内点惩罚函数法
外点惩罚罚函数
https://www.wendangku.net/doc/942924450.html,/kuai_su/youhuasheji/suanfayuanli/4.3.asp 约束优化算法——外点惩罚函数法 (一)基本原理 设原目标函数为，在不等式约束条件下用外点惩罚函数法求极小。外点法常采用如下形式的泛函： （6） 由此，外点法所构造的相应的惩罚函数形式为 （7） 式中，惩罚因子是一个递增的正值数列，即 惩罚项中： （8） 由此可见，当迭代点X位于可行域内满足约束条件时，惩罚项为零，这时不管 取多大，新目标函数就是原目标函数，亦即满足约束条件时不受“惩罚”，此时求式（7）的无约束极小，等价于求原目标函数在己满足全部约束条件下的极小；而 当点X位于可行域外不满足约束条件时，惩罚项为正值，惩罚函数的值较原目标函数的值增大了，这就构成对不满足约束条件时的一种“惩
罚”。 由式（7）可知,每一次对罚函数求无约束的极值，其结果将随该次所给定的罚因子值而异。在可行域外，离约束边界越近的地方，约束函数的值越大，的值也就越小，惩罚项的作用也就越弱，随着罚因子逐次调整增大，有增大惩罚项的趋势，但一般说来泛函值下降得更 快一些。此时尽管值增大，但泛函值亦趋于零，满足式（3）。最后当，泛函值和惩罚项值均趋近于零。外点法在寻优过程中，随着罚因子的逐次调整增大，即取 ，所得的最优点序列可以看作是以为参数的一条轨迹，当时，最优点点列 从可行域的外部一步一步地沿着这条轨迹接近可行域，所得的最优点列逼近原问题的约束最优点。这样，将原约束最优化问题转换成为序列无约束最优化问题。外点法就是因从可行域的外部逼近最优解而得名。 (二)迭代过程及算法框图 外点惩罚函数法的具体迭代步骤如下： (1)给定初始点，初始惩罚因子，迭代精度，递增系数c>1，维数n。置。 (2)以为初始点，用无约束最优化方法求解惩罚函数的极小点，即： （9）。 (3)检验是否满足迭代终止条件： 或（若） 或（若） 若不满足，则进行第(4)步;否则转第(5)步。
内点法+外点法
1.外点法 的约束最优化问题。（由约束条件作图） 解：取()()()00120,0,0.01,10,0.01,0;X C r k εε====== 外点法惩罚函数为：（会转化，并且把握函数值的趋势） （看到了min 就要知道在平面中取什么范围内的点，才可使罚函数达到最小） 対上式求偏导得： () () 1211221226 28 264152845x x x r x x r x x x φφ--???????? ?? ==????-+--+-???????? ?? 无约束目标函数极小化问题的最优解系列为： ()()** 12156584242 r r x r x r r r ++== ++ 22 121122123142 min ()(3)(4) .. ()50 () 2.50 ()0 ()0 f X x x s t g X x x g X x x g X x g X x =-+-=--≥=--≥=≥=≥()()()()()()()()()()()()()()()222222 1212121222 112212342222 11 22121212min ,34max 0,5max 0, 2.5max 0,max 0,69816(0,0,0,0)698165 2.5(0,0,x r x x r x x r x x r x r x x x x x g x g x g x g x x x x x r x x r x x g x g x g φ=-+-++-+-+++-+-????????????????-++-+-≤-≤-≤-≤=-++-+++-+-++->->-()()340,0)x g x ???? ??≤-≤????
