机智解题
竞赛杂题的解题机智
数学竞赛中的杂题往往“有解法而无定法”，这就是参赛者解题困难之所在．其实只要你注意平时学习、探索、研究、讨论所得的各种解 题技巧、思想、方法、策略，善于总结归纳为解题的经验与钥匙，在遇到具体问题时，便能综合比较、多向衡量而采取一个正确的、巧妙的、快捷的策略措施．本文笔者就通过几个具体问题的解答过程，把其中的思路与方法全部暴露给同学们，仅供参考．
例1 将2008个数1，2，3，……，2008，任意分成两组，每组1004个．其中一组按由小到大的顺序排列，设为121004,,
,a a a ，另一组按由大到小的顺序排列，设为121004,,,b b b ，试求代数式11221003100310041004a b a b a b a b -+-++-+-的值．
倘若你想直接计算，显然无法求解．这里应考虑将i i a b -拆分成两个式子的和或差．又由于这些数都是正整数，显然i i i i a b a b -=-或i i i i a b a b -=+均不正确．
如果考虑绝对值的几何意义，利用数形结合思想，一条崭新的思路油然而生．如图，若点C 在线段AB 上，则AB AC CB =+．类似地，当c 在a 、b 之间时，有a b a c b c -=-+-．
对于本题而言，所有情形中的i a 与i b ，是否都能找到一个确定的c ，均满足c 在i a 与i b 之间．在此不妨把问题简单化考虑：设2个数分别为1，2，则c 可取1.5．那么原题是不是可取1004.5呢？只要作如下一个列表分析就会一目了然．
解：首先要证明对于每一个i ，1004.5在i a 与i b 之间．这是显然的，因为A 组中有多少个数小（或大）于1004.5，B 组中必须有多少个数大（或小）于1004.5，而A 组和B 组的排列方式决定1004.5总是在i a 与i b 之间，所以1004.51004.5i i i i a b a b -=-+-．于是
11221003100310041004 a b a b a b a b -+-++-+-
11004.521004.520071004.520081004.5=-+-+
+-+- 1003.51002.5 1.50.50.5 1.51002.51003.5=++++++
++ (1003.50.5)(1002.5 1.5)(1.51002.5)(0.51003.5)=++++++++
10041004=?
1008016=
例2 平面上给定五点A 、B 、C 、D 、E ，其中任何三点不在一直线上．试证：任意地用线段连结某些点（这些线段称为边），若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形，则这个图形不可能有7条或更多条边．
证法一：（反证法）假设图形有7条或更多条边，则各点度数和至少是14．
⑴若某点度数是4，则其余点的度数和至少是10，由抽屉原理知其中必有一点度数至少是10134??+=????
（度数是2就已足够），故此时必然出现三角形． ⑵若每点度数至多是3，由抽屉原理知至少有4点的度数是3，选其中2点，不妨设为A 、
B，且A与B、C、D有连线，此时考虑B与A已有连线，由抽屉原理知B必与C、D中某一点有连线，这样也出现了三角形．
而⑴、⑵所得结论都与题设“图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形”相矛盾，故原命题成立．
证法二：（反证法）假设图形有7条或更多条边．
首先我们构造抽屉：每个抽屉里有三个相异点，共可得3
510
C=个抽屉【注】，又由于同一条边会在523
-=个抽屉里出现，则10个抽屉里共有7321
?=条或更多条边．由抽屉原理知，至少有一个抽屉里有3条边，而每条边在一个三角形中最多出现一次．这3条边恰好与其中不共线的相异三点构成一个三角形．而这与题设“图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形”相矛盾，故原命题成立．
注：对于低年级学生计算构造抽屉的个数，我们可以考虑从A、B、C、D、E五点中任取的三个点与剩下的两点一一对应，而选择两点的情形有：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种．
例3 某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．证明：至少有21名学生参加过这些观测活动．
证法一：（反证法）假设至多有20名学生参加过这些观测活动．
每次观测活动中的5名学生中有2
554
10 21
C
?
==
?
