文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 椭圆导学案

椭圆导学案

1§2.1.1 椭圆及其标准方程(1)

【学习方法】探究、讨论、归纳、类比

一、【基础知识链接】

(1)圆的定义: ;

(2)圆心为C (b a , ,半径为r 园上任意一点M 满足的几何条件 ;(集合表示) 圆C 的标准方程为

(3)回顾圆的标准方程的推导步骤? 求平面内动点轨迹方程的一般方法有哪几步?

(4)圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?

二、【新知导学】

探究任务一、椭圆的定义

教材导读,预习课本P32的内容,并思考下列问题:

(1) 我们知道,平面内动点M 到一个定点C 的距离等于定长为r (r 为常数)的动点的轨迹是圆,那

么到两个定点21,F F 的距离之和等于定长为a 2(a 常数)的动点的轨迹是什么?动动手,做教材

32P 中的演示.

(2)椭圆的定义:把平面内动点M 与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离(2c )叫做 .

(3)椭圆定义中动点M 满足的几何条件是 ; (4)在椭圆的定义中,强调了22a c >;若22a c =动点的轨迹是什么? 若22a c <呢?

尝试:已知1(4,0)F -,2(4,0)F ,到1F 、2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 .

反思:在判断平面内的动点的轨迹是否为椭圆时,一定要判断a 2(到两定点距离之和)与c 2(两定之间

的距离)的关系

探究任务二、椭圆的标准方程

教材导读,预习课本P33的内容,并思考下列问题

(1)在椭圆中如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹?依据什么建立直角坐标系?

(2)设椭圆上任意一点),(y x M 满足几何条件)2(22121c F F a MF MF =>=+

①1F 、

2F 坐标为

椭圆导学案

②几何条件坐标形式为

③ 椭圆标准方程为 (焦点在x 轴上)

椭圆导学案

①1F 、2F 坐标为

②几何条件坐标形式为 ③ 椭圆标准方程为 (焦点在y 轴上) (32

2

2

b a 、b 、

c 的含义吗?

x

椭圆导学案

椭圆导学案

椭圆导学案

x x

x

(4)观察比较焦点位置不同的椭圆标准方程,怎样根据椭圆标准方程判断椭圆焦点的位置?

尝试:根据下列椭圆方程,写出,,a b c 的值,并指出焦点的坐标:

(1)22

1169y x +=; (2) 2212516

y x +=; (1)a = ;b = ;c = (2)a = ;b = ;c =

焦点坐标 焦点坐标

典型例题分析----椭圆标准方程

【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两焦点坐标分别是)0,4(-、(4,0),椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10;

(2)两焦点的坐标分别是)2,0(-、(0,2),并且椭圆经过点)2

5,23(-.

变式:写出适合下列条件的椭圆的标准方程

椭圆导学案

(1)4=a ,2b =,焦点在x 轴上; (2)4=a ,c =y 轴上

反思:求椭圆标准方程,定型(焦点位置)、定量(确定b a ,的值) 三、【基础达标检测】

1. 已知6,5a b ==,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 ( )

A . 2213635y x +=

B . 2213625y x +=

C . 2213536

y x += D . 22

12536y x += 2. 如果椭圆22

110036

y x +=上一点到焦点1F 的距离等于6,那么点P 到另一个焦点2F 的距离是( ) A . 8 B . 14 C . 16 D . 20

3. 椭圆22

1169

y x +=的左、右焦点为1F 、2F ,一直线过1F 交椭圆于A 、B ,则2ABF ?的周长为 . 四、【课堂归纳、小结、反思】

(1)椭圆定义:①椭圆上任意点M 满足的几何条件:)2(22121c F F a MF MF =>=+

②当22a c =时动点M 的轨迹是线段21F F 当22a c <时动点M 的轨迹是不存在

(2)椭圆标准方程注意焦点位置不同的两种形式,其中222c b a +=

(3)椭圆标准方程 定型、定量

§2.1.1 椭圆及其标准方程(2)

【学习方法】探究、讨论、归纳、类比

一、【基础知识链接】

(1)椭圆的定义:平面内,动点M 到两定点21,F F 的距离之和等于常数a 2(小于常数212F F c =)的

轨迹

(2)椭圆的标准方程:①焦点在x 上 ;焦点坐标 ;

②焦点在y 上 ;焦点坐标 ;

复习检测:

(1)下列哪些是椭圆方程?如果是,请指出其焦点所在的坐标轴.