机械优化设计惩罚函数内点法
#include [设计]罚函数法MATLAB程序 一、进退法、0.618法、Powell法、罚函数法的Matlab程序设计罚函数法(通用) function y=ff(x,k) y=-17.86*0.42*x(1)/(0.8+0.42*x(1))*(1-exp(- 2*(0.8+0.42*x(1))/3))*exp(-1.6)*x(2)-22. 99*x(1)/(0.8+x(1))*(1-exp(-2*(0.8+x(1))/3))*x(3)+k*(x(2)- (1.22*10^2*(9517.8*exp(-1 .6-2*0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(- 2*x(1)/3)*x(3)))/(1.22*10^2+9517.8*exp(-1.6-2 *0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(-2*x(1)/3)*x(3)))^2+k*(x(3)-exp(-0.8-2*x(1)/3)*x(3) -exp(-2.4-2*0.42*x(1)/3)*x(2))^2; % 主函数，参数包括未知数的个数n，惩罚因子q，惩罚因子增长系数k，初值x0，以及允许的误差r function G=FHS(x0,q,k,n,r,h,a) l=1; while (l) x=powell(x0,n,q,r(1),h,a); %调用powell函数 g(1)=ff1(x),g(2)=ff2(x) . . . g(p)=ffp(x); %调用不等式约束函数，将其值 %存入数组g h(1)=hh1(x),h(2)=hh2(x) . . . h(t)=hht(x); %调用等式约束函数，将其值%存入数组h for i=1:p 一、内点法 1. 基本原理 内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。 内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。 对于目标函数为 min ()f X s.t. ()0u g X ≤ （u=1,2,3,…m ） 的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为 ()() 11 (,)()()m k k u u X r f X r g X ?==-∑ 或者 () () () []1 1 (,)()ln () ()ln ()m m k k k u u u u X r f X r g X f X r g X ?===+=--∑∑ 而对于()f X 受约束于()0(1,2, ,)u g X u m ≥=的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为 () () 11 (,)()()m k k u u X r f X r g X ?==+∑ 或 ()() []1 (,)()ln ()m k k u u X r f X r g X ?==-∑ 式中，() k r -----惩罚因子，是递减的正数序列，即 ()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>> > ()lim 0k k r →∞ = 通常取() 1.0,0.1,0.01,0.001, k r =。 上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。 说明： 当迭代点在可行域内部时，有()0u g X ≤（u =1，2，3，4，…m ），而() 0k r >，则惩罚 项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不 惩罚函数法简介 罚函数法 它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题： 其中M为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F(x,M)称为罚函数。 定理 对于某个确定的正数M,若罚函数F(x,M)的最优解x*满足有约束最优化问题的约束条件，则x*是该问题的最优解。 序列无约束最小化方法 罚函数法在理论上是可行的，在实际计算中的缺点是罚因子M的取值难于把握，太小起不到惩罚作用；太大则由于误差的影响会导致错误。 改进 这些缺点，可根据上述定理加以改进，先取较小的正数M，求出F(x,M)的最优解x*。 当x*不满足有约束最优化问题的约束条件时，放大M(例如乘以10)重复进行，直到x*满足有约束最优化问题的约束条件时为止。 种类 传统的罚函数法一般分为外部罚函数法和内部罚函数法。外部罚函数法是从非可行解出发逐渐移动到可行区域的方法。内部罚函数法也称为障碍罚函数法，这种方法是在可行域内部进行搜索，约束边界起到类似围墙的作用，如果当前解远离约束边界时，则罚函数值是非常小的，否则罚函数值接近无穷大的方法。 由于进化计算中通常采用外部罚函数法，因此本文主要介绍外部罚函数法。在进化计算中，研究者选择外部罚函数法的原因主要是该方法不需要提供初始可行解。需要提供初始可行解则是内部罚函数法的主要缺点。由于进化算法应用到实际问题中可能存在搜索可行解就是NP难问题，因此这个缺点是非常致命的。 