定积分法求面积探究毕业论文
定积分法求面积的探究
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摘要
定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。
同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。
关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性
Research of square in definite integral
ABSTRACT
A definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems.
At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method.
Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry
目录
一、引言 (5)
二、相关概念 (5)
1.1 定积分的定义 (5)
1.2 定积分的常用计算方法 (5)
1.2.1 直接利用公式及性质计算 (5)
1.2.2 利用定积分的区间可加性计算 (6)
三、定积分在面积问题中的应用 (6)
3.1 直角坐标系下求面积 (6)
3.1.1 平面面积 (6)
3.1.2 曲面面积 (9)
3.2 极坐标 (10)
3.3 求旋转曲面的面积 (11)
四、常见方法 (10)
4.1 巧选积分变量 (14)
4.2 巧用对称性 (15)
4.3 巧用分割计算 (15)
五、结束语 (16)
参考文献 (17)
致谢 (13)
一、引言
积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。利用定积分求平面图形的面积是一个重要应用,与实际联系紧密,有很好的实用性。我们已经知道很多规则的平面图形的面积计算，如正方形、平行四边形、三角形、圆的面积等等。可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”，但平时我们在实际中还会遇到求“曲边图形”的面积，那我们想到了定积分。定积分的定义是前人用“逼近”的方法总结归纳定义出来的，是受“以直代曲”的思想而启发的[1]。也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得。利用定积分求含曲边的图形面积问题是在面对在平面几何中难以用常规方法加以解决的问题而采用的。定积分知识的引入，为此类问题的解决提供了强有力的工具，也充分体现了创新性及数形相结合的典型性。
二、相关概念
1.1 定积分的定义
一般地，如果有函数)(x f 在区间],[b a 上连续，用分点ΛΛ<<<<<=i x x x x a 210 b x n =<将区间],[b a 等分成n 个小区间，在每个小区间],[1i i x x -上任取一点(1,2,i i ξ= 3,)n L ，作和式∑∑==-=?n i n i i x i f n
a b f 11)()(ξξ，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分。记作?b a dx x f )(，即()lim b a n f x dx →∞
=? 1()n
i i b a f n ξ=-∑。这里，a 和b 分别叫做积分上限和积分下限，区间],[b a 叫做积分区间，函数)(x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，dx x f )(叫做被积式。
1.2 定积分的常用计算方法
1.2.1 直接利用公式及性质计算
例2.1 求dx x ?40
2tan π
定积分法求面积的探究
分析 被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换，先求出原函数再利用公式计算。
解 4104)(tan )1(sec tan 4024
02π
ππ
π-=-=-=??x x dx x dx x 1.2.2 利用定积分的区间可加性计算
例2.2 设???<≤<≤-+=20011)(x e x x x f x ，求dx x f ?-2
1)( 分析 这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。
解 210210)21()1()(222021-01-=+-+=++=???-e e x x dx e dx x dx x f x x
注意 针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择积分方法。
第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。
例2.3 求dx x ?-1
021 分析 被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。
解 令tdt dx t x t x cos ,cos 1,sin 2==-=当0=x 时，0=t ，当1=x 时，2π
=t
4)2cos 1(21cos 1202021
02ππ
π=+==-???dt t tdt dx x
三、定积分在面积问题中的应用
在求区域的面积当中，由于围成区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为多种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而定积分求面积的具体用法通过下列问题分下面四种情况进行探讨。
3.1 直角坐标系下求面积
3.1.1 平面面积
一般地，由上下两条连续曲线)(2x f y =与)(1x f y =以及两条直线a x =与
)(b a b x <=所围成的平面图形（图3—1），它的面
积计算公式为： []?-=b a dx x f x f A )()(12
(3-1) 例 3.1 求两条曲线2x y =与2y x =围城的平面
区域（图3—2）的面积。
分析 由图可知选取对x 积分，便于计算。
解 两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区
域的面积： 01)3132()(310232x x dx x x A ?-=-=31=
例3.2 抛物线x y 22=把圆822=+y x 分成
两部分，求(图3—4)中阴影部分的面积S .
分析 由?????=+=82222y x x y 得交点坐标：)2,2(-，
(选取y 为积分变量。
解 3238cos 8)28(4422222+=-=--=?
