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椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

椭圆与双曲线常见题型归纳

题型一：弦的垂直平分线问题

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂

直平分线的方程，得出E 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。由2

(1)y k x y x

=+??

=?消y 整理，得2222

(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+>即2

k <<

② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k --。线段的垂直平分线方程为：2

1112()22k y x k k k --=--

令y=0,得021122x k =

-，则211(,0)22E k -ABE ? 为正三角形，∴

211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。

AB = =2d k =222k k ∴=

解得13

k =±

满足②式此时053x =。

思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直

k 确定，进而求出0x 的坐标。

例题2、已知椭圆12

=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。

解：(I) ∵a 2

=2，b 2

=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上2

设M(-

t ,2

1)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=

由|OM|=r ，得2

3)2

+-t

，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=49. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)，

代入2

2x +y 2=1，整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2

-2=0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，

∴方程一定有两个不等实根,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)，

则x 1+x 1=-,12422+k k 2

0122

12(),221

k x x x k =+=-+002(1)21k y k x k =+=+ ∴AB 垂直平分线NG 的方程为)(1

00x x k

y y --

=-令y=0，得 22002222121C k k x x ky k k =+=-+++22211

21242

k k k =-=-+++∵.021,0<<-∴≠c x k

∴点G 横坐标的取值范围为（0,2

）。技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。

练习1：已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8

(G ，求k 的取值范围。

分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b 的关系式，再根据“过点)2

3,1(”得到,a b 的第2个关系式，解方程组，就可以解出,a b 的值，确定椭圆方程。

第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点)0,8

1(G ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,k m 的等式，用k 表示m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。

解：（Ⅰ）离心率21=e ，2213144

b a ∴=-=，即22

43b a =（1）；

又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，2

3b =，椭圆方程为

22143

x y +=。（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y 由22

3412

y kx m x y =+??

+=?得：222

(34)84120k x mkx m +++-=，直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴?=-+->，即2243m k <+ (1)

由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000

222

443,343434mk mk m

x y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：222

32434413234348

m k K mk mk k k +==-----+，由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k =---- ，即2

348k m k

+=-，代入（1）式，可得

22234()438k k k +<+，即2120k >

，则1010

k k ><-。老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：

y kx m =+，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技

巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线

的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设1F 、2F 分别是椭圆

154

x y +=的左右焦点．是否存在过点(5,0)A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得22F C F D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．分析：由22F C F D =得，点C 、D 关于过2F 的直线对称，由直线l 过的定点A(5,0)不在

154

x y +=的内部，可以设直线l 的方程为：(5)y k x =-，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k 的取值范围，由韦达定理得弦CD 的中点M

，解出k 值，的坐标，由点M 和点F 1的坐标，得斜率为看是否在判别式的取值范围内。

解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A 的直线的斜率存在，且不等于。设直线l 的方程为：(5),(0)y k x k =-≠，C 11(,)x y 、D 22(,)x y ，CD 的中点M 00(,)x y 。由22

(5)4520

y k x x y =-??

+=?得：2222

(45)50125200k x k x k +-+-=，又直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，则2222=(50)4(45)(12520)0k k k ?-+->，即2

105

k <<

。由韦达定理得：22121222

5012520

,4545k k x x x x k k

-+==++，则2212000

222252520,(5)(5)2454545x x k k k x y k x k k k k +-===-=-=+++，M(2

2545k k +，22045k k -+)。又点2F (1,0)，则直线2MF 的斜率为2

222

2054525151

45MF k

k k k k

k -

+==--+，根据2CD MF ⊥得：21MF k k =- ，即

5115k k =--，此方程无解，即k 不存在，也就是不存在满足条件的直线。老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1

，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平

分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。题型二：动弦过定点的问题

圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。

例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>

x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线

:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线

的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：（I ）由已知椭圆C

的离心率c e a =

，2a =,

则得1c b ==。从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，

直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的

方

程

为

1(2)y k x =+，由12

(2)

y k x x y =+??+=?消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x - 和是方程的两