个2人小组，又由题意知20次观测中2
人小组各不相同，所以20次观测中2人小组总共有2010200
?=个．
而另一方面，20名学生中的2人小组最多有220201919021
C ?==?个． 两者自相矛盾．故至少有21名学生参加过这些观测活动．
稍作简化，即可证明如下：
证法二：（反证法）假设至多有20名学生参加过这些观测活动．
由题意知：⑴共有20次观测；⑵最多有22025
19C C =次观测． 两者自相矛盾．故至少有21名学生参加过这些观测活动．
对于低年级学生，还可作出如下证明：
证法三：设参加观测活动次数最多的学生A 参加了a 次观测，共有x 名学生参加过天文观测活动．
由于有A 参加的每次观测活动中，除了A ，其他学生各不相同（这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测），故41x a +≥．
（I ） 另一方面，学生A 参加观测的次数不小于每名学生平均观测次数．即205a x ?≥
．（II ） 综合（I ）、（II ），得4001x x
+≥，2400x x --≥0．从而x ≥21． 即至少有21名学生参加过这些观测活动．
以上解决数学竞赛中杂题的思路与方法告诉我们：见多识广，可以增强领悟能力；博采众长，才能减少盲目性．解题中的灵感突现，源自平时的日积月累．只有多钻研，多探索，做题时便能随机应变，亦或独辟蹊径，以致迎刃而解．
例说数学解题的思维过程
例说数学解题的思维过程 陕西师范大学数学系 罗增儒 在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注。暴露概念的形成过程，暴露命题的 发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动，但是，这种暴 露大多停留在可见事实的陈述上，而内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步 打通、结论初步得出时就停了下来。本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在 的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去。先给出题目： 两直线被第三条直线所截，外错角相等，则两直线平行。 1.浮现数学表象 通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形(几何型 表象)，与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象)：由数量关系去确定位置关系。 在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3 个展开的起点。 (1)由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如 两直线被第三条直线所截，有： 1）同位角相等?两直线平行； 2）内错角相等?两直线平行。 …… 这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来。 (2)由条件∠1= ∠2(数量关系)所唤起的问题有： 1）由角的相等关系能得出什么? 2）图1 中有与∠1 相等的角吗?
3) 图1 中有与∠2 相等的角吗? …… 一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但 随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来。 (3) 由结论AB∥CD(位置关系)所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件?题目提供 了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供没有？ …… 由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存(扩散)： 1) 同位角(内错角)相等，则两直线平行；进而问 2) 什么是同位角(内错角)？图1 中有同位角(内错角)吗?有相等的同位角(内错角)吗? 3) 己知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗？ …… 这是表象的一个有序深化的过程。 2.产生数学直感 上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3 条直线，8 个角，8 条射线，1 条 线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？(这相当于一道条件过剩、 结论发散的开放题)当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系, 因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角。所以，我们的思考 逐渐集中到：从图形中找同位角(或内错角)，找相等的角，找相等的同位角(或内错角)。 这时，伴随着问题的需要，图1 被分解出一系列的部分图形(图2 中实线图)，并凸现在 我们的眼前： 图2
波利亚解题四步骤