?--θθππd dy y y S 总之，由函数b x a x x g y x f y ====,),(),(围成的图形(其中b a x g x f ≤≥),()()，选取x 为积分变量，则面积为dx x g x f A b
a ?-=)]()([；由函数)(),(y x y x ψ?==,d y c y ==,围成的图形(其中d c y y ≤≥),()(ψ?，选取y 为积分变量，则面积为dy y y A d
c ?-=)]()([ψ? 以上可简记为：“上减下，右减左，总之大减小，积分小到大”。
在平面图形的面积求解中，除了以上方法外，
还可以运用二重积分，将面积问题转化为求二重积
分值的问题。
例3.3 求由抛物线21)(x x f =与2
22)(x x f -=0 图3—1
定积分法求面积的探究
所围图形的面积。
分析 设所围图形如（图3—3）面积为S .解方程组?????-==22212)()(x x f x x f ，解得两曲线的交点坐标为)1,1(-，)1,1(.
解 图形面积为：
3
8)322()22()2(1111311222)()(1121xy =-=-=--===
----??????x x dx x dx x x dy dx dxdy S x f x f D 当曲线C 是参数方程βα?≤≤=Φ=t t y t x ),(),( 时，其中）（t 'Φ与)('t ?在]
,[βα上连续。
若函数)(t x Φ=在],[βα上严格增加，从而0)('≥Φt .有b a =Φ<Φ=)()(βα ,则函数)(t x Φ=存在反函数)(1x t -Φ=, 曲线C ：)]([1x y -ΦΦ=、x 轴和两条直线b x a x ==,围成区域的面积
dx y A b
a ?=dx x
b a ?-ΦΦ=)]([1dt t t )()(??β
α'=? （3-2） 若函数)(t x Φ=在],[βα严格减少，从而0)('≤Φt ,有b a =Φ>Φ=)()(βα,则函数)(t x Φ=存在反函数)(1x t -Φ=,曲线C ：)]([1x y -ΦΦ=、x 轴和两条直线b x a x ==,所围成的区域面积：=dx y A a b ?=dx x a b ?-ΦΦ)]([1=dt t t )()(??α
β'? dt t t )()(??βα'-=? （3—3）
如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有）（）（βαΦ=Φ,）（）（β?α?=,且在）
，（βα内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为： ?Φ=βα?dt t t A )()(' (或?'Φ=βα?dt t t A )()() （3—4）
例3.4 求由摆线),sin (t t a x -=)cos 1(t a y -= )0(>a 的一拱与x 轴所围成的平面图形（图3—5）的面积。
解 摆线的一拱可取]2,0[π=t 所求面积为：
20(1cos )[(sin )]A a t a t t dt π'=--?
dt t a ?-=π20
22)cos 1(23a π= 例3.5 求椭圆：)20(sin ,cos π≤≤==t t b y t a x 的面积。
分析 参数方程所表示的曲线是封闭的，既有）（）（βαΦ=Φ,）（）（β?α?=,且在）
，（βα内曲线自身不在相交。于是便可由公式（3—4）求解。 解 椭圆的面积为：22200sin (cos )sin A b t a t dt ab tdt ab π
π
π'===?? 显然，当r b a ==时，这就等于圆面积2r π
例3.6 求由曲线22222
22)(y x b
y a x +=+所围成的平面图形的面积。 解 令???==θθsin cos br y ar x 则abr rb b ra a r y x J =-=??=θθθθθcos sin sin cos ),(),(
在此变换下积分区域D 变换为{}θθπθθ22221sin cos 0,20),(b a r r D +≤≤≤≤= 则区域D 的面积dr r d ab dr d abr dxdy S b a D D D ??????+===θθπθθ22221sin cos 020 )(2
1]2
1[2220sin cos 02
2222b a ab d r ab b a +==?+πθπθθ 3.1.2 曲面面积 在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推广到定义在平面区域上的二元函数情形，便得到二重积分，即区域面积的和。因此便可采用二重积分求解面积[2]。
如果曲面S 由方程),(y x f z =确定，在xOy 面上的投影区域为D 则面积为：
