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弧度制导学案

4-02 §1.1.2 弧度制

班级姓名学习目标

1. 掌握弧度制的定义；

2. 学会弧度制与角度制互化；

3. 了解角的集合与实数集R 一一对应关系. 学习重点

弧度制的定义及弧度制与角度制互化学习难点弧度制的定义

学习过程

一学案

（一）课前准备

（预习教材P 6~ P 8，找出疑惑之处）复习1：任意角：

定义：角可以看成是所形成的图形。正角：负角：零角：这样通过定义就把角从0~360 推广到了任意角。复习2：角度制：

（1）定义：以作为单位来度量角的单位制。符号：（2）规定：将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度。

复习3：在角度制下，扇形弧长公式为；扇形面积公式为。（二）新课导学弧度制

（1）定义：以作为单位来度量角的单位制。符号：（2）规定：1弧度的角：长度等于所对的圆心角。即若 =AB r ，则AOB=1rad ∠，弧度（rad ）

类比：若 1=1.5AB r ，则1AOB =∠ rad 2=2AB r ，则2AOB =∠ rad 3=2AB r ，则3AOB =∠ rad 归纳：若 =AB r α，则AOB=∠ rad

推广探究：如图，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点

B . 请完成表格。

AB 的长l OB 旋转的方向

AOB ∠的弧度数 AOB ∠的度数

r π

逆时针 2r π

逆时针

π-

180?

360?

新知：

① 正角的弧度数是数，负角的弧度数是数,零角的弧度数是 . ② 角α的弧度数的绝对值 α=

，α的正负由决定.

o r C

l =2r

B y

O B

③角度制与弧度制的转换公式

根据180=rad π ，得1=rad 1801801rad=ππ???

???

? ?????

试一试、记一记：完成特殊角的度数与弧度数的对应表. 度

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度

例题

例1：把6730' 化成弧度.

例2：把35

rad π化成度.

※小结：在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可省略，如：3表示3rad

练习：

1.将下列弧度与角度进行互化. －43

π= ；

π= ；－210°= ； 75°= . 2. 若α＝－3，则角α的终边在（）.

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 3.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 r a d .

4.课本P9习题1.1第7题

5.课本P9习题1.1第8题

例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式（R 是圆的半径）.：

()1l R a = ()2122l R a = ()1

S l R

学习反思

学习小结

任意角及弧度制知识点总结

任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如

任意角与弧度制导学案.doc

第一章三角函数【学习目标】 1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【日主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体720°”这样的动作名词，这里的 “ 720°”，怎么刻画? 二、建构数学 1.角的概念角同?以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和O 2.角的分类按方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做O 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个,它的和重合。这样，我们就把角的概念推广到了,包括________________________ 、 ________ 和 ________ 。 3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成? 4.象限角、轴线角的概念我们常在直鱼坐度内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。那么，角的（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是o 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.

象限角的集合 (1)第一象限角的集合： ____________________________________________ (2)第二象限角的集合： ____________________________________________ (3)第三象限角的集合： ____________________________________________ (4)第四象限角的集合： ____________________________________________ 轴线角的集合 (1)终边在x轴正半轴的角的集合：_____________________________________________ (2)终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________ (3)终边在y轴正半轴的角的集合：____________________________________________ (4)终边在y轴负半轴的佑的集合：____________________________________________ (5)终边在X轴上的角的集合：____________________________________________ (6)终边在y轴上的角的集合：____________________________________________ (7)终边在坐标轴上的角的集合： ____________________________________________ 三、课前练习在百.角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 30° ,150°,-60°, 390°, -390° ,-120° 【典型例题】例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ (2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度?

弧度制教学设计

弧度制江苏省淮州中学张建一、教材及内容分析本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识作铺垫，因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。本节内容一课时完成。二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：1、理解并掌握弧度制的定义。 2、熟练地进行角度与弧度的相互转换。 3、弧长公式、扇形面积公式的应用。难点：弧度的概念的理解。三、目标分析１、知识技能目标（1）理解1弧度的角及弧度的定义。（2）掌握角度与弧度的换算公式。（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。（4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。２、过程与方法通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

任意角与弧度制导学案

第一章三角函数 1.1.1 任意角【学习目标】 1．了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2．正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0 720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______. 4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________. 象限角的集合

人教版高中数学必修四《弧度制》导学案

§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、新课导学 ※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合

__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度：（1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则（） A ．集合M 是集合N 的真子集

高中数学人教B版必修4 1.1.2弧度制(1) 学案 Word版缺答案

第1页共2页 1.1.2 弧度制（1）学习要点：弧度制以及角度制与之换算关系。学习过程：（一）复习：度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。（二）新课学习： 1．1弧度角的定义：长度等于的弧所对的圆心角称为的角。如图：∠AOB=1rad ∠AOC=2rad 周角=2πrad 1．正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是 2．角α的弧度数的绝对值 α= （为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 360?= ∴180?= ∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 例1 把'3067 化成弧度例2 把rad π5 3化成度注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行； 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略如：3表示3rad sin π表示πrad 角的正弦 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 o r C 2rad 1rad r 2r o A A B 正角零角负角正实数零负实数

