高宏第三章 最优控制
第三章 最优控制（上）-变分法
第一节 动态优化简介
一、静态优化问题
如果一个企业要确定一个最优产出水平x *以最大利润()F x ：
0max ()x F x ≥ （1）
这样的问题的解通常将是一数，即确定选择变量的单个最优值。最优值常可由一阶条件()0F x *'=确定。
动态问题是多期（multiperiod ）的，但是并不是有多期的时间就是动态问题．．．．．．．．．．．．．．．．．。考虑企业的多期决策问题：
1max (,)T
t t F t x =∑ （2）
(0,1)t x t T = 描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的
时间路径。显而易见，总利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的t x ）。但由于t 期利润只与t 期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可，即这一个问题的解是一个有T 个数
的集合，1
{,}T x x *
* 。所以由于任一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的．．．．
静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。问题（2）有类似的T 个一阶条件，各期的一阶条件之间没有联系。在Ramsey 模型的竞争性均衡结构中，生产者问题就具有这样的性质。
二、动态问题
具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未．．．．．来．
的利润。更为一般地来说，当前决策影响未来决策。
11
max (,,)
.. 0,1T
t t t t F t x x s t x t T
-=≥=∑
0x 给定或0(0)x x = （3）
在问题（3）中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，t 期选择的产量t x 不但影响t 期的利润，还会影响到以后的利润。注意，上述问题中已指定了0x 。0x 影响到了以后各期的利润（从而也影响到总利润）。
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T 个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径。．．．．．．．．．．．．．．每一产出路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个数值）到实数之间的映射关系叫泛函．．。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为目．标泛函．．．
。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。 问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时刻的产出（状态）已知。注意初始点有两个维度．．．．：时间与状态．．．．．。有时终结点也给定的，即已知结束的时间与状态。
三、连续时间情形
问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（4）与（5）：
max (,()) .. ()0T
F t x t dt s t x t ≥? （4）
00
max (,(),()) .. ()0, (0)T
F t x t x t dt s t x t x x ≥=? （5）
和前面一样，只有（5）才真正具有“动态”性质：即现在与将来相关。注
意（5）中是以()x
t 作为自变量，而（3）中是1t x -，其原因在于在连续时间下“以前时期”没有明确含义，所以用状态的变化率来表示这种动态性。
四、问题的不同形式
我们后面处理的动态优化问题都是连续的形式（离散时间问题的处理都可用拉格朗日方法，参见第一章作业）。动态优化问题会因端点（起始点与终结点）不同而所有不同。一般经济学中遇到的问题都可认为起始点已知，下面我们讨论不同终结点的变形。图1表述的固定终结点的三条不同时间路径A 、B 、C ，目
标函数是不同路径的泛函。这个问题中，终结点已知，时间为T ，状态为Z ，即
()x T Z =。
图2为垂直终结线（固定时间）问题；图3为水平终结线问题，图4为终结
曲线问题。在图2、3、4中，终结点要自由一些。图2中终结的时间已限定，但状态可自由变化；图3中相反；图4中时间与状态均未限定，但两者有一个约束条件()Z T φ=。
这三种形式的问题中，对路径的选择比前面固定终结点更自由，所以为了推导出最优的目标值，要对路径选择加以限制，
即以一个附加条件来确定所选的确切路径。这个条件就是横．截性条件（．．．．．TVC ．．．）．，它描述的是最优路径如何跨越（穿过）终结线。在固定终结点问题中已知了这样的条件，而可变端点（即终结点）时，要推导出一个条件。
五、三种处理方法
图2
图1
图3
图2
总体来说，有三种常用的处理动态优化问题的方法：变分法、最优控制和动态规划。
1、变分（variation ）是指状态的整个路径的变化（如产出t x 的变化）。变分的基本问题如下：
[][]0
max(min) ,(),()T
V y F t y t y
t dt =? .. (0)s t y A =，() y T Z =，A 、T 、Z 给定 （6） 回忆静态优化问题：max ()f x π=。其一阶条件为：
0()()
lim 0h d df f x h f x dx dx h
π→+-=== 可以这样看待这个一阶条件：假设已知最优值，它将满足的条件是，对它无穷小的扰动将对目标值没有影响。推导变分法一阶条件的思路和静态优化一样：假定已找到了使目标值最优的路径（极值曲线y *），给它一个很小的扰动ε，应有
0dV
d ε
=。差别是，在变分法问题中，扰动改变了整个时间路径而不是单个状态值。
变分法的特点：①直接从状态入手，即路径入手；②要求进入问题的函数可微；③处理角点解问题不方便。
2、最优控制
最优控制的基本问题为：
[][]0
max ,,T
V y F t y u dt =?
.. (,,)s t y
f t y u = ，(0)y A =，()y T 自由，A 、T 给定 （7） （7）与（6）不同：①进入目标函数的不是y
，而是u 。u 是控制变量，控制了y 的变动。方程y
f = 叫运动方程。②基本形式中()y T 自由，原因后述。 最优控制问题寻求解决问题的思路是试图找到最优的控制路径而不是状态路径入手。与变分法另有不同在于：①u 可跳跃，所以y 只要连续并分段可微；②处理角点问题方便些。
3、动态规划
动态规划一般处理离散、不确定性问题更方便。它关注的是最优值V *，寻找在不同阶段不同状态达到最优值的方法，即最优策略函数。基本方法是将最优化问题嵌入于一系列的优化问题之中，运用迭代的方法找到最优值函数和最优策略函数，思想为最优性原理：如果找到了整个问题最优路径A 、D 、H 、J 、Z ，则从D 所处时刻到最终这一时间段，如果这一时间段的开始路径是D ，这这一时间段的最优路径一定是D 、H 、J 、Z 。
第二节 变分法的一阶条件——欧拉方程
欧拉方程描述的是动态的一阶条件，即“相邻”时间的决策最优化规则。变分法最基本的问题如下：
[][]0
max ,(),()T
V y F t y t y
t dt =? .. (0)s t y A =，() y T Z =，A 、T 、Z 给定 （8）
其中y 必是连续可导的，F 二次可导的。注意问题（8）与问题（6）的唯一差别。
[][]0
max(min) ,(),()T
V y F t y t y
t dt =? .. (0)s t y A =，() y T Z =，A 、T 、Z 给定 （6）
一、欧拉方程的推导
按照第一节已经阐述的思路，假定y *是极值曲线（即最优的路径），由一个任意的扰动曲线()p t 和()y t *确定y ，其中ε是很小的数：
(0)()0 p p T == （9） y y p ε*=+ （10）
由（10）得到：
y
y p ε*=+ （11） 当0ε→时，y y *→，V →最大值。由不同的ε确定了不同的y 。可将由任意路径y 得到的值V 看作是ε的函数（不是泛函）[]V ε。由前面的分析可知，优化的一阶条件是
0dV
d εε
==。下面分三步推导欧拉方程。
【步骤1】：表述
dV
d ε
[][]0
,,T
V F t y p y
p dt εεε=*+*+? 0T d V F
dt d εε
?=??
