随机信号课后习题答案2

2.1 随机过程t B t A t X ωωsin cos )(+=，其中ω为常数，A 、B 是两个相互独立的高斯变量，并且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。求X (t )的数学期望和自相关函数。

解： ]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=

t B E t A E ωωsin ][cos ][+= 0= （0][][==B E A E ）

)]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==

]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=

2122121212sin sin ][cos sin ][][sin cos ][][cos cos ][t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ωωωωωωωω+++=212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=） )(cos 122t t -=ωσ

)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）

2.2 若随机过程X (t )在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。

证： 由均方连续的定义0])()([lim 2

=-?+→?t X t t X E t ，

展开左式为：)]()()()()()([lim 220

t X t X t t X t X t t X t t X E t +?+-?+-?+→?

=0))]()()((([))]()()((([{lim 0

=-?+--?+?+→?t X t t X t X E t X t t X t t X E t

固有0)]([)]([lim 0

=-?+→?t X E t t X E t ，证得数学期望连续。

2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时

存在二阶偏导数

2

12

1212),(t t t t t t R =???。

证：

1

2121101212110121)]

()([)]()([lim ),(),(lim ),(11t t X t X E t X t t X E t t t R t t t R t t t R t X t ?-?+=?-?+=??→?→?

1

111201212110)}]

()(){([lim

)]()()()([lim

11t t X t t X t X E t t X t X t X t t X E t t ?-?+=?-?+=→?→? 211112111220,021212)}]

()(){([)}]()(){([lim ),(21t t t X t t X t X E t X t t X t t X E t t t t R t t ??-?+--?+?+=???→?→?

])}

()()}{()({[

lim 211112220

,021t t t X t t X t X t t X E t t ??-?+-?+=

→?→?在21t t =时存在，

也就是]})()([{

lim 2

t

t X t t X E t ?-?+→?存在。

2.4 判断随机过程)cos()(Φt A t X +=ω是否平稳？其中ω为常数，A 、Φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

π?π

?2021)(<<=

Φf ； 0)(222

>=

-

a e a

a f a A σσ

解： 021

)

cos()][cos(20

=+=+??π

ωωπ

d Φt Φt E 0)][cos(][)]cos([)]([=+=+=Φt E A E Φt A E t X E ωω ]cos )22[cos(][2

1

}])(cos{)cos([),(22ωτωτωτωωτ+++=

+++=+Φt E A E Φt Φt A E t t R X

ωτcos ][2

1

2A E =

与时间的起点无关，且∞<)]([2t X E 因此，是广义平稳的随机过程。

2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A 、B 构成的随机过程

t B t A t X 00sin cos )(ωω+=

是宽平稳而不一定是严平稳的。其中t 0ω为常数，A 、B 的数学期望为零，方差2σ相同。

证：0sin ][cos ][)]([00=+=t B E t A E t X E ωω

)](sin )(cos )(sin cos [(),(0000τωτωωωτ++++=+t B t A t B t A E t t R X

)]

(sin sin )(cos sin )(sin cos )(cos cos [0020000002τωωτωωτωωτωω+++++++=t t B t t AB t t AB t t A E

2

0020000002)(sin sin ][)(cos sin ][][)(sin cos ][][)(cos cos ][τωωτωωτωωτωω+++++++=t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E )(sin sin ][)(cos cos ][002002τωωτωω+++=t t B E t t A E

（22])[(][][X E X D X E +=）

τωσ02cos = ∞<)]([2t X E

因此，是广义平稳的随机过程。

)]sin cos )(sin cos )(sin cos [(),,(303020201010321t B t A t B t A t B t A E t t t R X ωωωωωω+++=

sin cos )(sin sin cos sin sin cos cos cos [(30201022010201020102B t A t t B t t AB t t AB t t A E ω

ωωωωωωωωω++++=]

sin )sin sin cos sin sin cos cos cos [(]cos )sin sin cos sin sin cos cos cos [(30201032010220102201023020102201022010220103t t t B t t AB t t AB t t B A E t t t AB t t B A t t B A t t A E ωωωωωωωωωωωωωωωωωω+++++++=

]sin sin sin []cos cos cos [30201033020103t t t B E t t t A E ωωωωωω+=

可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题

2.6 有三个样本函数t t x t t x t x sin 3)(,cos 2)(,2)(321===组成的随机过程)(t X ，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？

