错过八次正负号的正确解_一维渗流固结方程推导及其解_陈津民
岩土漫话
错过八次正负号的正确解
———一维渗流固结方程推导及其解
陈津民
(成都理工大学环工学院)
太沙基～维渗流固结是渗流固结问题中最简单
的部分,但土力学教科书中对固结方程的推导,完全正确的却很少。主要的问题是正负号错误,最典型的是中国建筑工业出版社2001年出版的《土力学》[1](以下简称文献[1])第106至108页,从固结方程推导到求解,共出现过八次正负号错误。正确决定正负号的方法有三种形式:
(1)以图示假设指向和真实方向比较,方向相同的为正,相反的为负;
(2)以坐标系为标准,和坐标轴正向一致的为正,反之为负,以坐标轴为标准时一般不画假设方向;
(3)以定义为标准,如弹性力学定义拉应力,拉应变为正,而岩土力学定义压应力,压应变为正。饱和土一维渗流固结简图和微单元体如图1所示。设自重应力形成时间已经很久,自重应力引起的超静水压强早已消散,即变形早已完结。这时在铅垂方向一次性加均布附加应力p 0,p 0为常量。由于自重应力和静水压强对新变形不产生影响,因此总应力就是附加应力,孔隙水压强就是超静水压强u 。并设渗透系数k 为常数(该假设有问题,但本文不讨论),压缩系数a 为常量,土层发生自下而上的渗流,试推导一维渗流固结方程及其解
。
图1 渗流固结简图
现在对文献[1]的正负号错误进行讨论:
文献[1]按照图1的坐标系和单元体,给出某时
刻t ,流入单元体流量(注意水量的单位是cm 3
,流量的单位是cm 3/s ,而q 的单位是cm 3/s ,因此书上称q 为水量是不对的)q ′为
q ′=kiA =-k h
z
d x d y (4-19)
显然,在向上渗流时,代表超静水压强大小的超静水头h 是下大上小,有 h z
>0,而图(b )假设的q ′方向就是真实方向,按理论力学正负号规定,q ′>0,所以(4-19)式不该有负号,这是第一次用错正负号。正确的关系式为
q =kiA =k h
z
d x d y (1)
按图1的坐标系,单元体上边的坐标为z ,下边的坐标为z +d z ,即上边为h (z ),q (z ),下边为h (z +d z ),q (z +d z )。将h (z +d z ),q (z +d z )展
开成泰劳级数。并略去二次项d z 2
及以上项,得
h (z +d z )=h (z )+ h
z d z
q (z +d z )=q (z )+ q
z
d z
可见下边的物理量比上边的物理量多一个增量,而不是书上的上边物理量比下边物理量多一个增量(书上适用于朝上的坐标系),这样在求上、下边物理量差时会错一个负号,这是第二处正负号错误。正确的应该是
q ″=k h
z d x d y
q ′=k h z + 2
h z 2
d z
d x d y (2)文献[1]给出单元体的水量变化为
q ′-q ″=k 2
h z
2d x d y d z
(4-20)书中水量(应为流量)变化没有给出方向,即变大还是变小,但后面指出是减少,我们就按变小处理,只有流出的多,流入的少才会变小,因此应该流出的减去流入的,即正确的是
q ″-q ′=k h
z
d x d y -k h z + 2
h z 2d z d x d y =-k 2h z 2
d x d y d z (3)
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G EO TE CHNICAL EN GI NEE RING WORLD V OL .7 N o .4
这是第三处错正负号。
文献[1]又给出单元体孔隙体积V w 的变化率(减少)为:
V w t =- t e
1+e d x d y d z (4-21)
(4-21)式本来是从体应变εp 来推导的,即在Δt 时间间隔内,单元体的体积应变
Δεp =-ΔV w V 0=-V s Δe V 0=-Δe
1+e 0等式两边同乘以V 0=d x d y d z 得
-ΔV w =-Δe
1+e 0
d x d y d z