????+??+=D dxdy y
z x z A 22)()(
1 （3—5） 如果曲面S 由方程),(z x y y =确定，在xOz 面上的投影区域为D 则面积为：
????+??+=D dxdz z
y x y A 22)()(
1 如果曲面S 由方程),(z y x x =确定，在yOz 面上的投影区域为D ，则面积为：
定积分法求面积的探究 x α β A C 图3—6
x 0 αθ= 1-=i εθ i εθ= βθ= i θ? 图3—7
1+=i εθ ????+??+=D dydz z
x y x A 22)()(
1 例3.7 求锥面22y x z +=被柱面x z 22=截下的部分的面积。
解 联立方程组?????=+=x
z y x z 2222消去z ，得1)1(22=+-y x ，曲面在xOy 面上的投影区域D 为1)1(22≤+-y x ，由22y x z +=，得22y x x
z x +=，22y x y
z y +=
由公式（3—2）得????+??+=D dxdy y
z x z A 22)()(
1 π22)()(122222
2==++++=????D D dxdy dxdy y x y
y x x 3.2 极坐标
设曲线C 由极坐标方程],[),(βαθθ∈=r r 给出，其中
)(θr r =在],[βα上连续，παβ2≤-。
由曲线C 与两条射线βθαθ==,所围成的平面图形，
通常也称为扇形（图3—6）。此扇形的面积的计算公式为 ?=βαθθd r A )(212 (3—6)
这仍可由定积分分的基本思想而得。如（图
3—7）所示，对区间],[βα作任意分割
βθθθθθα=<<<<<=-n n T 1210:Λ射线)1,2,1(-==n i i Λθθ 把扇形分成n 个小扇形。由于)(θr 是连续的，因此当T 很小时，在每一
个],[1i i i θθ-=?上)(θr 的值变化也很小。任取i i ?∈ε便有n i r r i i ,,2,1,)()(Λ=?∈≈θεθ 这时，第i 个小扇形的面积为i i i r A θε?≈?)(2
12于是∑=?≈n i i i r A 12)(21θε 由定积分的定义和连续函数的可积性，当0
→T 时，上式右边的极限即为公式(3—6)中的定积分。 4π
θ=
4πθ-= 图3—8 例3.8 求双扭线θ2cos 22a r =所围成的平面图形的面积A 。
解 如图（3—8）所示，因为02≥r 所以θ的取值范围是]4,4[ππ-与]4
5,43[ππ由图形及公式(3—6)，得到：24022cos 214a d a A =?=?π
θθ 例3.9 求三叶玫瑰线θ3cos a r =(0>a )围成区域（图3—9）的面积。
解 三叶玫瑰线围成的三个叶是全等图形，只
须计算第一象限那部分面积的6倍。三叶玫瑰线θ3cos a r =在第一象限中，角θ的变化范围是0到
6π 于是三叶玫瑰线围成区域的面积为： ?=60
223cos 26πθθd a A )3(3cos 6022θθπd a ?
= 令θ3=Φ则原式可化为： 4)22sin (2)2cos 1(2cos 22022022022π??????π
ππa a d a d a =+=+=?? 3.3 求旋转曲面的面积
定积分的所有应用问题，一般总可以按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形势，但为了简便实用，也常采用“微元法”。
若令dt t f x x
a ?=Φ)()(,则当f 为连续函数时，)()('x f x =Φ或dx x f d )(=Φ,且0)(=Φa ，dx x f
b b
a ?=Φ)()(，现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间],[x a 上的，即)(x Φ=Φ，],[
b a x ∈,而且当b x =时，)(b Φ适为最终所求的值。再任意小区间],[],[b a x x x ??+上，若能把Φ的微小增量?Φ近似表示为x ?的线性形式：
x x f ?≈?Φ)( (3—6)
其中f 为某一连续函数，而且当0→?x 时，)()(x x x f ?=?-?Φο,亦即
图3—9 6πθ=
定积分法求面积的探究 dx x f d )(≈Φ (3—7) 那么只要把定积分?b
a dx x f )(计算出来，就是该问题所求的结果。 设平面光滑曲线C 的方程为],[),(
b a x x f y ∈=
(不妨设0)(≥x f )这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋
转曲面（图3—10）下面用y 微元法导出它的面积公
