函数的奇偶性及周期性

第3讲函数的奇偶性及周期性

[学生用书P23]

1．函数的奇偶性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．辨明三个易误点

(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．

(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，对于偶函数的判断以此类推．

2．活用周期性三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝

1

f（x）

，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－1

f（x）

，则T＝2a.

3．奇、偶函数的三个性质

(1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．

(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇

×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

1．(2015·高考北京卷)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |

D ．y ＝2－

x

B [解析] 因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；

C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；

D 选项为指数函数y ＝

???

?12x

，是非奇非偶函数． 2.教材习题改编 函数f (x )＝1

x

2的大致图象为( )

D [解析] 因为f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上为减函数， 又因为f (－x )＝1（－x ）2＝1

x

2＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故选D ．

3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13

B ．13

C.12

D ．－12

B [解析] 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， 所以a ＝13，则a ＋b ＝1

3

.

4.教材习题改编 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．

[解析] 当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )．

[答案] x (1－x )

5．(2016·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0

?－5

2＋f (2)＝__________． [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，

所以f ????－52＋f (2)＝f ????－52＋2＋f (0)＝f ????－12＋0＝－f ???

?1

2＝－41

2＝－2. [答案] －2

函数的周期性[学生用书P23]

[典例引领]

(1)(2016·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)

上，f (x )＝?????x ＋a ，－1≤x <0，????25－x ，0≤x <1，

其中a ∈R .若f ????－52＝f ???

?9

2，则f (5a )的值是________． (2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋4)＝f (x )．当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (2 017)＝________．

【解析】 (1)由题意可得f ????－52＝f ????－12＝－12＋a ，f ????92＝f ????12＝????25－12＝110，则－1

2＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－2

5

. (2)因为f (x ＋4)＝f (x )，所以周期T ＝4.

又f (1)＝1，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝1. 【答案】 (1)－2

5

(2)1

若本例(2)的条件不变，求f (x )(x ∈[2，4])的解析式． [解] 当x ∈[－2，0]时，－x ∈[0，2]， 由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. 所以f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2，4]时，x －4∈[－2，0]， 所以f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．

又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 故x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.

函数周期性的判定与应用

(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．

(2017·广东揭阳一模)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0，1]

时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ????

2 0165＋lg 18＝________．

[解析] 由函数f (x )是周期为2的奇函数， 得f ????2 0165＝f ????65＝f ????－45＝－f ????45＝－lg 95＝lg 5

9， 故f ????2 0165＋lg 18＝lg 5

9＋lg 18＝lg 10＝1. [答案] 1

函数的奇偶性[学生用书P24]

[典例引领]

判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 3－1x

；

(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝????

?x 2

＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.

【解】 (1)原函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x 都有 f (－x )＝(－x )3－

1

－x

＝－????x 3－1x ＝－f (x )， 从而函数f (x )为奇函数．

(2)f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 当x ＞0时，

f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x ＜0时，

f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．

(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法

②图象法

(2)判断分段函数奇偶性的注意事项

要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

[通关练习]

1．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1

D ．－2

B [解析] 设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选 B ．

2．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (2)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

；

(3)f (x )＝?

????x 2＋x ，x ＞0，

x 2－x ，x ＜0.

[解] (1)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为????

??

32，不关于坐标原点对称，

所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)由?????4－x 2

≥0|x ＋3|－3≠0

，

得－2≤x ≤2且x ≠0，

所以f (x )的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 所以f (x )＝4－x 2（x ＋3）－3＝4－x 2

x .

所以f (x )＝－f (－x )， 所以f (x )是奇函数．

(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2

＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；

当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ， 则当x ＞0时，－x ＜0，故 f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )， 故原函数是偶函数．

函数性质的综合应用(高频考点)[学生用书P25]

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度为中高档题．

高考对函数性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)函数的奇偶性与单调性相结合； (2)函数的奇偶性与周期性相结合； (3)函数的奇偶性与对称性相结合．

[典例引领]

(1)(2017·河南省六市第一次联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，

在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )

A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

B ．(－4，－2)∪(2，4)

C ．(－∞，－4)∪(－2，0)

D ．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)

(2)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝

?

????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，10的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D ．

(2)因为f (x )是以4为周期的奇函数，所以f ????294＝f ????8－34＝f ????－34，f ????416＝f ????

8－76＝f ???

?－76. 因为当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，所以f ????34＝34×????1－34＝316.因为当1

所以f ????76＝sin 7π6＝－12

.又因为f (x )是奇函数，

所以f ????－34＝－f ????34＝－3

16，f ????－76＝－f ????76＝12. 所以f ????294＋f ????416＝12－316＝516. 【答案】 (1)D (2)516

(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f (x )为偶函数?f (x )＝f (|x |)．(ii)若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.