解：}sin 3,cos 2,2{)}(),(),({)(321t t t x t x t x t X ==

3

1

321=

==P P P ∑=++==3

1

)sin 3cos 22(31

)()]([i i i t t P t x t X E

由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严

平稳或宽平稳的条件。

2.7 已知随机过程)cos()(Φt A t X +=ω，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，A 可能是常数、时间函数或随机变量。A 满足什么条件时，)(t X 是各态历经过程？

解：

（1）考查)(t X 为平稳过程的条件

在A 为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足

}]

)(cos{)cos([)]()([),(0

)]([2

Φt Φt A E t X t X E t t R t X E X +++=+=+=τωωττ

]}[cos )]22[cos(]{[21

2ωτωτωE Φt E A E +++=

ωτcos ][21

2A E = )(τX R =

（2）考查)(t X 为各态历经过程的条件

在A 为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足

)]

([cos lim )cos(21lim )(21lim )(t X E 0T Φsin T A

dt Φt A T dt t X T t X T T

T

T T T T ===+==∞→-∞→-∞→??ωωω 而

??-∞→-∞→+++=+=+T

T

T T T T dt Φt Φt A T dt t X t X T t X t X })(cos{)cos(21

lim )()(21lim )()(2τωωττ ?-∞→+++=T

T

T dt Φt A T ]cos )22[cos(221lim 2

ωτωτω ωτcos 2

2A = 只有在A 为常数时，满足=+)()(τt X t X )(τX R 。 欲使)(t X 是各态历经过程，A 必为常数。

2.8 设)(t X 和)(t Y 是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？

解：令)()()(t Y t X t Z =

Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ===)]([)]([)]()([)]([

)()()()]()([)]()([)]

()()()([),(ττττττττZ Y X Z R R R t Y t Y E t X t X E t Y t X t Y t X E t t R ==++=++=+

又∞<=)]()([)]([222t Y t X E t Z E

)(t X 和)(t Y 的乘积是平稳的。

2.9 求用)(t X 自相关函数及功率谱密度表示的)cos()()(0Φt t X t Y +=ω的自相关函数及功率谱密度。其中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与Φ相互独立的随机过程。

解

：

}])(cos{)()cos()([)]()([),(00Φt t X Φt t X E t Y t Y E t t R Y ++++=+=+τωτωττ

}])(cos{)[cos()]()([00Φt Φt E t X t X E ++++=τωωτ

τωτ0cos )(2

1

X R =

)(τY R =

)]()([41

])[(41

])[(41

cos )(21

)()(00)()(00000ωωωωτττττ

τωτττωτωωτωωωττωτωωτωτ

-++=+=+===

????∞

∞--+--∞

∞---∞

∞

--∞

∞

-X X j j X j j j X j X j Y

Y S S d e e R d e e e R d e R d e

R

S

2.10 平稳高斯过程)(t X 的自相关函数为τ

τ-=e R X 2

1)(，求)(t X 的一维和二维概率密度。

解：02

1lim )(lim )(2

===∞=-∞→∞→ττττe R R m X X X

0=X m

2

1

)()0(2=

∞-=X X X R R σ （1）)(t X 的一维概率密度：

2

21

2

121

),(2

2x x X e e

t x f -?-

=

?

=

ππ

（2）平稳高斯过程n 维概率密度等于n 个以为概率密度的乘积。

2

221211

),;,(x X e

t t x x f -=

π

2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程)(t X 和)(t Y ，已知10,52

2==Y X σσ，说明

下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。

τ

τ

τ

τττττ33)(5)()

5(46)()3()6cos()()1(2

---=+=-=e u R e R e R X Y Y τ

ττττ

ττ-===e

R R R X X Y 5)()

6()5sin(5)()4(]

3)

3sin([5)()2(2

解：

（a ）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b ）)()0(τX X R R ≥，（a ）中仅有(2)、(3)、(6)满足；

（c ）对于非周期平稳过程有)()0(2∞-=X X X R R σ，

（b ）中仅有(6)满足。 因此，(6)是自相关函数。

2.12 求随机相位正弦信号)cos()(0Φt t X +=ω的功率谱密度，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，0ω是常数。

解：

τωτωωττ000cos 2

1

}]

)(cos{)[cos()]()([),(=+++=+=+Φt Φt E t X t X E t t R X

)]