Δt ,- V w t =- t e 1+e 0d x d y d z (4)
(4)式和(4-),(4-21)式有三点错误。其一,分母中e 应该是初始孔隙比e 0;其二,等式左边应该有一负号,而(4-21)式没有,这是第四处正负号错误;其三,(4)式等号两边是同号的,因为 V w t <0, e
t
<0,而(4-21)式等式两边异号,这是第五处正负号错误。
文献[1]中令式(4-20)与式(4-21)相等,并
考虑到单元体中土粒体积1
1+e
d x d y d z 为不变的常
数(充分说明分母中的e 是e 0),从而得
k 2
h z
2=11+e e t (4-22)
按文献[1],(4-20)式右边为k 2h
z 2
d x d y d z ,
而式(4-21)右边为- t e
1+e
,两部分相等显然
应该有个负号,但(4-22,这是第六处错正负号。由于负负得正,错偶数次正负号,使得(4-
22)式的正负号最终是正确的。另外,令式(4-20)与式(4-21)相等的提法也不妥,因为等式有二边,可以作恒等变换。通常是令等式某边的某量与另一等式某边的某量相等,这里具体是单位时间内,单元体减少的水量和孔隙体积减少相等。
文献[1]的(4-23)式,(4-24a )式和(4-24b )式没有出现正负号错误,但将 2h z 2=1γw 2
u
z
2和 σ′ t
=- u t 代入(4-24)式得C v 2
u z
2=- u t (2-25c )这时又错了第七处正负号。正确的是
C v 2u z
2= u t 其中C v 为固结系数,有C v =
k (1+e 0)
a γw
(6)
到此,文献[1]一维渗流固结方程推导结束,在推导过程中错过七次正负号,这个奇数使文献[1]的固结方程错一负号,这是最不幸的一本土力学书,因为其它书只错偶数次,所以最后的固结方程正确。
文献[1]在求解(4-25c )式时又错了一次正负号,因为能满足(4-25c )式的解应该是
u =4πσz ∑∞
11m sin πmz 2H exp π2m 24T v (4-26′)
当然,(4-26′)式虽能满足(4-25c )式,但t ※∞时,(4-26′)式的级数是发散的,无法满足t ※∞时u =0的条件。
文献[1]给出的(4-25c )式的解为u =4πσz ∑∞11m sin πmz 2H exp -π2m 24T v (4-26)
(4-26)式和(4-26′)式比较,也是错一负号,正是这第八处错,使奇数变为偶数,使最后的解(4-26)式变成正确的解,其中σz =p 0,m 为正奇数,该书又成为最幸运的书,因为七错八错,最终不错。
正和负是相反的两极,错一次都是不允许的。文献[1]是东南大学二位教授为主编,我一生感到自豪的母校———浙江大学也参加编写,河海大学的教授为主审,号称“面向21世纪课程教材”,为高校土木工程学科专业指导委员会规划推荐教材,但竟然在短短三页中出现八处正负号错误,不知参编的教授们有何感想?
沈珠江院士说过,当前世界上最大的水利工程在中国,沈院士还说:“中国是当今世界上最大的工地,新的理论,新的结构,新的施工工艺来自中国,这是理所当然。”遗憾的是国内的土力学教科书错误太多,这和我国土力学研究在国际上已占据的重要位置不相称。虽然土力学教科书中的多数错误抄于国外的同行,但我们应该有自信,只要少抄一点国外的,我们的教科书可以比国外的好。每本书的前言中总有“限于水平……,恳请批评指正”之类的话,如果土力学的编著者们诚恳欢迎批评指正,让我们共同努力,我们的教科书就会变得更完美。
参
考文献
[1] 张克恭,刘松玉主编.土力学.北京:中国建筑工业出版社,
2001.
作者联系方式:电话:028-********
Email :Jmchen108@yahoo .com
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岩土工程界 第7卷 第4期
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