PQ变换与DQ变换的理解与推导
一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导
1. 120变换和空间向量
120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]：
?????++=++=++=0
22
10212
021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2
a 分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，?
=120j e
a ，
?=2402j e a ，上式的逆变换为：
???
?
??
???++==++=++=*)(31)(31)(310122
21c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于a 和2
a 是空间算子，所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分
量具有本质上的区别。另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。
用矩阵表示时，可写成
??????????=??????????-0211120i i i C i i i c b a ，??????????=??
???
?????c b a i i i C i i i 120021
（1-1）
?????
?????=-11111
2
2
1
120
a a
a a C ，????
?
?????=111113
12
2120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。
所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF ：Magnetic Motive Force ）和变换后的电流形成的磁动势MMF 幅度一样。
①
如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？
由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc 到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。
虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。
所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。
对实线性空间，由于正交变换②保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。
令??????????=c b a i i i i ，????
??????=c b a u u u u ，变换矩阵为C 。 原三相系统中功率为：i u i u p T ==),(
变换后的功率为：i C C u Ci C u Ci Cu Ci Cu p T T T T T )()(),(====
当E C C T =，即1-=C C T ，可使变换前后功率不变，满足此条件的C 即为正交矩
阵。
在120分量中，由于负序分量2i 不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量1i 。为此定义定子电流的空间矢量ori i ，它等于1i 的2倍③，即
ori i =)1(3
2
2c b a i a ai i ++
（1-2）
式中的1、a 和2
a 分别表示a 相、
b 相和
c 相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电流为0，ori i 在a 、b 、c 相轴线上的投影即为c b a i i i 、、，如图1-1所示。
从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量ori i 既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。
b 相
相
② 正交变换：变换矩阵C 为正交矩阵，满足1-=C C T
③
考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。
图1-1 电流的空间向量
电压矢量同理可得。
2. Park 变换与Clarke 变换
（1）Clarke 变换
αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a 相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。
以电流为例，说明abc 与αβ0坐标系之间的坐标变换。把图中α和β轴线上的电流αi 和βi 分别投影到a 、b 、c 三相轴线上，再加上孤立的零序电流0i ，可得a i 、b i 和
c i ：
c
0相
图1-2 αβ0变换
????
??
???
+--=++-=+=00023212321i i i i i i i i i i i c b a βα
βα
α ??????????=??????????-010i i i C i i i c b a βααβ，????
?
?????=??
????????c b a i i i C i i i 00αββα
其中??????????---=-123211232110110αβC ，????
?
??
???---=21212
123230212
11
320αβC 不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把0αβC 进行单位正交化，变为正交矩阵，使得T
C C 01
αβαβ=-，得到等功率变换矩阵为
???
?
?
???
??---=
21212
123230212
11320αβC （2）Park 变换
dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸
极，则d 轴与凸极的中心轴线重合，q 轴超前d 轴90°电角，如图1-3所示。dq0变换是从静止的abc 坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。
b 相
c 相
图1-3 dq0变换
以定子电流为例。设定子三相绕组中电流为a i 、b i 、c i ，转子d 轴与定子a 相绕组轴线之间夹角为θ（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为d i 、q i 、0i 。把旋转的d 、q 轴上的d i 、q i 分别投影到定子a 、b 、c 三相轴线上，再加上零序电流
0i ，可得到a i 、b i 和c i ：
?
??
??++-+=+---=+-=0
00)3/2sin()3/2cos(
)3/2sin()3/2cos(
sin cos i i i i i i i i i i i i q d c q d b q d a πθπθπθπθθθ ??????????=??????????-010i i i C i i i q d dq c b a ，????
??????=??
????????c b a dq q d i i i C i i i 00
其中
??
??
??????
+-+----=-1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sin cos 10πθπθπθπθθθdq C ????
???
???+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()3/2cos(cos 320
πθπθθπθπθθ
dq C 式中0θωθ+=t ，ω为转子的角速度，0θ为0时刻时，d 轴与a 轴夹角，转子旋转时，0dq C 是一个时变阵。若0=θ，即转子不转，且d 轴与a 轴重合时，dq0坐标系退化为αβ0坐标系。实际上，由图1-3可知，若0=θ，就意味着。。。。。与图
1-2一致。
显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵
???
?
?