[题点通关]

角度一 函数的奇偶性与单调性相结合

1．(2017·重庆适应性测试(二))若f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集为________．

[解析] 依题意，结合函数y ＝f (x )的性质，

不妨设函数y ＝f (x )的大致图象如图，注意到不等式xf (x )<0等

价于①?????x <0f （x ）>0或②?

????x >0f （x ）<0.结合图象，解不等式组①得－3

[答案] {x |－3

角度二 函数的奇偶性与周期性相结合

2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ????－5

2等于( ) A ．－1

2

B ．－14

C.14

D ．12

A [解析] 因为f (x )是周期为2的奇函数，

所以f ????－52＝f ????－52＋2＝f ????－12＝－f ????12＝－2×12×????1－12＝－12

. 3．已知f (x )是R 上的奇函数，f (5)＝2，且对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________．

[解析] 因为f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，所以f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)＝0，所以f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是周期为6的函数，所以f (2 017)＝f (1)，又f (1)＝f (1－6)＝f (－5)＝－f (5)＝－2，所以f (2 017)＝－2.

[答案] －2

角度三 函数的奇偶性与对称性相结合

4．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________． [解析] 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以f (4－x )＝f (x )，

所以f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3. 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (－1)＝f (1)＝3. [答案] 3

[学生用书P25]

——函数的新定义问题

新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关的考查．(2)性质型新定义函数多以函数的单调性、奇偶性、对称性、最值等作为命题的背景．

对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )

为“同域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“同域区间”．给出下列四个函数：

①f (x )＝cos π

2x ；②f (x )＝x 2－1；

③f (x )＝|x 2－1|；④f (x )＝log 2(x －1)．

存在“同域区间”的“同域函数”的是________．(请写出所有正确的序号)

【解析】 ①取区间[0，1]，则π2x ∈????0，π

2，所以f (x )＝cos π2x ∈[0，1]．所以该函数

为存在“同域区间”的“同域函数”；

②取区间[－1，0]，则函数f (x )＝x 2－1在该区间上单调递减，故f (0)≤f (x )≤f (－1)，即f (x )∈[－1，0]．所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；

③f (x )＝|x 2

－1|＝?

????x 2

－1，|x |＞1，1－x 2

，|x |≤1，取区间[0，1]，则函数f (x )＝1－x 2在该区间上单调递减，故f (1)≤f (x )≤f (0)，即f (x )∈[0，1]．所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；

④函数f (x )＝log 2(x －1)的定义域为(1，＋∞)，且该函数在定义域上为单调递增函数．假

设存在区间[m ，n ]，使得f (x )∈[m ，n ]，则有?????log 2（m －1）＝m ，log 2（n －1）＝n ，即?

????2m

＝m －1，

2n ＝n －1.若该方程组

有解，则方程2x ＝x －1有两个不同的实数解．如图，分别作出函数y ＝2x 与y ＝x －1的图象，显然两函数图象没有公共

点，即方程2x ＝x －1无解．所以不存在区间[m ，n ]，使得f (x )∈[m ，n ]，即该函数不是存在“同域区间”的“同域函数”．综上，填①②③.

【答案】 ①②③

该题以函数的定义域与值域的求解为背景，存在“同域区间”的“同域

函数”的实质就是函数的定义域与值域相同，此类新定义函数问题以比较常见的基本初等函数为考查重点，涉及函数零点、方程根的个数的求解等问题．如④中的函数f (x )＝log 2(x －1)，要利用函数的单调性把定义域与值域相同转化为方程解的个数进行求解．该题中方程2x ＝x －1无解，所以不是新定义的函数；而如果该方程只有一个实数解，则也不是新定义的函数；当且仅当该方程有两个解时，该函数才是新定义的函数．

如果函数f (x )在区间D 上是增函数，且f （x ）

x

在区间D 上是减函数，则

称函数f (x )在区间D 上是缓增函数，区间D 叫做缓增区间．若函数f (x )＝12x 2－x ＋3

2是区间D

上的缓增函数，则缓增区间D 是( )

A ．[1，＋∞)

B ．[0，3]

C ．[0，1]

D ．[1，3]

D [解析] 抛物线f (x )＝12x 2－x ＋3

2的对称轴是x ＝1，其递增区间是[1，＋∞)，当x ≥1

时，f （x ）x ＝12????x ＋3x －1，注意到x ＋3x ≥23(当且仅当x ＝3

x 即x ＝3时取最小值)，所以缓

增区间D 是[1，3]．选D ．

[学生用书P263(独立成册)]

1．(2017·石家庄市教学质量检测(二))下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )

A ．y ＝1

x

B ．y ＝|x |－1

C ．y ＝lg x

D ．y ＝????

12|x |

B [解析] A 中函数y ＝1

x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数

满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B ．

2．(2017·广州市高考模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )

A ．2

B ．－2

C ．－98

D ．98

B [解析] 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.