式。通过x 轴上点x 与x x ?+分别作垂直于x 轴的平
面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当x ?很小时，
此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即
x x y y x f y x x x f x f s ???+?+=?+??++≈?22
2)(1])(2[)]()([ππ
其中)()(x f x x f y -?+=?由于0lim 0=?→?y x ，20)(1lim x
y x ??+→? =)(12x f '+因此由)('x f 的连续性可以保证)()(1)(2)(1])(2[2'2x x x f x f x x
y y x f ?=?+-???+?+οππ所以得到 dx x f x f dS )(1)(22'+=π
?'+=b
a dx x f x f S )(1)(22π (3—8) 如果光滑曲线C 由参数方程],[),(),(βα∈==t t y y t x x 给出，且0)(≥t y ，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为
?'+'=βαπdt t y t x t y S )()()(222 (3—9)
例3.10 计算圆222R y x =+在区间],[],[21R R x x -?上的弧段绕x 轴旋转所得球的面积。
解 对曲线22x R y -=在区间],[21x x 上应用公式(3—8) ,得到
)(212122
22222
1x x R dx x R x x R S x x -=-+-=?ππ 图3—10 x
注意 当R x R x =-=21,时，则地球的表面积24R S π=球
例3.12 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==（图3—11）
绕x 轴旋转所得到旋转曲面的面积。
解 由曲线关于y 轴的对称性及公式(3—9)，得
?+-=2
022223)cos sin 3()sin cos 3(sin 4π
πdt
t t a t t a t a S 22
0425
12cos sin 12a dt t t a πππ==? 运用曲面的第一基本形式也可以计算曲面的面积，首先把曲面域用坐标曲线
常数=u 与常数=v 剖分成完整的和不完整的曲边四边形，取以点),v u （，),(v du u +，),(dv v du u ++，),(dv v u +为定点的曲边四边形，近似地换成切平面上的一个平行四边形。这个平行四边形是以切于坐标曲线的向量du r u 与dv r v 为边，我们把曲边四边形的面积认为近似地等于以du r u ，dv r v 为边的平行四边形的面积。由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以它们交角的正弦，即：上述平行四边形的的面积σd 为u v d r du r dv σ=?，u v r r dudv =?因此，曲面区域D 的面积σ可由二重积分来表示：
dudv r r d S
v u D ?????==σσ的面积
这里的区域s 是曲面域D 相对应得),(v u 平面上的区域。
由于0)()(222
22>-=-=?F EG r r r r r r v u v u v u ，其中E ,F ,G 为曲面的第一类基本量 所以??-=s dudv F EG 2的面积σ
由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的
例3.13[3] 求螺旋面v u x cos =，v u y sin =，av z =)20,0(π≤≤≤≤v b u 的面积。
图3—11
定积分法求面积的探究
分析 由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的，这个过程中直线的方向是已知的且垂直于z 轴方向。因此，正螺面也是旋转曲面。
解 分别关于u 和v 求导得：
v x u cos =，v y u sin =，0=u z ，v u x v sin -=，v u y v cos =，a z v =
即：1=E ，0=F ,22a u G +=
?????++++=+=+=-=s b s a b a b a b a b du a u dudv a u dudv F EG A ]ln [22
22220
22222ππ注意 利用二重积分法求旋转曲面的面积问题，关键在于寻找中间变量，进而转化为用定积分来求解。
四、 常见方法
4.1 巧选积分变量
例4.1 求抛物线x y =2与032=--y x 所围成的平面图形的面积A .