波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第一，弄清问题? 未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的 画张图。引入适当的符号。 把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？ 第二，拟定计划? 找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不 得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。 你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素 你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近 你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念 第三，实现计划? 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的 第四，回顾反思? 你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来 你能不能把这结果或方法用于其它的问题？ 下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。 【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2 (x＋π12)，g(x)＝1＋12 sin2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 第一步：弄清问题。已知条件是什么如本题中， 已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝ Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π 6 )]，h(x) ＝12sin(2x＋π3)＋32
三角函数线的解题功能(教师版)
三角函数线的解题功能 一.求三角函数的定义域 例1.求下列函数的定义域： 分析: 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围. 解: （1）如图1， (2）如图2， 点评: 三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较大小及求函数定义域. 二.解三角不等式 例2.已知|cos θ|≤|sin θ|，求θ的取值范围. 分析: 我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出满足|cos θ|≤|sin θ|的θ角范围. 解：如图3所示，根据|cos θ|＝|sin θ|，即θ角正弦线的绝对值和θ角余弦线的绝对值相等，则θ角的终边落在y=x 和y=-x 上，满足|cos θ|≤|sin θ|的θ角的终边落在阴影部分， 点评:本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角θ的范围，再写出角θ的集合. 三. 比较大小 例3.比较下列各组数的大小： 分析:我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们的大小. 解：（1）如下图所示，在单位圆中作出的余弦线OM 2和OM 1， ∵OM 1 ∵MP 小学数学解题错误原因及对策解析 [摘要] 随着教育的不断发展与改革，小学数学教学也受到了人们的广泛关注，尤其是对于小学数学解题中学生出现错误的现象来说，教师要做好研究与分析工作，找出学生出现错误的主要原因，在此基础上来帮助学生解决好实际问题，从而保证教学的针对性。同时教师还要运用好科学的教学方法，激发出学生的学习热情，提高教学质量。 [关键词] 小学数学；解题错误；归因分析；对策解析 在长期的发展过程中，人们在面对小学生出现的错误时，往往将其归纳为粗心、马虎等，教师对待学生出现的错误也没有应对措施，这样也就造成了一些学生在学习数学知识的过程中会出现屡犯不止的现象。学习压力也使学生的学习负担逐渐加重，最终也就直接影响到了课堂教学的质量。 一、小学生出现解题错误的原因 1.基础知识上的不足 对于小学生而言，由于受到了多种因素的影响，使得心理与生理等方面存在一定的差异，这样也就很容易在基础知识的理解与掌握上出现困难。通过调查可以看出，由于长期受到传统教学的影响，使得现阶段的学生对概念以及定理等方面知识的掌握并不扎实，甚至还出现了概念混淆与规律模糊等现象，这样也就直接影响到了学生的解题效果。如学生在学习“数的概念”的过程中，常常会出现错误，“自然数就是最为常见的1、2、3、4、5......一系列简单的数”“0被称作最小的数”，在面对这两道判断题时，学生就很容易出现错误。从整数的层面上来说，这两道题都是错误的，但是对于这一阶段的学生来说，由于刚刚接触到整数知识，加之受到了家长等方面从小教育的影响，使得学生在练习中难以找出这两个题目中存在错误的地方，这样也就出现了解题上的错误。由于学生在知识点上的认知不足，加之在解题上很容易出现马虎等现象，最终也就使得学生出现了解题错误。[1] 2.解题能力与技巧上的不足 在整个学习阶段中，小学阶段是最为基础的阶段，且在这一阶段中，学生存在着活泼好动等特点，因此，想要让学生长时间将注意力集中在学习上是较难实现的。其次，从学生的角度来说，对提高自身数学解题能力等方面并没有过多的认识，缺乏独到的见解与想法，最终也就造成了学生出现解题能力不足、技巧缺失与错误率高等现象。再次，从现阶段来说，小学数学中的题目都是相对简单的，但是由于受到多种因素的影响，使学生的认知能力以及理解能力十分有限，这样也就造成了学生解题上出现了相应的问题。如学生在学习应用题的过程中，就常常会出现解题上的错误。“明明在看故事书，一共有240页，第一天明明看了整本书的0.25页，第二天又看了整本书的0.5页，那么这本故事书还剩多少页是明明没有看的？”这一问题涉及分数以及小数等方面的内容，所以想要解决好这一问题就要求学生要具备一定的理解能力。但是由于学生在解题过程中解题技巧与能力等方面存在着一定不足，使得学生很容易在看到这一题目时就放弃解题，这样也就造成了学生的学习效果并不理想。因此，针对这一题来说，教师就要培养好学生的解题技巧，同时还要运用好解题方法，提高学生的解题效果。