《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案

《现代控制理论参考答案》

第一章答案

1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图

解：系统的模拟结构图如下：

图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p

p p p n p

b

161116613153

46

1

5141313322211

+--

=+-==++--==

=???

??

?

令y s =)(θ，则1x y =

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

[]?????

?

???

?

??????????=???????

???????????????+??????

??????????????????????????

?????????????

?-----

=?????????????????????????????

?65432116543211111111

2654321000001000000

0000

0001001000000

000001

0x x x x x x y u

K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p

p n

p

b

1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

U

图1-28 电路图

解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =

有电路原理可知：?

?

?

+==+=++3

213

222231111x C x x x x R x L u

x x L x R 既得

2

221332

2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-

=+-=+--=??

?

写成矢量矩阵形式为：

[]????

?

?????=??

??

??

?

???????+??????????????????

?

??

???????---

-=??????????????3212

1321222

111

321000*********x x x R y u L x x x C

C

L L R L L R x x x 。。

。

1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

1

u 2

u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

解：系统的状态空间表达式如下所示：

[]???

?

?

???????=?????

???????+????????????????????????------=????????????432121432134

5

61

243

210101000000

100100010x x x x y u b b x x x x a a a a a a x x x x &&&&

?????

??

?????--+-=-34

561

2

1010

001)(a a a s a a

s a s

A sI ??????

?????

??????

??

?????--+-=-=--211

34

561

2

100000001010001)()(b b a a a s a a

s a s

B A sI s W ux

[]?????

????????????

??

?????--+-=-=--211

34

5612

1

0000000

10100010101)()(b b a a a s a a

s a s

B A sI

C s W uy

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

u u u y y y y 23375)2(.

.....++=+++K

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令..

3.

21y x y x y x ===，，，则有

[]????

??????=????

??????+?????????????????

???---=??????

????????321321321132100573100010x x x y u x x x x x x 。。

。 相应的模拟结构图如下：

1-6 （2）已知系统传递函数2

)

3)(2()

1(6)(+++=

s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图 解：s

s s s s s s s s W 31

233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-

++-=+++=

??

??

????????????

--=?????

?

??????+???????????????????

?????---=????????????32143214321313

310411100000

020*********x x x y u x x x x x x x x &&&&

1-7 给定下列状态空间表达式

[]???

?

?

?????=????

??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x &&&‘

（1） 画出其模拟结构图

（2） 求系统的传递函数 解：

（2）????

??????+-+-=-=31103201

)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI

()????

???

???++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(20

33)1)(2)(3(1

)(21s s s s s s s s s s s s A sI

()????

?

??

???+++++++=????

????????????

????++---++-+++++=-=-)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(20

33)1)(2)(3(1

)()(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI s W ux

[])

1)(2()12()

1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=

+++????

?

?????++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s W uy

1-8 求下列矩阵的特征矢量

（3）????

??????---=6712203010

A 解：A 的特征方程 0611667122301

23=+++=????

??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ

当11-=λ时，????

?

?????-=????????????????????---3121113121116712203010p p p p p p

解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ?????

?????--=??????????=1113121111p p p P （或令111-=p ，得????

?

?????-=??????????=1113121111p p p P ）

当21-=λ时，????

?

?????-=????????????????????---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 123212222

1,2p p p p =-= 令212=p 得 ????

?

?????-=??????????=1423222122p p p P

（或令112=p ，得?

????

?

??????-=??????????=21213222122p p p P ） 当31-=λ时，????

?

?????-=????????????????????---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ????

?

?????-=??????????=3313323133p p p P

1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

（2）??

??

?

??????????

?=????????????????+????????????????????--=??????????32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x &&&

解：A 的特征方程 0)3)(1(3112121

42=--=????

??????------=-λλλλλλA I 1,332,1==λλ

当31=λ时，????

??????=????????????????????--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ????

?

?????=??????????=1113121111p p p P

当32=λ时，????

?

?????+??????????=????????????????????--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ?????

?????=??????????=0013222122p p p P 当13=λ时，????

?

?????=????????????????????--332313332313311201214p p p p p p 解之得

3323

132,0p p p == 令133=p 得 ????

?

