成人高考专升本高数一复习资料(20201204194509)

成人高考高数一复习资料

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.理解极限的概念（对极限定义

、、等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一

点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四

则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌

握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大

量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

[主要知识内容]

（一）数列的极限

1.数列

按一定顺序排列的无穷多个数

称为数列，记作

，其中每一个数称为数列的项，第n项

。为数列的一般项或通项，例如

（1）1，3，5，…，

，…

（2）

（3）

（4）1，0，1，0，…，…

都是数列。

在几何上，数列

可看作数轴上的一个动点，它依次取数

轴上的点

。

2.数列的极限

定义对于数列

，如果当时，

无限地趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列

以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作

否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数

列是发散的。

数列极限的几何意义：将常数A及数列的项

依次用数轴上的点表示，若数列

以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点

可以无限靠近点A。

（二）数列极限的性质

定理 1.1（惟一性）若数列收敛，则其极限值必定惟一。

定理 1.2（有界性）若数列

收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。

定理 1.3（两面夹定理）若数列

，，满足不等式且

。定理 1.4若数列

单调有界，则它必有极限。

下面我们给出数列极限的四则运算定

理。

定理1.5

（1）（2）

（3）当

时，

（三）函数极限的概念

1.当时函数

的极限

（1）当时的极限

定义对于函数

，如果当x无限地趋于

时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的极限是A，记作

或

（当时）

（2）当时

的左极限

定义对于函数

，如果当x从的左边无限地趋于时，函数

无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的左极限是A，记作或

例如函数当x从0的左边无限地趋于0时，

无限地趋于一个常数 1.我们称：当

时，

（3）当

的左极限是1，即有

时，

的右极限

定义对于函数

，如果当x从的右边无限地趋于时，函数

无限地趋于一个常数A，则称当

的右极限是A，记作

时，函数

或

又如函数当x从0的右边无限地趋于0时，

无限地趋于一个常数-1 。因此有

这就是说，对于函数

当时，

的左极限是1，而右极限是 -1，即

但是对于函数

，当

时，的左极限是2，而右极限是2。

显然，函数的左极限

、右极限