，x2 是方程x2 －3x －1=0的两个根，则2111x x +

的值为（ ）

A.3

B.－3

C.31 D －31

7、(2009潍坊) 若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k －1=0的两个根，且

242221=+x x ，则k 的值为（） A.8 B. －7 C.6 D.5

8、(2009成都) 若关于x 的方程kx 2 －2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A.k ＞－1 B. k ＞－1且k ≠0 C. k ＜1 D. k ＜1且k ≠0

9、已知一元二次方程x 2 +2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________. 10、(2009泰安) 若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值范围是_______

11、解方程：(1)

32)32(22

=-x ; (2)3(1)2(1)y y y -=-; (3) 3(4x2 －9)－(2x －3)=0; (4) x2 －6x+8=0

12、(2009鄂州)关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k

=0有两个不相等的实数根，

(1)求k 的取值范围；

(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。 考点：一元二次方程的应用 一、考点讲解：

1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：

⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；

⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见

的等量关系是a(1±x ）2=b ，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。

⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）3销售数量；或者，总利润=总销售额－

总成本。

⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的

线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。

2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特

别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性． 二、经典考题剖析：

【考题1】（2009

、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为

130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．

解：设与墙相接的两边长都为x 米，则另一边长为()332x -米， 依题意得()332130x x -= ，

2

2331300x x -+=∴110x =

2132x =

又∵ 当110x =时，()33213x -= 当

213

2x =

时，

()33220x -=＞15

∴

13

2x =

不合题意，舍去．∴10x

= 答：花圃的长为13米，宽为10米． 【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住

房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）

A.9﹪

B.10﹪

C. 11﹪

D.12 ﹪ 解：设年增长率为x ，根据题意得

10(1+x)2=12.1，

解得x1=0.1，x2 =－2.1．

因为增长率不为负，所以x=0.1。故选D 。 【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出

500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得

(500－2 0 x)（10+x ）=6000． 整理，得x 2－15x ＋50=0． 解这个方程，x 1=5，x 2=10． 要使顾客得到实惠，应取x=5． 答：每千克应涨价5元．．

点拨：①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到

实惠”来取舍根的情况．

C

【考题4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？

（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？

PBQ

的面积等于4，

则由题意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x,

由2

1

BP2BQ=4，得2

1

（5－x）22x=4，

解得，x

1

=1，x

2

=4．

当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故x=1

（2）由BP2+BQ2=52得（5－x）2+（2x）2=52,

解得x1=0（不合题意），x2=2．

所以2秒后，PQ的长度等于5。

三、针对性训练：

1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？

2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了迎接“十2一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？

3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？

4．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）

5．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q 从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△ABQ的面积等于8cm2?

(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上

前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等

于12.6 cm2。

32m

解：依题意，得：21

（6-x ）22x=8 解这个方程得：x1=2，x2=4

即经过2s ，点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；经过4s ，点P 到距离B 点2cm

处，点Q 到距离B 点8cm 处。故本小题有两解。 （2）设经过x 秒，点P 移动到BC 上，且有CP=（14-x ）cm,点Q 移动到CA 上，且命名CQ=（2x-8）

cm ，过Q 作QD ⊥CB 于D 。 ∵△CQD ∽△CAB ，

∴AC AB x QD =

-82，即QD=10)

82(6-x 。

依题意，得：21（14-x ）210)

82(6-x =12.6， 解这个方程得：x1=7，x2=11

经过7s ，点P 在BC 距离C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使S △PCQ=12.6cm2 经过11s ，点P 在BC 距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处， ∵14＞0,点Q 已超出

CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。 中考真题

1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方

程有一根为2”．则你认为（ ）

A ．只有小敏回答正确

B ．只有小聪回答正确

C ．两人回答都正确

D ．两人回答都不正确

2.解一元二次方程x 2－x －12=0，结果正确的是（ ）

A ．x 1=－4， x 2=3

B ．x 1=4，x 2=－3

C ．x 1=－4，x 2=－3

D ．x 1=4，x 2=3

3.方程(3)(3)x x x +=+解是（ ）

A ．x 1=1

B ．x 1=0，x 2=－3

C ．x 1=1，x 2=3

D ．x 1=1，x 2=－3

4.若t 是一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的根，则判别式Δ=b 2－4ac 和完全平方式M=(2at+b)2