[2] 灰色关联分析法原理及解题步骤 灰色关联分析法原理及解题步骤 ---------------研究两个因素或两个系统的关联度（即两因素变化大小,方向与速度的相对性） 关联程度——曲线间几何形状的差别程度 灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密 1>曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2>灰色关联度越大，两因素变化态势越一致 分析法优点 它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。 灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定 参考数列——反映系统行为特征的数据序列 比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列 2》无量纲化处理参考数列和比较数列 （1）初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵 （2）均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵 （3）区间相对值化 3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi） 参考数列X0 比较数列X1、X2、X3…………… 比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ（i） 称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ∈（0，1），常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。两级最大差，记为Δmax。为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： 4》求关联度ri 关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻 数学课的基本课型 一、关于数学基本课型 （一）数学概念课 概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是以“事实学习”为中心内容的课型。 我们认为，通过概念教学，力求让学生明了以下几点： 第一，这个概念讨论的对象是什么？有何背景？其来龙去脉如何？学习这个概念有什么意义？它们与过去学过的概念有什么联系？ 第二，概念中有哪些补充规定或限制条件？这些规定和限制条件的确切含义又是什么？ 第三，概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？与日常生活用语比较，与其他概念、术语比较，有没有容易混淆的地方？应当如何强调这些区别？ 第四，这个概念有没有重要的等价说法？为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？第五，根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？由于数学概念是抽象的，因此在教学时要研究引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的认识水平出发，通过一定数量日常生活或生产实际的感性材料来引入，力求做到从感知到理解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的本质特征，着力揭示概念的本质属性。 人类的认识活动是一个特殊的心理过程，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学时要从面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方式，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的外延和内涵；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区别来形成正确的概念。有些存在种属关系的概念，常分散在各单元出现，在教学进行到一定阶段，应适时归类整理，形成系统和网络，以求巩固、深化、发展和运用。 （二）数学命题课 表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之路，也是提高数学素养的基础。因此，它是数学课的又一重要基本课型。通过命题教学，使学生学会判断命题的真伪，学会推理论证的方法，从中加深学生对数学思想方法的理解和运用。培养数学语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，培养数学思维的特有品质。 在进行命题教学时，首先要重视指导学生区分命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条件到结论转化的证明思路。由于数学证明常会用证明一个等效的命题来代替原命题的真实性，因而还要注意引导学生在证明过程中如何进行命题的转换，一定要展示完整的思维过程，并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个阶段的教学后，要及时归纳和小结证明的手段和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤，逐步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法（高中还有数学归纳法）。 命题课教学还要注意： 第一，对基本问题，要详细讲解，认真作图，教学语言要准确，论证要严格，书写要规范， 三角代换公式 常用的三角代换可以总结为以下几种： 1. 