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数列的通项公式(学案)

第十二讲数列的通项公式

（1）观察法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）待定系数法；（6）对数变换法；（7）倒数变换法；（8）换元法等；

把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。（2）利用求和公式：()

()

?≥-==-211

n S S n S a n n n

3．累加法：形如：1()n n a a f n +=+——（1）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

其方法是：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则：

()

()()

n f a a f a a f a a n n =-=-=-+12312 21 ，两边分别相加得：()∑=+=

-n

i n n i f a a 1

1；

例1．已知数列{}n a 满足：11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式；例2．已知数列{}n a 满足：112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式；

变式训练1．已知数列{}n a 的首项为1，且*

12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式；

变式训练2．已知数列}{n a 满足11=a ，)2()

1(1

1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式；

评注：已知a a =1，)(1n f a a n n =-+，其中()n f 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a ；①若()n f 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若()n f 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()n f 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若()n f 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

变式训练3．已知数列}{n a 中，0>n a 且???

??+=n n n a n a S 21，求数列}{n a 的通项公式；

4．累乘法：形如：1()n n a f n a += ——（2）这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二；

其方法是：若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a a

f f f n a a a +=== ，，，；两边分别相乘得：1

1()n

n k a a f k a +==?∏；

例3．已知数列{}n a 满足：112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式；

例4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且()*

++∈=+-+N n a a na a n n n n n 011221，求其的通项公式；

评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a ；

变式训练4．已知：1,111->-+=+a n na a n n ，求数列{}n a 的通项公式；

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式：11-+=+n na a n n 转化为：()111+=++n n a n a ，若令

1+=n n a b ，则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式；

5．待定系数法形如：1()n n a qa f n +=+——（3）

其基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。类型1．()01≠+=+c d

ca a n n 型，（其中a a =1）

（1）当1=c 时，数列{n a }为等差数列；（2）当0=d 时，数列{}n a 为等比数列；

（3）当1≠c 且0≠d 时，数列{}n a 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求；其方法是：设)(1λλ+=++n n a c a ，得λ)1(1-+=+c ca a n n ，与题设d ca a n n +=+1比较系数得：

d c =-λ)1(，所以)0(,1

≠-=

c c

d λ所以有：??? ??

-+=-+-111c d a c c d a n n ；因此数列??????

1c d a n 构成以1

1-+

c d

a 为首项，以c 为公比的等比数列，所以：11)1(1-?-+=-+

n n c c d a c d a 即：1

)1(11--?-+=-c d c c d a a n n ；规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1

(11-+=-+

+c d

a c c d a n n ，构造成公比为c 的等比数列}1{-+

c d a n 从而求得通项公式：??

? ??-++-=-+11111c d a c c d a n n ；例5．已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式；

变式训练5．已知数列}{n a 中，2

21,211+==+n n a a a ，求通项n a ；

类型2．形如：n

n n q a p a +?=+1 （其中q 是常数，且1,0≠n ）

（1）若1=p ，即：n

n n q a a +=+1，累加即可；

（2）若1≠p ，即：n

n n q a p a +?=+1，

求通项方法有以下三个方向：

（Ⅰ）两边同除以1+n p ，目的是把所求数列构造成等差数列，

即： n n n n n p q p p

a p a ???? ???+=++111，令n n n p a

b =，则n

n n p q p b b ???? ???=-+11，然后由类型（1），累加求通项；（Ⅱ）两边同除以1+n q ，目的是把所求数列构造成等差数列，

即：

q q a q p q a n n n n 1

1+?=

++，令n

n n q

a b =，则可化为：q b q p b n n 11+?=+，然后转化为类型（3）来解，（Ⅲ）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列，设)(1

1n n n n p a p q a ?+=?+++λλ，通过比较系

数，求出λ，转化为等比数列求通项；

注意：应用待定系数法时，要求q p ≠，否则待定系数法会失效；

例6．已知数列{}n a 满足1

112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式；

变式训练6．设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--，

证明：对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[5

1a a n

n n n n n ?-+?-+=-；

类型3．形如：b kn pa a n n ++=+1 （其中b k ,是常数，且0≠k ）待定系数法：通过凑配可转化为：))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-；