分析 该平面图形（图4—1）。先求出抛物
线与直线的交点)1-1(，P 与)39(，Q 用1=x 把图形
分成左、右两部分。
解 应用公式（3—1）分别求的它们的面积
为：
342)]([10101==--=??dx x dx x x A ?--=9
12)23(dx x x A =3
28 所以33221=+=A A A 注意 在有些定积分求解问题中，选x 为积分变量，需要将图形分割运算较繁琐。这时把y 作为积分变量，并求出两相交点的纵坐标，确定出被积函数的积分上下限，便可利用牛顿—莱布尼兹公式求解[4]。
例4.2 求抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的平面图形的面积。
分析 本题考查了利用定积分的几何意义求图形
的面积，可以通过对x 积分、对y 积分两种方法求解（图
4—2）。
解法一 选取横坐标x 为积分变量
18))4(2(222
08
2=--+=??dx x x dx x S . 解法二 选取纵坐标y 为积分变量 ?-=--+=-+=423221824)61421(]21)4(y y y dy y y S
注意 这两种解法，显然对y 积分比对x 积分计算简捷。因此在应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取非常重要。选取时对y 积分，积分函数应是)(y x ?=,不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不变。
4.2 巧用对称性
例4.3[5] 求由三条曲线1,4,22===y x y x y 所围成的面积。
分析 因为224,x y x y ==是偶函数，根据对称性，总面积为y 轴右边图形的面积的两倍。
解 由方程组???==1
2y x y 和???==142
y x y 得交点坐标)1,1(-，)1,1(，)1,2(-，)1,2(.选择x 为积分变量，则34])41()4([22121022
=-+-=??dx x dx x x S 4.3 巧用分割计算
例4.4 求由抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-M 和点)0,3(N 处两条切线所围成的图形的面积。
解 由342-+-=x x y 得42'+-=x y 则过M 点的切线方程为34-=x y ，过N 点的切线方程为62+-=x y ，又可求得两切线交点的横坐标为2
3=x 故所求面积??=
-+--+-+-+---=23032
32249)]34()62[()]34()34[(dx x x x dx x x x S 注意 当函数0)(≥x f 时，定积分dx x f b a
?)(在几何上表示：由曲线)(x f y =、直线
定积分法求面积的探究
b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积S ,即dx x f S b
a ?=)(.
五、结束语
求图形的面积，转化为求定积分，适当的分割、积分变量的选取至关重要，同时选择适当的方法可使计算简便。用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限。一般是应先画出它的草图，借助图形的直观性确定被积函数，求出两条曲的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积。利用定积分的性质优化求解过程，本文中采用重积分求解曲面的面积充分体现了数形结合思想。
参考文献
[1] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2004:25-37.
[2] 吴良森,毛羽辉等.数学分析学习指导[M].北京:高等教育出版社,2008:100-134.
[3] 绿林根.面积与体积[M].江苏:人民出版社,1978:76-93.
[4] 边均伯,张茂根.极限的新概念[M].北京:宇航出版社,1988:35-47.
[5] 张惠颖,周成林等.应用数学教程[M].第二版.陕西:西北农林科技大学出版社,2010:62-64.
文山学院本科毕业论文（设计）
致谢
随着毕业设计的完成，我的大学生活也将结束。在这短短的几个月的时间里，让我学到了以前在书本上学不到的知识。让我度过了大学生活最为充实的一段时期，而且收获了理论和实践上的第一桶金。
在做毕业设计的这段时间，我要感谢我的指导老师，她经常抽出宝贵的时间来询问毕业设计的情况。在这次毕业设计中她还指导了很多学生，任务非常繁重，但是她对每一项工作还是那么负责，对我耐心指导。从她负责指导我的毕业设计开始，就对我设计中的每一个环节都不遗余力的给于我帮助。在毕业设计的这段时间，她深厚的学术修养，严禁的治学态度，强烈的责任心和对学生的无私关怀，令我收益终身。
同时，我还要感谢数学学院的所有老师们，他们在我大学生活的几年中给我的无私帮助，我将终生难忘。在平时的学习生活中，各位老师不辞辛劳的工作，使我在许多方面都达到了一个较高的层次。给我以后的工作与生活都打下了坚实的基础。
利用定积分求曲线围成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 ?b a f (x )dx =?c a f (x )dx +?b c f (x )dx 。
所求的面积= 2 23 22 00 84 24 333 x x x dx x ?? -=-=-= ?? ?? ? 例1 例2．计算曲线 21 y x =+和2 4 y x =-，以及直线1 x=和1 x=-所围成的区域面积。 解：所求面积= 1 113 222 111 214 4(1)323 33 x x x dx x dx x --- ?? --+=-=-= ?? ?? ?? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？ 考虑区间112233 [,],[,],[,],[,] a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为： 123 123 ()()()()()()()() c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+- ???? 例3：求 3 () f x x =和() g x x =所围成的封闭区域面积。 解：当()() f x g x =时图像的交点， 即 332 0(1)0 x x x x x x =?-=?-= 01 x ∴=± 或 例3
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
定积分求面积
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。 这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。 这个求和公式称为积分和。设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。 之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法： 特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下： 1.当a=b时， 2.当a>b时， 3.在整数前可以提到常量。 4.代数和的积分等于积分的代数和。 5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。 6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。 7.积分中值定理：如果f(X)在[a，b]上连续，则在[a，b]中至少有一个点ε
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
定积分计算公式和性质
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
积分常用公式
积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：
定积分公式
二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?