代数问题中的三角代换 （1）对于1≤x ，可做代换?sin =x ，或?cos =x ；对于1≥x ，可做代换?sec =x ，或?csc =x ；对于R x ∈，可做代换?tan =x ，或?cot =x . （2）形如()()∞+∈=+,0,,a y x a y x ，可作代换??2 2 c o s ,s i n a y a x ==；形如 ()()0,,0,≠∞+∈=-a y x a y x ，可作代换??22tan ,sec a y a x ==. （3）形如2 2 2 a y x =+，可作代换??cos ,sin a y a x ==；形如2 22a y x =-，可作代 换??tan ,sec a y a x ==. （4）形如()()∞+∈=+,0,,3 3 3 a y x a y x ，可作代换??3 232cos ,sin a y a x ==. （5）形如()()∞+∈≤+,0,1y x y x ，可作代换() 1cos ,sin 2 2 2 2 ≤==r r y r x ??；形如 ()()∞+∈≥+,0,1y x y x ，可作代换()1cos ,sin 2222≥==r r y r x ??. （6）形如122≤+y x ，可作代换() 1cos ,sin ≤==r r y r x ??；形如12 2≥+y x ，可作 代换() 1cos ,sin ≥==r r y r x ??. （7）形如x -1可作代换?2 s in =x ，或?2 c o s =x ；形如 22a x +，可作代换 ?tan a x =；形如22a x -，可作代换?sec a x =，或?csc a x =；形如22x a -，可 作代换?sin a x =，或?cos a x =. （8）形如2 2 2211,12,12x x x x x x +-+-，可作代换?tan =x ，或? cot =x ；形如xy y x xy y x -++-1,1，可作代换βαtan ,tan ==y x . （9）形如x y z z y x =++，可作代换γβαt a n ,t a n ,t a n ===z y x （其中Z ∈=++n n ,πγβα）. （10）形如1=++zx yz xy ，可作代换2 tan ,2 tan ,2 tan γ β α ===z y x （其中 ()Z ∈+=++n n ,12πγβα）. 作用题答题技巧归纳 标题作用【知识储备】 1、线索作用。 2、紧扣情节。 3、突出主人公的形象（品质、特点等）。 4、紧扣（揭示）主题。 5、制造悬念，吸引读者（激发读者兴趣）。 6、象征意味、寓意。 标题作用答题样式：内容＋术语（写几点，一般看分值） A、以“XX”为题，起到线索作用（贯穿全文）。 B、以“XX”为题，能概括……情节。 C、以“XX”为题，突出了……人物的形象。 D、以“XX”为题，揭示文章……主题。 E、制造悬念，能激发读者的阅读兴趣。 F、以“XX”为题，象征了……。对……具有暗示作用。 词语作用【知识储备】 1、形象性作用，主要指词语在叙事、写人、绘景中鲜明、具体、生动传神、含色彩性、音乐性等。叠词具有音节美的作用。 2、表达思想倾向、感情色彩等。 3、精确性作用，主要指词语在表达概念方面的准确恰当，修饰、限制、补充性词语在表意的精确、严密方面的作用。 4、结构性作用，主要指词语在全篇（或段）中的地位和点题、照应、过渡等方面的结构作用。 词语作用答题样式： 词语意义或形象作用＋术语（写几点，一般看分值） XX修饰（描写）了……，运用了……，生动传神。 XX概括了……，表达了……，与文中起到……作用（照应、点题、过渡等）。 句子作用题【知识储备】 1、提示段意（概括情节）。 2、揭示文章主题、主旨、观点、情感。 3、揭示文章脉络层次，照应、过渡、总领、铺垫、伏笔。 句子作用答题样式： 句子内容＋术语（写几点，一般看分值） 这一句突出了……，概括了……情节，在文中起到……作用（照应、点题、过渡等），为……作铺垫（埋下伏笔），概括了……，深化主题。 段落作用题【知识储备】 1、紧扣情节。 2、揭示文章主题、主旨、观点、情感。 3、揭示文章脉络层次，照应、过渡、总领、铺垫。 段落作用答题样式： 段落内容＋术语（写几点，一般看分值） 这一段主要写了……，紧扣主题，在文中起过渡（照应上文或下文、引出下文）作用，为……铺垫（埋下伏 笔、提供依据），有揭示主题的作用。 环境作用题【知识储备】 1、社会环境——故事发生的时代背景。 A、交代人物活动及其成长的时代背景，揭示各种复杂的社会关系。 B、交代人物身份，表明人物性格；或影响或决定人物性格。 C、揭示社会本质特征，揭示主题。 2、自然环境——人物活动的具体场景，如地点、气候、时间、景色、场面等。 怎样解题 一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？ 二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？ 三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？ 四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？ 例1、 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C 分析： 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：∠B=∠C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 小学数学30种典型应用题讲解 应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题以下主要研究30类典型应用题： 1归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量*份数=1份数量 1 份数量x所占份数=所求几份的数量 另一总量*（总量*份数）=所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？