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hough变换是如何检测出直线和圆的?

hough变换是如何检测出直线和圆的?

(I)直线篇

1 直线是如何表示的?

对于平面中的一条直线,在笛卡尔坐标系中,常见的有点斜式,两点式两种表示方法。然而在hough变换中,考虑的是另外一种表示方式:使用(r,theta)来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离,theta 为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。

2 如果坐标系中有多个点,又怎样识别出哪些点在一条直线上呢?

使用hough变换来检测直线的思想就是:为每一个点假设n个方向的直线,通常n=180,此时检测的直线的角度精度为1°,分别计算这n条直线的(r,theta

(I)直线篇

1 直线是如何表示的?

对于平面中的一条直线,在笛卡尔坐标系中,常见的有点斜式,两点式两种表示方法。然而在hough变换中,考虑的是另外一种表示方式:使用(r,theta)来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离,theta 为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。

2 如果坐标系中有多个点,又怎样识别出哪些点在一条直线上呢?

使用hough变换来检测直线的思想就是:为每一个点假设n个方向的直线,通常n=180,此时检测的直线的角度精度为1°,分别计算这n条直线的(r,theta)坐标,得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个,最终得到的(r,theta)坐标有N*n个。有关这N*n个(r,theta)坐标,其中theta是离散的角度,共有180个取值。

最重要的地方来了,如果多个点在一条直线上,那么必有这多个点在theta=某个值theta_i时,这多个点的

r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线(r_i,theta_i)上。

3 下面拿个例子说明:

如果空间中有3个点,如何判断这三个点在不在一个直线上,如果在,这条直线是的位置为?

这个例子中,对于每个点均求过该点的6条直线的(r,theta)坐标,共求了3*6个(r,theta)坐标。可以发现在theta=60时,三个点的r都近似为80.7,由此可判定这三个点都在直线(80.7,60)上。

通过r0theta 坐标系可以更直观表示这种关系,如下图:图中三个点的(r,theta)曲线汇集在一起,该交点就是同时经过这三个点的直线。

在实际的直线检测情况中,如果超过一定数目的点拥有相同的(r,theta)坐标,那么就可以判定此处有一条直线。在r0theta 坐标系图中,明显的交汇点就标示一条检测出的直线。

如下图,可以判定出平面上的点共构成了两条直线,即检测出两条直线。

4 代码:

在matlab中提供了hough变换的代码,有hough,houghlines,houghpeaks,具体的使用可以在help中查到。

(II)圆篇

继使用hough变换检测出直线之后,顺着坐标变换的思路,提出了一种检测圆的方法。

1 如何表示一个圆?

与使用(r,theta)来表示一条直线相似,使用(a,b,r)来确定一个圆心为(a,b)半径为r 的圆。

2 如何表示过某个点的所有圆?

某个圆过点(x1,y1),则有:(x1-a1)^2 + (y1-b1)^2 = r1^2 。

那么过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i)),其中r1∈(0,无穷),每一个i值都对应一个不同的圆,(a1(i),b1(i),r1(i))表示了无穷多个过点(x1,y1)的圆。

3 如何确定多个点在同一个圆上?

如(2)中说明,过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i)),过点(x2,y2)的所有圆可以表示为(a2(i),b2(i),r2(i)),过点(x3,y3)的所有圆可以表示为(a3(i),b3(i),r3(i)),如果这三个点在同一个圆上,那么存在一个值(a0,b0,r0),使得a0 = a1(k)=a2(k)=a3(k) 且b0 = b1(k)=b2(k)=b3(k) 且r0

= r1(k)=r2(k)=r3(k),即这三个点同时在圆(a0,b0,r0)上。

从下图可以形象的看出:

首先,分析过点(x1,y1)的所有圆(a1(i),b1(i),r1(i)),当确定r1(i)时,(a1(i),b1(i))的轨迹是一个以(x1,y1,r1(i))为中心半径为r1(i)的圆。那么,所有圆(a1(i),b1(i),r1(i))的组成了一个以(x1,y1,0)为顶点,锥角为90度的圆锥面。

三个圆锥面的交点A 既是同时过这三个点的圆。

4 怎样用代码实现检测圆的过程?

上面的分析虽然很简单,但是用代码实现起来就麻烦了,首先过每一个点的(a(i),b(i),r(i))都有无穷多个,若是要检测的点很多,要两两比较所有的(a,b,r)值是否相等实在是一个巨大的运算量。

……未完待续……

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