解题基本步骤：（1）确定()b kn n f +=；（2）设等比数列)(y xn a b n n ++=，公比为p ；（3）列出关系式))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-，即1-=n n pb b ；（4）比较系数求y x ,；（5）求解得数列{}y xn a n ++的通项公式；（6）求解得数列{}n a 的通项公式；例7．在数列}{n a 中，n a a a n n 23,111+==+，求通项公式n a ；

例8．在数列{}n a 中，362,2

11-=-=-n a a a n n ，求通项n a ．（待定系数法）

类型4．形如c n b n a pa a n n +?+?+=+2

1 （其中c b a ,,是常数，且0≠a ）例9．已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式；

6．对数变换法形如：r

n n pa a =+1型（其中r p ,为常数且0,0>>n a p ）

例10．设正项数列{}n a 满足：11=a ，()2221≥=-n a a n n ，求数列{

}n a 的通项公式；

变式训练7．数列{}n a 中，11=a ，()221≥=-n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；

例11．已知数列{}n a 满足：5123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式；

7．倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例12．已知数列{}n a 满足112,12

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式；

8．换元法适用于含根式的递推关系例13．已知数列{}n a

满足：111

(14116

n n a a a +=

++=，，求数列{}n a 的通项公式；

§1.1数列概念导学案

数列概念一.学习目标： 1、熟练掌握数列的概念，准确理解通项公式与函数的关系，提高归纳猜想能力。 2、自主学习、合作探究，总结求数列通项公式的规律方法。 3、激情投入，惜时高效，培养良好的数学思维品质，体验数字变化之美。重难点：数列的概念以及数列的通项公式二.问题导学：阅读课本P3-6思考并回答下列问题: 1.数列的概念： ①你能根据自己的理解写出数列的定义吗？ ②数列的一般形式12,,...,...n a a a ，简记{}n a ，那么n a 与{}n a 有什么不同？ 2.数列的通项公式：给定一个数列：1、3、5、7……你能写出数列的第5项，第7项吗？第n 项呢？ ○1你能试着写出数列通项公式的定义吗？ ○2通项公式可看作是一个函数吗？它的定义域是什么？图像有什么特点？ 3.数列的分类：按项数分可以分为哪几类？【小试牛刀】 1.下列说法不正确的是（） A 、所有数列都能写出通项公式 B 、数列的通项公式不唯一 C 、数列中的项不能相等 D 、数列可以用一群孤立的点表示 2.已知数列{}n a 中，n a =2n-1，则3a 等于___________ 3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数: （1）2，3，4，5；则n a = （2）1416 ,,3,;333 ；则n a = （3） 1111 ,,,;24816 则n a = （4）1，-3，5，-7；则n a = 三.合作探究例1、根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项：（1） 21;21n n a n -=+ （2）cos 2 n n a π =; （3）2(1);n n a n =- 拓展：根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的第10项：（1） 2910n a n n =-+; （2）(1)1cos ;2 n n a π -=+ （3）请判断2是不是第（1）小题中的那个数列的项. 小结：例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）0，2，0，2；（3）10,100,1000,10000; 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

求数列通项专题高三数学复习教学设计

假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计海南华侨中学邓建书课题名称求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时）科目高三数学年级高三（5）班教学时间 2009年4月10日学习者分析数列通项是高考的重点内容必须调动学生的积极让他们掌握！教学目标一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究体会从特殊到一般又到特殊的认识事物规律培养学生主动探索勇于发现的求知精神二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下渗透函数、方程的思想教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足若不满足必须写成分段函数形式；若满足

