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数值分析 第1-4章习题

数值分析 第1-4章习题
数值分析 第1-4章习题

第1-4章

一、叙述

1.内积

2.泛函数列强收敛

3.Bessel不等式

4.距离空间、赋范线性空间、内积空间的关系。

5.Cauchy点列

6.距离空间的稠密性、可分性

7.范数

8.Cauchy-Schwarz不等式

9.赋范线性空间成为内积空间的条件

10.广义Fourier级数

11.商高定理并证明。

12.内积与范数关系。

13.叙述并证明距离成为赋范线性空间的条件。

二、举例

1.完全规范正交系

2.有界线性泛函,有界非线性泛函。

3.不完备的线性空间

4.Bessel不等式

5.由内积导出的范数

6.由内积导出的距离

7.不完备的内积空间

8.Cauchy点列

9.泛函的范数

10.距离空间的稠密性和可分性,并各举一例。

X的强收敛,举例。

11.

n

12.线性算子、非线性算子各一例。

13.稠密子集

14.不完备的内积空间

Xρ中子集合A在子集合B中稠密的概念,并举例说明。

15.距离空间(,)

16.什么是可分的Hilbert空间,并举例说明。

17.什么是巴拿赫(Banach)空间,举一个Banach空间的例子。

18.

19.

三、证明

T有界。

1.线性算子T有界的充要条件是||||

2. 设(,)x y ρ为距离空间X 的距离,证明:(,)1(,)

x y x y ρρ+也是距离空间的距离。 3. 证明内积(,)x y 是,x y 的连续泛函。

4. 证明距离空间中,距离(,)x y ρ是两个变元,x y 的连续函数。

5. 距离空间成为赋范线性空间的条件,并证明。

6. 由范数的三角不等式推出||||||||||||||x y x y ?≤?,并由此推出范数的连续性。

7. 在实数空间中,求证||(,)1||

x y x y x y ρ?=+?满足距离公理。 8. 赋范线性空间(,||||)E i 也是距离空间;

9. 当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时,也是赋范线性空间:(1)X 是线性空间;

(2)(,)(,0),(,)||(,0)x y x y x y x ρρρααρ=?=。

10. 设n n A R ×∈为非奇异矩阵,定义2||||||||A x Ax =,证明:||||A x 是上向量n

R 的一种范数。

11. 叙述内积的定义以及内积满足的Cauchy-Schwarz 不等式。

12. 设矩阵n n A R ×∈,证明不等式()||||(||||)v v A A A ρ≤为算子范数;

13. 证明满足下列条件的距离空间是赋范线性空间(取范数为||||(,0)x x ρ=)(i)是线性

空间(ii)(,)(,0)x y x y ρρ=?(iii)(,0)||(,0)x x ρααρ=

14. 设T 为线性算子,证明T 有界的充要条件为||||T 有界。

15. 利用商高定理和1(,)n i i i x x e e ==∑,证明2

21|||||(,)|n i

i x x e ==∑

16. 证明H 空间中任一组线性无关的元素12{,,,,}n g g g ……都可以规范正交化。

17. 证明在H 空间中,一下四个命题等价:(1) 12{,,,,}n e e e ……为完全规范正交系; (2)

设12{,,,,}n M span e e e =……,则M H =; (3) 对任意的x H ∈,Parseval 等式成立;(4) 对任意的x H ∈,有1(,)n