()000
()0T T y
y T
T y y F dy F dy dt y d v
d F p F p
dt F pdt F pdt
εε??=+??=+=+=??
??
即：000T T y y dV
F pdt F pdt d ε
=+=?? （12） 【步骤2】消除p
用分部积分公式表述（12）中的后一个积分0
T
y F pdt
? ，可得： 0
0T
T
T T y y y y d d F pdt F p p F dt p F dt dt
dt ??=-=-???
?
? （13） 所以原问题优化的一阶条件变成了：
00000 T T y y T T y y dV
F pdt F pdt d d
F pdt p F dt dt
ε==+=-????
()T
y y dF p F dt dt
=-
? （14）
【步骤3】；消除p
由于p 是任意给定的一个函数，所以上式等于0必定与p 无关，即y y dF F dt
- 必等于0。见下面的引理。
【引理】：对于()g t ，如果1
2()()0t t g t p t dt =?，对于任一()p t 成立（()p t 如我
们上述定义），则有()0g t =。
由此得到一阶条件为：
0y y dF F dt
-
= （15）
此即欧拉方程（在任一[]0,t T ∈成立），它的积分形式为：
y y F F dt =? （16）
展开形式：
0yy yy ty y F y F y F F ++-= (17)
二、例题
【例2-1】：求极值曲线
[]2
20
(12)V y ty y
dt =+? .. (0)0s t y =，(2)8y =
解：
12y F =，2y F y
= ，2y d
F y dt
=
，2120y t -= 213y
t c ?=+ 312y t c t c *?=++
再由两个已知条件确定3120c c y t *==?= 【例2-2】：求最优路径
[]1
5
213().. (1)3
V y t y
dt s t y ??
=+????=?
(5)7y =
解：
12
13
223()110,(),(),024
y y yy yy ty F t y
F F y F y F F --=+?=====
由展开式得到：
321
()()04
y y t --= 0y ?= 1y
c ?= 12()y t c t c *?=+
由初始条件求得：11c =、22c =得到2y t *=+。 【例2-3】求极值曲线
[]5
20(3)V y t y y
dt =++? .. (0)0s t y =
(5)3
y = 解：
23F t y y
=++ 2y F y = =3y F
由微分式得
200y y dF F y y dt
=?=?=
这与(5)3y =矛盾，此问题无解 【例2-4】求极值曲线
[]0
T
V y ydt
=? (0)y α=， ()y T β=
解：
F f '=，0y F =，=1y F ，
0y dF dt =
欧拉方程总成立，V 的值与路径无关。实际上上式可直接积分：
[]7
T V y ydt
y βα===-?
注意：如果F 对y
是线性的，可能出现上两例中的情况：无解或总是成立。原因在于，如果F 对y
是线性的，欧拉方程不是二阶微分方程，可能是一阶的。但是两个初始条件可以确定两个积分常数，但是通解没有两个常数，所以通解除非很特殊地通过了端点，否则不能成为极值曲线。 三、解释：经济学的例子与“无套利条件” 【例2-5】生产与存货决策
企业在T 时交货B ，要求成本最小化。成本来自两个方面，一是存货成本
2()c x t ，()x t 是到t 时已生产的产品数量即存货，2c 是其单位成本；二是生产成本，
()dx x
t dt
= 是t 时的产量，生产成本[]2
1()c x t 即二次型的。 解：上述问题表述为
2120min (())()T
c x t c x t dt ??+?
?? .. (0)0 s t x = ()x T B =
用变分法求解：2x F c =，1=2x F c x
欧拉方程：212x x dF F c c x
dt
=
?=
积分：2
2121
()4c t x t k t k c =?++ 由边界条件决定1k 和2k ，所以21()()4c Bt x t t T t c T
=
-+。 我们用无套利思想解释欧拉方程212c c x =
。2c 是单位存货的成本（瞬时或单
位时间内），[]2
1()c x
t 是生产成本，12c x 是边际的生产成本，12c x 是生产边际成本变化率（对时间的）。这样，欧拉方程说的是，生产的边际成本变化率与持有存货的（瞬时）成本相一致。
进一步的，将欧拉方程两边积分：
1212122()2()t t t
t
t
c xds
c ds c x
t c c x t ++=?+=+?
?
（16） （16）式左边是在t 时生产一单位并持有 时间的边际成本（额外的成本），右边是将该单位产品安排在t + 时生产的边际成本（额外的成本）。这个式子说明，均衡时，在t 时生产与在t + 时生产应无差异，生产者不能从改变生产时机中获得额外的好处。
【例2-6】消费者优化问题
这是一个宏观经济学中最为重要的问题。问题形式为：
max (())T
t e u c t dt β-?
.. ()()()()s t rk t w t c t k
t +=+ 0(0)k k =，()T k T k =
这个问题不是变分法的标准形式，我们应首先消去c 将它变成变分法的标准形式，然后用变分法求解得到：
()t k F e u r β-'= ，=()t k F e u β-'-
(())
()t t d e u e u r dt
ββ--''-= （17）
（17）式就是欧拉方程。和上面的例子中一样，为了了解欧拉方程的经济含义首先对它积分，然后变形得到（参见Romer 《高级宏观经济学》）：
()[()]()[()]t t
s t t
e u c t e u c rds e u c t βββ+---+'''=++?
（18）
上式左边含义为，将一个单位消费品放在t 时消费的边际效用；右边含义为，该单位消费被推迟获到t + 时消费得利息增加的消费效用加上它在t + 时被消费获得的效用增量。所以，欧拉方程的含义为，在消费者已经获得优化的路径上，进一步改变消费的时机安排不能增加效用。
展开上例中欧拉方程会得到在宏观经济学中非常常见的形式：
()t t t e u c
e u e u r βββββ---''''--=
u u c u r β''''-= ()u c u r β'''-=-
u c
r u
β''-=-' 需要说明的是，欧拉方程仅仅是一阶条件。和静态优化问题一样，一阶条件只是说明了极值的特征。由于对本课程的学习而言，找到一阶条件就是够了，所以我们不会涉及到二阶条件的讨论。有兴趣的读者可以参见蒋中一《动态优化基础》。
第三节 可变端点的横截性条件
终结点可变情形对欧拉方程没有影响，依然按照前面的基本情形求解，这时只是多了一个横截性条件（代替基本情形中的固定端点条件）。初始点可变和终结点可变一样处理，但在经济学中的问题，初始点可变是很少见的，似乎没有什么意义，所以我们所说的可变端点就是指可变终结点。
一、一般横截性条件的推导
我们从终结点的时间与状态都自由的一般情形推导出相应的公式，然后在应用到具体情形中。为题形式如下：
[][]0
max ,,T
V y F t y y
dt =? .. (0)s t y A =， ()T y T y =
A 给定，T y 、T 自由 （18）
假定T *是最优终结时间，()y t *为最优路径，有一扰动曲线()p t 和任意小的数ε，任一时间变动量T 。这样我们将任一终结时间和路径表述为：
T T T ε*=+ （19）
()()()y t y t p t ε*=+ （20）
由此得到：
dT
T d ε
= （21） ()()()y
t y t p t ε*=+ （22） 由于T y 可变，我们仅仅假定(0)0p =，而不假定()p T 也为0。否则无法对终结时刻的状态进行扰动。由上面的这些假定，得到任一路径对应的函数值为：
()
(),,T V F t y p y p dt εεεε**
??=++???