则应统一成一个式子. 教学资源多媒体幻灯教学过程教学活动1 复习导入第一组问题：数列满足下列条件求数列的通项公式（1）；（2）由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件求数列的通项公式（1）；（2）；解题方法：观察递推关系的结构特征可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项（3）解题方法：观察递推关系的结构特征联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列从而间接求出通项教学活动2 变式探究变式1：数列中求思路：设由待定系数法解出常数

2019-2020学年高中数学《数列通项公式求法》导学案新人教A版必修5.doc

2019-2020学年高中数学《数列通项公式求法》导学案新人教A 版必修5 【学习目标】 1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。 2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。【重点难点】重点：由递推公式求数列的通项公式难点：累加法、累乘法、构造数列法【学习过程】知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义）直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 例2.已知数列{} n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ，（1）求数列{}n a 的通项公式。（2）设数列{}n b 的通项公式是1 33log log 1+?= n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1. 知识点三：由递推式求数列通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等

比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究）解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+（教材链接：第50页等比数列通项公式的探究）解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法：通过对系数q 的分解，把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1。例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 类型4 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（教材链接：第69页第6题）

等比数列的概念及通项公式导学案

1 等比数列的概念及通项公式基本概念新知： 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示（q ≠0），即：1 n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是： 3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则 4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a 例题例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比（1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13 181-4121-1，，，例二、指出下列等比数列中的未知项（1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2 1 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b G ab G a G =?=?= 新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ， b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112 ≥=+-n a a a n n n ？（2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112 ≥=≥+-n a a a n n n n n 都有）（那么}{n a 一定是等比数列吗？

北京第十八中学高三数学第一轮复习 65 数列的通项公式(2)教学案(教师版)

教案65 数列的通项公式（2）一、课前检测 1．（1）数列9，99，999，…的通项公式为； 110-=?n n a ；（2）数列5，55，555，…的通项公式为。 () 11095-=?n n a 。 2．已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1 111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n n S a a S S S S +-=-=---，化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==， ∴21, (1),(1),(2).n n n a a a n -=?=?-≥? 二、知识梳理（一）数列的通项公式一个数列{a n }的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．解读：（二）通项公式的求法（6种方法） 5.构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

高中数学导学案等差数列

2．2 等差数列（一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。教学用具：投影仪（四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期

数列求通项公式教学设计

数列求通项公式教学设计教学目标： 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用公式求通项（2）累加法求通项（3）累乘法求通项，（4）构造法求通项并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养学生观察、辨析、运用的综合思维能力，掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想,提高学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识 —再实践”的辨证唯物主义观点。教学重点、难点：重点：数列通项公式的基本求法 $ 难点：复杂问题的化归转化教学方法与教学手段：教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力）教学手段：多媒体辅助教学教学过程：一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，

灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。《板书标题：数列通项公式的求法》 ( [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的重视，提高学习的积极性。二、启发诱导、总结方法 1、回顾上节课讲过的公式法，已知n S 求n a ，累加法及其简单应用给出练习题目，引导学生自主做题，并让一位学生黑板演示教师引导学生分析例题题干，总结特点：“明确数列是用何种求和方法” 《多媒体》给出同类的练习让学生巩固方法及解题过程。、 2、累乘法求通项回忆等比数列定义及通项公式的推导过程，引出“累乘法求通项”，利用类比的方法引导学生自己总结累乘法所适合的结构类型：已知数列相邻两项之比。给出例题让学生分析叙述解题过程。例：已知数列}{n a ，满足 n n a a n n 11+=+，且21=a ，求该数列的通项公式引导学生类比累加法，思考解题方法。并逐步给出答案，引导学生怎样分析解决问题。给出练习练习1.已知数列}{n a 满足n n n a a 2.1=+，且11=a ，求该数列的通项公式 [

数列通项公式累乘和累加法学案

名校学案，高二数学,必修五，数列，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。（1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？

中职数学——数列概念和通项公式导学案电子教案

中职数学——数列概念和通项公式导学案

数学学科导学案教师寄语：做对国家有用的人课题：数列的概念和通项公式班级 17级姓名陈兆侠组别二年级一、学习目标：（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观：提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。二、学习重、难点：重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项三、学习过程【导、探、议、练】导知识点一：数列及其有关概念思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理:(1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 1.知识与能力：（1）理解数列及其有关概念；（2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