个根，

21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211

284(,)1414k k k k -++，同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=- 12122

k k k k t -∴

=-+，直线MN 的方程为：121121

y y y y x x x x --=--，

∴令y=0，得2112

12x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t =

又2t > ，∴402t <

椭圆的焦点为

4t ∴=

t =

故

当3

t =

时，MN 过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程2

(14

)161640

k x k x

k +++-

=的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M 的横坐标：2

112

12814k x k -=+，再利用直线A 1M 的方程通过同点的坐标变换，得点M 的纵坐标：1

1414k y k =

+；

其实由222(2)44y k x x y =-??+=?消y 整理得222

222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即2

222

8214k x k -=+，2

414k y k -=

+很快。不过如果看到：将2112

164

214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2222222

824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。在直线1A M 上也在本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即

直线A 2N 上，进而得到

12122

k k k k t

-=-+，由直线

的

方

程

121

y y y y x x x x --=

--得直线与x 轴的交点，即横截距2112

x y x y x y y -=

-，

将点M 、N 的坐标代入，化简易得4

x t =

，由4

=解

出

t =

t =是否满足2t >。另外：也可以直接设P(t ，y 0)，通过A 1，A 2的坐标写出直线PA 1，PA 2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M 、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。再过点F ，求出t 值。

例题4、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。

解（I ）由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>

3,1a c a c +=-=，2

2,1,3a c b ===22

143x y ∴+=（II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2

3412y kx m x y =+??+=?

得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-?=++（注意：这一步是同类坐标变换） 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+（注意：这一步叫同点纵、横坐标间

的变换）以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴

?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，22

71640m mk k ++=，解得 1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为1-，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出m kx y l +=：，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。

练习：直线m kx y l +=：和抛物线22y px =相交于A 、B ，以AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线

m kx y l +=：过定点，并求定点的坐标。

分析：以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=，再通过

2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m ?=+?+=+++，将条件转化为221212(1)()0k x x mk x x m ++++=，再

通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到12x x ，12x x +，解出k 、m 的等式，就可以了。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2

2y kx m y px

=+??

=?得，2

220ky py mp -+=，（这里消x 得到的）则2480p mkp ?=->………………（1）由韦达定理，得：121222p mp y y y y k k

=，，则2

121212122()y m y m y y m y y m x x k k k ---++== ，以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，即12120x x y y +=，可得2

1212122

()0y y m y y m y y k

-+++=，则22(1)220k mp pm m k +-+=，即2220k mp m k +=，又0mk ≠，则2m kp =-，且使（1）成立，此时2(2)l y kx m kx kp k x p =+=-=-：，直线恒过点(2,0)p 。

名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。

本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？

题型三：过已知曲线上定点的弦的问题

若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。

例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22

221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线

BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC = ，2BC AC =

，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；

(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。

解：(I) 2BC AC = ，且BC 过椭圆的中心O OC AC ∴= 0AC BC = 2

ACO π

∴∠=

又 ∴点C 的坐标为。 A 是椭圆的右顶点，

a ∴=22

2112x y b

+=将点C 代入方程，得24b =，

∴椭圆E的方程为

124

x y

+=(II) 直线PC与直线QC

关于直线x=

∴设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k-，从而直线PC的方程为：

( y k x

，即)

y kx k

，由

)

3120

y kx k

x y

?=-

+-=

消y，整理得：

222

(13)(1)91830

k x k x k k

++-+--

=x=

9183

k k

∴=

即

同理可得：

))

P Q P Q

y y kx k kx k

-=-++

＝()

P Q

k x x

P Q

x x

P Q

y y

x x

∴==

则直线PQ的斜率为定值

。

方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC

关于直线x=PC 的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k

222

(13)(1)91830

k x k x k k

++-+--=的根，易得点P的横坐标：

x=，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标：

x=，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。

接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。

直接计算

P Q

y y

-、

P Q

x x

-，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。

练习1、已知椭圆C：

1(0)

x y

a b

+=>>

，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线:(2)

l x t t

=>与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

解：（I ）由已知椭圆C

的离心率2

c e a =

，2a =,

则得1c b ==。从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122

(2)14

y k x x y =+??