（23）
注意：在不致引起误解的地方，文中省略了时间变量t 。推导横截性条件的步骤与基本情形中推导欧拉方程类似，我们分两步简单说明如下（实际上，欧拉方程与横截性条件是在这样的推导过程中一次性得到的，它们都是最优条件的一部分）：
【步骤1】表述[]V ε对ε的导数
应用莱布尼茨规则得到[]V ε对ε的导数为：
[]()0,(),()T dV F dT dt F T y T y
T d d εεεε
?=+?? （24） 式（24）中第一部分为：
()0
00
() T
T T y
y
F F dy F dy dt dt
y d y d F p F p
dt εεε???=+???=+?
??
T T
y y F pdt F pdt
=+?? 0
T T
T y y y d
F pdt F p p
F dt dt
??=+-???? 0()T y y y t T dF p F dt F p T dt =????=-+?????
?? （25） 由（21）式得（24）式中第二部分为[]t T F T = 。最优时有dV
d ε
=0，由此得到最优性条件：
[]0
()0T
y y y t T t T dF p F dt F p T F T dt ==??
??-++=?????
??
（26）
【步骤2】横截性条件TVC
（26）式中第一部分中p 任意，而后两项中都通过任意的T 有一定的联系。由于()p t 与()p T 、T 没有联系，所以要使上式成立，前一部分和后两部分必须分别为0。前一部分为0即为欧拉方程，由通过T 发生联系的后两部分为0可以推出横截性条件（TVC ）。
我们下面的目标是要消除()p T ，即以T 和T y 来表示()p T 。分析见下图。 AZ '是AZ 加上()p t ε（[0,]t T ∈）
而得。由于T 增加了T ε ，AZ '延伸到AZ ''，y 的位置升高()()T y p T y
T T εε=+ ，注意()y T T ε 是近似的。
()()T p T y y T T ε=- ()[]()y T t T t T
F y y
T T F T ==???-+??
0y y T t T
t T
F yF T F y ε==????=-+=????
由于上式对于任意的ε都成立，则必然对于1ε=也成立。所以我们得到一般TVC ：
0y y T t T t T F yF T F y ==????-+=???? （27）
二、TVC 特例：
实际问题中的TVC 总是以以下特定形式出现。 1、垂直终结线
T 固定可得0T = ，所以0y y T t T t T F yF T F y ==????-+=???? 为：
0y t T F =??=??
这有时又称为自然边界问题。 2、水平终结线
T y 固定，0T y = ，（27）式为：
0y t T F yF =??-=??
3、终结曲线：()T T Z T y y T φφ'==?=
有0y y t T
F yF F φ='??-+=?? 4、截断垂直终结线（T 固定，min T y y ≥） 如果是最大化问题，则TVC 为：
0y t T F =??≤?? ，min T y y *
≥，min ()0T y t T y y F *=??-=??
如果是最大化问题，则TVC 为：
0y t T F =??≥?? ，min T y y *≥，min ()0T y t T y y F *=??-=??
这是由KT 条件得到的结果。 5、截断水平（T y 固定，max T T ≤） 如果是最大化问题，则TVC 为：
0y t T F yF =??-≥?? ，max T T *
≤，max T 0y t T T F yF *=???
?--=???? 如果是最大化问题，则TVC 为：
0y t T F yF =??-≤?? ，max T T *≤， max T 0y t T T F yF *=???
?--=???? 【例3-1】
[]1
22
(1)T
V y y
dt =+? .. (0) 1 ()2s t y y T T ==-
解：最优路径是直线y at b *=+
122
(1)F y =+ ，1φ'=-，12
2
(1)y F y y -
=+ TVC ：1
1222
2(1)(1)(1)0t T
y
y y y -=++--+=
111t T
y
a y t *
=?=?=?=+ 【例3-2】
[]2
120
{()()}T
c x
t c x t dt +?
.. (0)0s t x =，()x T B =（T 可变，B 给定）
该问题的欧拉方程：2
2121()4c t x t k t k c =++ 横截性条件：[]2120()x T
F xF c x
c x T -=?=
由已知条件：(0)0x =和()x T B =
222112
222
2112111042()()44k c T B k T
c c T c T k C c k T c c ??
=???
?=+??
??+=+?? 20k ?=，1
122
2()Bc T c =
第四节 进一步的扩展
一、无限计划水平问题
无限计划水平即时间趋向于无穷T →∞。这时，欧拉方程同前，横截性条件有所改变。在经济学的问题中，通常由均衡条件可知状态变量趋向于某一值：
lim ()t y t y ∞→∞
= （28）
（28）式本身就充当了横截性条件。这个条件实际上就是固定终结点问题
()y T Z =在t →∞的一个变化版本。
单纯从数学的角度来看，t →∞时存在积分收敛的问题。但是一般在经济学中的问题本身带有贴现因子且F 有界，这不是一个严重的问题。即，经济学中
一般出现的是无限自治问题：0
(;)t e F x x
dt β∞
-? ，这类问题隐含着一个终结状态——稳态y ∞，也就是上面的式（28），它在大部分问题中就充当了横截性条件。 【例5-1】
我们以一个计划者（代表性主体）的Ramsey 问题来说明这一点：
00
max ()()(0)T
t u c e dt
k f k nk c k k β-=--=? 化成熟悉的形式，上面的问题实际上是：
max [()](0)T
t u f k nk k
e dt k k β---=?