i i i x x e e ==

四、简答题

1. 在2

[,]a b L 上对任意2

[,]()a b x t L ∈作()()b

a f x x t dt =∫,求||||f 。

2. 在[,]C a b 上对任意()x t 作泛函()()b a f x x t dt =

∫,求||||f 。 3. 试说明[,](),()()b a b a x t C f x x t dt ?∈=

∫是从[,]C a b 到R 的有界线性泛函。 4. 在数集1R 中,若定义(,)||d x y x y =?,问1(,)R d 是否为距离空间,并说明理由。

5. 说明1(,)min ||i i i n

x y x y ρ≤≤=?是否满足距离公理。

五、填空题

1. 已知1,E E 是同一数域K 上的赋范线性空间,T 是由E 到1E 的有界线性算子,则T 的范数定义为 。

2. 已知U 为定义在数域K 上的内积空间,则对于x U ?∈,由内积导出的范数为 。

3. 设H 是Hilbert 空间,(,)x y 是H 的内积,内积的Cauchy-Schwarz 不等式为 ,由内积导出范数的公式为 。

4. 已知f 是定义在赋范线性空间E 上的有界线性泛函,f 的算子范数||||f 定义为 。

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解: 求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1012h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =,则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时, 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 (2)若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1014h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x )

数值分析第1章习题

(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有()和()为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ,m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差,在计算表达式19992001-时,应该改为 199920012+计算,是属于()来避免误差。(避免误差危害原则) A.避免两相近数相减; B.化简步骤,减少运算次数; C.避免绝对值很小的数做除数; D.防止大数吃小数 解:由于2001和1999相近,两数相减会使误差大,因此化加法为减法,用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则(避免误差危害原则) A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减,D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解:51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ,m= -2,所以n=3,即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?,如果a 具有3位有效数字,则a 的相对误差限为 ()(有效数字与相对误差的关系) A . 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103 g -2 解:因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字,所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ

数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一?1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得?有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1)?(2) 解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。

(1)?(2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newto n插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值??误差限 ,因,

故? 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 ?误差限,故? 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少? 解:用误差估计式(5.8), ?令 因?得 3. 若,求和.

解:由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P=n +1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表

数值分析习题解答4

第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题) 1.直接验证梯形公式(1.2)与中矩形公式(1.3)具有1次代数精度,而辛甫生公式(1.4)则具有3次代数精度. 解 梯形公式: ?+-≈ b a b f a f a b dx x f )]()([2 )(. 矩形公式: ?+-≈b a b a f a b dx x f )2 ()()(. 以上两求积公式以 ,1)(=x f x 代入公式两边,结果相等,而以2 )(x x f = 代入公式两边,其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1. Simpson 公式: ? +++-≈ b a b f b a f a f a b dx x f )]()2 (4)([6)(. 容易验证:以2 ,,1)(x x x f =分别代入Simpson 公式两边,结果相等。 以3 )(x x f =代入 左边= )(444 13a b dx x b a -=? 右边=[ ] 32 322322332 3 3 3 36246b ab b a a a b b b a a a b +++-=??? ?????+??? ??++- = ).(4 144 a b - Simpson 公式两边,结果相等。而以4 x 代入Simpson 公式两边,其结果 不相等。故Simpson 求积公式的代数精度为3. □ 3.对于? =h dx x f I 30 )(的数值积分公式? = h h dx x p I 30 )(,其中)(x p 为对)(x f 在 h h x 2,,0=进行插值的2次多项式.证明:)()0(8 354h O f h I I h +'''?=-. 证明: )(x P 为)(x f 于h h x 2,,0=进行插值的二次多项式,则: )()()(x R x P x f += 其中: )2()(! 3) ()(h x h x x f x R --'''=ξ. 求积分公式误差 ? ?-= h h dx x P dx x f f E 3030 )()()( ? --'''=h dx h x h x x f 30 )2()(! 3) (ξ

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2=0.69314718…,精确到 10-3 的近似值是多少? 解 精确到 10-3=0.001,即绝对误差限是 e =0.05%,故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字,试估计由这些数据计算21x x , 21x x +的绝对误差限 解:记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解: ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章: 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x ), 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x -2 -1 0 1 f (x ) -1 1 2