?+=??消y 整理得2

(14)161640k x k x k +++-=12x - 和是方程的两个根21121164214k x k -∴-=+则2

112

12814k x k -=+，

1121414k y k =+，即点M 的坐标为211

284(,)1414k k k k -++

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=- 12122

k k k k t -∴

=-+，直线MN 的方程为：121121

y y y y x x x x --=

--， ∴令y=0，得2112

x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t =

又2t > ，∴402t <

椭圆的焦点为

4t ∴=

3t =

故当3

t =时，MN 过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合韦达定理得到点M 的横坐标：

112

2814k x k -=+，利用直线A 1M 的方程通过坐标变换，得点M 的纵坐标：1121414k y k =+；再将2112

1164214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2

22824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很

容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。

本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到

12122

k k k k t

-=-+，由直线MN

的方程

121121y y y y x x x x --=

--得直线与x 轴的交点，即横截距2112

x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =，

由

4t =

t =

，到此不要忘了考察t =是否满足2t >。练习2、：（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C 以过点A （1，3

），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）求椭圆C 的方程；

（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求

出这个定值。

分析：第一问中，知道焦点，则，再根据过点A ，通过解方程组，就可以求出，

求出方程。第二问中，设出直线AE 的斜率k ，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点A 的坐标，可以求出点E 的坐标,将点E 中的k,用-k 换下来，就可以得到点F 的坐标，通过计算yE-yF ，xE-xF ，就可以求出直线EF 的斜率了

解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，将点A 的坐标代入方程：，解得，（舍去）所以椭圆方程为。

（Ⅱ）设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入

143x y +=得 2223

(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=

设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3

(1,)2

A 在椭圆上，所以

4()12

2x 34F k k --=+

E E y kx k =+- ………8分

又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得

4()12

x 34F k k +-=+ 3

E E y kx k =-++

1a b =+2

,a b

2211

x y a a +=-22

1914(1)

a a +=-24a =22114a c =<=22

143x y +=

所以直线EF 的斜率()21

F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=

==--

即直线EF 的斜率为定值，其值为

。 ……12分老师总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。

题型四：共线向量问题

解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。

例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22

194

x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。分析：由DP DQ l =u u u r u u u r 可以得到12

23(3)x x y y l l ì?=?í

?=+-??，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),

Q DP DQ l =uuu r uuu r

\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即12123(3)x x y y l l ì=??í?=+-???

方法一：方程组消元法

又Q P 、Q 是椭圆29x +2

y =1上的点

\22222222

194()(33)19

4x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=???? 消去x 2，

可得222

222

(33)14

y y l l l l +--=-

即y 2=

135

6l l - 又Q －2￡y 2￡2， \－2￡

135

6l l

-￡2 解之得：

λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55??

????。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，

由22

4936y kx x y =+??

+=?

消y 整理后，得 22(49)54450k x kx +++=

P 、Q 是曲线M 上的两点

22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k -≥

即2

95k ≥ ① 由韦达定理得：

121222

5445

,4949k x x x x k k

+=-

=++ 21212

1221()2x x x x x x x x +=++

222

254(1)45(49)k k λλ

+∴=

+ 即2222

3694415(1)99k k k

λλ+==++ ② 由①得211

095

k <

≤，代入②，整理得 2

369

15(1)5λλ<

≤+，解之得

λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15

λ=。总之实数l 的取值范围是1,55??

????

。

方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241x y =的焦点，离心率为5

2．（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1λ=，2λ=，求21λλ+的值．分析：

（07福建理科）如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为

点Q ，且QP QF FP FQ ?=?

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知12,MA AF AF BF λλ==

，求12λλ+的

值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：

（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =

得：

(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =.

（Ⅱ）设直线AB 的方程为：

1(0)x my m =+≠.

设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ??--

???

，，

联立方程组241y x x my ?=?=+?，

，

，消去x 得：

2440y my --=，2(4)120m ?=-+>，故

121244y y m y y +=??

=-?，

．

由1MA AF λ= ，2MB BF λ=

得：

1112y y m λ+

=-，2222

y y m

λ+=-，整理得： 1121my λ=--

，22

1my λ=--， 12122112m y y λλ??

∴+=--

+ ???

22y y m y y +=--

2424

m m =--- 0=

解法二：

（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=

， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，

0PQ PF ∴-= ，

PQ PF ∴=

所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2

4y x =.

（Ⅱ）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=

，得120λλ< .

则：1

MA AF MB BF

λλ=-

.…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，

则有：11MA AA AF

MB BB BF ==

.…………②

由①②得：12AF AF

BF BF

λλ-=

，即120λλ+=.