欧拉方程：()u c
f n u β'
'=---''
如果T 已知，()k T 自由，则横截性条件为：
0t
t
k t T
t T
t T
F u e u e ββ--===''=-==
如果T 已知，()0k T ≥，则横截性条件为：
0,0t T k t T t T
k F u e β-=='≥=-≤
0t T
t T
u e k β-='-=
如果T →∞，()0k T ≥，则横截性条件为：
lim 0T T T u e k β-→∞
'=
但是由于有稳态lim (),lim ()t t k t k c t c **→∞
→∞
==，上面的横截性条件多余，没有什
么意义了。这时充当横截性条件作用的就是lim ()t k t k *→∞
=。
二、多状态变量
多状态变量的问题不会增加多少理解上的难度，只是对每一个状态变量都有一个欧拉方程，从而形成欧拉方程组而已。
问题形如：
[]1110
,(,,,)T
n n n V y y F t y y y
y dt =? 欧拉方程组
0yi yi dF F dt
-
= ，对每一1i n = 。
三、约束问题
约束则是一个真正的重要问题（我们这里所说的约束是指路径约束，而不是端点约束）。约束使得欧拉方程的表述发生改变，改变的规则和静态优化中由无．．．．．．．．．．．．．约束优化变为约束优化基本类似，即将目标函数变为相应地拉格朗日函数，一阶．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．条件不是建立．．．．．．在目标函数的基础上，而是建立在拉格朗日函数基础上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（如下省略边界条件）。
1、等式约束（约束中没有微分形式） 问题形如：
110
(,,)T
n n V F t y y y
y dt =? 111
1(,)..(,)m n m n g t y y c s t g t y y c
?=?
??=?
这样的约束中只有状态变量而没有其时间导数，且m n <。
1()m
i i i i F c g λ==+-∑L
求解欧拉方程的方法是以L 代替无约束问题中的F ，得到：
0i i y y d dt
-
=L L
再加上约束条件0i i c g -=即可求出。 2、微分方程约束
约束方程中含有i y
项，同上处理。 3、不等式约束
约束变为如下形式：
111111(,,)..(,,)n n m n n m
g t y y y
y c s t g t y y y y c ?≤?
??≤?
注意是“≤”。
欧拉方程与等式约束相同，另外加上互补松弛关系：()0i i i c g λ-=。 4、等周约束
等周在资源萃取问题中很普遍。
1
1110110
.. (,,) (,,)T
n n T
m
n n m s t G t y
y y y dt k G t y
y y y dt k ==??
F G λ=-L （λ=常数）
四、残值（Salvage Value ）问题 残值问题形如：
10
(,,)(,)T
F t x x
dt G T x +?
0.. (0)s t x x = 已给定
要点：加上残值对欧拉方程没有影响．．．．．．．．．，仍为x x dF F dt
=
。只有TVC 作如下变化：
1、若终结时间T 给定，()x T 自由，则TVC 为：0x x F G += ；
2、若T 自由而()x T 给定，则TVC 为：-0x t F xF G += ；
3、如果T 与()x T 满足如下关系为()T R T x =，则TVC 为：
()0x x t
F F R x
G R G +-++= 。
第三章 最优控制（下）
第一节 最大值原理概述
在变分法中，首要关注的是最优状态路径()y t *，由它确定最优值；在最优
控制中，寻求一个控制变量u 的最优控制时间路径()u t *；而动态规划关注的是最优值函数V *，通过它寻求一个最优策略函数，即控制对状态的反应()u x *。后者在离散与不确定性问题中更重要。
一、最优控制的最简单问题 最优控制的最简单问题是：
max (,(),())T
V F t y t u t dt =?
.. (,(),())s t y
f t y t u t = (0)y A =，()y T 自由，A 、T 给定 （1）
有时也指定u 的变化区域：()U u t ∈。与变分法不同，最简单的最优控制问题中的()y T 是自由的，因为推导过程中，我们是使()u t （而不是()y t ）任意变化来找到最优值。从直观上讲，如果限定了()y T ，()u t 不能真正任意变化。此外,与变分法不同，()y t 不要求全局可微，只要求分片(piecewise)可微即可；()u t 的要求是分片连续。在最优控制问题中，选择的变量是()u t ，可直接处理()u t 的约束问题，并且容许角点解。
二、共态变量λ（或协态变量，costate variable ）和汉密尔顿函数H 问题的求解中我们要用到一个关键的表达即汉密尔顿函数H ：
(,(),(),())(,(),())()(,(),())H t y t u t t F t y t u t t f t y t u t λλ=+ （2）
()t λ是一个动态的乘子函数，它实质上就是动态的拉格朗日乘子，所以具有与拉格朗日乘子同样的含义。在后面的表述中，在不引起歧义的情况下，我们将省略()t λ、()y t 与()u t 中的隐含自变量t 。
三、最大值原理
我们先给出最大值原理的结果，熟悉了以后再来推导与解释。最大值原理为，问题（1）的解满足下列式子：
(,,,)u
Max H t y u λ，[0,]t T ∈ （3）
(,,)H
y
f t y u λ
?==? （4） H
y
λ
?=-? （5） ()0T λ= （6）
（3）式为最优性条件；（4）式为可行性条件，它实际上就是已知的约束；（4）式是关于乘子的运动方程（也有人称之为欧拉方程）；（6）式为横截性条件。（3）式实质上是下式的一般化：
=0H
u
?? （7） 大部分情况下（7）式与（3）是等价的。但是当()u t 不可微（如在边界上）、H 关于()u t 线性等情况时，
（7）式是不适用的。 四、例题
【例1-1】求下面的动态优化问题
1
22
0max (1)T
V u dt =-+?
.. s t y
u = (0)y A =，()y T 自由，A 、T 给定
解：第一步建立汉密尔顿函数
1
22
(1)H u u λ=-++
H 关于u 非线性且u 未指定控制域，所以肯定是内点解， =0H
u
??适用。 首先，由（7）式有：
1
2
21(1)(2)02
H u u u λ-?=-++=? 12
2
(1)u u λ-
?=+
2221(1)u u λ-?=+
2222u u λλ?+= 222(1)u λλ?-=
浅谈最优控制
浅谈最优控制 发表时间：2008-12-10T10:25:09.263Z 来源：《黑龙江科技信息》供稿作者：李晶1 陈思2 [导读] 主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。 摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控制的问题。关键词：最优化；最优控制；极值 最优控制是最优化方法的一个应用，如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。（1）最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域，它存在着巨大的开发潜力，尤其是对于学电工学的学生来说。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展。（2）最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策，使工作结构简单，工作效率最高化，节省了很多时间。（3）最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。（4）最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。下面着重来解释一下最优控制。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。1948年维纳发表了题为《控制论——关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所著的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接促进了最优控制理论的发展和形成。 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，即系统的数学模型，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。 1 古典变分法 研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。 2 极大值原理 极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。 3 动态规划 动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。随着社会科技的不断进步,最优控制理的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。但它在理论上还有不完善的地方，其中两个重要的问题就是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化和实用性问题。大体上说，在最优化理论研究和应用方面应加强的课题主要有：（1）适合于解决工程上普遍问题的稳定性最优化方法的研究；（2）智能最优化方法、最优模糊控制器设计的研究；（3）简单实用的优化集成芯片及最优化控制器的开发和推广利用；（4）复杂系统、模糊动态模型的辩识与优化方法的研究；（5）最优化算法的改进。相信随着对这些问题的研究和探索的不断深入，最优控制技术将越来越成熟和实用，它也将给人们带来不可限量的影响。 参考文献 [1]胡寿松.最优控制理论与系统[M].（第二版）北京：科学出版社，2005. [2]阳明盛.最优化原理、方法及求解软件[M].北京：科学出版社，2006. [3]葛宝明.先进控制理论及其应用[M].北京：机械工业出版社，2007. [4]章卫国.先进控制理论与方法导论[M].西安：西北工业大学出版社，2000.