0.6 - 5 = 0.12 （元） （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12 x 16= 1.92 （元） 列成综合算式0.6 -5X 16= 0.12 x 16= 1.92 （元） 答：需要1.92元。 例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷? 解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90 -3-3= 10 （公顷） （2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10 X 5X 6= 300 （公顷） 列成综合算式90 - 3- 3X 5X 6= 10X 30= 300 （公顷） 答：5 台拖拉机6 天耕地300公顷 例3 5 辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100 - 5-4= 5 （吨） （2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5 X 7 = 35 （吨） （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105 - 35= 3 （次） 列成综合算式105 -（100- 5-4X 7）= 3 （次） 答：需要运 3 次。 2 归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量” ，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1份数量X份数=总量 总量*1份数量=份数 总量十另一份数=另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做791 套衣服的布，现在可以做多少套？ 解（1）这批布总共有多少米？ 3.2 X 791 = 2531.2 （米） （2）现在可以做多少套？2531.2 - 2.8 = 904 （套） 列成综合算式3.2 X 791 - 2.8 = 904 （套） 答：现在可以做904套。 例 2 小华每天读24 页书，12 天读完了《红岩》一书。小明每天读36 页书，几天可以读完《红岩》？ 解（1）《红岩》这本书总共多少页？24 X 12 = 288 （页） （2）小明几天可以读完《红岩》？288 - 36= 8 （天） 列成综合算式24 X 12-36= 8 （天）答：小明8 天可以读完《红岩》。 例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天 比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）这批蔬菜共有多少千克？50 X 30= 1500 （千克） （2）这批蔬菜可以吃多少天？1500 -（50+ 10）= 25 （天） 列成综合算式50 X 30-（50+ 10）= 1500-60= 25 （天） 高中数学解题课中数学思想方法教学的策略 发表时间：2019-12-10T09:22:00.677Z 来源：《中小学教育》2019年11月3期作者：马伟 [导读] 在高中教学的过程中，数学是一门十分重要的学科。针对数学解题课程教学，教师则需要在其中融入数学思想方法。这是让高中数学教学上升到新的层面重要方式。数学思想和数学知识之间是相互依存的，同时数学思想方法也会在很大程度上超越我们所学习的知识内容。数学知识运用和发展的过程中，都会衍生出新的数学思想。在高中数学解题课程教学之中，教师要运用新颖的数学思想方法，提高解决问题的效率。希望在本文的研究之下，会为高中数 马伟西安市长安区第四中学 717117 摘要：在高中教学的过程中，数学是一门十分重要的学科。针对数学解题课程教学，教师则需要在其中融入数学思想方法。这是让高中数学教学上升到新的层面重要方式。数学思想和数学知识之间是相互依存的，同时数学思想方法也会在很大程度上超越我们所学习的知识内容。数学知识运用和发展的过程中，都会衍生出新的数学思想。在高中数学解题课程教学之中，教师要运用新颖的数学思想方法，提高解决问题的效率。希望在本文的研究之下，会为高中数学教师开展教学提供参考和依据。 关键词：高中数学；解题课程；数学思想方法；教学策略 前言：在高中数学教学的过程中，数学思想方法的教学是难点也是重点。完善数学思想方法的教学，要从基本的数学思想方法网络构建层面出发。在紧紧围绕数学思想的发展方向情况下，能够为数学教学提供明确的起点。在掌握了合理和有效的数学思想方法情况下，也会让学生更好地参与学习，在引导学生形成正确的观念下，也会领略到数学知识的魅力和价值。所以，在高中数学解题课程中要运用数学思想方法，让学生扎实地掌握数学知识。 一、函数与方程的思想 函数的思想，往往涉及的是关于运动和变化的内容。在对数学中数量关系进行分析的情况下，就会从本质上认识函数概念。通过创建函数关系，或者是构造函数，通过函数图像和性质分析问题、转化问题，最终高效地解决问题。其中经常受到关注的就是函数的单调性、奇偶性、最大最小值等。方程思想，主要是分析出数学问题中的变量之间的等量关系，创建方程或者是方程组，也可以构造方程，在运用方程和方程组的情况下，运用性质进行问题转化，这样就会提高问题解决效率。方程教学是从本质上对概念本质进行认知，运用方程或者是方程组的形式对问题进行处理和解决。 在高中数学教学的过程中，运用函数和方程思想可以关注以下几个方面： 第一，函数和方程之间的转化。比如，针对函数y=f(x)的周期是2，在x∈[—1,1]时，则f(x)=x2，函数y=f(x)的图像和函数y=|lgx|的图像有几个交点。