【KS5U推荐】专题43 空间向量及其运算-巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描 Word版含解析

巅峰冲刺 山东省2020年高考数学一轮考点扫描

专题43 空间向量及其运算

一、【知识精讲】 1.空间向量的有关概念

2.(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念

①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .

②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ；

③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).

5.(1)直线的方向向量：如果表示非零向量

a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线

l 的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 6.空间位置关系的向量表示

[1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →

(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.

4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 二、【典例精练】

考点一 空间向量的数量积及应用

【例1】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，

AD ，CD 的中点，计算：

(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →.

【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →

＝c .

则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →

＝b －c ，

EF →

·BA →＝? ??

??

12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14

，

(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →)

＝? ????－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝? ????－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)

＝? ??

??－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )

＝12? ?

???－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12

＝1

2

. 【解法小结】 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.

2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ?a ·b ＝0； (2)|a |＝a 2

；

(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|a ||b |

.

考点二 用空间向量证明平行和垂直问题

【例2】 如图正方形ABCD 的边长为22，四边形BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的中点，

FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .

(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .

【解析】 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，

又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，

故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，

B (1，2，0).

BC →

＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →

＝(－1，－2，3).

(1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即???－2x －2y ＝0，

x ＋3z ＝0，

取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →

＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →

＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →

⊥n ， 又AE ?平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .

(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →

＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ，

AE ，AF ?平面AEF ，

∴CF ⊥平面AEF .

【解法小结】 1.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 2.用向量证明垂直的方法

(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 角度1 与平行有关的探索性问题

【例3－1】 (2018·西安八校联考)已知某几何体的直观图和三视图如图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.M 为AB 的中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得MP ∥平面CNB 1？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.

【解析】 由几何体的三视图可知AB ，BC ，BB 1两两垂直，AN ＝AB ＝BC ＝4，BB 1＝8.如图，分别以AB ，BB 1，

BC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (4，0，0)，B (0，0，0)，C (0，0，4)，N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4).

设平面CNB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z ). ∵NC →＝(－4，－4，4)，NB 1→

＝(－4，4，0)， ∴?????NC →·n ＝－4x －4y ＋4z ＝0，NB 1→·n ＝－4x ＋4y ＝0.

令x ＝1，可得平面CNB 1的一个法向量为n ＝(1，1，2). 设P (0，0，a )(0≤a ≤4).

由M (2，0，0)，得PM →

＝(2，0，－a ).

∵MP ∥平面CNB 1，∴PM →

·n ＝2－2a ＝0，解得a ＝1， ∴在线段CB 上存在一点P ，使得MP ∥平面CNB 1，此时BP ＝1. 角度2 与垂直有关的探索性问题

【例3－2】 如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直，已知BC ＝4，AB ＝AD ＝2.

(1)求证：AC ⊥BF ；

(2)在线段BE 上是否存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ？若存在，求出|BP |

|PE |的值；若不存在，请说明理

由.

【解析】(1)证明 ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AF ⊥AD ，AF ?平面ADEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .

∵AC ?平面ABCD ，∴AF ⊥AC .

过A 作AH ⊥BC 于H ，则BH ＝1，AH ＝3，CH ＝3， ∴AC ＝23，∴AB 2

＋AC 2

＝BC 2

，∴AC ⊥AB ， ∵AB ∩AF ＝A ，∴AC ⊥平面FAB ， ∵BF ?平面FAB ，∴AC ⊥BF .

(2)解 存在.由(1)知，AF ，AB ，AC 两两垂直.

以A 为坐标原点，AB →，AC →，AF →

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －

xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (－1，3，2).

假设在线段BE 上存在一点P 满足题意，则易知点P 不与点B ，E 重合， 设

|BP ||PE |＝λ，则λ>0，P ? ??

??2－λ

1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ. 设平面PAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z ).

由AP →＝? ????2－λ1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ，AC →＝(0，23，0)，

得???m ·AP →＝2－λ1＋λx ＋3λ1＋λy ＋2λ

1＋λz ＝0，

m ·AC →＝23y ＝0，

即?

???

?y ＝0，z ＝λ－22λx ，

令x ＝1，则z ＝λ－22λ

，

所以m ＝? ????1，0，λ－22λ为平面PAC 的一个法向量. 同理，可求得n ＝? ??

??

1，

33，1为平面BCEF 的一个法向量. 当m ·n ＝0，即λ＝2

3时，平面PAC ⊥平面BCEF ，

故存在满足题意的点P ，此时|BP ||PE |＝2

3

.