随机控制理论
随机控制理论的一个主要组成部分是随机最优控制，这类随机控制问题的求解有赖于动态规划的概念和方法。 简介 随机控制理论 随机控制理论的目标是解决随机控制系统的分析和综合问题。维纳滤波理论和卡尔曼-布什滤波理论是随机控制理论的基础之一。 内容 控制理论中把随机过程理论与最优控制理论结合起来研究随机系统的分支。随机系统指含有内部随机参数、外部随机干扰和观测噪声等随机变量的系统。随机变量不能用已知的时间函数描述，而只能了解它的某些统计特性。自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，前者可以通过观测来确定系统的状态，后者则不能。随机系统是不确定性系统的一种，其不确定性是由随机性引起的。严格地说，任何实际的系统都含有随机因素，但在很多情况下可以忽略这些因素。当这些因素不能忽略时，按确定性控制理论设计的控制系统的行为就会偏离预定的设计要求，而产生随机偏差量。 涉及领域 飞机或导弹在飞行中遇到的阵风，在空间环境中卫星姿态和轨道测量系统中的测量噪声，各种电子装置中的噪声，生产过程中的种种随机波动等，都是随机干扰和随机变量的典型例子。随机控制系统的应用很广，涉及航天、航空、航海、军事上的火力控制系统，工业过程控制，经济模型的控制，乃至生物医学等。 研究课题 随机控制理论研究的课题包括随机系统的结构特性和运动特性(如动 态特性、能控性、能观测性、稳定性)的分析，随机系统状态的估计，以及随机控制系统的综合（即根据期望性能指标设计控制器）。随机系统中含有随机变量，所以在研究中需要使用随机过程的基本概念和概率统计方法。严格实现随机最优控制是很困难的。对于线性二次型高斯(LQG)随机过程控制问题,包括它的特例最小方差控制问题，可以应用分离原理把随机最优控制问题分解成状态估计问题和确定性最优控制问题，最终能得到全局最优的结果。但对于一般的随机控制问题应用分离原理只能得到次优的结果。随机状态模型
TOC理论简介
T O C理论简介 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
1、TOC理论简介： 在现今企业管理的哲学世界里，TOC制约法被很多业界专家誉为“简单而有效的常识管理”。专家们甚至认为，比起此前的MRP（物料需求计划）、LEAN（精益生产）和6Sigma（六西格玛）等企业生产方式，TOC 更胜一筹。 事实上，在包括中国在内的全球市场，小至不足50人的小厂，大至跨国企业，如通用汽车、宝洁，AT&；T、飞利浦、波音、3M、美国国家半导体公司、英特尔等都成功运用了TOC管理法，令企业保持活力。 TOC理论的成功，让发明人高德拉特一举成名。这位曾经当过物理学家的企业管理大师，开始被赋予越来越多的光环：财富杂志称他为“工业界大师”，商业周刊形容他为“奇才”…… 不过，对于以上种种，高德拉特显得十分谦逊。他对记者说：“它们（包括TOC在内的管理哲学）都是大拼图当中很小的一部分。” 事实上，TOC理论认为，一个不管看上去多么复杂的公司系统，最终都是由一个制约因素（或称为“瓶颈”）所控制的。制约因素决定了公司上下所有的问题，找到这个因素，让其他环节都迁就它，为它“松绑”，为它“减压”，公司的改善便能卓有成效。 指约束管理/约束理论（theory of constraints ，TOC) 简单的讲，约束理论是关于企业应作哪些变化以及如何最好地实现这些变化的理论。具体一些，约束理论是这样一套管理原则——帮助企业找出目标实现过程中存在的障碍，并实施必要的改变来消除这些障碍。约束理论认为，对于任何一个系统来说，如果它的投入/产出过程可以按环
SAP&SIEBEL简介
附件1 SAP简介 一、SAP公司简介 SAP创立于1972年的德国，是全球商业软件市场的领导厂商，提供优质的应用程序和服务，帮助超过25个行业内各种规模的企业实现卓越运营。根据市值排名为全球第三大独立软件制造商。在全球120多个国家拥有109,000个企业客户，其中包括财富500强80%以上的企业，并在包括欧洲、美洲、中东及亚太地区的50个国家雇用52,921名员工。SAP是一家上市公司，其股票在包括法兰克福证券交易所、纽约证券交易所等全球多家证交所挂牌上市。 SAP的核心业务是销售其研发的商业软件解决方案及其服务的用户许可证。SAP解决方案包括标准商业软件及技术以及行业特定应用，主要用途是帮助企业建立或改进其业务流程，使之更为高效灵活，并不断为该企业产生新的价值。 二、SAP在中国 SAP公司早在八十年代就开始同中国的国营企业合作，并取得了成功经验。1995年在北京正式成立SAP中国公司，并陆续建立了上海、广州、大连分公司。SAP以信息技术为核心不断推出适应企业管理需求和符合企业行业特点的商务解决方案，并汇同合作伙伴帮助中国企业进行管理改革，增强竞争力。作为中国ERP市场的绝对领导者，SAP的市场份额已经达到30%，年度业绩以50%以上的速度递增。 SAP在中国拥有众多的合作伙伴，包括中国石化、IBM、HP、Sun、美盈森、埃森哲、毕博、凯捷中国、德勤、源讯、汉得、高维信诚、神州数码、太极计算机、东软软件、汉普、新波信息科技、北京龙象信益、清华紫光，方正科技、华软新元、广东新盛通、明基逐鹿等。SAP在众多的项目中与这些伙伴密切合作，将先进的管理理念和方法转变为切实帮助中国企业成功的现实。 自1997年就已开始从事软件开发的SAP中国研究院于2003年11月正式成立，同时升级为SAP全球八大研究院之一。作为SAP全球分支机构中发展最为迅速的机构，目前已有来自全球的1000余名研发人员。通过与SAP全球研发网络的紧密合作，SAP中国研究院目前的工作范围覆盖了企业应用级解决方案研发流程的全部环节，并致力于为中国，亚太区乃至全球的客户提供创新的、全面的企业应用级解决方案。
最优控制问题求解方法综述(中英双语)
最优控制问题求解方法综述 Summary of approaches of optimal control problem 摘要：最优控制问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。解决最优问题的主要方法有变分法、极小值原理和动态规划法，本文重点阐述了各种方法的特点、适应范围、可求解问题的种类和各种方法之间的互相联系。 Abstract：Optimal control problems are to find an optimal control law or design a optimal control program or system according to various kinds of different research objects and the aim people want. The approaches to solve optimal control problems generally contain variational method, the pontryagin minimum principle and dynamic programming. This paper mainly states characteristics, range of application, kinds of the solvable problems of each approach and the association between these three methods. 关键词：最优控制、变分法、极小值、动态规划 Keywords: optimal control , classical variational method , the pontryagin minimum principle , dynamic programming 正文： 最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。 Optimal control theory is a main branch of modern control theory, which focuses on studying basic conditions and synthetic approaches of optimizing systematic performance index. Optimal control theory is a subject studying and solving for the optimal solution from all possible control solutions. What it study can be summarized in this way: given a manipulated dynamic system or motor process, we are supposed to find a optimal control solution from allowable solutions of the same category, making the systematic movement transfer to the appointed state from a original state and getting a optimal performance index at the same time. And this kind of problems exist in technology field or social problems. 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变