?????+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()
3/2cos(cos 3
20
πθπθθπθπθθdq C
则T
dq dq C C 01
=-，此时变换将成为等功率变换。
Clarke 变换也是αβ变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着
abc 三相值的变化而变化的。它的主要用途是瞬时无功功率控制。
Park 变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC （voltage source
converter ）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq 量可以保持恒定。VSC 控制就是控制变换过的dq 量从而对系统的电压电流等参数进行控制的[3]。
3. 瞬时无功理论
设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。为分析问
题方便，把他们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。如图1-4所示[2]。
β
e i i βi β
图1-4 βα-系中电压、电流矢量
由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、
βi 。
????
?
?????=??????c b a e e e C e e αββα （1-3）
????
?
?????=??????c b a i i i C i i αββα （1-4）
式中?
??
???---=232123210132αβ
C 。
此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为
??????????---=21232121232
12
10
1320
αβC ， ??
??
?
?????---=-212321212
321210
1321
0αβC 不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系
???
?
??
?
-=+=)(61)(612
1βαβαji i i ji i i ，???????-=+=)(61)(6121βαβαje e e je e e （1-5）
以电流为例推导过程如下：
????????????????????-=????
????????????????---???
?????
?
?=???
???????=??????????=??
???
?????-002201012012002120001101
161212321212
321210132111113
1i i i i i i a a a a i i i C C i i i C i i i c b a βαβαβααβ
空间矢量与αβ分量的关系为
ori i )(3
2
21βαji i i +=
= ori e )(3
2
21βαje e e +=
= （1-6） 在图1-4所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 。分别可以合成为（旋转）
电压矢量e 和电流矢量i
用于瞬时功率计算中的Clarke 变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。
电压电流矢量的原始定义中采用的120变换为等幅值变换，Clarke 等幅值变换矩阵系数为
32
，等功率变换矩阵系数为32。电压电流矢量应用到等功率变换体系中应
相应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流矢量的
2
3
倍：
βαe e e e ori +==2
3
e e ?∠= βαi i e i ori +==
2
3
i i ?∠= （1-7） 式中e 、i 为矢量e 、i 的模（黑体e 、i 为矢量，非黑体e 、i 为矢量的幅值），
e ?、i ?分别为矢量e 、i 的相角。
【定义1】三相电路瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 分别为矢量i 在矢量e 及其法线上的投影。即
????
?==?
?
sin cos i i i i q p （1-8）
式中，i e ???-=。βα-平面中的p i 和q i 如图1-4所示。
【定义2】三相电路瞬时有功功率p 为电压矢量e 的模e 和三相电路瞬时有功电流p i 的乘积，三相电路瞬时无功功率q 为电压矢量e 的模e 和三相电路瞬时无功电流q i 的乘积，即
????
?==q
p
ei q ei p （1-9）
把式（1-8）及
???-=代入式（1-9）中，并写成矩阵形式得出
??
?
?????????-=??????βααββαi e e q p
（1-10） 把式（1-3）、式（1-4）代入上式，可得出p 、q 对于三相电压、电流的表达式
[][][][]????
?
?????+---+---=
??
??
????????????????------=
????????????????---??????---=
??
??? ??????????????????---??
???
??????????????????---=???
???=c b a c b a c
b a
c b a c b a c b
a c
b a T
c b
a c
b a T
c b a i i i e e e e e e e e e i i i e e e i i i e e e i i i e e e i i e e p 2121212121213
2
121212112121211
3
22321232101232123210132
232123210132232123210132βαβα
由于0=++c b a e e e ，所以上式可以写为
[]c
c b b a a c b a c b
a i e i e i e i i i e e e p ++=????
?
?????=
2323233
2
[][][][]
()()()[]c b a b a c a c b c b a b a c
a c b
c b a c b
a c
b a T
c b
a c
b a T
c b a T
T
i e e i e e i e e i i i e e e e e e i i i e e e i i i e e e i i i e e e i i e e i i e e i i e e q -+-+-=
????
?
?????-+--
=
????
????????????????---=
????????????????---??????-??????---=????? ?
?????????????????---???
???-??
???
??????????????????---=??
??????????-??
????=???????
??
?
??????????????-=??????-=3
1
2323232323233
20232323023232303223212321010110232123210132232123210
132011023212321013201100110βαβαβαβαβααβ
由上述推导得到：
()()()[]??
?
?
?-+-+-=++=c b a b a c a c b c c b b a a i e e i e e i e e q i e i e i e p 31 （1-11） 就三相电路而言，其功率的瞬时值实际上应该理解为：把瞬时值分别置于各轴成120°的abc 坐标系中，按有功无功理论进行数乘，有功是电流在电压方向上的分量与电压数乘，无功是电流在电压法向上的分量与电压数乘。显然，从式
（1-11）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。
4. 派克变换与瞬时功率之间的关系
当电网电压三相对称且波形无畸变时，设电网电压角频率为ω，且A 相电压初相角为)2,0(0π?∈，E 为电网电压基波即电网电压的有效值，则电压瞬时值为
??