在解决这个题目的时候，就可以通过方程求根的形式，合理融入方程思想。同时，也可以运用画出来的形式，转变为函数图像和轴的交点问题进行分析，在把函数思想和数形结合思想结合求解的情况下，让函数和方程进行转化，以此明确函数单调性，求出解。 第二，数列的通项和前n项和公式是自变量为正整数的函数，从函数观点角度出发，分析数列问题，同时也可以运用方程思想方法求解。 第三，面对几何解析中的问题，就可以使用二元方程组的形式，这是涉及了二次方程和二次函数。 第四，针对立体几何之中线段、角和面积等的计算问题，要列出方程，或者创建函数表达式，在形成了空间直角坐标系之后，让立体几何和函数之间形成了十分紧密的联系。 二、转化与化归的思想 该数学思想主要就是在开展数学问题研究和解决的过程中，通过相应特定的手段，把问题进行变换，以此形成了一个完善的问题解决方法。这其中，往往是把复杂的问题转变为简单的，把难解的问题转变为容易求解的问题。同时，也是需要把未解决的问题转变为已经解决的问题。在教师开展解题课程的过程中，展现出化归和转化的思想，就要关注以下几个原则。第一，应该遵循化繁为简的理念。这是让学生容易接受数学知识学习的根本[1]。第二，教师要把数学知识化生为熟，让学生熟练问题解决。第三，教师还应该在其中摄入形象具体化原则。这就是说，学生在接触了生动的数学知识画面下，才会拥有活跃的思维，并对数学知识进行全方位的定位，并开展有效的学习。第四，实行等价性质的原则。第五，坚持正难则反的原则。 三、数形结合思想 教师在开展高中数学解题课程教学的过程中，数形结合思想主要是涵盖了以形助数、以数辅形。在实际运用的过程中，就可以通过以下两个情形来完善。第一，通过生动和直观的形式展现出数之间的关系。这样，就把形作为了手段，数衍生为目的，通过函数图像对函数的性质进行说明。第二，在数的精确性和规范性下，对一些形的属性进行阐释。这就是把数作为了手段，形成为了目的。比如，在高中数学教学的过程中，运用曲线方程对曲线的几何性质进行明确地阐释。 比如，针对函数f(x)=x2+1-ax（a>0），解不等式f(x)<1。在解题的时候，就可以画出函数图像，其中f(x)=x2+1-ax的图像是双曲线，针对a>1的范围，解出不等式的解集[0,+∞]，在分析0 例谈数学解题教学的三个基本功能 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 例谈数学解题教学的三个基本功能-中学数学论文 例谈数学解题教学的三个基本功能 江苏省丹阳高级中学( 212300) 丁玲 解题教学是数学课堂教学的重要组成部分，是巩固数学知识、培养学生思维能力、渗透数学思想方法的主要途径，因此，解题教学的目标不仅仅是教会学生如何解题，还应充分运用解题教学自身的功能，实现对数学知识和概念的再认识，培养数学探究能力，教会学生用数学的方法思考问题。 1、利用解题教学实现对知识的再认识 在数学知识的领会过程中，学生先进行表象性的理解，对本质的认识比较贫乏．当知识以“动态”形式出现在各种数学问题中时，学生还缺乏敏锐的辨别能力，常出现似懂非懂的认知状况．要实现由表及里的认知过程，必须将知识运用于实践，即解决数学问题的过程．通过解题的思维活动，实现对知识的再认识过程，使数学知识在反复的运用中显现其本质。 “回归定义”是数学解题中常用的方法，每次利用定义解题都是对定义内涵进行再认识的过程。 2、利用解题教学培养探究能力 《高中数学课程标准》指出：高中数学课程设立“数学探究”学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯．美国数学教育家波利亚极力倡导用探索法研究问题．事实上，探索法是数学解题的重要思维方式，大至数学家的科学研究，小至学生解题，无不留下探索性思维活动的足迹，探索性的基本思维活动有：观察、试验、归纳、联想、类比、猜测等，这一系列的探索性思维活动是数学发现的源泉。 逻辑判断题型分析与解题技巧 此种题型是在每道题中给出一段陈述，这段陈述被假设是正确的，不容置疑的。请你根据这段陈述从四个备选答案中选出一个能够从陈述中直接推出的结论。 逻辑判断主要考察的是应试者逻辑推理判断的能力。从作题的要求也可以看出，做逻辑判断题目必须紧扣题干内容，以题目中的陈述为依据，根据形式逻辑的推论法则推出正确结论。题中的陈述是被假设为正确的，不要对其作出怀疑或否定，给自己解题带来不必要的干扰。对于逻辑判断题目中比较难的，多种条件相互制约或是数理逻辑的题目，可以忽略其具体情境，在草纸上抽象出其数理模型，加以逻辑运算这样比较容易得出结论。下面举几个比较典型的例题来分析一下如何做这种题目。 解题技巧 1、紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰； 2、紧紧依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系； 3、必要时，可以在草稿纸上用你自己设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论。 逻辑方正 A判断：全称判断，所有s 都是p 例如“一切鲸都是水栖哺乳动物”。 E 判断：全称否定，所有s 都不是p 例如“所有被子植物不是裸子植物”。 I 判断：特称肯定，有些s 是p 例如“有的水生动物是用肺呼吸的”。 O判断：特称否定，有些s 不是p 例如“有的鸟不是会飞的”。 1．A命题（所有S是P）与E命题（所有S不是P）之间的关系，例如： 我班所有同学都是共青团员。 我班所有同学都不是共青团员。 二者决不能同真，即一个真，另一个必假；但二者可以同假，即当一个假时，另一个可真可假。这种不能同真、可以同假的关系，逻辑上叫做“反对关系”。 2．I命题（有的S是P）与O命题（有的S不是P）之间的关系，例如： 我班有的同学是共青团员。 我班有的同学不是共青团员。 二者不能同假，即一个假时，另一个必真；但二者可以同真，即当一个真时，另一个可真可假。这种不能同假、可以同真的关系，逻辑上叫做“下反对关系”。 3．