(TOC约束理论)关于长沙黄花国际机场组建AOC和TOC的探讨
关于在长沙黄花国际机场组建AOC和TOC 的探讨 根据集团公司对长沙机场运营管理和业务流程模式调查报告批示精神，长沙黄花国际机场各一线单位管理人员对AOC和TOC的组建进行分析和探讨，并对相关资料进行搜集汇编，以下将AOC和TOC的相关情况汇报如下： 一、AOC和TOC的概念 AOC是机场运行中心（Airport Operation Center）的简称。AOC作为机场运行控制中心和飞行区区域运行管理主体的地位，其管理范围主要包括机场运行现场和飞行区安全运行管理。它是机场运行管理和应急指挥的核心，是机场日常航班安全生产和旅客服务现场的最高协调管理机构。 TOC是航站楼运行管理中心(Terminal Operation Center)的简称,它是机场航站区运行的区域管理者,是航站楼内日常运营,安全生产和服务保障核心机构,是整个航站楼现场运行的指挥中心.TOC定位于整个航站区的日常管理主体和指挥中心,是航空公司客运的保障和支持中心,是驻楼单位和旅客遇到困难时的协调和指导中心,TOC对整个航站区的日常运营和航站区内各驻楼单位进行统一管理。 二、AOC和TOC的运作模式简介 （一）AOC的运作
核心模式是：“集中指挥+分级管理”。集中指挥体现在由AOC 统一管理整个机场关键性的业务，负责各中心之间的协调、应急事件的统一指挥；各中心指挥所属区域的日常运行、服务与安全。分级管理体现在AOC、各中心及各中心指挥体系下各部门的管理与运作。 AOC单体的主要功能又分解为：营运指挥中心、应急指挥中心、信息中心三个核心功能。 营运指挥中心的功能定位设计主要为所辖范围内（飞行区）资源分配管理和飞行区秩序管理和飞行区保障生产业务的常态管理，并承担对基地航空公司、空管等的对外沟通协调，以及对业务和资源管理界面上出现业务链断裂或者不清（或者管理范围不明确）的状况的指挥协调。一旦在出现大范围或者影响重大的安全生产事故，则AOC 启动应急指挥程序，进入非常态的应急指挥管理状态，进行全范围的指挥调度协调，因此应急指挥中心在功能设计上，必须考虑常态和非常态（战时状态）两种应用情景。 信息中心，集中了机场生产运行的主要IT信息系统，如集成、离港等，是信息的获取中心以及集中处理中心。 （二）TOC的运作 航站楼运行管理中心TOC是航站楼运行管理的核心机构，集中管理航站楼的各类业务，提高响应能力、运行效率及服务质量，在各管理职能之间及时沟通，信息共享。作为整个机场运行管理的关键管理单元从属于机场管理中心（AOC）的统一调度和指挥。特别是当有重大突发事件发生时。
伪谱最优控制方法
伪谱最优控制方法, 又称为正交配置法, 主要利用Lagrange 插值多项式近似离散最优控制问题中的状态变量和控制变量, 将连续型最优控制问题转化成离散形式的非线性规划(NLP) 问题, 然后利用相应的NLP 算法求解. 根据配置点的不同, 伪谱法主要分为Legendre 伪谱法[1]、Gauss 伪谱法[2-3] 和Radau 伪谱法[4-5] 3 种. 为了利用最优控制理论研究串联式混合动力的能量管理策略，需要建立动力总成和各个能量源的数学模型。文中忽略动力系统传动部件的效率损失。串联混合动力驱动系统的能量管理为复杂的非线性系统，其最优控制问题是寻找最优控制序列使得给定的性能指标能够达到最小，同时，也要满足一定的机械和电气约束。本文研究重点在最优控制理论的应用，采用较简单的模型进行混合动力车辆能量管理的研究。整车能量管理问题作为最优控制问题求解，需要形成通用形式表达的最优控制问题。 非线性最优控制问题(Optimal Control Problem, OCP)是指性能指标、状态方程或者约束条件中存在非线性函数项的最优控制问题，通用的表述形式为确定状态x (t)，控制u(t) 使性能泛函J 取得最小值：
从数学上看，混合动力汽车能量管理问题就是利用一系列离散控制使一定时间范围内车辆行驶的的性能指标达到最优，故可将能量管理问题抽象为最优控制问题，其核心任务就是获得最优的控制律。 直接法理论 优化问题一般分为参数优化(离散、静态)和过程优化(连续、动态)两大类。最优控制问题本质上是一个连续、动态的过程优化问题，采用动态优化方法求解，比如变分法和极大值原理。但现代计算技术的高速发展使得静态/动态、离散/连续的界限越来越模糊。目前基于求解非线性规划问题的参数优化方法越来越多应用于求解类似于最优控制问题或者动态轨迹优化问题，这就是轨迹优化中的直接法。 直接法通过引入时间离散网格，将控制变量和/或状态变量离散，并将动态约束条件转化为代数约束条件，最终使原来的连续轨迹优化问题转化为一个离散参数优化问题即非线性规划问题(Nonlinear Programing, NLP)，结合非线性规划求解器即可获得最优解。优化变量通常包含离散网格点上的控制变量序列和/或状态变量序列。
最优控制
最优控制 学院 专业 班级 姓名 学号
1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。 最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。 从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。 例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。 最优控制理论-主要方法 解决最优控制问题的主要方法 解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。
非线性系统最优控制理论综述
非线性系统最优控制理论综述 时间：2015-06-17 作者：马玲珑 摘要：非线性系统，其最优控制求解相当困难，寻求近似的最优控求解方法是当下解决这一问题的主要途径。目前，比较成熟的最优控制求解方法主要有七类，本文对这七种方法进行了详细的阐述，并对其优缺点进行了客观的对比。 论文关键词：非线性,最优控制 近年来，最优控制理论[1,2]的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统，其最优控制求解相当困难，需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题，除简单情况外[9]，这两个问题都无法得到解析解。因此，许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13]，通过近似解得到近似的最优控，即次优控制。 1、非线性最优控制理论研究成果分类 目前，较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。 1）幂级数展开法：幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律，得到序列形式的近似最优解，或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解，或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。 将上式代入HJB方程求得级数近似解，也可利用Adomian分解将非线性项进行分解，由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。 2）Galerkin逐次逼近方法：由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程，引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。 3）广义正交多项式级数展开法：其主要思想是将最优控制问题中的状态变量，控制输入，性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开，利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵 将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后，得到 ，T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题，从而避免了求解时变非线性Riccati方程。 4）有限差分和有限元方法：经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性
最优控制及应用