()([2

cos 21

)()(000ωωδωωδπ

τ

τωττωωτωτ

-++===-∞

∞

--∞

∞

-??d e d e

R

S j j X

X

2.13 已知随机过程∑==n

i i i t X a t X 1

)()(，式中i a 是常数，)(t X i 是平稳过程，并且相

互之间是正交的，若)(ωXi S 表示)(t X i 的功率普密度，证明)(t X 功率谱密度为

)()(12ωωXi n

i i X S a S ∑==

证：因)(t X i 是平稳过程，并且相互之间是正交的，j i R ij ≠=,0)(τ。

])()([)]()([)(1

1

∑∑==+=+=n

i i i n

i i i X t X a t X a E t X t X E R τττ

)()]()([1

21

2ττXi n

i i i i n i i R a t X t X E a ∑∑===+=

)()()()(1

21

2ωττττωωτ

ωτ

Xi n

i i j Xi

n

i i

j X X S a d e

R

a d e

R S ∑?∑?=-∞

∞-=-∞∞

-==

=

2.14 由)(t X 和)(t Y 联合平稳过程定义了一个随机过程

t t Y t t X t V 00sin )(cos )()(ωω+=

（1）)(t X 和)(t Y 的数学期望和自相关函数满足那些条件可使)(t V 是平稳过程。 （2）将（1）的结果用到)(t V ，求以)(t X 和)(t Y 的功率谱密度和互谱密度表示的

)(t V 的功率谱密度。

（3）如果)(t X 和)(t Y 不相关，那么)(t V 的功率谱密度是什么？

解：

（1）t t Y E t t X E t t Y t t X E t V E 0000sin )]([cos )]([]sin )(cos )([)]([ωωωω+=+=

欲使)]([t V E 与时间无关，不随时间函数t 0cos ω、0sin ωt 变化，)(t X 和)(t Y 的数学期望必须是0)]([,0)]([==t Y E t X E ；

)

(sin sin )()(cos sin )()(sin cos )()(cos cos )()(sin sin )]()([)(cos sin )]()([)(sin cos )]()([)(cos cos )]()([)}](sin )()(cos )(}{sin )(cos )([{)]

()([),(00000000000000000000τωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωττωτωωττ+++++++=+++++++++++=++++++=+=+t t R t t R t t R t t R t t t Y t Y E t t t X t Y E t t t Y t X E t t t X t X E t t Y t t X t t Y t t X E t V t V E t t R Y YX XY X V

在)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，上式可写作与时间起点无关的表达式：

τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=

因此，当0)]([,0)]([==t Y E t X E ，)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，)(t V 是平稳过程。

（2）对τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=两边同时作傅氏变换：

)]()([21

)]()([21]sin )(cos )([)()(000000ωωωωωωωωτ

τωττωτττωωτωτ

++-+++-=+==

??∞

∞

--∞∞

--XY XY X X j XY X j V V S S S S d e R R d e R S

（3）)(t X 和)(t Y 不相关，)(t V 的互功率谱密度为零。

)]()([2

1

)(00ωωωωω++-=X X V S S S

2.15 设两个随机过程)(t X 和)(t Y 各是平稳的，且联合平稳

)

sin()()cos()(00Φt t Y Φt t X +=+=ωω

式中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，0ω是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。

解：0)]([)]([==t Y E t X E

τωττ0cos 2

1

)()(=

=Y X R R τωωωττ000sin 2

1

]sin([cos()]()([)(=++=+=Φ)t Φ)t E t Y t X E R XY

0sin 2

1

)]([)]([)()(0≠=-=τωττt Y E t X E R C XY XY

)(t X 和)(t Y 是相关的，不是统计独立的；

又0)(≠τXY R ，)(t X 和)(t Y 是非正交的

随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程

()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =

最新随机过程考试试题及答案详解1

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绪论单元测试 1 【单选题】(2分) 确定性信号和随机信号的区别是什么？ A. 能否用计算机处理 B. 能否用有限个参量进行唯一描述 2 【单选题】(3分) 如何由连续时间信号获得离散时间信号？ A. 在信号幅度上进行量化 B. 在时域上对连续时间信号进行采样 第一章测试 1 【单选题】(2分) 以下那个说法是正确的？ A.

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3 【判断题】(2分) A. 错 B. 对 4 【单选题】(2分) 下面哪段语句不会报错？ A. x=ones(1,5); n h=0:2; h=(nh+1).*ones(1,3); n=0:6; y=conv(x,h); stem(n,y); B. x=[123]; h=ones(1,5); n=0:7; y=conv(x,h); stem(n,y); C.

x=ones(1,4); n h=0:2; h=(nh+1)*ones(1,3); n=0:5; y=conv(x,h); stem(n,y); 5 【单选题】(2分) A. B. C. D.