华南理工大学数值分析试题-14年下-C

华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C (2015年1月9日) 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚; 所有答案请按要求填写在本试卷上; 课程代码:S0003004; 4. 考试形式:闭卷; 5. 考生类别:硕士研究生; 本试卷共八大题,满分100分,考试时间为150分钟。 一、(12分)解答下列问题: 1)设近似值0x >,x 的相对误差为δ,试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2)利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值(须写出计算形式),并统计乘法次数。 (12分)解答下列问题: 1)设()235f x x =+,求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2)利用插值方法推导出恒等式: 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。

(1)设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x q ,求1()q x 和2()q x 。 (2)求形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合: 四、(14分)对积分()10I f x dx = ?,试 (1)构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式; (2)指出所构造公式的代数精度; (3)用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值; (4)指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。

(1)设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 (2)用列主元Gauss 消去法解方程组: 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、(13分)对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? (11220a a ≠ ) (1)证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散; (2)当同时收敛时,试比较它们的收敛速度。

数值分析习题集及答案

(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析1-4习题及答案

1、 0.1%,要取几位有效数字? ( c ) (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数,则它有几位有效数字? ( c ) (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n +1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n ),且ω(x )=(x -x 0) (x -x 1)… (x -x n ).则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据(0,0),(0.5,y ),(1,3),(2,2)构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是,则 等于 ( ) (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点,()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 ( a ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式:则插值余项 1、 是以0,1,2为节点的三次样条函数,则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数,使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。

数值分析习题集及答案Word版

数值分析习题集 (适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

数值分析习题

习题1 1. 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现,必须将一个数学问题分解为 的 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字,尽量避免两个 数作减法运算;为避免 误差的扩大,也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值; (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ; (4) 有效数字越多,相对误差越 ; 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字. 3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===? 5. 证明1.2.3之定理1.1. 6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。(假定钢珠为标准的球形) 7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差. 8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字. 9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少. 10 证明对一元函数运算有 r r xf x f x k x k f x εε'≈= () (())(),() 其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值,从而说明f x x =()tan 在2 x π ≈时是病态问题. 11. 定义多元函数运算 1 1 1,,(),n n i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中 求出S ε()的表达式,并说明i c 全为正数时,计算是稳定的,i c 有正有负时,误差难以控制. 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确:

数值分析习题

习题一 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 )1.0ln(,121,101 1,1014321== = = x x x x 1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位 数。 3 * 5* 4* 3* 2* 1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x 1.3 为了使 3 1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ? ++1 2 1N N x dx ,其中N 是充分大的正数 (3) x x sin cos 1-,其中x 充分小 (4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e (6) )11010ln(84-- 1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。 习题二 2.1 证明方程043 =-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根,试问需对 分多少次?(不必求根) 2.2 用二分法求方程0134 =+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2 10 2 1-?= ε。 2.3 找出下列方程的有根区间,选择适当的初始点用二分法求方程的根,精度要求2 10 -=ε。 (1) 02 =--x x ; (2) 06cos 2 =-++-x e x x ; (3) 01tan =--x x ; (4) 0sin 2=--x e x 。 2.4 考虑方程032 =-x e x ,将其改写为3 x e x ± =,取00=x ,用两种迭代公式迭代,分别收敛到1.0和-0.5附 近的两个根(取精度要求3 10-=ε)。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论(12) 1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε, 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字;0031.0* 2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56* 4 =x 有5位有效数字;0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 (1)* 4*2*1x x x ++; [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε; (2)* 3*2 *1x x x ;

郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题

《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院: 学号: 姓名:

重点考察内容 基本概念(收敛阶,收敛条件,收敛区域等), 简单欧拉法。 第一章基础 掌握:误差的种类,截断误差,舍入误差的来源,有效数字的判断。 了解:误差限,算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握:Hermite插值,牛顿插值,差商计算,插值误差估计。 了解:Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握:给出几个点求线性拟合曲线。 了解:最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握:梯形公式,Simpson公式,代数精度,Gauss积分,带权Gauss积分公式推导,复化梯形公式推导及算法。 了解:数值微分,积分余项 第五章直接法 掌握:LU分解求线性方程组,运算量 了解:Gauss消去法,LDL,追赶法 第六章迭代法 掌握:Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造,敛散性分析,向量、矩阵的范数、谱半径 了解:SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握:牛顿迭代格式构造,简单迭代法构造、敛散性分析,收敛阶。 了解:二分法,弦截法 第八章ODE解法 掌握:Euler公式构造、收敛阶。 了解:梯形Euler公式、收敛阶,改进Euler公式 题目类型:填空,计算,证明综合题

第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个,分别是________,________,________,________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-,这里产生是什么误差? 3. 0.7499作 3 4 的近似值,是______位有效数字,65.380是舍入得到的近似值,有____几位有效数字,相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值,有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式,使计算结果比较精确: (1)11,||1121x x x x --++ (2 ||1x (3) 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ (4)sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时,哪个计算效果最好?并说明理由。 (1) (2 )99-3 )6 (3-(4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字,求其相对误差限。 上机实验题: 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑,编一段小程序,上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理,如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取; (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=(取

数值分析试题1

数值分析试卷1 一、填空题(每空2分,共30分) 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字; 2. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________; 3. 对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f _________________; =]4,3,2,1,0[f ________; 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ,则=∞||||Ax ________________,=)(1A Cond ______________________ ; 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________;该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________; 二、(12分)(1)设LU A =,其中L 为下三角阵,U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ,求L ,U 。 (2)设A 为66?矩阵,将A 进行三角分解:LU A =,L 为单位下三角阵,U 为上三角阵,试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 (1) 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值; (2) 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值: (3) 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有

数值分析课后习题答案

第一章 题12 给定节点01x =-,11x =,23x =,34x =,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项: (1) (1) 3 ()432f x x x =-+ (2) (2) 4 3 ()2f x x x =- 解 (1)(4) ()0f x =, 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=; (2)(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明:对于()f x 以0x ,1x 为节点的一次插值多项式()p x ,插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --,其中01x x ξ≤≤, 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==,(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x : (1) (1) 用待定系数法; (2) (2) 利用承袭性,先考察插值条件(0)(0)0p p '==,(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 (1)有四个插值条件,故设230123()p x a a x a x a x =+++,2 123()23p x a a x a x '=++, 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之,得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?

数值分析题库答案

1. 正方形的边长大约为100cm ,应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2? 2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ,宽d 的值为80=*d m ,已知 2.0≤-*l l m, 1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.

3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字? 4.设x的相对误差界为δ,求n x的相对误差界. 5.设有3个近似数a=2.31,b=1.93,c=2.24,它们都有3位有效数字,试计算 p=a+bc的误差界和相对误差界,并问p的计算结果能有几位有效数字?

6. 已知33348 7.034.0sin ,314567.032.0sin ==,请用线性插值计算3367.0sin 的值,并估计截断误差. 7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 8. 已知 1 6243sin ,sin π ππ== =请用抛物插值求sin50的值,并估计误差

9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x 10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f , 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式 . 11. 设x x f =)(,并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ,

试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值,并讨论其误差 12. 设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数,试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及 )()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式. 13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944?? ???? ,上的三次埃尔米特

数值分析最佳习题(含答案)

第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-?=x ,325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0?= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需 41*102 1 -?≤-ππ,3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ,即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +, b a ?有几位有效数字(有效数字的计算) 解:3*1021 -?≤-a a ,2*102 1-?≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab

故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算) 解:已知δ=-* *x x x ,则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=, 已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。(误差限的计算) 解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。(函数误差的计算) 解:%* *a x x x =-, )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r 时允许的相对误差限为多大(函数误差的计算)

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2%,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是 几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,而相对误 差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , 1 , 2 时, f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3.给出f(x)=ln x得数值表用线性插值及二次插值计算ln 0、54 得近似值、

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