最优控制及应用 摘要：最优控制是最优化方法的一个应用。最优控制，又称动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。 最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。同时本文也介绍了最优控制理论的新进展，即在线优化方法（局部参数最优化和整体最优化设计方法、预测控制中的滚动优化算法、稳态阶梯控制、系统优化和参数估计的集成研究方法）和智能优化方法（神经网络优化方法、遗传算法、模糊优化方法）。 关键词：最优化；最优控制；遗传算法 Optimum Control and Applications Abstract: The optimum control is an application of optimization methods and is also called dynamic optimization, being the most fundamental and the most central part of the modern control theory. Its studied central problem is how to decide the control law on the basis of dynamic characteristics of the controlled system so that the system operates according to technical requirements and a certain indicator, which describes the system performance or quality, is optimized in a certain sense. The four key points of optimum control are the dynamic systems as the controlled plant, initial condition and terminal condition (time and state) and performance index and admissible control. The optimization consists of optimal design, optimal plan, optimal management and optimal control. The optimal control theory is a subject of studying and finding the optimal solution from all possible control plans. The main solutions of solving optimal control problems include the classical variation methods, maximum principles as well as dynamic planning. The optimal control theory has been applied to comprehensive and designed time optimal control systems, minimum fuel control systems, minimum energy-control systems, linear regulators and so on. Besides, the paper also introduces the new development of optimal control theory, that is, on-line optimization methods, (which includes optimal design methods of local parameters and the overall parameters, rolling optimizing methods of predictive control, steady stair-like control and integration methods of system optimization and parameter estimation) and intelligent optimization methods, which covers neural network optimization methods, genetic algorithm and fuzzy optimal methods. Key Words: Optimization, Optimum control, Genetic algorithm
精益六西格玛简介
精益六西格玛简介 质量是促进国防科技工业持续健康发展的重要推动力，也是确保武器装备研制生产和发展的关键。为了在降低成本、提高速度的同时提供高质量、高可靠性的产品，越来越多的管理者开始关注“精益的速度”与“六西格玛的质量”的融合问题—精益六西格码，这种新的管理方法可以使企业兼顾速度、成本与质量，这一点是以往任何一种管理方法都不能做到的。精益六西格玛在国外的研究和应用使得在军工领域进行推广应用具有重要的价值。 一、精益六西格玛管理 1. 精益生产 精益（Lean Production，LP）的思想起源于本世纪40年代后期第二次世界大战以后，日本丰田汽车公司。丰田汽车公司经理大野耐一在福特汽车公司先进管理方法的基础上，进一步发展了其理念，在组织、管理和用户的关系、供应链、产品开发和生产运作等方面，使工作效率和利润率都得到大幅度的提高-即以越来越少的投入获得越来越多的产出。自从1996 年沃麦克和琼斯的《精益思维》一书出版以来，许多组织采用精益方法取得了不同程度的成功。 精益生产的基本思想是消除浪费，降低成本。精益思想的关键出发点是价值，它将浪费定义为：“如果不增加价值就是浪费”，并且将浪费归结为七种，即：过剩生产浪费、过度库存浪费、不必要的材料运输浪费、不必要的动作浪费（寻找零件等）、下一道工序前的等待浪费、由于工装或产品设计问题使零件多次加工处理的浪费、产品缺陷浪费。 2. 六西格玛管理 六西格玛管理（Six Sigma）最初的起源是Motorola公司。而真正把六西格玛这一高度有效的质量战略变成管理哲学和实践，从而形成一种企业文化的是在杰克?韦尔奇领导下的通用电气公司。 六西格玛是一套系统的业务改进方法体系，旨在对组织业务过程进行突破性的持续改进，实现顾客和其他相关方满意。它通过系统地、集成地采用业务改进过程，实现无缺陷的六西格玛过程设计（Design for Six Sigma，DFSS），并对现有过程进行定义（Define）、度量（Measure）、分析（Analyze）、改进（Improve）、控制（Control），简称DMAIC流程，消除过程缺陷和无价值作业，从而提高质量和服务、降低成本、缩短周期时间，达到顾客完全满意，增强企业竞争力。 3. 精益六西格玛 精益六西格玛（Lean Six Sigma，LSS）将全面质量管理的统计工具和过程改进方法集成在一起，结合了精益（致力于消除非增值活动以及改进寿命周期）和六西格玛（降低过程变异和提供高质量的可重复加工过程）两者优点的持续改进方法。 精益六西格玛管理的目的是通过整合精益生产与六西格玛管理，吸收两种生产模式的优
最优控制理论的发展与展望
最优控制理论的发展与展望 摘要:回顾最优控制的基本思想、常用方法及其应用,并对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。 关键词:最优控制:最优化技术;遗传算法;预测控制 Abstract: The basic idea, method and application of optimal control are reviewed, and the direction of its development and possible difficulties are predicted. Keywords: optimal control;optimal Technology；Genetic Algorithm；Predictive Control 1引言 最优控制理论是本世纪60年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。1948年维纳等人发表《控制论一关于动物和机器中控制与通信的科学》论文,引进信息、反馈和控制等概念,为最优控制理论诞生和发展奠定了基础。我国著名学者钱学森在1954年编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中,具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作,主要是美国著名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联著名学者庞特里亚金的“最大值原理”。此外,构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作,还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩一图克定理)及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等口 2最优控制理论的几个重要内容 2.1最优控制理论的基本思想 最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制规律(或控制策略),使得系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值,即寻找一个容许的控制规律使动态系统(受控对象、从初始状态转移到某种要求的终端状态,保证所规足的性能指标达到最小(大)值。 2.2最优控制问题的常用方法 ·变分法 ·最小值原理 ·动态规划 2.3最优化技术概述及基本方法 一般最优化方法解决实际工程问题可分为三步: ①据所提出的最优化问题,建立数学模型,确定变量,列出约束条件和目标函数;②对所建立的数学模型进行具体分析和研究,选择最优化求解方法;③根据最