【例3—3】已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2

＋4y 2

＋(1－x －y )2

的取值范围为( )

A.????

??23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]

【答案】A 【解析】设

1－

x ＋y

2

＝z ，则问题等价于x ＋y ＋2z ＝1，满足x ，y ，z ≥0，求4(x 2＋y 2＋z 2

)的取值范围．

设点A ?

????0，0，12，B (1,0,0)，C (0，1,0)，

所以点P (x ，y ，z )可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点， 则|OP |2

＝x 2

＋y 2

＋z 2

，于是问题可以转化为先求|OP |的取值范围． 显然|OP |≤1，设点O 到平面ABC 的距离为h ， 则V O -ABC ＝V A -OBC ，

所以13×12×2×32×h ＝13×12×1×1×1

2，

解得h ＝

66，所以6

6

≤|OP |≤1， 所以|OP |2∈??????16，1，即4(x 2＋y 2＋z 2

) ∈????

??23，4.

故答案为A.

【解法小结】 解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.

(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如

xOy 面上的点为(x ，y ，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0，0，z )；④直线(线段)AB 上

的点P ，可设为AP →＝λAB →

，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算. 三、【名校新题】

1．(2018·珠海模拟)已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD →⊥BC →，则|AD →|等于( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6 【答案】 B

【解析】 ∵点D 在z 轴上，∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →

＝(－1，－2,1)，由AD →

⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0，∴m ＝4，AD →＝(－1,1,1)，|AD →

|＝1＋1＋1＝ 3.故选B.

2．(2018·山东临沂模拟)若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( )

A ．l ∥α

B ．l ⊥α

C ．l ?α

D ．l 与α斜交 【答案】 B

【解析】 ∵a ＝(1，0，2)，n ＝(－2，0，－4)，即n ＝－2a ，故a ∥n ，∴l ⊥α．

3．(2018·黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，则有( ) A.AB →·C 1A →＝a 2 B ．AB →·A 1C 1→＝2a 2 C.BC →·A 1D →＝a 2 D ．AB →·C 1A 1→＝a 2

【答案】 C

【解析】 建系如图．

则AB →·C 1A →＝(a,0,0)·(－a ，－a ，－a )＝－a 2

， AB →·A 1C 1→

＝(a,0,0)·(a ，a,0)＝a 2， BC →·A 1D →

＝(0，a,0)·(0，a ，－a )＝a 2，

AB →

·C 1A 1→＝(a,0,0)·(－a ，－a,0)＝－a 2，故只有C 正确．

4．(2018·河南安阳联考)设平面α的一个法向量为n 1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n 2＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．－2 D ．4 【答案】 D

【解析】 ∵α∥β，∴n 1∥n 2，由题意可得－21＝－42＝k

－2

，∴k ＝4．

5．(2019·西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条棱和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →

的值为( ) A ．a 2

B.12a 2

C.14a 2

D.34a 2

【答案】 C

【解析】 AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2

cos60°)＝14

a 2.故选C.

6．(2018·河北衡水月考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心．若向量A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →

，

则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝1，y ＝12

C ．x ＝12，y ＝12

D ．x ＝1

2，y ＝1

【答案】 C

【解析】A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →

=

,所以x=y=1

2

7．(2018·舟山模拟)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →

|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→

|等于( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．8

【答案】 A

【解析】 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2

＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→

|＝5.故选A.

8．(2018·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →

的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66 B.66

C ．－

66

D ．± 6

【答案】 C

【解析】 OA →＋λOB →

＝(1，－λ，λ)，cos120°＝λ＋λ

1＋2λ2

×2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不符合题意，舍去， ∴λ＝－

6

6

.故选C. 9．(2018·南充三模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题：

①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2

； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →

)＝0；

③向量AD 1→与向量A 1B →

的夹角为60°；

④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →

|. 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①④ D ．①②④

【答案】 A

【解析】 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图．

A 1A →＝(0,0,1)，A 1D 1→＝(1,0,0)，A 1

B 1→＝(0,1,0)，A 1

C →＝(1,1,1)，A

D 1→

＝(1,0，－1)，

所以对于①，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3A 1B 1→2

，故①正确； 对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →

)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确；

对于③，因为AD 1→·A 1B →＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量AD 1→与向量A 1B →

的夹角为120°，故③错误；

④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →||AA 1→|·|AD →|，但是|AB →·AA 1→·AD →

|＝0，故④错误．故选A.