外部罚函数的一般形式为 B(x)=f(x)+[∑riGi+∑cjHj] 其中B(x)是优化过程中新的目标函数，Gi和Hj分别是约束条件gi(x)和hj(x)的函数，ri和cj是常数，称为罚因子。 Gi和Hj最常见的形式是 Gi=max[0,gi(x)]a Hj=|hj(x)|b 其中a和b一般是1或者2。 理想的情况下，罚因子应该尽量小，但是如果罚因子低于最小值时可能会产生非可行解是最优解的情况（称为最小罚因子规则）。这是由于如果罚因子过大或者过小都会对进化算法求解问题产生困难。 如果罚因子很大并且最优解在可行域边界，进化算法将很快被推进到可行域以内，这将不能返回到非可行域的边界。在搜索过程开始的时候，一个较大的罚因子将会阻碍非可行域的搜索。如果在搜索空间中可行域是几个非连通的区域，则进化算法可能会仅移动在其中一个区域搜索，这样将很难搜索到其他区域，除非这些区域非常接近。另一方面，如果罚因子太小，这样相对于目标函数罚函数项是可以忽略的，则大量的搜索时间将花费在非可行域。由于很多问题的最优解都在可行域的边界，大量时间在非可行域进行搜索对找到最优解是没有多大作用的，这对于进化算法来说非常致命的。 最小罚因子规则概念是很简单的，但是实现起来却是非常的困难。对于一个 重庆科技学院学生实验报告 附录function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long; if nargin == 6 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0; for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; end x1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF; [x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break; else c1 = M; x1 = x2; end end minf = subs(f,var,x); format short; %牛顿法求解无约束最优化问题 function [x,minf] = minNT(f,x0,var,eps) format long; if nargin == 3 eps = 1.0e-6; end tol = 1; x0 = transpose(x0); gradf = jacobian(f,var); jacf = jacobian(gradf,var); while tol>eps v = subs(gradf,var,x0); tol = norm(v); pv = subs(jacf,var,x0); p = -inv(pv)*transpose(v); p = double(p); x1 = x0 + p; x0 = x1; end x = x1; minf = subs(f,var,x); format short; >> syms x y; >> minGeneralPF(x^2+y^2,[1,1],y^2-1,1000,10,[x,y],0.0001) ans = 1.0000 混合型惩罚函数法：混合法是综合外点法和内点法的优点而建立的一种惩罚函数法。 混合型惩罚函数法有两种形式：内点形式的混合型惩罚函数法和外点型惩罚函数法。 （一） 内点形式的混合型惩罚函数法 不等式约束部分按内点型惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为 212121=1 1 [()]()p m k k k k v u v u r h X g X ?=+∑∑（X ，r ,r ）=f(X)+r 式中，惩罚因子12,k k r r 应分别为递减和递增的正值数列，为了统一用一个内点惩罚因子，可将上式写成如下形式 ()2 11 11(,)()[()]()p m k k v u v u X r f x r h X g X ?===++ ∑ 式中()k r 和内点法一样，为一个递减的正值数列，即 (1)(2)()()......0min 0 k k r r r r >>>>= 内点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与内点惩罚函数法相同。初始点(0)X 必须是严格满足诸不等式约束条件的内点，初始惩罚因子()k r 、抵减系数e 均应参照内点惩罚函数法进行选取。 （二） 外点形式的混合型惩罚函数法 不等式约束部分按外点惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为 ()221 1 (,)(){[min{0,()}][()]} m P k u v u V X r f X g X h X ?===++∑∑式中，惩罚因子()k r 和外点法一样，为一个递增的正值数列，即 (1)(2)0..... min k r r r →∞ <<<<<=+∞ （k ） 外点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与外点惩罚函数法相同。初始点(0)X 可在n R 空间任选，初始惩罚因子(1)r 、递增系数c 均与参照外点惩罚函数法进行选取。 [1]胡洪涛，NGW 行星回转减速器可靠性优化设计[D].