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(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

【免费下载】第一学期数理统计与随机过程研试题答案

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机

随机信号处理考题答案.doc

填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（ x）则 F（ -∞） =0, F（ +∞） =1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程 X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声 ,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布 ,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 ,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ） =25+4/ （1+6τ），则其均值为 5 或 -5,方差为 4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声 ,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声 ,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________ 。 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性 ,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意 n 维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢 ,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快 , 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分.

050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机信号习题答案

随机信号分析习题参考答案 北京工业大学电控学院 2008.12.9

第一章 随机信号基础 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为： 求： （1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(<

解： 如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数 （II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续 （1）0 )(0 12 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1' 2 <= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(0 2 ≥<≤=--= a a x u x u a x x F 上式等价于： else x F a x a x 0 )(0= ≤≤

随机过程试题及解答

2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=???

随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第四章习题讲解

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωω πτττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)] ()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==????? 时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ

()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞ ∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = = =??= ? ? ?? ??? ??P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P 交直流分量为平均功率：流

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机信号分析(常建平+李海林)习题答案

1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤

1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==? 第②问 {}()()() 2 11221x x P x X x F x F x f x d x < ≤ =-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ???

随机信号处理作业南理工(有程序)

精心整理《随机信号处理》上机实验仿真报告 学院：电子工程与光电技术学院 指导老师：顾红 日期：2014年11月10日 B=543e6;%带宽（这里设置带宽为学号后三位），程序段①从这行开始 fs=10*B;%采样频率 ts=1/fs; T=10e-6;%脉宽10μs N=T/ts;%采样点数 t=linspace(-T/2,T/2,N); K=B/T; a=1;%这里调频信号幅值假设为1 %%线性调频信号

si=a*exp(j*pi*K*t.^2); figure(1) plot(t*1e6,si); xlabel('t/μs');ylabel('si');title('线性调频信号时域波形图');gridon; sfft=fft(si); f=(0:length(sfft)-1)*fs/length(sfft)-fs/2;%f=linspace(-fs/2,fs/2,N); figure(2) plot(f*1e-6,fftshift(abs(sfft))); xlabel('f/MHz');ylabel('sfft');title('线性调频信号频域波形图');gridon; axis([-300,300,-inf,inf]);%程序段①到这行结束 %%叠加高斯白噪声 disp(' %% %% n2=conv(ht,ni);%噪声 n22=abs(n2); s2=conv(ht,si);%信号 s22=abs(s2); SNRo=(max(s22)^2)/(var(n2))/2; disp('输出信噪比为：'); SNRo=10*log10(SNRo) disp('信噪比增益为：');disp(SNRo-SNRi) %%匹配滤波器的幅频特性 hw=fft(ht);

随机信号李晓峰版第一章习题答案

随机信号分析 第一章 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()())0.210.520.33i i i f x p x x x x x δ δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（ 9.

10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=， 求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以12a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -?

求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。 解：（1） ()() ()()()()()() ,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑ ()() ()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑ （2）X 的分布律为（i ij j P P ?=∑） ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为

2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222.

1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得

测试信号习题和答案

第一章 信号及其描述 （一）填空题 1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来 传输的。这些物理量就是 ，其中目前应用最广泛的是电信号。 2、 信号的时域描述，以 为独立变量；而信号的频域描述，以 为独立变量。 3、 周期信号的频谱具有三个特 点： ， ， 。 4、 非周期信号包括 信号和 信号。 5、 描述随机信号的时域特征参数有 、 、 。 6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 对称，虚频谱（相频谱）总是 对 称。 （二）判断对错题（用√或×表示） 1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。（ ） 2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。（ ） 3、 非周期信号的频谱一定是连续的。（ ） 4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（ ） 5、 随机信号的频域描述为功率谱。（ ） （三）简答和计算题 1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。 2、 求正弦信号)sin()(0?ω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。 3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。 4、 求被截断的余弦函数???≥<=T t T t t t x ||0 ||cos )(0ω的傅立叶变换。 5、 求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。 参考答案 第一章 信号及其描述 （一）1、信号；2、时间（t ），频率（f ）；3、离散性，谐波性，收敛性；4、准周期，瞬态 非周期；5、均值x μ，均方值2x ψ，方差2x σ；6、偶，奇； （二）1、√；2、√；3、╳；4、╳；5、√； （三）1、π0 2x ，20x ；2、0，22 0x ，)cos(10?ωπ+t x ；3、f j a A π2+；4、()()T f c T T f c T )2(sin )2(sin 00ωπωπ-++； 5、fa j f a πωπω 44202220+--；

随机信号分析资料报告习题

随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2, )n =为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随 机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。