10．(2019·广西模拟)A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →

＝0，M 为

BC 中点，则△AMD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

【答案】 C

【解析】 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12

(AB →＋AC →

)．

∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12

AC →·AD →

＝0，∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．故选C.

11．(2018·合肥质检)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，点M 是BC 的中点，点P ∈AC 1，Q ∈MD ，则PQ 长度的最小值为( ) A ．1 B ．43 C ．23

3

D ．2

【答案】C

【解析】 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 设P (x 0，2x 0，3－3x 0)，

Q (x 1，2－x 1，3)，x 0， x 1∈[0，1]，所以 PQ ＝

x 0－x 1

2

＋2x 0＋x 1－2

2

＋3－3x 0－3

2

＝

2?

????x 1＋

x 0－222＋272? ??

??x 0－29

2＋4

3

， 当且仅当x 0＝29，x 1＝8

9时，PQ 取得最小值，

即PQ min ＝

43＝233

． 12．(2018·贵阳模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2．若二面角B 1－

DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )

A ． 2

B ． 3

C ．2

D ．

22

【答案】A

【解析】 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)

设AD ＝a ，则D 点坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→

＝(0，2，2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，

y ，z )．

则???

??

m ·CB 1→＝0，

m ·CD →＝0

?????

?

2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0.

令z ＝－1，

得m ＝(a ，1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，则由cos60°＝m ·n |m ||n |，得1a 2＋2＝1

2

，

即a ＝2，故AD ＝2．

13.(2019·西安调研)已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →

＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________. 【答案】25

7

【解析】 由条件得????

?3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，

解得x ＝407，y ＝－15

7

，z ＝4，

∴x ＋y ＝407－157＝25

7

.

14．(2018·江苏启东中学期中)已知向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，若向量a ，

b ，

c 共面，则λ＝________.

【答案】 3

【解析】 因为a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，且a ，b ，c 共面，所以存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，所以(13,6，λ)＝(2x －y ，－x ＋3y,2x －3y )，即????

?

2x －y ＝13，－x ＋3y ＝6，

2x －3y ＝λ，

解得????

?

x ＝9，y ＝5，

λ＝3.

15．(2018·郑州调研)已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于________． 【答案】 －9

【解析】 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴????

?

2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，

解得λ＝－9.

16．(2018·包头模拟)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝

3

3

，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．

【答案】 (1,1,1)

【解析】 由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，

设P (0,0，a )(a >0)，则E ? ????1，1，a 2，所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝?

????－1，1，a 2，|DP →|＝a ，

|AE →|＝

－1

2

＋12

＋? ??

??a 22

＝

2＋a 2

4＝8＋a

2

2

.

又cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以0×－1＋0×1＋

a 2

2a ·

8＋a

2

2＝33，解得a 2

＝4，即a ＝2，所以E (1,1,1)． 17. (2019·桂林模拟)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1

的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .

(1)求证：BD ⊥AA 1；

(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°， ∴A 1O 2

＝AA 2

1＋AO 2

－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2

＋A 1O 2

＝AA 2

1， ∴A 1O ⊥AO .

由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ?平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD . 以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，

0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).

由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→

＝(0，1，3)，

AA 1→·BD →

＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，

∴BD →⊥AA 1→

，即BD ⊥AA 1.

(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→

，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3). 从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →

＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，

则?????n 3⊥A 1C 1→，

n 3⊥DA 1→，

又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→

＝(3，0，3)，

则???2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，

取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，

则n 3⊥BP →，即n 3·BP →

＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .

18．(2018·齐鲁名校调研)如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上．

(1)当AB ＝2时，证明：平面SAB ⊥平面SCD ；

(2)若AB ＝1，求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值． 【解析】 (1)证明：过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ， 依题意得SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AB ，SO ⊥CD ， 又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，

∴AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ． 在△SAB 中，利用勾股定理得

SA ＝SB 2－AB 2＝4－2＝2，

同理可得SD ＝2．

在△SAD 中，AD ＝2，SA ＝SD ＝2， ∴SA 2

＋SD 2

＝AD 2

，即SA ⊥SD ． ∵AB ∩SA ＝A ，∴SD ⊥平面SAB ， 又SD ?平面SCD ，∴平面SAB ⊥平面SCD ． (2)连接BO ，CO ，∵SB ＝SC ，SO ⊥平面ABCD ， ∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ，∴BO ＝CO ，

又四边形ABCD 为长方形， ∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD ．

取BC 的中点为E ，连接OE ，得OE ∥AB ，连接SE ，易得SE ＝3， 其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12

＝2．

易知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA →，OE →，OS →

所在方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 则B (1，1，0)，C (－1，1，0)，D (－1，0，0)，S (0，0，2)， ∴DC →＝(0，1，0)，SC →＝(－1，1，－2)，BC →

＝(－2，0，0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量， 则有???