?
???????++-++=??????????)2sin()2sin()sin(2000π?ωπ?ω?ωt t t E e e e c b a
（1-12）
（1）第一种推导方式
则将式（1-12）代入式（1-3）将得到：
??????+-+=??
??
????++--+++--+-+=????
?
?????++-++??????---=?
?????)cos()sin(3)32sin(23)32sin(23)32sin(21)32sin(21)sin(32)32sin()2sin()sin(22321232101320000000000?ω?ωπ?ωπ?ωπ?ωπ?ω?ωπ?ωπ?ω?ωβαt t E t t t t t E t t t E e e
?
??
???+-+=??????)cos()sin(300?ω?ωβαt t E e e
（1-13）
将式（1-13）代入式（1-10）计算出瞬时有功和无功为
????????????+-+-+-+=???
???βα?ω?ω?ω?ωi i t t t t E q p )sin()cos()cos()sin(30000
（1-14） 对于式（1-14）中系数的理解为：原系统电压幅值为E 2，由于是等功率变换，
由等幅值与等功率变换矩阵系数可知，αβ系统中的电压向量e 的幅值，即e ，为
E 2*23=E 3。
因此由式（1-9）可知
??
????=??????=??????q p q p i i E i i e q p 3
与式（1-14）对比可得
???
?????????+-+-+-+=??????=???
?????βαβααβ?ω?ω?ω?ωi i t t t t i i C i i pq q p )sin()cos()cos()sin(0000_ （1-15）
其中αβ_pq C 为从αβ坐标系到pq 坐标系的转移矩阵。 下面推导αβ坐标到dq 坐标的变换矩阵αβ_dq C 。
dq 坐标逆时针以角频率ω同步旋转，d 轴与a 轴的夹角为0θωθ+=t ,0θ为t=0
时刻d 轴与a 轴的夹角，）（πθ,200∈，q 轴位于在旋转方向上比d 轴超前90°的位
置上。从abc 坐标到dq 坐标的转移公式为[3]：
?????
?????=??????c b a dq q d i i i C i i
（1-16）
其中abc 坐标到dq 坐标的转移矩阵：
?
?
?
???++-++-+--++-+=)2sin()2cos()2sin()2cos()sin()cos(32000000πθωπθωπθωπθωθωθωt t t t t t C dq
拓展为可逆转移矩阵为
??
??
?
???
??++-++-+--++-+=21)2sin()32cos(21)32sin()32cos(21)sin()cos(320000000
πθωπθωπθωπθωθωθωt t t t t t C dq
?????
?
??
???
?++--+-+-++-++=
-212121)32sin()32sin()sin(32cos(32cos()cos(32000000
1
0πθωπθωθωπθωπθωθωt t t t t t C dq 由Clarke 等功率逆变换得出下式：
?
???????????????---=
????
????????????????---=
????
??????=??
???
?????-βαβαβααβi i i i i i C i i i c b a 2321232101
320212321212321210132010
代入式（1-16）：
????????????????---??????++-++-+--++-+=??
?
???βαπθωπθωπθωπθωθωθωi i t t t t t t i i q d 2321232101
32)32sin()2cos()32sin()32cos()sin()cos(32000000
得出：
???
?????????++-++=??????=??
????βαβααβθωθωθωθωi i t t t t i i C i i dq q d )cos()sin()sin()cos(0000_
（1-17）
显然，由式（1-15）和式（1-17）对比可知：αβ_pq C 与αβ
_dq C 并不相同，d 、q 与
p 、q 变量，并不能直接等价。
由式（1-15）可得
???
???????????+-+-+-+=????
????=??????-q p q p pq i i t t t t i i C i i )sin()cos()cos()sin(00001_?ω?ω?ω?ωαββα
代入（1-17）得
???
???????????-------=????
??????????+-+-+-+??????++-++=??
?
?
????=??????-q p q p q p pq dq q d i i i i t t t t t t t t i i C C i i )sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()cos()sin()sin()cos(00000000000000001__θ?θ?θ?θ??ω?ω?ω?ωθωθωθωθωαβαβ （1-18） 注意：式（1-18）中等式两端的变量意义，等式左边的d i 、q i 为派克变换后得到的d-q 轴瞬时电流；而等式右边的p i 、q i 为瞬时有功电流、瞬时无功电流。另外，这里再次重申式（1-18）中变量的意义如下：0?为t=0时刻A 相电压的初相角，0θ为t=0时刻d 轴与a 轴的夹角。因此列出以下几种特殊情况：
???