思考 2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 _____________. 探、议（一）自主探究类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)5,10,15,20,… (2)1 2 ， 4 1 ， 6 1 ， 8 1 ,… (3)-1,1,-1,1,…跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1 1×2 ， 1 2×3 ， 1 3×4 ， 1 4×5 ,… (2) 22－1 2 ， 32－1 3 ， 42－1 4 ， 52－1 5 ,… (3) 2 1 , 4 3 , 6 5 , 8 7 ,… 类型二:数列的通项公式的应用例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ N 2 1 ， n∈N*. (1)写出它的第5项； (2)判断 64 1 是不是该数列中的项，是，是第几项？例3 判断16和45是否为数列} {1 3+ n中的项，如果是，请指出是第几项？知识点三:数列的分类思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？梳理:(1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列．

人教版数学必修五(文)学案：2专题一：数列的通项公式的求法

专题一：数列的通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 二、公式法：例2.已知数列的前n 项和，求数列的通项公式。点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时，一定要合并. 三、累加法若数列满足，其中{})(n f 是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求n a 的通项公式. 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a . 四、累乘法若数列满足，，其中数列{})(n f 前n 项积可求，则通项可用逐项作商后求积得到. 例4．已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a . ()()211.322.1,(2) n n n n s a S n a n =-==≥{} n a s n {}n a 11,(1)n n n s a s s n -?=?->?,（n=1){}n a ()1()n n a a f n n N --=∈{}n a 1 ()n n a f n a -=n a

五、构造法由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. 1.型如1 a pa q n n =+-递推关系，构造等比数列求解. 比如常数p=2,q=1：121n n a a -=+，待定系数法：12()n n a a λλ-+=+，展开对应得1λ=，所以{}1n a +是一个等比数列. 例5.数列满足，求的通项公式. 12..n n n Ca A B a Aa B C C +==++n+1n 11型如，取倒数得:a a 例6.数列满足：，求数列的通项公式。 {}n a 111,52, n n a a a +==+{}n a 11 22,2n n n a a a a +==+{}n a {}n a

数列的通项公式-学案

数列的通项公式【本课重点】累加、累积及简单的构造法确定数列通项公式【预习导引】 l 、己知n s 则n a = 等差数列通项n a = 等比数列通项n a = 2、己知n a =1-n a +2，1a =1，则n a = 己知n a =31-n a ，1a =1，则n a = 3、已知数列{}n a 中11=a ， 2111=--n n a a ，则=-8 1011a a ，=n a 1 4、己知n a =1-n a +n ，1a =1则n a = ，己知n a =21-n a +1，1a =1，则n a = 5、己知n a = 1 +n n a n-l ，1a =1，则n a = 【典型例题】例 1 （1）设数列{}n a 满足11=a 且n a a n n +=-1，求数列{}n a 的通项 (2)设数列{}n a 满足10a =且n n n a a 21+=-求{}n a 的通项公式。例2（1）已知数列{}n a 满足)2(2,111≥==-n a a a n n n 求数列{}n a 的通项公式 (2)已知数列{}n a 满足3 21= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 {}{}n n n n n a a a a a a 的通项公式求数列，满足已知数列例,1111311=-=-

例4（1）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a ， (1)求证：数列{}1+n a 是等比数列; (2)求数列的通项公式n a 课后作业 1 数列 2 , 23- , 34 , 4 5- , 56 …的一个通项公式是 2若数列{}n a 的前n 项和为1 322-+=n n S n ，则n a = 3数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，则数列{}n a 的通项公式是 4已知数列{}n a 满足n n a a a n n ++==+2111,2，则n a = 5已知数列{}n a 中,1113,3(2),n n n a a a n --==?≥求通项.n a 6已知数列{}n a 的前n 项和满足12n n S a =+，求通项公式n a . 7已知数列{}a n 中()1112,2n n n n a a a a a n --==-?≥，求通项公式 8在数列{}n a 中，111 11,(1)2n n n n a a a n ++==++ ,设n n a b n =，求数列{}n b 的通项公式