任意角的集合实数集R 例3用弧度制表示： 1?终边在x轴上的角的集合 2?终边在y轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合四、课堂练习（P12 练习）五、小结：1．弧度制定义2．与弧度制的互化六、作业：见作业（61）第2页共2页

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时教学过程导入新课图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

第1课时任意角的概念与弧度制导学案教程文件

第1课时任意角的概念与弧度制导学案

第1课时任意角的概念与弧度制导学案1、学习目标（1）了解任意角的概念。并会写象限角和终边相同的角的集合。（2）熟练掌握角度与弧度的互化。（3）熟记弧长和扇形面积的公式。 2、新知导读 1．与角α终边相同的角的集合为．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为． 4．象限角是指：．如何确定四个象限角？ 5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 6．弧度与角度互化：180o＝弧度，1o＝弧度，1弧度＝ ≈ o．特殊角的角度与弧度的互化。30o= 弧度45o= 弧度60o= 弧度90o= 弧度 7．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S ＝ . 8、阅读练习册P60的名师支招 3、范例点睛例1.（象限角问题）若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3 α的终边所在位置.

例2. （弧长与扇形面积）已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3 π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 4、达标检测 1、已知,αβ的终边关于y=x 对称，则αβ+= 。 2 、一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度，该扇形的面积是____________________ 3、练习册P62对应演练。

人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______． 2 3. 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π 12 化成角度．回顾归纳将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180° 即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180° π 即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π 5＝________度．知识点二利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°； (2)23π 6 ； (3)－4. 回顾归纳在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π 180 rad ＝弧度数，弧度数×????180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度. 课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( ) A.???? ?? α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z } D.???? ?? α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝???? ??α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π 2，k ∈Z }的关系是( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )

高中数学1.1任意角和弧度制教案新人教a版必修

《任意角和弧度制》教案【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题： 1．初中所学角的概念. 2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ °的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大 1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成 OA OB分别是角α的终边、始边. 一个角α，点O是角的顶点，射线, ∠”可以简记为α．说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-o o o 都是第一象限角；300,60-o o 是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270o o o 等等. 说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线. 4．终边相同的角的集合：由特殊角30o 看出：所有与30o 角终边相同的角，连同30o 角自身在内，都可以写成30360 k +?o o () k Z ∈的形式；反之，所有形如 30360k +?o o ()k Z ∈的角都与30o 角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 {}|360,S k k Z ββα==+?∈o ，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同. 例1 在0o 与360o 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120-o ；（2）640o ；（3）95012'-o . 解：（1）120240360-=-o o o ，所以，与120-o 角终边相同的角是240o ，它是第三象限角；（2）640280360=+o o o ，所以，与640o 角终边相同的角是280o 角，它是第四象限角；（3）95012129483360''-=-?o o o ，

高中数学1.1.2弧度制导学案新人教版必修4

1.1.2 弧度制课前预习学案一、预习目标： 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、角的弧度制是如何引入的？ 2、为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、弧度是如何定义的？ 4、角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？课内探究学案一、学习目标 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。三、学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由决定。正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-．（三）角度与弧度的换算 3602π=o rad 180π=o rad 180 1π=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180(π5718'≈o 归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o 例2、把下列各角从弧度化为度：（1）3 5π (2) 3.5 (3) 2 (4)4 π 变式练习：把下列各角从弧度化为度：

1.3弧度制导学案

弧度制使用说明： 1.阅读探究课本P9-11页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力； 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。【学习目标】 1.通过探究使学生认识到角度值和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。 2.培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。【重点难点】重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算。难点：弧度的概念及其与角度的关系。一、知识链接 1.在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？ 2. 除了用角度度量外，还有没有其它度量角的办法呢？二.教材助读 1.什么是1弧度的角？其单位是什么？ 2.角度与弧度的转化： 360= rad 180= rad 90= rad 60= rad 1= rad ≈rad 1rad= ≈= 3.什么叫弧度制？ 4.弧长公式： l= = 5.扇形的面积公式：S= = 注意：对于4和5中的公式，一定要搞清楚各个量所表示的含义。预习自测 1.把下列各角从度化成弧度. （1）135；（2）90；（3）60；（4）45； 2.把下列各角从弧度化成度. （1）2π；（2）；（3）；（4）。 3.时间经过4h,时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ 4.扇形弧长为18cm,半径为12cm,求扇形面积。