??
?
?????
???
?
??????????-=???????+=-=????
??????????-=???????-=+=???
?
??????????--=???????=q p q d q p q d q p q d i i i i i i i i i i i i 10012
32100123201100
000000000πθ?πθ?πθ?πθ?θ?，，
（1-19） 由此可见，派克变换后得到的d-q 瞬时电流d i 、q i 与瞬时有功电流、瞬时无功电
流p i 、q i 的相对关系，取决于当前时刻电网电压相角以及d 轴与a 轴之间相位的关系。显然，若在逆变器控制中利用d-q 变换后得到的瞬时电流d i 、q i 来分别控制有功和无功，则意味着0?与0θ之间相差90o。因此，在逆变器控制中，通过锁相环PLL 获得0时刻a 相电压相角0?，从而决定Park 变换矩阵中的0θ值，以确保d 轴与a 电网电压矢量方向相同，从而达到有功无功独立控制的目的。在Simulink 仿真平台自带的Park 变换模块中，默认0时刻a 相电压相角0?为0，由PLL 模块获得t ωsin 、
t ωcos ，形成0dq C ，进行Park 变换，如图1-5所示：
图1-5逆变器控制中Park 变换部分的simulink 模型
图中Vabc_filter 为逆变器经滤波器并网处的三相电压，Vabc_filter_pu 为其标幺值。
（2）第二种推导方式
对式（1-12）所表示的三相电压进行派克变换，可得 ????
?
??
???++-++??????++-++-+--++-+=?????
?????++-++=????
??????=??????)32sin()32sin()sin()2sin()32cos()32sin()32cos()sin()cos(32)32sin()32sin()sin(2000000000000π?ωπ?ω?ωπθωπθωπθωπθωθωθωπ?ωπ?ω?ωt t t t t t t t t E t t t EC e e e C e e dq c b a dq q d 将0θωθ+=t ，0?ω?+=t ，代入上式计算得
???
???++-----+++--+=??
????32sin()2sin()32sin()32sin(sin sin )32sin()32cos()32sin()32cos(sin cos 32π?πθπ?πθ?θπ?πθπ?πθ?θE e e q d
化简可得：
??
?
???---=??
????+--=??????
??????+--=
??
????)cos()sin(3)cos cos sin (sin cos sin sin cos 3)cos cos sin (sin 23)cos sin sin (cos 2332θ?θ??θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θE E E e e q d
（1-20）
同Clark 变换同理，等功率变换到两相dq 坐标中，电压幅值变为E 3。 为方便计算，选d 轴方向为电网电压合成矢量的方向，则上式计算结果应为
??????=??
????????=??????03E e e e C e e c b a dq q d
（1-21）
要得出此结果需使
20)cos(
1
)sin(00πθ?θ?θ?=-???
?=-=- （1-22）
满足上述条件可将瞬时功率计算公式化简为：
????
?-=+-==+=q d d q q d d
d q q d d i
e i e i e q i e i e i e p
（1- 23） 因此，在这种情况下，可以认为d i 相当于有功电流，q i 相当于无功电流。
为了清晰起见，在dq 轴坐标平面上，绘制电压电流相对关系如图1-6所示。
q
e i i q i q e
i
θ
图1-6 dq 系中电压电流矢量
为以示区别，此图中有功、无功分量的下标用P 、Q 表示，dq 分量用d 、q 表示。则电压矢量与d 轴的夹角为θ?-e ，电流矢量与d 轴的夹角为θ?-i 。其中
i e ???-=。
对于式（1-23）的推导，与式（1-10）的推导过程一样，即由式（1-8）、式（1-9），可得：
[][][][]??
?
??
?
?+-=-----=---==+=--+--=---==d q q d i e i e i e q q
q d d i e i e i e p i
e i e ei ei ei q i e i e ei ei ei p )sin()cos()cos()sin()()(sin )sin()sin()cos()cos()()(cos θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ? 传统理论中的有功功率、无功功率等都是在平均值基础或向量的意义上定义的，它
们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。
5. 无功的物理意义
在正弦电路中由于储能元件电感和电容的存在，在电路中出现了一种在纯电阻电路中所没有的现象，这就是能量的往返交换，因而除了平均功率（有功功率）外，还引出无功功率这一概念。
设电路的电压和电流分别为：
t U u ωsin 2=，)sin(2?ω-=t I i
?==T
UI uidt T P 0
cos 1?