A命题（所有S是P）与O命题（有的S不是P），正命题（所有S不是P）与I命题（有的S是P）之间的关系，例如： 我班所有同学都是共青团员。 我班有的同学不是共青团员。 二者既不能同真、也不能同假，逻辑上叫做“矛盾关系”，即一真一假。又如：我班所有同学都不是共青团员。 小学语文阅读分析解题步骤与方法 2．认真通读所有题目，理解题意，明确题目的要求。 3．逐条解答，要带着问题，仔细地阅读有关内容，认真地思考、组织答案。 一般出现的是多音字，根据自己的积累和文章中的词语作出恰当的选择。 二、选择恰当的字词 1、仔细阅读字词所在的句子，了解句意，揣摩作者的写作目的。 2、认真分辨两个词语的区别是什么，以1为依据作出选择。 三、段意、主要内容的归纳 1．记叙文：格式：人＋事+果。 2．说明文：说明（介绍）了……对象的……特点。 3．议论文：论证了……的论点。 四、中心思想的概括 1.写人的记叙文：本文通过记叙……，赞美主人公……的优秀品质。 2.叙事的记叙文：本文通过记叙……，说明了……的道理（或抨击了……的问题）。 3.写景的记叙文：本文通过描写……，表达了……的思想感情。 4.状物的记叙文：本文通过描写……，表达了……的思想感情。 方法技巧： 1.有些文章可以直接在文中找到中心句。有很多的问答题都是根据中心解答的。一般作者的情感可以从文章的字里行间可以看出来的，有的也许写得比较含蓄，有的是直抒胸臆。 2.文章表达了作者什么样的思想感情？常见的有歌颂、赞美、热爱、渴望、震撼、眷念、惆怅、淡淡的忧愁、惋惜、怀念故乡和亲人，或者是厌倦、憎恶、痛苦、惭愧、内疚、痛恨、伤心、悲痛、遗憾等。 3.状物的文章，如果有写人的成分，那就是借物喻人；如果有说理的意思，那么一定就是借物喻理。 五、理解词语、句子的含义 句中意思+句外意思（情感）。有时要考虑它的比喻义、特殊含义、感情色彩、是否反语（讽刺）、是否夸张等。 六、某句话在文中的作用 1、内容上的作用：写了……的内容，表现了作者的……思想感情或刻画了人物……的性格。 2、结构上的作用： （1）文首：开篇点题。总起下文。（2）文中：承上启下。引起下文。对比。 （3）文末：点明中心。深化主题。篇末点题。照应开头。总结全文。 七、修辞手法的运用和作用： 1、比喻：把……比作……，生动形象地写出了……对象……特点。 2、拟人：把……人格化（或赋予人的感情），生动形象地写出了……。 3、排比：富有气势地写出了……。 4、设问：引起读者对……对象特性的注意和思考。 5、反问：突出强调，加强语气，更加肯定地写出了……。 八、联系上下问解释词语的意思： 方法1、顾名思义，采用扩充关键字的意思，然后连接成一句话。 方法2、找近义词的方法，注意要能替代到文中，仍保持通顺。 方法3、结合这个词所描述的对象具体描述。 九、标点符号的作用 1、——的作用 ① 解释说明。② 话题的转换。③表示话语的中断。④ 时间或声音的延续。 2、……的作用 ①引文的省略。②列举的省略。③说话断断续续。 3、“”的作用 几个常见的三角替换及其在解题中的应用 广东顺德李兆基中学 唐秋生 （5283000） 《高中数学必修四》三角函数的平方关系为1cos sin 22=+x x ，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。 [替换模型一] 222R y x =+，则可作替换 [替换模型二]0,0,0,>>>=+c b a c b a ，则可作替换 ?????==θθ 2 2 sin cos c b c a )2,0(πθ∈ [替换模型三] 21x y -=，可作替换 θcos =x ，],0[πθ∈ θsin =x 或 ，]2 ,2[π πθ-∈ 一、利用三角代换研究有理函数的最值 [例1].已知y x 、满足122=+y x ，求)1)(1(xy xy w +-=的最值 解：由条件可作替换： 则：2)(1)1)(1(xy xy xy w -=+-=2)cos sin 2(4 11θθ-= 2)2(s i n 4 11θ-= 显然1)2(s i n 02≤≤θ ?]1,4 3[∈w θcos =x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos R x = θsin R y = )2,0[πθ∈ [例2].已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最值 解：由条件可作替换： 则：y x y xy x M 24222++++= θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++= 2)cos (sin 2)cos (sin 22++++=θθθθ 再令]2,2[cos sin -∈+=θθt 则2 3 )21(22++=t M 如图，由于]2,2[-∈t 所以，当21 -=t 时，2 3min =M 当2=t 时，226m a x +=M [例3].求函数3 cos 1 sin ++= θθy 的值域 解：设 则u v 、满足方程122=+u v ，即动点),(u v P 在单位圆122=+u v 上 所以 3 cos 1 sin ++= θθy ? )3()1(----= v u y 设点)1,3(--M ，),(u v P 则MP k v u y =----= ) 3() 1(，如图，由平面几何知识 容易求得?=∠60AMB ?]3,0[∈k [例4].已知122=+y x （0≥y ），求y x +的最大值和最小值 法1：(三角化)由条件可作替换 则)4 sin(2cos sin π θθθ+ ?=+=+y x ， θcos 2=x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos =v θsin =u )2,0[πθ∈ θcos =x θsin =y ],0[πθ∈[对策,错误,原因]小学数学解题错误原因及对策解析
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