?????=??????????=1203323133p p p P

??????????=101201011T ????

?

?????---=-1102112101T

????

??????---=????????????????????---=-4325183572131102112101B T

??

??

??=????

????????????=302413101201011110021CT

约旦标准型

x ~y u

x ~x ~??

????=??????????---+??????????=302413432518100030013&

1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)

??

??????

??++++=210211

1)(1s s s s s W ????

?

?????+++=011413

1)(2s s s s W

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结

???

??

???

?

???++++++++++=??

??

??????++++????????

??+++==)2)(1(1)

1(1)4)(3)(2(7

5)3)(1(1

210211

101

1413

1

)()()(2

212s s s s s s s s s s s s s s s s s s W s W s W

（2）并联联结

????

??????+++±????????

??++++=±=011

4131210211

1)()()(11s s s s s s s s W s W s W

1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

?

???

?

???

?

?+-

+=21011

1)(1s s s s W ??????=10012)s (W

求系统的闭环传递函数 解：

?????

?????+-

+=?????

?????????

??+-+=21011

1100121011

1)()(211s s s s s s s W s W ??

???

?????++-

++=?????

????????

??

?+-

++=+23011

2100121011

1)()(1s s s s s s s s I s W s W I []?????

??????

?++++++=?????????

?++++++=+-320)3(121

12

12331)()(1

21s s s s s s s s s s s s s s s W s W I

[]?????

???????+++-+=????????????

+-+++++=?????

?????+-

+?????????

?++++++=+=-310

)3(1211101)1)(2(33121111120123

31)()()()(1121s s s s s s s s s s s s s s

s s s s s s s s s s W s W s W I s W

1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

?

????

??

???+-

+=21211

11s s s )s (W ??????=10012)s (W

求系统的闭环传递函数 解：

?

????????

?+-

+=??????????????

?

?+-

+=212111

100121211

111s s s s s s )s (W )s (W

?????????

?++-++=????????????????+-+=+232112100121211111s s s s s s s s )s (W )s (W I []????????

?

?++-+++++=+-122123

2512111s s s s s s s )s (s )s (W )s (W I []????

??

??

?

??

?+++-++++++++-

+++++=?????

???????

++-++++-++++-++++++=?????

??

???+-

+?????????

?++-+++++=+=-252)25)(2(66251)25()2()

83()1(1121)2(222)2(1)2(32)2(325)1(21121122123

25)1()()()()(2

22322222221111s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s

s s s s s s s s s s s s W s W s W I s W

1-12 已知差分方程为

)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为 （1）??

?

???=11b 解法1：

2

1

112332)(2++

+=+++=

z z z z z z W )(11)(2001)1(k u k x k x ?

?

?

???+??????--=+ [])(11)(k x k y =

解法2：

)

(2)(3)()(3)(2)1()

()1(2121221k x k x k y u k x k x k x k x k x +=+--=+=+ [])

(23)()(10)(3210)1(k x k y k u k x k x =??

?

???+??????--=+

求T,使得??????=-111

B T 得??????=-10111

T 所以 ??

????-=1011T

??????---=??????-??????--??????=-150410113210

10111AT T

[][]13101123-=?

?

?

???-=CT 所以，状态空间表达式为

[])

(13)()(11)(1504)1(k z k y k u k z k z -=???

???+??????---=+

第二章习题答案

2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

（2） A=1141??

???

解：第一种方法： 令

0I A λ-=

则

1

1

04

1

λλ--=-- ，即()2

140λ--=。

求解得到13λ=，21λ=-

当13λ=时，特征矢量11121p p p ??

=????

由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ??????=?????

?

??????

即112111112121

343p p p p p p +=??+=?，可令112p ??=????

当21λ=-时，特征矢量12222p p p ??

=????

由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -????

??=?????

?

-??????

即122212122222

4p p p p p p +=-??+=-? ，可令212p ??=??-??

则1122T ??=??

-??

，1

1

124112

4T -??

??=????-????

333331

11111110242244

221

1

110

2

422t t

t t t

At

t t t t t e e

e e e

e

e e e e e -----????

+-????????==????????-????????-++???????

?

第二种方法，即拉氏反变换法：

1141s sI A s --??