无功的定义需借助于瞬时功率：
t
Q t P t UI t UI t
t UI ui p ωωω?ω?ω?ω2sin )2cos 1(2sin sin )2cos 1(cos sin )sin(2+-=+-=+==
上式中第一个分量)2cos 1(t P ω-是以P 为平均值而做简谐振荡的分量，其值恒为
非负，它是一个只有大小变化而不改变传输方向的瞬时功率分量，它代表电路等效电阻所吸收的瞬时功率，是反映电路实际消耗的有功分量，其平均值P 即为有功功率。
上式中第二个分量Qsin2ωt 是一个以2ω为角频率作正弦的交变的瞬时功率分量，在其变化的波形中，正负半周与横轴之间构成的面积分别代表等量的吸收能量和释放能量，表明有一部分能量在电源和电路之间交换，其平均值为零。这个瞬时功率分量代表电路的等效电抗吸收的瞬时功率，反映了电源和电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量。该无功分量的最大值?sin UI Q =即为通常意义上的无功功率，它实质上是电源与电路之间能量往返交换的最大速率。
1、在线性负荷电路中，无功的流动表现为电源（或已经储能的元件）与储能元件之间能量的交换（储存和释放）的过程。而在非线性电路中，表现为电源与非线性元件之间能量的来回流动。
2、三相三线电路中，无论其对称或不对称，无论其含有谐波或不含谐波，各相无功分量的瞬时值之和在任一时刻都为0。这是一个普遍结论。因此，在线性或非线性三相电路中，可以认为无功能量是在三相之间流动的（如同三相电流的流动）。
6. 参考文献
[1] 汤蕴璆，张奕黄，范瑜．交流电机动态分析．北京：机械工业出版社，2005 [2] 王兆安，杨君，刘进军．谐波抑制和无功功率补偿．北京：机械工业出版社，
1991 [3] 李光琦．电力系统暂态分析（第三版）．北京：中国电力出版社，2006
MB中的abcdq相坐标变换
坐标变换总结 姓名： 日期：2011.11.4
坐标变换的总结 一．由三项坐标系变换到两相旋转坐标系 1.三相到两相静止坐标系的变换首先，确定三相电压的相序： cos() 2cos()34cos()3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ==- =- 在坐标图上表示三相到两相静止坐标系上的变换，如图所示： 图13-2s 变换 由上图，我们可以将A u 、B u 、c u 转化到两相静止坐标系上，具体等式如下： 211()3222()322A B C B C u u u u u αβ?=--????=-?? 插入系数2、 3是为了保证两相坐标系中合成矢量的模与各相电压的模相同。后面会推导为什么可以保证模不变。 整理成状态方程的形式，如下： 1112223022A B C u u u u u αβ????-- ???????=?????????-??????2.两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换 我们知道，在两相静止坐标系中，合成矢量是旋转的，我们令旋转坐标系的d 轴与旋转矢量重合，则可将其转换到旋转坐标系中。坐标变换如图所示：
图22s-2r 变换 此时，我们可以得到，两相静止坐标系到两相旋转坐标系的公式，其中θ一般取为A 相的相角。 cos sin sin cos d q u u u u αβθθθθ??????=??????-???? ??二．反向变换 1.若需要将旋转坐标系转化到静止坐标系上，只需相应的将d-q 向αβ-投影即 可，根据图二，我们可以得到： cos sin sin cos d q u u u u αβθθθθ????-??=???????????? 2.同理，根据图1，我们可以将αβ-分别投影到A 、B 、C 上，获得其逆变换： 102133221322A B C u u u u u αβ??????????????=-???????????????--???? 三．关于乘以2/3保持模不变的问题首先，我们已经能够确定了电压相序 cos() 2cos()34cos()3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ==- =-经过变换后： 211()322 A B c u u u u α=--
dq坐标变换分析
dq坐标变换的理解 由于dq变换有四种，而不同的书中写的dq变换不一致，应用起来很麻烦。所以为了便于更好理解每一种用法，不至于使用中陷入混乱，特写此报告理清每一种dq变换。 一、滞后无功dq变换结构图 1.1、q轴有功d滞后无功 b c 图1、q轴有功d轴滞后无功（张兴的书） 其中矢量I以电网基波频率 逆时针方向旋转。 如图1可得下列公式：
sin()cos() d m q m m i I i I I θγθγ?=-??=-??=?? cos cos(120) cos(120)a m o b m o c m i I i I i I γγγ=??=-??=+? 解上述两个方程可得： 0cos cos(120)cos(120)2sin sin(120)sin(120)3111222o o q a o o d b c i i i i i i θθθθθθ????-+??????????=-+???????????????? ???? 0sin cos 1sin(120)cos(120)1sin(120)cos(120)1a d o o b q o o c i i i i i i θθθθθθ????????????=--????????????++?????? 1.2、d 轴有功q 滞后无功 相对应的d 轴有功、q 轴滞后无功的换算方法，只需将以上公式的d 、q 对换即可。 二、超前无功dq 变换结构图 2.1、d 轴有功q 超前无功
a b c 图2、d 轴有功q 轴超前无功 如图1可得下列公式： cos() sin() d m q m m i I i I I θγθγ?=-+??=-+??=?? cos cos(120) cos(120)a m o b m o c m i I i I i I γ γγ=??=-??=+? 解上述两个方程可得：