（17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
定积分计算的总结论文
定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?
高考数学复习点拨：用定积分求面积的技巧
高考数学复习总结归纳点拨 1 用定积分求面积的技巧 求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧. 一、巧选积分变量 求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积． 解析：如图1，解方程组224y x y x ?=?=-? ，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，． 方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即33282 8822022024222(24)224183032 S xdx x x dx x x x =+-+=++=??|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即 24 234 22114418226y S y y dy y y --????=+-=+-= ? ??????|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应 是()x y ?=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142 x y x y = =+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变. 二、巧用对称性 在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===， ，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==， 是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．
用定积分求面积的两个重要公式
1 / 2 用定积分求面积的两个常用公式 求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用． 一、两个常用公式 公式一：由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为 A ＝ |()|b a f x dx ? ． 特别地，（1）当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()b a f x dx ? ； （2）当f (x )≤0时(如图2)，A ＝－ ()b a f x dx ? ； ⑶当f (x )有正有负时(如图3)，A ＝ ()c a f x dx ? － ()b c f x dx ? ． 公式二：由连续曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，f (x )≥g (x )及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的图形(如图4)的面积A 为 A ＝ [()()]b a f x g x dx -?． 二、应用举例 例1 由y ＝x 3，x ＝0，x ＝2，y ＝0围成的图形面积． 分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决． 解：（1）如图1，由公式1，得 1 图2 图
2 / 2 S ＝ 2 30 x dx ? ＝ 4244 0111|204444 x =?-?=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起． 例2 （1）由曲线y ＝x 2，y 2＝x 所围成图形的面积． （2）由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝3 4 x 在第一象限所围成图形的面积． 分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分． 解：（1） 如图2，所求面积为阴影部分． 解方程组22 y x y x ?=??=??，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得 S ＝1 2 0)x dx ?＝3312 02211()|33333 x x -=-=． （2）如图3，解方程组2114 12y x y x ? =-????=??和 2114 34 y x y x ? =-??? ?=??， 得x ＝0，x ＝1 ＋负的舍去)，x ＝4． 由公式2，得图形面积 S ＝10 31 ()42 x dx -? ＋4 2111 [(1)]42 x x dx -- ? 216-=． 3 图
积分求圆球面积和体积
积分法求圆球的表面积与体积 方法一: 如图圆O 的方程为2 2 2 R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体 从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)(∞→n 每份长为x ? 球体也同时被垂直分成n 份薄片 每片的半径为22x R r -= 每片分得弧长为l d 如图:当无限等分后 (1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?= 易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX EH OC CE ?= x x R R l ?-= ??2 2 弧 薄片的球面面积x x R R x R l r S ?--=?=?2 2 2 22)2(ππ x R S ?=?π2 球面面积? ? +-+-== R R R R Rx Rdx ππ22=2 4R π 方法二: 如图圆O 的方程为2 2 2 R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体 沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份 )(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈ 球体也同时被垂直分割成n 份薄片 每片弧长相等对应圆心角为θ? 每片对应的半径为θsin R r = 当0→?θ时
(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥ 薄片周长θπsin 2R L = 薄片的(宽))sin(θ?=R h 薄片外围面积)sin(sin 2θθπ??=?R R S )sin(sin 22 θθπ?=R θθπ?=sin 22R 20 224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ =-=?=?? 方法三: 如图圆O 的方程为2 2 2 R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体 沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每份为θ?,)2 ,2(π πθ- ∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片 每片弧长相等对应圆心角为θ? 每片对应的半径为θcos R r = 如图取OC oB →这一份进行研究 当0→?θ时 (1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥ 薄片周长θπcos 2R L = 薄片的厚(高))sin(θ?=R h 薄片外围面积)sin(cos 2θθπ??=?R R S )sin(cos 22 θθπ?=R 由极限:当0→x 时 1sin =x x ? 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22 θθπ?=?R S θθπ?=cos 22 R 2 22 22 2 2 4sin 2cos 2R R R S πθπθθππ ππ π==?=??- -
苏教版高中数学选修(2-2)-1.5用定积分求面积的两个重要公式
用定积分求面积的两个常用公式 求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用． 一、两个常用公式 公式一：由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为 A ＝ |()|b a f x dx ? ． 特别地，（1）当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()b a f x dx ? ； （2）当f (x )≤0时(如图2)，A ＝－ ()b a f x dx ? ； （3）当f (x )有正有负时(如图3)，A ＝ ()c a f x dx ? － ()b c f x dx ? ． 公式二：由连续曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，f (x )≥g (x )及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的图形(如图4)的面积A 为 A ＝ [()()]b a f x g x dx -?． 二、应用举例 例1 由y ＝x 3 ，x ＝0，x ＝2，y ＝0围成的图形面积． 分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决． 解：（1）如图1，由公式1，得 1 图2 图