合肥：合肥工业大学，1996. [2]王述彦、马鹏飞，2K-H 型行星齿轮系传动的优化设计[J].建筑机械化，2002.5. [3]陈秀宁，机械优化设计[M].浙江：浙江大学出版社，1989. [4]陈举华、朱国强，行星齿轮传动的可靠性优化设计[M].北京：化学 [5]梁小光，行星齿轮减速器优化设计的数学模型[J].山西机械，2003. [6]龚小平，行星齿轮传动的模糊可靠性优化设计[J].行星齿轮传动 罚函数法 本章介绍一类求解约束优化问题的方法----惩 罚函数法。这类方法是求解无约束优化问题的最 早的一类方法，也是一类比较有效的方法。 罚函数法的基本思想就是，借助罚函数把 约束问题转化为无约束问题，进而用无约束最优 根据我们利用的罚函数的类型，分为 外点罚函数法的算法思想 0, i=1, 2, …, m = 0, j=1, 2, …, l n上的连续函数。 由于上述问题存在约束，而且约束可能 是非线性的，因此在求解是必须同时照顾到 满足约束条件这两个 = 0, j=1, 2, …, l 方面。实现这一点的途径是有目标函数和约 束函数组成辅助函数，把原来的约束问题转 化为极小化辅助函数的无约束问题。 x ()(8.1) 的最优解必须使得h j (x )接近的第二项将是很大的正数，现行点必不是极小点。因此可见，求解问题(8.2)的近似解。 (8.2) 转化为无约束问题 0, i=1, 2, …, m 不等式约束问题的辅助函数与等式约束的辅助函数情形不同，但构造辅助函数的基本思在可行点辅助函数等于原来的目标函数值，在不可行点，辅助函数值等于原来的目标函数值加上一个很大的正数。}2 ()(8.3) i g x ??? }0,.()0 i g x ?={}max 0,.()() i i g x g x ?=?的最优解必须使得g i (x )大于 的第二项将是很大的正数，现行点必不是极小点。因此可见，求解问的近似解。 (8.4) 转化为无约束问题 0, i=1, 2, …, m = 0, j=1, 2, …, l 我们把上述思想加以推广，对于一般问(8.5) ()) (8.6) j h x 是满足以下条件的连续函数 2013-2014 (1) 专业课程实践论文 内点法 一、算法理论 内点法总是从可行域的内点出发，并保持在可行域内进行搜索，因此这种 方法适用于只有不等式约束条件的问题 内点法据图计算步骤： 1．给定初()D x int 0∈，允许误差0?ε，初始参数0r 1?缩小系数1k ），1,0（=∈β； 2．以）1-k （x 为初始点，求解问题 Min )()(f x B r x k + S.t. D int x ∈ 3．若ε?)()(k k x B r 则停，得近似解)(k x ；否则令1,r 1k +==+k k r k β回2. clc m=zeros(1,50); a=zeros(1,50); b=zeros(1,50); f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2'); fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002) a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double( abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h" const int kkg=3; double r0; double f(double x[]) {double ff; ff=pow((x[0]-8),2)+pow((x[1]-8),2); return(ff); } /*约束条件子程序*/ void strain(double x[],double g[]) {g[0]=x[0]-1; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1]; } /*惩罚函数子程序*/ double objf(double p[]) {int i; double ff,sg,*g; g=(double *)malloc(kkg*sizeof(double)); sg=0; strain(p,g); for(i=0;i for(i=0;i 外点罚函数优化实例 一、优化问题 如图1所示，为某一桁架的一部分，杆2距O 点30cm 处有一支点C 。为了固定桁架，现欲在杆1和2上设置支点A 和B ，用来连接杆3（可拆卸）。已知当桁架固定时，杆1和2成直角；而且，杆1右边有一段长为20cm 的重要部位，不能设置支点。卸去杆3、收起桁架时，支点A 的位置不能高于BC 段中点D 。求取支点A 、B 的位置，使得杆3的长度尽量小，以节省材料。 图1 桁架结构示意图 二、数学模型 设A 、B 两点距离O 点的长度分别为1x 和2x ，而桁架固定时杆1和2成直角。 所以杆3的长度为22213x x l +=。 由图1可知，201≥x 且)30(2 121+≤x x ，即0201≤+-x 且030221≤--x x 。 设T x x X ],[21=，取222123)(x x l X f +==。