基于dq变换的三相软件锁相环设计_图文(精)
第３１卷第４期 电力自动化设备 ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＡｕｔｏｍａｔｉｏｎＥｑｕｉｐｍｅｎｔ ＶｏＬ３１Ｎｏ．４Ａｐｒ．２０１１ ＠２０１１年４，Ｅｌ 基于由变换的三相软件锁相环设计 吉正华１，韦芬卿２，杨海英１ （１．国电南瑞科技股份有限公司，江苏南京２１００６１； ２．国网电力科学研究院，江苏南京２１０００３） 摘要：针对传统锁相环在电压畸变条件下不能获得准确相位的问题，根据软件锁相环（ＳＰＬＬ）原理．提出了一种基于如坐标变换原理获得ＳＰＬＬ线性化模型，并通过ＰＩ控制实现的新型三相ＳＰＬＬ。在三相电压不平衡时。利用Ｔ／４（Ｔ为三相电压周期）延时计算法实现正、负序分量分离，有效地抑制负序分量对相位的影响。通过仿真实验系统，对提出的控制策略在各种电压畸变及三相电压不平衡条件下进行验证。结果表明，该ＳＰＬＬ的动态响应速度快、稳态性能好。并对电压畸变有很强的抑制作用。关键词：软件锁相环：幽坐标变换；畸变电压；正、负序分量中图分类号：ＴＰ２１４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—６０４７（２０１１）０４—０１０４—０３ ０ 引言
２Ⅳ相加后得到实际角频率。最后经过一积分环 节，输出即是电网电压的相位０。整个ＳＰＬＬ过程构成一个反馈，通过ＰＩ达到锁相目的。ＳＰＬＬ原理图如图ｌ所示。 本文基于如坐标变换原理，通过ＰＩ控制，实现三相软件锁相环（ＳＰＬＬ）。但当三相电压不平衡时。负序分量滤波效果不好［１－３＿．因此利用Ｔ／４（ｒ为三相电压周期）延时计算法实现正、负序分量分离。有效抑制负序分量对相位的影响。最后，模拟市电电压畸变和三相电压不平衡的情况下进行仿真实验，实验结果验证该锁相环性能良好。 １ ０ ＳＰＬＬ原理 图１ＳＰＬＬ原理图 Ｆｉｇ．１ ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＳＰＬＬ ＳＰＬＬ基本原理［４．５］是将三相输入电压ＵａＵｂ、Ⅱ。 转换到静止的俚ＪＢ坐标系，然后从静止的ａｐ坐标系转换到与三相电压同步旋转的由坐标系，得到交流电压的直流分量／Ｌｄ、“。。三相静止坐标系到两相静止坐标系下的数学矩阵为 ２ ＳＰＬＬ的控制框图及性能分析 图２为系统控制框图．将锁相误差信号输入ＰＩ
PQ变换与DQ变换的理解与推导
PQ变换与DQ变换的理解与推导
一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导 1. 120变换和空间向量 120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]： ?????++=++=++=0 2210212021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2a 分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，?=120j e a ， ?=2402j e a ，上式的逆变换为： ???? ?????++==++=++=*)(31)(31)(31012221c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于a 和2 a 是空间算子，所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。 用矩阵表示时，可写成 ??????????=??????????-0211120i i i C i i i c b a ，???? ??????=??????????c b a i i i C i i i 120021 （1-1） ??????????=-11111221120a a a a C ，???? ??????=111113122120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。 ① 如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？
Matlab中基于dq变换的锁相环仿真研究
1.锁相环的基本原理和模型 在并网逆变器系统中，控制器的信号需要与电网电压的信号同步，锁相环通过检测电网电压相位与输出信号相位之差，并形成反馈控制系统来消除误差，达到跟踪电网电压相位和频率的目的。一个基本的锁相环结构如图1-1所示，主要包括鉴相器，环路滤波器，压控振荡器三个部分。 图1-1 基本锁相环结构 鉴相器的主要功能是实现锁相环输出与输入的相位差检测；环路滤波器的主要作用应该是建立输入与输出的动态响应特性，滤波作用是其次；压控振荡器所产生的所需要频率和相位信息。 PLL 的每个部分都是非线性的，但是这样不便于分析设计。因此可以用近似的线性特性来表示PLL 的控制模型。 鉴相器传递函数为：)(Xo Xi Kd Vd -= 压控振荡器可以等效为一个积分环节，因此其传递函数为：S Ko 由于可以采用各种类型不同的滤波器（下文将会讲述），这里仅用)(s F 来表示滤波器的传递函数。 综合以上各个传递函数，我们可以得到，PLL 的开环传递函数，闭环传递函数和误差传递函数分别如下： S s F K K s G d o op )()(=，)()()(s F K K S s F K K s G d o d o cl +=，) ()(s F K K S S s H d o += 上述基本的传递函数就是PLL 设计和分析的基础。 2.鉴相器的实现方法 鉴相器的目的是要尽可能的得到准确的相位误差信息。可以使用线电压的过零检测实现，但是由于在电压畸变的情况下，相位信息可能受到严重影响，因此需要进行额外的信号处理，同时要检测出相位信息，至少需要一个周波的时间，动态响应性能可能受到影响。 一般也可以使用乘法鉴相器。通过将压控振荡器的输出与输入相乘，并经过一定的处理得到相位误差信息。 在实际的并网逆变器应用中还可以在在同步旋转坐标系下进行设计，其基本的目的也是要得的相差的数值。同步旋转坐标系下的控制框图和上图类似，在实际使用中，由于pq 理论在电网电压不平衡或者发生畸变使得性能较差，因而较多的使用dq 变换，将采样得到的三相交流电压信号进行变化后与给定的直流参考电压进行比较。上述两种方法都使用了近似，利用在小角度时正弦函数值约等于其角度，因而会带来误差，这个误差是人为近似导致的误差，与我们要得到的相位误差不是一个概念，最终的我们得到相位误差是要形成压控振荡器的输入信号，在次激励下获得我们所需要的频率和相位信息。 2.1乘法鉴相器