的关系是（ ）

A ．Δ=M

B ．Δ＞M

C ．Δ＜M

D ．大小关系不能确定

5.方程2

(1)0x x -= 的根是（ ）

A ．0

B ．1

C ．0，－1

D ．0，1

6.已知一元二次方程x 2 －2x －7=0的两个根为x 1，x 2，则x 1+ x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－7 D ．7

7.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1 ＝0的两个实数根，则2

11

1x x +

的值是( ) A 、3

B 、－3

C 、1

3 D 、1

8.用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ） A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 9.方程x 2－5x=0的根是（）

A ．0

B ．0，5

C ．5，5

D ．5

10.若关于x 的方程x 2＋2x ＋k=0有实数根，则（ ） A ．k ＜1，B ．k ≤1 C ．k ≤－1 D ．k ≥－1

11.如果一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2等于（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2

12.用换元法解方程(x 2－x)－x x -2＝6时，设x x -2＝y ，那么原方程可化为（ ） A.2y ＋y －6＝0 B. 2y ＋y ＋6＝0 C. 2y －y －6＝0 D. 2y －y ＋6＝0

13.设x 1，x 2是方程2x 2+3x-2=0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( )

A ．-3

B ．3

C ．－23

D ．2

3 14.方程x 3-x=0的解是（ ） A ．0，1 B ．1，-1 C ．0，-1 D ．0，1，－1

15.用换元法解方程25x (

)40=y,11x+1x x x x -+=++时，若设则原方程_

_

16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________ 17.方程x 2－x=0的解是______________

18.等腰△ABC 中，BC=8， AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m= 0的两根，则m 的值是

________.

19.关于x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a 的取值范围是 _______________. 20.

21.解方程：x 3－2x 2－3x ＝0.

22.解方程组：22

y=x+1x +y =5???

23.解方程：2（x －1）2+5（x －l ）+2=0．

24.解方程：x 2 －2x －2=0 25.解方程：x 2 +5x+3=0 26.已知关于x 的一元二次方程

2(1)60

x k x -+-=的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．

27.已知关于 x 的一元 二次方程2

2

(4)3340k x x k k ++++-=的一个根为0，求k 的值．

28.如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为

20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．（此题用到三角函数）

中考预测题

一、基础经典题( 44分)

(一)选择题(每题4分，共28分 )

【备考1】如果在－1是方程x 2+mx －1=0的一个根，那么m 的值为（ ） A ．－2 B ．－3 C ．1 D ．2 【备考2】方程2(3)5(3)x x x -=-的解是（ ）

A ．

1255

3 . .3, .322x B x C x x D x ==

===-

【备考3】若n 是方程2

0x mx n ++=的根，n ≠0，则m+n 等于（ ） A ．－7 B ．6 C ．1 D ．－1

【备考4】关于x 的方程2

0x mx n ++=的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ） A ．m ＝0，n ＝0 B ．m ＝0，n ≠0 C ．m ≠0，n = 0 D ．m ≠0，n ≠0

【备考5】以5－2 6 和5+2 6 为根的一元二次方程 是（ ）

A ．2

1010x x -+= B ．01102=++x x C ．01102=--x x D ．01102=-+x x

【备考6】已知1x ，2x 是方程x 2－x －3=0的两根，

那么2

221x x +值是（ ）

A ．1

B ．5

C ．7

D 、49

4

【备考7】关于x 的方程2

21(3)0

4x m x m --+= 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（ ）

A ．2

B ．－1

C ．0

D ．l

（二）填空题（每题4分，共16分） 【备考8】已知一元二次方程x 2＋3x+1=0的两个根为x 1，x 2那么（1+ x 1）（1+ x 2）的值等于_______. 【备考9】已知一个一元二次方程x 2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P 的值是

_______.

【备考10】如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE=EB=EC=a ，且a 是一元二次方程x 2+2x －