求数列通项公式(导学案)

数列的通项公式教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用 1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时. 教法:讨论、讲练结合. 第一课时一．常用方法与技巧：（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数. （2）运用好公式： 1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥? 快速练习: 1.写出下面数列通项公式（记住）： 1,2,3,4,5,… = n a ______________. 1,1,1,1,1,… = n a ______________. 1,-1,1,-1,1,… = n a ______________. -1,1,-1,1,-1,… = n a ______________. 1,3,5,7,9,… = n a ______________. 2,4,6,8,10,… = n a ______________. 9,99,999,9999,… = n a ______________. 1,11,111,1111,… = n a ______________. 1,0,1,0,1,0,… = n a ______________. 2.求数列的通项公式的常用方法: (1).观察归纳法. 利用好上面的常用公式. (2).叠加法: 例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式例2.11{}1 ,n n n a a a a n -==+数列中，，求数列 .n a 通项公式 (3)叠乘法: 1n 1{}12,n n a a a a -==例3.数列中，，求数列 .n a 通项公式 1n 1{}1131,n n a a a a -=+=+例4.数列中，，（）求数列 .n a 通项公式 (4).构造成等差或等比数列法: 1n 1{}121,n n a a a a -==+例5.数列中，，求数列 .n a 通项公式 1 1n 1{}121 n n n a a a a a --== +例6.数列中，，，求数列 .n a 通项公式三.巩固提高 1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 的值是 A.19 B.20 C.21 D .22 1n 1{}1(2n-1),n n a a a a -==+ 2.数列中，，求数列 _____.n a =通项公式 3.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若11 9 a = ，则36a = ． 3.已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则 n a = ． 5.已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，

苏教版数学必修五：2.2.2等差数列的通项公式(2)学案【学生版】

课题：§2.2.2 等差数列的通项公式（2）总第____课时班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】掌握等差数列的性质【重点难点】教学重点：等差数列的性质的推导及应用. 教学难点：等差数列的性质的理解、把握和应用.. 【学习过程】自主学习与交流反馈问题 (1)在等差数列{}n a 中102a a +与93a a +、102a a +与84a a +的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？ (2)在等差数列{}n a 中102a a +、93a a +、84a a +与6a 的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？ (2)在等差数列{}n a 中选出,...,,,10741a a a a 构成新的数列，该数列是等差数列吗？如果是公差是多少？你能得出更一般性的结论吗？知识建构与应用等差数列的性质：例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 7 + a 9 = 16，a 4 = 1，求a 12；

(2)已知在等差数列{a n }中，已知a 3 = 10，a 9 = 28，求a 12. 例2 已知数列{a n }和{b n }是两个无穷等差数列，公差分别为d 1，d 2，求证：数列{a n + b n } 是等差数列，并求其公差. 例3 已知在等差数列{}n a 中，满足4532=?a a ，1441=+a a .求数列的{}n a 的通项公式，并判断该数列的单调性. 【巩固练习】

1．已知在等差数列{}n a 中，20162=+a a ,则=9a ___________. 2．已知在等差数列{}n a 中，3773=+a a ,则=+++8642a a a a ______. 3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则 (1)n a a a a 2642,,,, 是公差为的等差数列； (2){}b ka n +是公差为的等差数列． 4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13 a 11的值为________． 5．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．数列{a n }的公差d = __________. 6．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 13 + 2a 6 + a 17 = _______.