①2

2

342x y +=; ②221259y x +=; ③22

144

y x +=; ④22183y x +=-.

(2)在椭圆的标准方程中,6a =

椭圆导学案

,b 则椭圆的标准方程是 .

(3)方程22

31kx y +=的曲线是焦点在x 轴上的椭圆,则k 的范围是 . 二、【新知探究】

知识点一 、椭圆的标准方程 例1.求适合下列条件的椭圆标准方程

(1)焦点在y 上,且经过两点)

和(,01)2,0( (2)经过点)

(3,3

6

和点)1,3

2

2(

反思:求椭圆标准方程:“先定型,再定量”,可把标准方程设成)0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+且 形式 不用考虑焦点所在的坐标轴

知识点二 、椭圆定义的应用

椭圆导学案

例2.如图所示,点P 是椭圆14

52

2=+y x 上的一点,1F 和2F 且02130=∠PF F ,求21PF F ?的面积 (提示:P 满足椭圆定义 与21PF F ?的余弦定理)

变式:1F 和2F 是椭圆17

92

2=+y x 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且02145=∠F AF 求21F AF ?的面积

知识点三、探究动点轨迹的方程

【例1】在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么? (提示:(1)由哪个点(即相关点)引起动点M 运动?与M 点坐标关系如何?(2)相关点满足什么条件?) (相关点法求动点轨迹方程)

【例2】设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-,.直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是4

9

-,求点M

的轨迹方程.(提示:动点M 满足的几何条件是什么?如何用坐标表示几何条件?)直接法求动点轨迹方法

变式:一动圆与圆C 122650x y x +++=外切,同时与圆C 2226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程式,并说明它是什么曲线.(提示:(1)圆C 1与圆C 2的圆心C 1、C 2坐标与半径各是多少?

(2)圆与圆外切和内切条件是什么?能表示本题外切和内切的几何条件吗? (3)动圆圆心M 满足什么样的几何条件?根据几何条件确定动圆圆心M 轨迹是什么?) 定义法求动点轨迹方法

三、【基础检测】

1.若ABC ?的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ,ABC ?的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为( ). A .221259x y += B .221259y x += (0)y ≠ C .221169x y +=(0)y ≠ D .22

1259

x y +=(0)y ≠

2. 设12,F F 为定点,|12F F |=6,动点M 满足12||||6MF MF +=,则动点M 的轨迹是 .

3.若方程162

22=++a y a

x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是

4.设1F 和2F 是椭圆14

92

2=+y x 的两个焦点,p 是椭圆上的点,且1:2:21=PF PF ,则21PF F ?的面

积等于

5.已知三角形ABC ?的一边长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程.

四、【课堂归纳、小结、反思】

(1)求椭圆的标准方程:定义法(定型、定量)、待定系数法 (2)求动点轨迹的方法: 相关点法、直接法、定义法

§2.1.2 椭圆及其简单几何性质(1)

【学习方法】探究、讨论、归纳、类比

一、【知识链接】

(1)、椭圆的定义:

(2)、椭圆的标准方程 ①焦点在x 上 ;焦点坐标 ;

②焦点在y 上 ;焦点坐标 ;

二、【新知导学】

探究一、椭圆的简单几何性质 教材导读:(预习教材P 37~ P 40尝试回答下列问题)

(1)下面我们根据椭圆的标准方程()0122

22>>=+b a b

y a x 来研究椭圆的几何性质.