3=0

_______

【备考11】关于x 的方程2(1)3(2)k x k x ++-+2

420k -=的一次项系数是－3，则k=_______

【备考12】关于x 的方程2

21

(1)50a a a x

x --++-= 是一元二次方程，则a=__________. 三、实际应用题（9分）

本题为增长率问题，一般形式为a （1+x ）2=b ，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量

【备考13】2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护

区面积占全市面积的百分比）为4．65％，尚未达到国家A 级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2005年底自然保护区覆盖率达到8％以上，若要达到最低目标8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）．

14. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少

万人次？

15.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当

的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

16、当m 是何值时，关于x 的方程22234)1()2(x x m x m =--++

（1）是一元二次方程；

（2）是一元一次方程；

（3）若x=-2是它的一个根，求m 的值。

一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)

一元二次方程 本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容： 建立一元二次方程 此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题， [课时作业]的第6、7题。 １．一元二次方程的概念 此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。 2.一元二次方程的解的含义 利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。 点击一：一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程． 针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。 （1）x 2+ x 1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0 （3）x+12 x =4 （4）m 3－2m+3=0 （5） 2 2x 2－5=0 （6）ax 2－bx=4 答案： （5） 针对练习2: 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是 。 答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m≠－3 点击二：一元二次方程的一般形式 元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.

最新一元二次方程知识点总结

一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?” 来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题 知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程： （1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为 （ ） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程： （1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程： （1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 （1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=

一元二次方程知识点集 (整理)

一元二次方程 知识点题集 （须用心按质完成） 1．方程12 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12 x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________． 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12.一元二次方程x 2－4＝0的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ． x 1＝2，x 2＝0 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 15．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（ ）． A ．8 B ．8或10 C ．10 D ．8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )

一元二次方程综合题(非常全面))

一元二次方程的综合题，请大家下载 例1：用恰当的方法解一元二次方程 ① () 23x 2 2 1=+ -1，-5 ② ()0x -x 132 =+ 0， 2 1-3 ③ 02x 25-x 2 =+ 2 42-252 42 25， + ④ 2（3x-2）=(2-3x)(x+1) 3-，3 2 例2：已知方程0a -ax -x 222=的一根为1，求另一根 -2或 例3：若两个关于x 的方程0a x x 2=++与01x x 2=++a 有一个公共的实根，求a a=-2 例4关于x 的方程01x ）1 (2m x m 2 2=+++有实数根，求m 的范围 ???≠≥+=-+=?0 0144)12（2 22m m m m 或m=0时一元一次方程x=-1 综上m ≥4 1- 例5：已知关于 x 的方程 0k x ）1-k （x 24 1 2=+ +与 01-2k x ）1k 4（-2x 22=++都有实数根，求k 的范围。 ?? ?≥?≥?0 21 推出2 18 9k -≤ ≤ 例例 6.问 m 为什么整数时,关于x 的方程0442 =+-x mx 和 0544422=--+-m m mx x 的根都是整数; 解:由求根公式m m x 442-±= 第二个方程5422 20 44+±=+±= m m m m x 因为? ??≥+≥-0540 44m m 解得125.1≤≤-m 因为m 是整数,m=-1或0,1 又因为m 不能为0 ,所以1±=m

当m=-1时,代入求根公式合题意,;m=1时代入求根公式不合题意,舍弃 例7.关于x 的方程()0112212 =-+--x k x k 有两个不等实数根,求k 的范围 提示: ?? ? ??>?≥+≠-001021k k 解得21<≤-k 且5.0≠k 例8. 关于x 的方程()()2 12 412- ++-k x k x =0 ① 求证无论k 是什么实数,方程总有实数根 ② 若等腰ABC ?的一条边a=4.另两边为b,c 恰好是这个方程的两根,,求ABC ?的周长 解:周长是10 例9已知关于x 的一元二次方程()032132 =-+--m x m mx ⑴ 若方程有两个不相等的实数根,求m 的范围 提示: 0,3≠≠m m ⑵无论m 为什么值时,方程总有一个固定的根 提示:代入求根公式,求得固定根为1. 例10：已知关于x 的二次方程05q px 62-5x 2 =+（p 不为0）有两个相等实根。 1） 求证方程0q px x 2 =++有两个不等根 设方程0q px x 2 =++的两个实 根为21,x x ，若21x x ，求证3 2 x x 2 1= 。 2）