因此，数学模型为： 极小化目标函数 2221)(min x x X f += 约束条件 020)(11≤+-=x X g 0302)(212≤--=x x X g 三、求解数学模型 (1)外点罚函数法求解 构造外点法罚函数，如下： })]0,302[m ax ()]0,20{[(m ax (),(22121)(2221)(--+-++=x x x M x x M X k k φ 程序流程图如图2所示： 图2 外点罚函数法程序流程图 程序步骤： ①选择适当的初始罚因子)0(M 、初始点)0(X 、收敛精度ε和罚因子系数c 。在本程序中分别取1)0(=M ，]20,20[)0(=X ，610-=ε，c=8。令迭代步数k=0。 ②采用牛顿法求无约束问题),(m in )(k M X φ的极值点)()(*k M X 。 201-2014 (1) 专业课程实践论文 内点法 内点法总是从可行域的内点出发，并保持在可行域内进行搜索，因此这种方法适用于只有不等式约束条件的问题 内点法据图计算步骤： 1．给定初()D x int 0∈，允许误差0?ε，初始参数0r 1?缩小系数1k ），1,0（=∈β； 2．以）1-k （x 为初始点，求解问题 Min )()(f x B r x k + S.t. D int x ∈ 3．若ε?)()(k k x B r 则停，得近似解)(k x ；否则令1,r 1k +==+k k r k β回2. 求满足)0()0(x ,.....,2,1,0)(g 的m i x i =< ；；ρρ??00k 从)(k x 出发，求 ))(()(f ),(min ),(1)1(x g x x G x G i m i i k ∑=++==φρρρ 0~)}({max )1(+k i i x g )1()()1(0)()(x ++?-+k k k k x x x a )(f ~)(f )()1(k k x x + 1~ερ 1(k)1)(k ||~ x -x ||ε+k =+?1k ；ραρ 改变约束极值方法 输出结果 停 clc m=zeros(1,50); a=zeros(1,50); b=zeros(1,50); f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2'); fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002) a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(a bs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; 用惩罚函数外点法求解以下约束最优化问题程序 用惩罚函数外点法求解以下约束最优化问题： )( 0)( ..)(min 1222112 1≤-=≤-=+=x X g x x X g t s x x X f ， 当惩罚因子分别为5，10，50，100的计算结果。 解：构造外点法惩罚函数 ? x ，r =x 1+x 2+r [max ?(0,x 12?x 2)]2+r [max ?(0,?x 1)]2 = x 1+x 2 (g 1(x )≤0,g 2(x )≤0)x 1+x 2+r (x 12?x 2)2+r?(?x 1)2 (g 1(x )>0,g 2(x )>0) 对上式求偏导得 e?ex 1 = 11+4r ?x 1? x 12?x 2 +2rx 1 e?2 = 11?2r (x 12?x 2) 无约束目标函数极小化问题的最优解系列为： x 1? r = ?12+2r x 2? r =12?1 惩罚函数外点法的M 文件： syms x1 x2 f=x1+x2;g1=x1^2-x2;g2=-x1; r0=5; c=0.5; km=7; k=1:km; r=r0*c.^(k-1); x1=-1./(2+2.*r); x2=1./(4.*(1+r).^2)-1./2.*r; g1=x1.^2-x2;g2=-x1; f=x1+x2; p=x1+x2+r.*g1.^2+r.*g2.^2; [k] [r] [x1] [x2] [p] 当r=5时的运行结果如下： k = 1 2 3 4 5 6 7 r = 5.0000 2.5000 1.2500 0.6250 0.3125 0.1563 0.0781 x1 = -0.0833 -0.1429 -0.2222 -0.3077 -0.3810 -0.4324 -0.4638 x2 = -2.4931 -1.2296 -0.5756 -0.2178 -0.0111 0.1089 0.1760 p = 28.7083 2.5848 -0.2478 -0.4053 -0.3391 -0.2934 -0.2708 当r=10时的运行结果如下： k = 1 2 3 4 5 6 7 r = 10.0000 5.0000 2.5000 1.2500 0.6250 0.3125 0.1563 x1 = -0.0455 -0.0833 -0.1429 -0.2222 -0.3077 -0.3810 -0.4324 x2 = -4.9979 -2.4931 -1.2296 -0.5756 -0.2178 -0.0111 0.1089 p = 244.9773 28.7083 2.5848 -0.2478 -0.4053 -0.3391 -0.2934 当r=50时的运行结果如下： k = 1 2 3 4 5 6 7 r = 50.0000 25.0000 12.5000 6.2500 3.1250 1.5625 0.7813 x1 = -0.0098 -0.0192 -0.0370 -0.0690 -0.1212 -0.1951 -0.2807 x2 = -24.9999 -12.4996 -6.2486 -3.1202 -1.5478 -0.7432 -0.3118 p = 1.0e+04 * 3.1225 0.3894 0.0482 0.0058 0.0006 0.0000 -0.0000 当r=100时的运行结果如下： k = 1 2 3 4 5 6 7 r = 100.0000 50.0000 25.0000 12.5000 6.2500 3.1250 1.5625 x1 = -0.0050 -0.0098 -0.0192 -0.0370 -0.0690 -0.1212 -0.1951 x2 = -50.0000 -24.9999 -12.4996 -6.2486 -3.1202 -1.5478 -0.7432 p = 1.0e+05 * 2.4995 0.3122 0.0389 0.0048 0.0006 0.0001 0.0000 2013-2014 (1) 专业课程实践论文 内点法 一、算法理论 内点法总是从可行域的内点出发，并保持在可行域内进行搜索，因此这种方法适用于只有不等式约束条件的问题 内点法据图计算步骤： 1．给定初()D x int 0∈，允许误差0?ε，初始参数0r 1?缩小系数1k ），1,0（=∈β； 2．以）1-k （x 为初始点，求解问题 Min )()(f x B r x k + . D int x ∈ 3．若ε?)()(k k x B r 则停，得近似解)(k x ；否则令1,r 1k +==+k k r k β回2. clc m=zeros(1,50); a=zeros(1,50); b=zeros(1,50); f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2'); fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<= a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=&&(double(abs((f0(k+1)-f 0(k))/f0(k)))<= a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k); end end 四、算法实现 例1.利用内点法求解 2 2 2 1 min x x+ 2 2 2 1 ≤ - +x x 解：改变算法中f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); 回车完成结果复制粘贴代码，回车出现结果 例2.利用内点法求解 #include 太原理工大学机械学院机测系课程上机实验报告课程名称：机械优化设计 班级日期成绩评定 姓名实验室老师签名 实验 名称 利用罚函数法（内、外部惩罚函数法）求解相关函数的极小值点 所用 软件 DEV-C++ 5 实验目的及内容实验目的： 1.掌握并能够建立最优化基本类型问题的数学模型。 2.掌握最优化方法的基本概念、基本理论和基本方法，奠定最优化的理论基础。 3.能够熟练编制和调试最优化方法的程序，奠定解决实际中的优化问题的基础 实验内容： 理解惩罚函数法并编写相关程序求其最优解。 惩罚函数法程序考核题： 外点： ? ? ? ? ? ? ? ? = + - ≥ + - - - + - = 1 2 1 25 .0 .. )1 ( )2 ( ) ( min 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 x x x x t s x x x f ，其初始迭代点为T x]2,2[ =，中止误差5 1- =e ε 实验原理： 实 验 原 理 步 骤 、 实验步骤： 1，画流程图，编写程序； 2，将目标函数代入； 3，编译运行，将结果保存。 实验结果及分析**********外点惩罚函数法计算结果********** **********无约束优化方法：鲍威尔法********** ++++++一维搜索方法：黄金分割法++++++ **********初始惩罚因子：r0= 1.00********** ********** 递增系数：c0=10.00********** 初始坐标： x( 0)=[ 2.0000000, 2.0000000], f( 0)= 1.0000000 迭代轮数k= 1 x( 1)=[ 2.0000000, 1.0000001], f( 1)= 0.0000000 迭代精度：0.999999931 迭代轮数k= 2 x( 2)=[ 2.0000003, 0.9999998], f( 2)= 0.0000000 迭代精度：0.000000413 ********************* 外点惩罚函数法优化最优点及目标函数值为： x( *)=[ 2.0000003, 0.9999998], f( *)= 0.0000000 迭代精度：0.000000413[设计]罚函数法MATLAB程序
内点法的基本原理以及举例计算
惩罚函数法简介
等式约束极值问题-外点罚函数法
混合惩罚函数法
罚函数法
惩罚函数的内点法
内点惩罚函数法子程序
外点罚函数优化实例
惩罚函数的内点法
用惩罚函数外点法求解以下约束最优化问题程序
惩罚函数的内点法
机械优化设计-惩罚函数法
惩罚函数法