句法学第五章约束理论翻译
句法学第五章约束理论翻译
第五章约束理论 学习目标 读完第五章后，应该掌握以下的理念和技能： 1.识别和区分指称语，代词和照应语。 2.理解先行词和照应语。 3.区分约束与同标。 4.明确并将约束理论应用于树形结构。 5.将A 、B、C三原则用于树形结构。 6.明确约束领域。 0.简介 我们暂且不看句法学，先看一些和英语名词词组意思相关的一些事实。一些名词词组从它们所处的语境和篇章中得到意义。例如，在句1）中Felicia这个词从它所在句子的情景语境中获得意义： 1）Felicia wrote a fine paper on Zapotec. （Felicia曾写过一篇与萨巴特克语言相关的好文章。） 如果在现实世界中听见这句话，你可以从说话者那里知晓谁是Felicia，有一个人叫这个名字，并且被牵涉进这个说话语境当中。尽管你不知道她是否写了和萨巴特克相关的文章，但从这个句子你可以得出Felicia在现实世界中写过一些文章，并且这些文章是有关萨巴特克的。这预示了世界上有这样的文章，并且这一文章是与萨巴特克语言相关的好文章的代名词。“一篇与萨巴特克语言相关的好文章”和“Felicia”都从现实世界中的那些指称事物获得应有之意。这种名词词组就叫做指称语(或者R-expression). 2）指称语：从现实世界中所指事物中获得意义的名词词组。 多数名词词组是指称语。但这并不意味着所有名词词组都是指称语。如下句中“herself”这个词组： 3）Heidi bopped herself on the head with a zucchini. （Heidi 用西葫芦在自己脑袋上轻轻敲了一下。） 在这个句子中Heidi是个指称词并从语境中获得意义，而herself必须回指Heidi，它不会指Arthur,，Miriam，或者Andrea。只有从前面一个词中才能获得意义（在Heidi这个例子中）。像这种词组，必须从该句中另一个名词词组中获得意义的名词词组叫做‘回指词’（anaphor）（像我们在第一章看到的那样）。 4）回指词：一个必须从该句中另一个名词词组中获得意义的名词词组叫作回指词。 有代表性的回指词有himself，herself，themselves，myself，yourself，ourselves，yourselves，以及each other等。
最优化方法与最优控制1
第一章 最优化方法的一般概念 人们在处理日常生活、生产过程、经营管理、社会发展等实际问题时，都希望获得最佳的处理结果。在有多种方案及各种具体措施可供选择时，处理结果与所选取方案和具体措施密切相关。获取最佳处理结果的问题称为最优化问题。针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。 1-1 目标函数、约束条件和求解方法 目标函数就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数，该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果表现为目标函数取极值。在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。求解方法是获得最佳结果的必要手段，该方法使目标函数取极值，所得结果称为最优解。针对各种类型的最优化问题，找出可靠、快捷的处理方法是最优化方法(理论)的研究范畴。 目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。无约束条件的最优化问题称为理想最优化问题，所得结果称为理想最优解。下面用三个简单的例子，说明最优化问题的目标函数和约束条件。 例1-1 有一块薄的塑料板，宽为a ，对称地把两边折起，做成槽(如图1-1)。欲使槽的横截面积S 最大， 1x 、2x 和θ的最优值是多少？ 该问题要找出最优参数1x 、2x 和θ，使槽的横截面积S 最大，所以，目标函数为 θθsin )cos (max 221x x x S ?+=； (1-1) 由于底边与两个斜边的总长度应等于塑料板宽度a ，即约束条件为 a x x =+212。 (1-2) 有许多最优化问题可以方便地将等式约束条件代入目标函数中，使原问题转换为无约束条件的最优化问题，便于求解。例1-1为无约束条件的最优化问题时，目标函数如下 θθsin )cos 2(max 222x x x a S ?+-=。 (1-3) 例1-2 仓库里存有20米长的钢管，现场施工需要100根6米长和80根8米长的钢管，问最少需要领取多少根20米长的钢管？ 用一根20米长的钢管，截出8米管或6米长管的方法只有三种，设：1x —1根长管截 成2根8米管的根数；2x —1根长管截成1根8米管和2根6米管的根数；3x —1根长管 截成3根6米管的根数。该问题的目标函数为 321min x x x n ++=， (1-4) 现场施工需要80根8米长和100根6米长的钢管，即约束条件为 ???≥+≥+,10032,80232 21x x x x 3,2,10=≥i x i (1-5) a 图1-1 横截面积与参数关系图
最优控制
作者：潘高超 学号：15120017 班级：研15电气 完成日期：2016年6月20日
摘要 最优控制问题就是寻求一容许控制 uΩ，使系统的状态从给定的初值x0 (t ) 在终止时刻：t1(>t0)转移到目标集A，并使性能指标J(u)取最大值(或最小值)。最优控制理论间世50多年来"吸收现代技术进步和现代数学的成就，得到了很大的发展，在生产、生活、国防、和经济管理等领域得到广泛的应用，由于实际问题的需要，最优控制仍是十分活跃的领域，最优控制问题的数值求解也是人们十分关注的问题之一许多学者研究最优控制问题数值求解，针对最优控制问题数值求解的难点所在，将小波分析方法引入这一领域，利用小波多尺度逼近特性将含有微积分运算的原问题转化为一般的代数间题进行求解。数值仿真表明，小波展开法更加精确而且方便，本文就是一篇基于小波算法来寻找最优控制问题数值求解的综述。 关键词：最优控制，小波分析，小波基，多尺度分析
绪论 最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。通常称这种控制问题为最优控制问题。最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性和唯一性和最优控制应满足的必要条件以及最优控制的数值求解等。最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金(L.C.Pontryagin)等人提出的“最大值原理”。最优控制问题源于工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门的诸多实际问题。如航空领域中的宇宙飞船和卫星的控制，国防中导弹的控制，工业领域中现代工业设备与生产过程控制，国民经济管理中的生产计划和国民经济增长等问题。 20世纪50年代初期，人们就有从工程角度研究最短时间控制问题、最优性的证明借助于几何图形，它为现代控制理论的发展提供了第一批实际模型。随后，由于最优控制问题引人注目的严格的数学表述形式以及空间技术的迫切需要，吸引了一大批数学家的密切注意。 通过研究，人们发现经典变分理论只能解决无约束或开集约束一类简单的最优控制间题，而实际上，工程应用中往往是容许控制。属于闭集的一类最优控制问题，经典变分理论无能为力，这就需要人们去探索求解最优控制间题的新途径。受力学中哈密尔顿原理的启发，庞特里亚金等人把“最大值原理”作为一种推测首先提出来，随后不久又提供了一种严格的证明，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首次宣读。“最大值原理”发展了经典变分原理，成为处理闭集性约束变分问题的强有力工具。“动态法则”是贝尔曼在1953至1957年逐步创立的。他依据最优性原理，发展了变分分学中的哈密尔顿一雅可比理论构成了“动态规划”，它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广泛的方法。在现代控制理论的形成与发展中，最大值原理，动态规划和卡尔曼的最优估计理论等对最优控制的发展起了重要的推动作用。