探究案基础知识探究 1.用弧度制表示终边在x 轴上的角的集合 2.用弧度制表示终边在y 轴非负半轴上的角的集合 3.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m 的圆中，60的圆心角所对的弧的长度。综合应用探究把下列各角化为0-2π间的角加上2k π（ k 是整数）的形式，并指出它们是哪个象限的角。（1）6 23π （2）-15000 （3）6720 （4）-7 18π 我的收获

《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示； 4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1 360 ． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π l r π 180( 180 π)° 正数负数零

高中数学必修4——任意角与弧度制导学案

任意角【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念； 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示. 【重点难点】正确理解终边相同的角的概念【学习过程与方法】 1．角的定义： 2．角的分类：正角：按方向旋转形成的角叫做正角；负角：按方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线旋转，我们称它为零角。说明：零角的始边和终边重合。 3．象限角：在直角坐标系中，使角的与坐标原点重合，角的与x 轴的非负轴重合，若角的在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如：30,390,330-都是第象限角； 300,60-是第象限角。注：非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何象限。例如：90,180,270等等。 4．终边相同的角的集合所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合： {}|360,S k k Z ββα==+?∈，小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。【典型例题】例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2．在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）0650 （2）0150- （3）0'99015- 例3、若3601575,k k Z α=?-∈，试判断角α所在象限。例4．已知α与0240角终边相同，判断2α 是第几象限角. 例5．写出终边落在第一、三象限的角的集合. 【课堂练习】 1.与500°终边相同的角为（） A .()36040k k Z ?+∈ B.()360140k k Z ?+∈ C .()360240k k Z ?+∈ D.()360340k k Z ?+∈ 2.下列各命题，其中正确的有（） ①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等； ③第二象限的角一定大于第一象限的任意角； ④若0180α<<,则α必是第一或第二象限的角

江苏省溧阳市戴埠高级中学必修4学案弧度制

1.1.2 弧度制一.学习目标 1．理解并掌握弧度制的定义； 2．能进行角度与弧度之间的换算； 3．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用．二．知识构建复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？ 1．弧度制的定义练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、 2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 2．弧度与角度的换算思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？试一试：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 3．圆的弧长公式及扇形面积公式三．典型例题例1.把下列各角从弧度化为度：

（1） 35π；（2）3.5；（3）2；（4）45 π-．例2．把下列各角从度化为弧度：（1）252；（2）210-；（3）' 1115；（4）'3067? ．例3．用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合．（1）终边落在x 轴的正半轴的角的集合为； x 轴的负半轴的角的集合为；终边落在y 轴的正半轴的角的集合为； y 轴的负半轴的角的集合为；所以，终边落在x 轴上的角的集合为；落在y 轴上的角的集合为．（2）第一象限角为；第二象限角为；第三象限角为；第四象限角为．例4．将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限．（1）19 3π；（2）315-；（3）1485-；（4）1500-．例5．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积．

四.课后复习 1．圆的半径变为原来的 12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍． 2.12π = ， 330-= ． 3.在[)0,2π上与116 π-终边相同的角是． 4．若角5α=，则α是第象限角． 5．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ????==+∈==±∈???????? 的关系是．（A ）A B = （B ）A B ? （C ）A B ? （D ）以上都不对． 6．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是． 7．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB AB 所对的圆心角α的弧度数为． 8.在直径为20cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧长：（1） 23π；（2）135． 9.将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限．（1） 1003 π；（2）10-；（3）870；（4）420-．

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）－150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

人教A版必修四全套教案之1.1.2弧度制(教、学案)

1.1.2 弧度制【教学目标】 ① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. ③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 【教学过程】（一）复习引入. 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题： ①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ ② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ ③ 角的范围是什么？如何分类的？（二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： (1)角的弧度制是如何引入的？ (2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？ (4)角度制与弧度制的区别与联系? 2．学生动手画图来探究： (1)平角、周角的弧度数 (2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ (3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 3．角度制与弧度制如何换算？ 3602π=rad 180π=rad 1801π=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180( π 5718'≈

归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 30° 90° 120° 150° 270° 4π 3 π 4 3π π π2 例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0 252 （2）0 / 1115 (3) 0 30 (4)'3067? 解：(1) π57 （2）π0625.0 (3) π6 1 (4) π375.0 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o 解：(1) π8 1 （2）π67- (3) π320 例2、把下列各角从弧度化为度：（1）3 5π (2) 3.5 (3) 2 (4) 4 π 解：（1）108 o (2)200.5 o (3)114.6 o (4)45 o 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1） 12π （2）—34π （3）103π 解：（1）15 o （2）-240 o （3）54 o 弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系. 弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式： ||l r α=? 因为||l r α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为． ||l r α=? 扇形面积公式：．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4 变式练习： 1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。 2(1) 1(2) 2 1(3) 2l R S R S lR αα== =(2) ;R 21 (1)S 2α=正角零角负角正实数零负实数