-=??--??

[]

()()1

111

4131s sI A s s s --??

-=

??--+??

()()

()()()()()()11

313141

3131s s s s s s s s s s -?

?

??

-+-+?

?=??-?

?-+-+??

11111123143111

11131

231s s s s s s s s ??

??

??++ ? ?

??

-+-+??

???

?=??

??-+?

?

?-+-+????

()33113311112

244

1122t t

t t At t t t t e e e e e L sI A e e e e ------??+-????=-=????

??-+???

?

第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=，21λ=-

31330311

313134444

111

1114444t t t t t t t t e e e e e e e e -----????

+?????????????===?????????????-?

???????????--?????

???

3333331111101113132244

014111444422t t

t t At

t t t t t t

t t e e

e e e e e e e e e e e ------??

+-??????????=+++=?? ? ?????

??????????-+????

2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。

（3）()22222222t t

t

t t

t

t t e e

e e t e e

e e --------??

--Φ=??--?? （4）()()()()33331124

12t t t t t t

t t e e e e t e e e e ----??

+-+??Φ=????-++???

?

解：（3）因为 ()10001I ??

Φ==?

???

，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ()22220

00222421324t t

t t t

t

t t t t e e e e A t e e

e e --------==-??-+-+??

=Φ==????--+-+??

??& （4）因为()10001I ??

Φ==?

???

，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ()330

330

13131122441341322t t

t t t t t t t t e e e e A t e e e e --=--=??-++??

??=Φ==?

???????

+-+???

?&

2-6 求下列状态空间表达式的解：

010001x x u ????=+????????

& )(1,0y x =

初始状态()101x ??

=????

，输入()u t 时单位阶跃函数。

解： 0100A ??

=?

???

10s sI A s -??

-=????

()21

21111010s s s sI A s s s -??

??-??-==???????????

?

()()1

1

101At

t t e L sI A --????Φ==-=??????

因为 01B ??

=????

，()()u t I t =

()()()()()00t

x t t x t Bu d τττ=Φ+Φ-?

01110011011t t t d ττ-????????=+????????????????? 0111t t t d ττ+-????=+????????

?

21121t t t ??+????=+??????

??

21121t t t ??++??=??

+??

[]21

1012

y x t t ==++

2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s 和1s ，而1u 和2u 为分段常数。

图2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图

列出状态方程

111x ku x =-& 212x x u =-&

212y x x =+

121001001u k x x u -??????=+??????-??????

[]1221x y x ??=????

则离散时间状态空间表达式为

()()()()()1x k G T x k H T u k +=+ ()()()y k cx k Du k =+

由()At

G T e =和()0

T

At

H T e dtB =?得：

1010A -??=???? 001k B ??=??-?? 21T

C ??=????

()1

1

1100111T

At

T s e e L sI A L s e

-----?+???????=-==???????

?

--????

?? ()()0

100001001011111T

t

T T T

At T T

T

k e k k e e H e dt dt e T e T k T e T ------??-????-??????====???

?????--??

--+-+-??????????

??

当T=1时 ()()()()1111

1001111k e e x k x k u k e ke ----??-??

+=+????--??????

()[]()121y k x k +=

当T=0.1时 ()()()()()0.1

0.10.10.1

100

1110.90.1k e e x k x k u k e k e ----??-????+=+????---????

()[]()121y k x k +=

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？

（1）系统如图3.16所示：

图3.16 系统模拟结构图

解：由图可得：

3

43432112332

211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=????

状态空间表达式为：

[]x

y u

x x x x d c b a x x x x 01

000001100

011000000

43214321=?

???????????+????????????????????????----=???????

?

???????????

?

由于?

2x 、?

3x 、?

4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：

x d c y u

b a x x x x x x ??

????=??????????+?????????????????

???---=??????

?

?????????

?00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。

要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统

X y u X X ??

????-=?

?

????+??????--=?

111111113113

试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一：

[]??

??

??==??

?

???-=?????

?=??????--=2-2-1

12-2-1

1AB B M 1111,11

11,3113C B A

系统不能控。,21<=rankM

????

?