?? m ·DC →＝0，

m ·SC →＝0，

即??

? y 1＝0，

－x 1＋y 1－2z 1＝0，

令z 1＝1，得m ＝(－2，0，1)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量， 则有???

??

n ·BC →＝0，

n ·SC →＝0，

即??

?

－2x 2＝0，

－x 2＋y 2－2z 2＝0，

令z 2＝1，得n ＝(0，2，1)，

则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝13×3＝1

3

．

∴平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为1

3

．

学案37 空间向量及其运算(理科 )

空间向量及其运算（理科 ） 一、 学习目标： 1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理： 6、空间向量分解定理： 7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。 （4）数量积满足的运算律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos= ____________ 三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且 OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = . （2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ） （A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3] （4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理

3.1.1空间向量及其运算

3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图

空间向量及其运算测试题

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形

第七章 第六节 空间向量及其运算(理)

第七章 第六节 空间向量及其运算（理） 1. AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12 (AB ＋BC ＋CD )化简 的结果为 ( ) A ．BF B ．EH C ．HG D ．FG 解析：12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC ＋CD )＝12AD ＝12 ·2HG ＝HG . 答案：C 2．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点， 若AB ＝a ，11A D ＝b ，11A A ＝c ，则下列向 量中与1B M 相等的向量是 ( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －1 2b ＋c 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则， 1B M ＝1B B ＋BM ＝c ＋12BD ＝c ＋12(AD －AB )＝－12a ＋1 2 b ＋ c . 答案：A 3.A 点是否共面________(共面或不共面)． 解析：AB ＝(3,4,5)，AC ＝(1,2,2)， AD ＝(9,14,16)， 设AD ＝x AB ＋y AC . 即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，

∴? ???? x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 答案：共面 4．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是A 1D 1、D 1D 、D 1C 1的中点． 求证：平面EFG ∥平面AB 1C . 证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 则EG ＝1ED ＋1D G ＝1 2(a ＋b )，AC ＝a ＋b ＝2EG ， ∴EG ∥AC ， EF ＝1ED ＋1D F ＝12b －12c ＝12(b －c )， 1B C ＝11B C ＋1C C ＝b －c ＝2EF ，∴EF ∥1B C . 又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交， ∴平面EFG ∥平面AB 1C . 5. 点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( ) A ．2BA ·BC B ．2AD · BD C ．2FG ·CA D ．2EF ·CB 解析：〈AD ，BD 〉＝π3，∴2AD ·BD ＝2a 2×cos π 3 ＝a 2. 答案：B 6．(2010·长沙模拟)二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝α，BD ＝2a ，则CD 的长为 ( ) A ．2a B.5a C ．a D.3a 解析：∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴〈AC ,BD 〉＝60°，且AC · BA ＝0，AB ·BD ＝0， ∴CD ＝CA ＋AB ＋BD ， ∴|CD |

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a = 43（a ﹣b ）+2 3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b = 43（b ﹣a ）+2 3 （b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确； 对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ?2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1 2 （a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ． 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =， AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ） A ．12 a b c -++ B ．a b c -++ C ．12 a b c --+ D ．12 a b c -+ 【答案】A

【解析】 N 是BC 的中点， 11111 222 A N A A A B BN a b B C a b A D a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选：A. 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） A ．111 333OA OB OC ++ B ．111 234OA OB OC ++ C ．111244 OA OB OC ++ D ．111446 OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1 2 OG OA AD =+ 11 ()22OA AB AC =+?+ 1 ()4OA OB OA OC OA =+?-+- 111 244 OA OB OC =++ 故选:C. 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =， AD b =，1AA c =，则CE =（ ）

空间向量及其运算和空间位置关系 练习题

空间向量及其运算和空间位置关系 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ， z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→ 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1 2 b ＋c 解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→ )＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c. 3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→ (x ， y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→ ，根据共面向量定理

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题 一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为1 2的是 （ ） A. BC AB ? B. BD AB ? C.DA AB ? D.AC AB ? 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 5．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A ．a B ．b C ．c D ．2a 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ）

(教案)空间向量及其运算

空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +OB ). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的

空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ， 11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2 121 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2 1 21 2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r 与的夹角是（ ） A ．0 B ． 2 π C ．π D ． 32 π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ， a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ． c b a 21 2132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 2 13232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=?=?=?AD AB ，AD AC ， AC AB ，则BCD 是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 图

空间向量及其运算

空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.