椭圆导学案

问题1:你能看出椭圆中y x ,的范围吗?如何证明 问题2:从椭圆的图形中你能看出椭圆的对称性吗?如何从方程得到椭圆

的对称性?

①在椭圆的方程中, 以x -代换x ,方程改变吗?这说明当点),(y x P 在椭圆上时,点),(y x p -'与椭圆有什么关系? ②在椭圆方程中,以y -代换y ,(或以x -代换x ,以y -代换y ,)这说明当点),(y x P 在椭圆上时,点),(y x p -'与椭圆有什么关系?

问题3:椭圆的顶点是指: ;椭圆的长轴是指: 椭圆的长轴长为:

椭圆的短轴是指: ;椭圆的短轴长为:

问题4:用什么量来描述椭圆的圆扁程度?

椭圆的离心率: ;离心率的取值范围及变化规律: (2)

椭圆导学案

尝试:椭圆22

12516

y x +=的几何性质呢?范围:x : ,y :

对称性:椭圆关于 轴、 轴和 都对称;顶点:( ),( ),( ),( );长轴

长为 ;短轴长为 ;离心率: c

e a

== .

典型例题---------椭圆几何性质简单应用

【例1】 求椭圆22916144x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

变式:已知椭圆方程是22

1981

x y +=,则其长轴长为 ,短轴长为 ,焦点坐标

为 ,顶点坐标为 ,离心率为 .

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)与椭圆22195

x y +=有相同的焦点,且离心率为2; (2)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,4)--.

椭圆导学案

【例3】求椭圆的离心率:

(1)椭圆的两个焦点三等分它的长轴,则椭圆的离心率为 .

(2)如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 ;

三、【基础达标】

1.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为 ( )

(A )221916x y += (B )2212516x y += (C )2212516x y +=或2211625x y += (D )22

11625

x y +=

2.短轴长为,离心率2

3

e =

椭圆导学案

的椭圆两焦点为12,F F ,过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ?的周长为( )

(A )3 (B )6 (C )12 (D )24 3.离心率为

3

2

,长轴长为6的椭圆的标准方程是 . 4.某椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 .

思考:(2009北京理)椭圆22

192

x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上,若1||4PF =,则2||PF =_________;

12F PF ∠的小大为__________.

§2.1.2 椭圆的简单几何性质(2)

【学习方法】数形结合、探究探讨合作

一、【知识链接】

(1)分别求下列椭圆方程的长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标并画出其图像

221259x y += ② 22

14

y x +=

(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)经过点(3,0)P -,(0,2)Q -; (2)长轴长等到于20,离心率等于3

5

二、【知识点导学】

探究一、利用椭圆几何性质求椭圆方程

【例1】 已知椭圆C 的中心为直角坐标系的原点,焦点在x 上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和

1,求椭圆C 的方程 (提示:画出椭圆图像分析题意)

【例2】以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形是正三角形,且椭圆上的点到其中一个焦点的最

短距离为3,求椭圆的标准方程(提示:数形结合)

探究二、椭圆中焦点三角形相关问题

【例1】椭圆22

14924

x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角,则12Rt PF F ?的面积

为 .(椭圆定义结合勾股定理)

【例 2】 1F 、2F 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一点,?=∠6021PF F

⑴求椭圆离心率的范围; ⑵求证:21PF F ?的面积只与短轴长有关. (提示:椭圆定义和三角形余弦定理、结合均值不等值)

变式. P 为

120

402

2=+y x 上的一点,则21PF F ∠为直角的点P 有 个. (提示:直径所对圆周角为直角)

三、【基础达标】

1.与椭圆36942

2

=+y x 有相同的焦点,且离心率为5

5

的椭圆的标准方程为_____________.