PQ变换与DQ变换的理解与推导
一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导 1. 120变换和空间向量 120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]： ?????++=++=++=0 22 10212 021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2 a 分别为定子绕组平面的120°和240°空间算子，? =120j e a ， ?=2402j e a ，上式的逆变换为： ??? ? ?? ???++==++=++=*)(31)(31)(310122 21c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而 矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于a 和2 a 是空间算子，所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。 用矩阵表示时，可写成 ??????????=??????????-0211120i i i C i i i c b a ，??????????=?? ??? ?????c b a i i i C i i i 120021 （1-1） ????? ?????=-11111 2 2 1 120 a a a a C ，???? ? ?????=111113 12 2120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。 所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF ：Magnetic Motive Force ）和变换后的电流形成的磁动势MMF 幅度一样。 由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc 到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。 ① 如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？
MATLAB中的abc-dq相坐标变换
MATLAB中的abc-dq相坐标变换
坐标变换总结 姓名： 日期：2011.11.4
坐标变换的总结 一． 由三项坐标系变换到两相旋转坐标系 1. 三相到两相静止坐标系的变换 首先，确定三相电压的相序： cos()2cos()34cos() 3A m B m c m u U wt u U wt u U wt ππ ==- =- 在坐标图上表示三相到两相静止坐标系上的变换，如图所示： A u B u C u α β 图1 3-2s 变换 由上图，我们可以将A u 、B u 、c u 转化到两相静止坐标系上，具体等式如下： 211()322233()322A B C B C u u u u u u αβ? =--??? ?=-?? 插入系数2、3是为了保证两相坐标系中合成矢量的模与各相电压的模相同。 后面会推导为什么可以保证模不变。 整理成状态方程的形式，如下： 11122 2333022A B C u u u u u αβ????- - ???????=?? ???????-????? 2. 两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换 我们知道，在两相静止坐标系中，合成矢量是旋转的，我们令旋转坐标系的d 轴与旋转矢量重合，则可将其转换到旋转坐标系中。坐标变换如
图所示： β θ d q 图2 2s-2r 变换 此时，我们可以得到，两相静止坐标系到两相旋转坐标系的公式，其中θ一般取为A 相的相角。 cos sin sin cos d q u u u u αβθθθ θ???? ??=????? ?-???? ?? 二． 反向变换 1. 若需要将旋转坐标系转化到静止坐标系上，只需相应的将d-q 向αβ-投影即可，根据图二，我们可以得到： cos sin sin cos d q u u u u αβθ θθ θ?? ??-??=???????????? 2. 同理，根据图1，我们可以将αβ-分别投影到A 、B 、C 上，获得其逆变换： 1 021332132 A B C u u u u u αβ?? ????? ? ?? ????=-????????????? ?-?? 三． 关于乘以2/3保持模不变的问题 首先，我们已经能够确定了电压相序 cos()2cos()34cos() 3A m B m c m u U wt u U wt u U wt π π ==- =- 经过变换后：
坐标变换总结Clark变换和Park变换