3.1空间向量及其运算教案(经典例题及答案详解)

3.1 空间向量及其运算 第一课时 3.1.1 空间向量及其加减运算----3.1.2 空间向量的数乘运 算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D - （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）

3.1空间向量及其运算测试题(答案)

1 A．-a+b+c B．a+b+c C．a-b+c D．-a-b+c A．OM=2OA-OB-OC B．O M=OA+OB+OC 1 C．（－，，－1）D．（2，－3，－22） 2 C．π N A．a-b+c B．-a+b+c C．a+b-c D．a+b-c 精心整理 新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD—A B C D中，M为AC与BD的交点，若A B=a， 1111 A D=b，A A=c.则下列向量中与 B M相等的向量是（） 1111 1111 2222 1111 2222 图 2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（） 111 532 C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0 3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=900， ∠BAA'=∠DAA'=600，则AC'等于（） A．85B．85C．52D．50 4．与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是（） A．（，1，1）B．（－1，－3，2） 3 13 22 5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（） A．0B．πD．3π2 6．已知空间四边形ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，为BC中点，则MN=（） 121 232 111 222 211 322 221 332 7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0，则?BCD是 （） A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定 8．空间四边形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=600，则cos O A，BC=（）

高二数学空间向量及其运算练习题

高二数学 空间向量及其运算练习题 题海冲浪： 一、基础题： 1、平面向量中，下列说法正确的是（ ） A 、如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等； B 、如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同； C 、如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等； D 、同向且等腰三角形长的有向线段表示同一向量。 答案： D 2、已知空间向量四边形 ABCD ，连结 AC 、 BD ，设 M 、G 分别 是 BC 、CD 的中点，则 MG AB AD 等于（ ） 3 A 、 DB B 、3MG D 、3GM D 、2MG 2 解析： BD AD AB,BD 2MG AD AB 2MG MG AB AD MG 2MG 3MG 答案： B 3、已知 a 2, b 3， a,b 600 ，则| 2a 3b |等于（ ） 解析： 2a 3b （2a 3b ）2 4a 2 12a b 9b 2 4 22 12 2 3 1 9 32 61 答案： C 4、已知 a,b,c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是（ ） A 、 2a,a b,a 2b B 、 2b,b a,b 2a 解析： A 中， 2a 4(a b) 2(a 2b) 排除 A 33 A 、 97 B 、97 C 、 61 D 、61 a,2 b, b c D 、 c,a c,a c

42 B 中， 2b (b a) (b 2a) 排除 B 33 11 D 中， c (a c) (a c) 排除 D 22 答案： C 5、已知非零向量 a,b 不平行，并且其模相同，则 a b 与 a b 之间的并系是( ) 7、已知 A 、B 、C 三点不共线，对平面 ABC 外一点 O ，分别根据条件： ( 1 ) OP 3OA 2OB 1OC ； ( 2 ) OP 2OA 3OB ； ( 3 ) 44 22 OP (sin 2 )OA 2OB (cos 2 2)OC ；(4)OP 3AB OC ； 能够确定 P 与 A 、B 、C 一定共面的有 解析：设 OP xOA yOB zOC 31 1) 中 x ,y 2,z ,x y z 1, P,A,B,C 不共面； 44 2) 中 x 2,y 3,z 0,x y z 1, P,A,B,C 共面； 3) 中 x sin 2 ,y 2, z cos 2 2,x y z 1, P, A,B, C 共面； 4) 中 OP 3AB OC 3(OB OA) OC 3OA 3OB OC x 3,y 3,z 1,x y z 1, P,A,B,C 不共面； 8、若 AB BE AB BC ，则 AB CE 解析：由题意得， AB (BE BC) 0 AB CE 0 AB CE A 、垂直 答案： B 、共线 C 、不垂直 D 、以上都可以 6、在空间四边形 AB 1 BC 3 DE AD 2 ABCD 中，连结 AC 、BD ，若 BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 2 答案： 0 的化简结果为