S ＝ 2 30 x dx ? ＝ 4244 0111|204444 x =?-?=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起． 例2 （1）由曲线y ＝x 2，y 2 ＝x 所围成图形的面积． （2）由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝3 4 x 在第一象限所围成图形的面积． 分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分． 解：（1） 如图2，所求面积为阴影部分． 解方程组22 y x y x ?=??=??，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得 S ＝1 2 0)x dx ?＝3312 02211()|33333 x x -=-=． （2）如图3，解方程组2114 12y x y x ? =-????=??和 2114 34 y x y x ? =-??? ?=??， 得x ＝0，x ＝1 ＋负的舍去)，x ＝4． 由公式2，得图形面积 S ＝10 31 ()42 x dx -? ＋4 2111 [(1)]42 x x dx -- ? 216-=． 3 图
用定积分求面积的技巧
用定积分求面积的技巧 求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧. 一、巧选积分变量 求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积． 解析：如图1，解方程组224y x y x ?=?=-? ，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，． 方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即 3328 28822022024222(24)224183032 S xdx x x dx x x x =+-+=++=??|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即24 234 22114418226y S y y dy y y --????=+-=+-= ? ??????|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应 是()x y ?=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142 x y x y = =+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变. 二、巧用对称性 在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===， ，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==， 是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.（1） AdX （ 2） XdX _ 1 丄+ 彳 解：（1 ） . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 （2 ）.XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式，然后应用幕函
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式，然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)
有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分： （1）()1 3 031x x dx -+? （2）() 94 1x x dx +? （3）? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。 评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()?? -=b a b a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。
定积分计算公式和性质
定积分计算公式和性质第二节 一、变上限函数 上的任一点，于是，x在区间设函数为在区间上连续，并且设 上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 在区x如果上限间上任意变动，则对于每一个取定的 上定义了一个以xx为自变量的函值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上变上限函数在区间数，我们把称为函数 记为图 5-10
上一个动点，从而以线段为底的曲边梯是从几何上看，也很显然。因为X形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10） 定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 作直线运动，那么在时间区间我们知道：如果物体以速度上所经过的 s为路程5-11 图 的函数，那么物体从t=at到t=b另一方面，如果物体经过的路程s是时间 5-11）所经过的路程应该是（见图 即 为了求出定积分即是由导数的物理意义可知：一个原函数，因此，
上的增量，再求应先求出被积函数在区间的原函数，即可。 的一般方法：如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 ，在闭区间上连续，是的一个原函数，即设函数则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成 莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函牛顿-提供它揭示了定积分和不定积分的内在联系，数的原函数在积分上、下限处函数值之差。了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 的一个原函数所以因为是
所围成y=0及x=、x=0和直线求曲线2 例 A(5-12)
利用定积分求曲线围成的面积
利用定积分求曲线围成的 面积 This manuscript was revised on November 28, 2020
利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-??? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面 积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 所求的面积= 2 2322008424333x x x dx x ??-=-=-=????? 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。 解：所求面积= 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如 果它们交叉会是什么结果 考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表 示为： 例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
定积分法求面积探究毕业论文
定积分法求面积的探究 教学系： 专业： 年级： 姓名： 学号： 导师及职称：
摘要 定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。 同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。 关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性
Research of square in definite integral ABSTRACT A definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems. At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method. Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry