用MATLAB模拟弹簧摆运动
用MATLAB模拟弹簧摆运动
引言：
物体在一定位置附近所作的往复运动称为机械振动。这种振动现象在自然界是广泛存在的。例如，摆的运动，一切发声体的运动，机器开动时各部分的微小颤动等都是机械振动。在不同的振动现象中，最基本最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动，弹簧振子和小角度单摆就是简单的简谐振动。
计算机模拟可以直观表现物理系统的运动状态，对于理解抽象的物理公式和研究系统的运动带来很多方便，所以在科研中有广泛的应用。这里我们借助于MATLAB,在研究物理系统的运动的同时，也用动画模拟他们的运动。由于这些运动模拟式采用真实的从求解运动方程得到的数据。所以利用matlab的数据拟合可以画出精确的图形。
题目：
设质量为m的摆锤挂在劲度系数为k,原长为l
的轻弹簧上，弹簧的另一端
悬挂于固定点O,系统静止自然下垂时弹簧长度为
mg
l l
k
=+
，系统可在过O点的
竖直平面内自由摆动，试研究摆锤的运动。
原理：
系统自由度为2。以O 为极点，竖直向下的O x 轴为极轴，建立极坐标系，如图所示，r 为质点m 到O 点距离，为O x 轴与弹簧间的夹角，则系统的拉格朗日函数为
由拉格朗日方程可求出系统的运动微分方程为
上式未作小摆角近似，因此可用以研究弹簧摆的大摆角运动，但是难以求出解析解。由数值计算结果所画出弹簧摆的大摆角运动轨迹，可发现它的运动情况很复杂，不作数值计算是无法想象的。 令1y r =，
2dr y dt =
，3y θ=，4d y dt θ
=
，则成为
源程序：
function thb
global L m k g
theta0=pi/10; %初始角度,可由读者设不同的值 m=1;k=80;g=9.8; L0=1;
L=L0+m*g/k; %L0为弹簧原来长度，L 为弹簧静止时长度 [t,u1]=ode45(@thbfun,[0:0.005:15],[L0 0 theta0 0]); [y1,x1]=pol2cart(u1(:,3),u1(:,1)); y1 = -y1;%将极坐标换为直角坐标
figure
ymax=max(abs(y1));
axis([-1.2 1.2 -1.2*ymax 0.2]);%设置坐标范围
axis off
title('弹簧摆','fontsize',14)
hold on;
R =0.055 ; %设置弹簧半径
yy = -L0 : 0.01 : 0;
xx = R*sin(yy./L0*30*pi);%用正弦曲线表示弹簧
[a,r] = cart2pol(xx,yy); %用坐标变换来画初始位置的弹簧
a = a + theta0;
[xx,yy] = pol2cart(a,r);%弹簧的数据
line([-1 1],[0 0],'color','r','linewidth',2)%画横杆，球与弹簧
ball = line(xx(1),yy(1),'color','r','marker','.','markersize',70,'erasemode' ,'xor');
ball2 = line(xx(1),yy(1),'color',[0.5 0.51 0.6],'linestyle','-','linewidth',1.3,'erasemode','none');
spring = line(xx,yy,'color','r','linewidth',2,'erasemode', 'xor'); pause(0.5)
for i = 1 : length(t) %画出每一步的弹簧位置
yy = -u1(i,1) : 0.01 : 0;
xx = R*sin(yy./u1(i,1)*30*pi);
[a,r] = cart2pol(xx,yy);
a = a + u1(i,3);
[xx,yy] = pol2cart(a,r);
set(ball,'XData',x1(i),'YData',y1(i));
set(ball2,'XData',x1(i),'YData',y1(i));
set(spring,'XData',xx,'YData',yy);
drawnow;
end
function F = thbfun(t,u)
global L m k g
F = [u(2);
u(1)*u(4)^2 + g*cos(u(3)) - k/m*(u(1) - L + m*g/k);
u(4);
-2*u(2)*u(4)/u(1) - g*sin(u(3))/u(1)];
程序说明：
程序中解微分方程的过程比较简单，主要的技巧是在做模拟动画上。有两点值得注意，一是模拟弹簧的运动，另一点是在模拟弹簧运动的同时画出轨迹图。
主程序的文件名是thb，子程序文件为thbfun，两个程序共用的变量L，m，k，g用指令global来传递。
程序运行截图：
总结：
这次小论文的编写，虽然程序还是相对简单的，但是体现了MATLAB真正用于科学计算的优势。通过这门课的学习，对MATLAB也有了更多的了解，以后可以更好的运用MATLAB，辅助各种研究工作，受益匪浅。
参考文献：
彭芳麟. 计算物理基础. 北京：高等教育出版社，2010.1