练习：设椭圆)0(12

22>=+

a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=?F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||3

1OF ．（1）求椭圆C 的方程；

（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若QP MQ 2=，求直线l 的方程．山东2006理

双曲线C 与椭圆22

184

x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线。（I ）求双曲线C 的方程；

(II)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）。当12PQ QA QB λλ==

，

且3

21-

=+λλ时，求Q 点的坐标。解：

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y

则4(,0)Q k -

1PQ QA λ=

11144

(,4)(,)x y k k

λ∴--=+

111

14444()44x k k x k k y y λλλλ?

=--??-=+??∴???

??-==-???

11)(,A x y 在双曲线C 上， ∴

21211

11616()10k λλλ+--= ∴22

2211161632160.3

k k λλλ++-

-= ∴2221116

(16)32160.3

k k λλ-++-=

同理有：22

22216(16)32160.3

k k λλ-++-= 若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠

12,λλ∴是二次方程222

16(16)32160.3

k x x k -++-

=的两根. 122

328

163

k λλ∴+=

=-- 24k ∴=，

此时0,2k ?>∴=±.

∴所求Q 的坐标为(2,0)±.

解法二：

由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4

(,0)Q k

. 1PQ QA λ= ，

Q ∴分PA

的比为1λ.

由定比分点坐标公式得

111

11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??

-==-+??+??→??

+??=-

=??+??

下同解法一

解法三：

由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4

(,0)Q k

. 12PQ QA QB λλ== ，

111222444

(,4)(,)(,)x y x y k k k

λλ∴--=+=+.

11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-

，22

y λ=-，又128

λλ+=-

， 121123

y y ∴

+= 即12123()2y y y y +=

将4y kx =+代入2

y x -=得 222(3)244830k y y k --+-=

230k -≠ ，否则l 与渐近线平行。

12122224483,33k y y y y k k -∴+==--。

244833233k k k -∴?=?-- 2k ∴=±

(2,0)Q ∴±

解法四：

由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y

则4(,0)Q k -

1PQ QA λ= ,

11144

(,4)(,)x y k k

λ∴--=+。

∴1114444k kx x k

λ-

=-++ 同理

124

kx λ=-

1212448

443

kx kx λλ+=-

-=-++.

即 2121225()80k x x k x x +++=

（*）

又

y kx y x =+-= 消去y 得22(3)8190k x kx ---=.

当2

30k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，2

30k -≠。由韦达定理有：

122

1228319

3k x x k x x k +=

-=-

- 代入（*）式得

24,2k k ==±

∴所求Q 点的坐标为(2,0)±。

练习：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y = （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）点P 为椭圆上一点，弦PA 、PB 分别过焦点F 1、F 2，（PA 、PB 都不与x 轴垂直，其点P 的纵坐标不为0），若

111222,PF F A PF F B λλ==

，求12λλ+的值。

解：（1）设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，则b=1，由222411155b e a =-=-=，得2

5a =，则椭圆的方

程为：2

215

x y += （2）由2

215

x y +=得：12(2,0),(2,0)F F -，设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，有111222,PF F A PF F B λλ== 得：

0011100222(2,)(2,),(2,)(2,)x y x y x y x y λλ---=+--=-

解得：001212

,y y y y λλ=-

=-，根据PA 、PB 都不与x 轴垂直，且00y ≠，设直线PA 的方程为：00(2)2

y y x x =++，代人2

215x y +=，整理后，

得：2222

00000(2)54(2)0x y y y x y y ??++-+-=??

根据韦达定理，得：2

0122

(2)5y y y x y -=++，则01220(2)5y y x y -=++，从而，220

101

(2)5y x y y λ=-

=++ 同理可求220

202

(2)5y x y y λ=-

=-+ 则22222212000000(2)5(2)52(5)4x y x y x y λλ+=+++-+=++

由00(,)P x y 为椭圆2

215

x y +=上一点得：220055x y +=，则1218λλ+=，故12λλ+的值为18. 题型五：面积问题

例题8、（07陕西理）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3

短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为

，求△AOB 面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c

，依题意3c a a ?=

???=?

1b ∴=，∴所求椭圆方程为2

213

x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。