一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。 由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比与主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，又为多变量，非线性系统（关键是有一个复杂的电感矩阵），这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链入手。 解决的思路与基本分析： 1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120 ω的旋转磁场。 度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为 1 又知，取空间上互相垂直的（α，β）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。此时的电机数学模型有所简化。 2. 还知, 直流电机的磁链关系为： F---励磁绕组 轴线---主磁通的方向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。 A---电枢绕组 轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。 由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交，因此电枢磁通对主磁通影响甚微。换言之，主磁通唯一地由励磁电流决定，由此建立的直流电机的数学模型十分简化。 如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得大大简单了。 电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。 关于旋转磁动势的认识： 1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是： 除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。 根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相绕组的作用。这就是ABC——αβ(3-2)变换的思路。 2)进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂直的绕组M，T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的，但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生αβ——dq(2-2)变换。 矢量变换控制的基本思想：通过数学上的坐标变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。
dq坐标变换分析
dq 坐标变换的理解 由于dq 变换有四种，而不同的书中写的dq 变换不一致，应用起来很麻烦。所以为了便于更好理解每一种用法，不至于使用中陷入混乱，特写此报告理清每一种dq 变换。 一、滞后无功dq 变换结构图 1.1、q 轴有功d 滞后无功 a b c 图1、 q 轴有功d 轴滞后无功（张兴的书） 其中矢量I 以电网基波频率ω逆时针方向旋转。 如图1可得下列公式： sin()cos() d m q m m i I i I I θγθγ?=-??=-??=?? cos cos(120) cos(120)a m o b m o c m i I i I i I γγγ=??=-??=+? 解上述两个方程可得：
0cos cos(120)cos(120)2sin sin(120)sin(120)3111222o o q a o o d b c i i i i i i θθθθθθ????-+??????????=-+???????????????? ???? 0sin cos 1sin(120)cos(120)1sin(120)cos(120)1a d o o b q o o c i i i i i i θθθθθθ????????????=--????????????++?????? 1.2、d 轴有功q 滞后无功 相对应的d 轴有功、q 轴滞后无功的换算方法，只需将以上公式的d 、q 对换即可。 二、超前无功dq 变换结构图 2.1、d 轴有功q 超前无功 a b c 图2、d 轴有功q 轴超前无功 如图1可得下列公式：
cos()sin() d m q m m i I i I I θγθγ?=-+??=-+??=?? cos cos(120) cos(120)a m o b m o c m i I i I i I γγγ=??=-??=+? 解上述两个方程可得： 0sin()sin(120)sin(120)2cos()cos(120)cos(120)3111222sin sin(120)sin(120)2cos cos(120)cos(120)31112 22o o q a o o d b c o o a o o b i i i i i i i i i θθθθθθθθθθθθ????--+--??????????=--+--???????????????? ???? ????----+??=-+????????c ?????????? 00cos()sin()1cos(120)sin(120)1cos(120)sin(120)1cos sin 1cos(120)sin(120)1cos(120)sin(120)1a d o o b q o o c d o o q o o i i i i i i i i i θθθθθθθθθθθθ--????????????=-+-+????????????----?????? -????????=---????????+-+???? 2.2、q 轴有功d 超前无功 相对应的q 轴有功、d 轴超前无功换算方式只需将上面的式子中d 、q 对换即可。 总结： 基本上与θ有余弦关系的就是有功轴。q 轴有功d 轴滞后无功（张兴的书）与matlab 中的原配算法是一模一样的。 以上式子中的t θω?=+，改变?的值即可改变dq 变换的起始角度。单锁相环输出即为d i 、 q i 、ω、θ，且此时θγ=（即d 轴与Im 轴重合）。双锁相可输出输出即为d i +、q i +、d i -、