人教中考数学一元二次方程的综合复习及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的 n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？ 【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】 在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意. 设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324 n +- ，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=- 12 ，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14 (舍)， 综上所述，n=0. 2．计算题 （1）先化简，再求值：2 1 x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】 分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用； （2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可. 详解：（1）2 1 x x -÷（1+211x -） =2221111 x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-?- =x+1， 当x=2017时，原式=2017+1=2018

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：()m x m m x ±=?≥=,02

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

初中数学一元二次方程知识点总结与练习

知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.

人教版 21章 一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；

（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

一元二次方程综合复习

第三讲 一元二次方程 一、主要知识点 二、典型例题分析 例1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） Ａ．()()12132 +=+x x Ｂ． 02112 =-+ x x Ｃ．02=++c bx ax Ｄ． 1222-=+x x x 例2、已知1x =是一元二次方程2 400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2 2 22a b a b --的值. 例3、关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( ) (A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2． 例4、设a b ，是方程2 20090x x +-=的两个实数根，则2 2a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 例5、对于方程()()()()2 2 2 2 140;2230;3320;441290;x x x x x x x -=+=--=-+= ()()()()()2 22 2 5336;670;76;8241x x x x x x =-==+=把最适宜解法的序号填在下面 的横线上。 （1）直接开平方法____ _______；（2）因式分解法_____ __； （3）配方法____ ___；（4）求根公式法_____ ____。

通常可以这样选择合适的解法： （1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。 （2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。 （3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。 （4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。 例6、解方程：2(3)4(3)0x x x -+-=． 例7、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000 kg ，根据市场需要，今 年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000 kg ，求南瓜亩产量的增长率． 例8、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出 100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ 例9、已知关于x 的方程2 (2)210m x x --+=有解，那么m 的取值范围是（ ） Ａ．3m < Ｂ．3m ≤ Ｃ．3m ≤且2m ≠ Ｄ．3m <且2m ≠ 例10、已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k 的值并解这 个方程。 一元二次方程复习题 一、填空题： 1、方程1382-=x x 的二次项系数为 ，一次项为 ，常数项为 。 2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 是一元二次方程。

一元二次方程知识点归纳

一元二次方程知识点 知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方 程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次 项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常 数项． 例：方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1. 2 .一元二 次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方 求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解 法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶 数时，也可以考虑用配方法． 解一元二次方程时，注意 观察，先特殊后一般，即先 考虑能否用直接开平方法和 因式分解法，不能用这两种方 法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变 形为(x+h)2=k的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝24 b ac -0时，原方程没有实数根． 例：方程2210 x x +-=的判 别式等于8，故该方程有两个不相 等的实数根；方程2230 x x ++= 的判别式等于－8，故该方程没有实 数根. * 4.根与系数的关系 （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数 关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式 的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与 系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数 式的常见变形： x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时， 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三：一元二次方程的应用 4（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程； ④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实

一元二次方程知识点总结与易错题及答案

一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于- a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。

一元二次方程测试题(含答案)

一元二次方程测试题 （时间 120分钟满分150分） 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为： ，二次项系数 为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若 ，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2 +|a+b+c|=0，满足条件的一元二次方程是 。

一元二次方程知识点整理

一元二次方程 一、本节学习指导 本节中我们要注意一元二次方程成立的条件，填空题最青睐这简单而又易忽视的知识。其次就是根与系数的关系（韦达定理）、判别式，求根公式，这些需要我们重点记忆。本节有配套学习视频。 二、知识要点 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，

所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。 三、经验之谈： 对于韦达定理的文字描述希望同学们能理解，试着把二次项系数化1来观察一下。求根公式也要牢记于心，使用很广泛。

中考数学 一元二次方程组综合试题附答案

中考数学 一元二次方程组综合试题附答案 一、一元二次方程 1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2 ﹣（2k +1）x +4（k ﹣ 12 ）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】 当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ? ?-++-= ??? 解得：52k = 当52 k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4， ∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10； 当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣ 12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32 ， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ， ∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键． 2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用