3．若f (x )＝(e x －e －

x )(ax 2＋bx ＋c )是偶函数，则一定有( )

A ．b ＝0

B ．ac ＝0

C ．a ＝0且c ＝0

D ．a ＝0，c ＝0且b ≠0

C [解析] 设函数g (x )＝e x －e －

x .

g (－x )＝e －

x －e x ＝－g (x )，所以g (x )是奇函数．

因为f (x )＝g (x )(ax 2＋bx ＋c )是偶函数． 所以h (x )＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数．

即h (－x )＋h (x )＝0恒成立，有ax 2＋c ＝0恒成立． 所以a ＝c ＝0.

当a ＝c ＝b ＝0时，f (x )＝0，也是偶函数，故选C.

4．(2017·湖南省东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (2)，则x 的取值范围是( )

A.????1100，1 B ．????0，1

100∪(1，＋∞) C.????1100，100

D ．(0，1)∪(100，＋∞)

C [解析] 法一：不等式可化为：?????lg x ≥0lg x <2或?

????lg x <0－lg x <2，解得1≤x <100或1

100

所以x 的取值范围为???

?1

100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2

100

5．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )

A ．2

B ．0

C ．－2

D ．±2

A [解析] 因为g (－x )＝f (－x －1)， 所以－g (x )＝f (x ＋1)．

又g (x )＝f (x －1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)， 所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 018)＝f (2)＝2.

6．(2017·兰州市诊断考试)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln 1

π，b ＝(ln π)2，

c ＝ln π，当任意x 1、x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( )

A ．f (a )>f (b )>f (c )

B ．f (b )>f (a )>f (c )

C ．f (c )>f (b )>f (a )

D ．f (c )>f (a )>f (b )

D [解析] 依题意，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y 轴对称，则f (a )＝f (－a )＝f ????－ln 1π＝f (ln π)，f (c )＝f (ln π)＝f ????12ln π，而0<1

2ln π

?1

2ln π>f (ln π)>f [(ln π)2]，即f (c )>f (a )>f (b )，选 D ．

7．若f (x )＝k ·2x ＋2－

x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________． [解析] f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋1

2，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)

＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －1

2

，解得k ＝－1)．

[答案] 1 －1

8．(2017·贵州省适应性考试)已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f （x ）

f （x ）.若

g (2)＝3，则g (－2)

＝________．

[解析] 由题意可得g (2)＝2＋f （2）

f （2）＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，

所以g (－2)＝2＋f （－2）f （－2）＝2－1

－1

＝－1.

[答案] －1

9．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝????

?ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2

x ＋1

，0≤x ≤1，

其中a ，b ∈R .若f ????12＝f ????

32，则a ＋3b 的值为________．

[解析] 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f (－1)＝f (1)，即－a ＋1＝b ＋2

2.①

又因为f ????32＝f ????－12＝－1

2a ＋1， f ????12＝f ????32，所以－1

2a ＋1＝b ＋43

.② 联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10. [答案] －10

10．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，若函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，且当x ≥1时，有f (x )＝1－2x ，则f ????32，f ????23，f ????13的大小关系是________．

[解析] 因为函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，图象的对称轴为y 轴，把y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象的对称轴为x ＝1.又已知当x ≥1时，有f (x )＝1－2x ，此时f (x )为减函数，所以当x <1时，f (x )为增函数，所以f ????23>f ????32>f ????13.

[答案] f ????23>f ????32>f ????

13

11．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；

(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积． [解] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得

f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数．

所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))， 即f (1＋x )＝f (1－x )．

从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．

又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．

设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×????1

2×2×1＝4.

12．已知函数f (x )＝????

?－x 2

＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．

(1)求实数m 的值；

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，

所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，

于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.

(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．

结合f (x )的图象知?

????a －2＞－1，

a －2≤1，

所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．

13．已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )

A.9

4 B ．2 C.34

D ．14

A [解析] 设x ＞0，则－x ＜0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.

所以在[1，3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2.所以m ≥1

4且n ≤－2.

故m －n ≥9

4

.

14．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：

①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ????12＋f (1)＋f ????32＋f (2)＋f ????

52＝________．

[解析] 依题意知，函数f (x )为奇函数且周期为2， 所以f ????12＋f (1)＋f ????32＋f (2)＋f ???

?52

＝f ????12＋f (1)＋f ????－12＋f (0)＋f ????12 ＝f ????12＋f (1)－f ????12＋f (0)＋f ???

?12 ＝f ????12＋f (1)＋f (0)＝21

2－1＋21－1＋20－1＝ 2. [答案] 2

15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．

(1)求f (1)的值．

(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．

[解] (1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.

(2)f (x )为偶函数．证明如下：

令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 所以f (－1)＝1

2

f (1)＝0.

令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．

16．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数． (1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围． [解] (1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1， 因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0. 所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.

所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．

综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．

(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0?f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得

?????－1≤1－a 2

≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即?????0≤a 2

≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，

解得0≤a ＜1.

故所求实数a的取值范围是[0，1)．