2.与椭圆13

42

2=+y x 有相同离心率且经过点)3,2(-的椭圆方程为

3. 中心在原点,焦点在y 轴上,经过点)0,3(,离心率为2

1

的椭圆方程为

4. 若椭圆1222=+m y x 的离心率2

1,则实数m 等于

5.已知1F 、2F 是椭圆1:22

22=+b

y a x C (a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF PF ⊥.若

21F PF ?的面积为9,则b =____________.

6.已知点P 是椭圆14

52

2=+y x 上的一点,且以点P 及焦点1F 、2F 为顶点的三角形面积为1,则点P 的坐

§2.1.2 椭圆及其简单几何性质(3)

【学习目标】

(1)利用椭圆几何性质解决直线与椭圆相关问题; (2)能解决与椭圆几何性质有关的实际问题. 【教学重点、难点】

用代数法解决直线与椭圆位置关系问题. 【学习方法】数形结合、合作探究、归纳总结 一、【基础知识链接】

1、点),(00y x P 与圆C :()2

2

2

)(r b y a x =-+-的位置关系

点P 在圆C 上?

?()2

2

02

0)(r b y a x <-+-

点P 在椭圆外?

2、直线m kx y l +=:与圆C :()2

2

2

)(r b y a x =-+-

)的一元二次方程(或)得关于(或消去y x x y r b y a x m

kx y ??

??=-+-+=2

22)()( ①?>?0直线l 与圆C 相交?r d <

②?=?0直线l 与圆C 相切?r d = (d 为圆心C ),(b a 到直线l 距离) ③? 二、【新知导学】

探究一、点、直线与椭圆的位置关系

1、点),(00y x P 与椭圆122

22=+b

y a x 的位置关系

点P 在椭圆上? ; ?122

022

0<+b

y

a x ;点P 在椭圆外? ;

2.直线y kx m =+与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的位置关系判断方法:

联立22221

y kx m x y a

=+??

?+=??,消去y 得一个一元二次方程:

椭圆导学案

直线与椭圆的位置关系?直线与椭圆的公共点?直线与椭圆方程联立方程组解个数

探究二、直线与椭圆相交弦长、相切相关问题

1、探究直线y kx m =+与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交弦长

(1)设直线与椭圆的两个交点),(,),(2211y x B y x A ,则221221)()(y y x x AB -+-=如何

将表达式等价化成用2121,x x x x ?+表示?(或2121,y y y y ?+表示?)

(2)联立222

21y kx m x y a

b =+??

?+=??消去y (或x )得关于x (或y )的一个一元二次方程韦达定理得2121,x x x x ?+

(或2121,y y y y ?+),求得相交弦长AB

二、典型例题 新知应用

【例1】:当m 为何值时,直线l :y x m =+与椭圆C :2

2

916144x y +=相切、相交、相离.

【例2】在上述问题中,利用数形结合探究下列问题: (1)当直线l 与椭圆C 相切时,求出切点坐标;

(2)当直线l 与椭圆C 相离时,取定一个m 值,得到一条直线1l ,椭圆上是否存在一点,它到直线1l 的距离最小?最小距离是多少?(选取6=m )

(3)当直线l 与椭圆C 相交时,取定一个m 值,得到一条直线2l ,2l 与椭圆C 交于A 、B 两点,求AB 的长?(选取3=m )

变式2:已知椭圆14

162

2=+y x ,过点)1,2(p 作一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在的直线方程.

(提示:①确定直线方程有几种代数方法?②弦所在直线过)1,2(p ,且为交点()2211,),,(y x B y x A 的中点

,能根据椭圆标准方程表示=--=2

12

1

x x y y k 吗?)

三、【知识点达标】

1.椭圆14

162

2=+

y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 2.直线12

y x =-

被椭圆22

44x y +=截得的弦长为 . 3.求下列直线310250x y +-=与椭圆22

1

x y +=的交点坐标.

椭圆导学案

椭圆导学案

4.中心在原点,焦点为1(0,F 2F 的椭圆C ,被直线23y x =-+截得的弦的中点横坐标是1,求此椭圆C 的方程

5.已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ |=2

10,求椭圆方程