数列的通项与求和(教学案)

数列的通项与求和（教学案）【热身训练】 1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则该数列的第6项为________．解析：由递推关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 以及对n 分别取1,2,3,4即可得到a 6＝－3. 2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2 n ＋1－na 2 n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N * )，则它的通项公式a n ＝________. 解析：由(n ＋1)a 2 n ＋1－na 2 n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)可知，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以{na n }为常数列，即a n ＝1 n . 3．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列? ?????????S n n 的前21项和为________．解析：由等差数列的性质可知????????? ?S n n 为等差数列，且首项为－2，公差为12，所以数列?????? ??? ?S n n 的前 21项和为63. 4．已知数列a n ＝4n 2 －1，则数列? ???????? ?1a n 的前n 和为________．解析：因为1 a n ＝14n 2－1＝12? ?????12n －1－12n ＋1，所以由裂项法求和可得?????? ????1a n 的前n 项和为n 2n ＋1 . 【热点追踪】在高考数学中，数列问题一直占有较大的分量，数列的通项与求和是

研究数列问题的基本内容，涉及的内容和方法较多，也常融入以数列为压轴题的高考试题中，此时，数列的通项与求和往往作为解决此类压轴题的基础. （一）数列中的通项与求和基本问题例1. 已知数列{a n }的前n 项和 S n ＝－a n －? ?? ?? ?12n －1 ＋2(n 为正整数)． (1)令b n ＝2n a n ，求证数列{ b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令c n ＝n ＋1 n a n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n . 令b n ＝2n a n ，所以 b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝n ，所以a n ＝n 2 n . (2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)? ?? ?? ?12n ，所以 T n ＝2×12＋3×? ?????122 ＋4×? ?????123 ＋…＋(n ＋1)? ?????12n ① 12T n ＝2×? ?????122 ＋3×? ?????123 ＋4×? ?????124 ＋…＋(n ＋1)? ?? ???12n ＋1 ② 由①－②得12T n ＝1＋? ?????122＋? ?????123＋…＋? ?????12n －(n ＋1)? ?? ???12 n ＋1＝1＋

数列全套导学案新人教A版

§2.1数列的概念与简单表示法(1) 学习目标 1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 28 ~ P 30 ，找出疑惑之处）复习1：函数3x y =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的概念 ⒈ 数列的定义：的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的都叫做这个数列的项. 反思： ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ ⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？ 3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第项. 4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式. 反思： ⑴所有数列都能写出其通项公式？ ⑵一个数列的通项公式是唯一？ ⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？ 5．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分数列和数列； 2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列. ※ 典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 1，－12，1 3 ，－14； ⑵2， 0， 2， 0. 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 12，45，910，16 17 ； ⑵ 1，－1， 1，－1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.

《数列的概念与简单表示法》学案

数列的概念与简单表示法 2013年11月28日制案人：贾勇一、复习目标： 1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2. 了解数列的通项公式，会用通项公式写出数列的任意一项；会根据其前几项写出它的通项公式. 3、了解数列的递推公式，会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法. 二、基础知识回顾： 1．数列的定义【按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．反思： ⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列 ⑵同一个数在数列中可以重复出现吗 2、数列的分类： ? 1）根据数列项数的多少分数列和数列； 2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列. 3．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式反思： ⑴所有数列都能写出其通项公式） ⑵一个数列的通项公式是唯一 ⑶数列与函数有关系吗如果有关，是什么关系 @ 4、数列的表示方法：、、。 5、已知s n，则a n=

三、基础练习： 1、（2010青岛二模）①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列 2 3 ， 3 4 ， 4 5 ， 5 6 ，······的通项公式是a 1 n n n = + ③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，-1,1，-1···与数列-1，1，-1,1，···是同一数列；其中真命题的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 2、数列 (1) 2 {(1)} n n- -的第4项是. — 3、在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48. 四、典例剖析： 1、题型一：由数列的前几项求数列的通项公式: @ 。本题收获： # （3） 1925 ,2,,8 222 ，，······ (2) (1)

求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

< 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、 ~ 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 ] 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则！所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++ ，则 11121 3333 n n n n n a a +++-=+，故因此1 1(13) 2(1)2113133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?，则211 33.322 n n n a n = ??+?- < 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 n a .