???????----=??????=44221111CA C N

系统能观。,2=rankN

方法二：将系统化为约旦标准形。

()4

20

133

1

1

3

A I 212

-=-==-+=+--+=

-λλλλλλ，

?

?

?

???=?=?

??

???=?=1-1P P P A 11P P P A 2222211111λλ则状态矢量：

??????=1-111T ，?

?????????-=212

12121T 1

- ???

???=?????????????

?????????-=4-002-1-1113-113-212

12121AT T 1- ??????=?????

??????

?????-=00111111212

12121B T 1

- ?

?

?

???=????????????=20021-1111-111CT B T -1中有全为零的行，系统不可控。CT 中没有全为0的列，系统可观。 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和

[]11,11,01)1(21-=??????=??????=C b A αα 解：构造能控阵：

[]???

??

?+==21111ααAb b

M 要使系统完全能控，则211αα≠+，即0121≠+-αα 构造能观阵：

?

?

????--=??????=21111

CA C ααN 要使系统完全能观，则121αα-≠-，即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是

18

2710)()(23++++=s s s a

s s u s y

（1）当a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：)

6)(3)(1()()()(++++==

s s s a

s s u s y s W 系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2：

6

s 156

-a 3631s 101-a )6)(3)(1()()(+++--+=++++=s a s s s a

s s u s y 631321-=-=-=λλλ，， X a a a y u X X ??

??

??----=??

????????+??????????---=?

1566310

11116000

3

01

系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 （2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I 型

[] x

01a y u 100x 102718100010 =????

?

?????+??????????---=x &

（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II 型为

[] x

100y u 01a x 101027011800 =??????????+??????????---=x & 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116.

..

=+++K

试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：63611603210=====b a a a a ，，，， 系统的状态空间表达式为

[] x

006y u 100x 6116100010 =?????

?????+??????????---=x &

传递函数为

[]6116610061161001

006A)-C(sI )(231

1-+++=

????

?

???????

??

??????+--==-s s s s s s B s W 其对偶系统的状态空间表达式为：

[] x

100y u 006x 6101101600 =?????

?????+??????????---=x & 传递函数为6

1166

)(23+--=

s s s s W

3-9已知系统的传递函数为

3

48

622++++=s s s s )s (W

试求其能控标准型和能观标准型。

解：3

45

213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W

系统的能控标准I 型为

u 10x 4-3-10 ??????+??????=x &

能观标准II 型为

[]u

x 10y u 25x 4-13-0 +=??????+??????=x & 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

[] x

100y u 210x 311032010 =?????

?????+??????????----=x & 解：[]100210311032010=??

??

?

?????=??????????----=C b A ，， [

]

??

??

?

?????---==11527213102b A Ab b

M 。不能变换为能控标准型，系统为不能控系统，32<=rankM ????

??????----=??????????=971311100

2CA CA C N 以变换为能观标准型。，系统为能观系统，可3=rankN

3-11试将下列系统按能控性进行分解

（1）[]111,100,340010121-=??

??

?

?????=??????????--=C b A 解：

[

]

??

??

?

?????--==9310004102b A Ab b

M rankM=2<3，系统不是完全能控的。 构造奇异变换阵c R ：?????

?????=??????????-==??????????==010*********R Ab R b R ，，，其中3R 是任意的，只要满足c R 满秩。 即??????????-=031100010c R 得??

??

?

?????-=-010*******c R

????

??????--==-1002412301c c AR R A ??

???

?????==-0011b R b c []121-==c cR c 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解

（1） []111,100,340010121-=??

???

?????=??????????--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=??

???

?????=??????????--=C b A 则有?

?

???

?????---=??????????=4742321112CA CA C N rank N=2<3，该系统不能观

构造非奇异变换矩阵10R -，有10111232001R --??

??=-??

???? 则0311210001R --??

??=-??

????

11000010123027321x R AR x R bu x u --????

????=+=-+????

????-????

&%%% []0100y cR x x

==%% 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解

（1）[]211,221,102322001=??

??

?

?????=??????????-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ??

????==??????-??

rank M=3，则系统能控

21121257411c N cA cA ????????==-????????-????

rank N=3，则系统能观

所以此系统为能控并且能观系统