黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
（2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3.00分）﹣的绝对值是（）
A．B．C．D．
2．（3.00分）下列运算一定正确的是（）
A．（m+n）2=m2+n2B．（mn）3=m3n3C．（m3）2=m5D．m?m2=m2
3．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
4．3.00分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）
A．B．C．D．
5．（3.00分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O 于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）
A．3B．3C．6D．9
6．（3.00分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位
长度，所得到的抛物线为（）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3
7．（3.00分）方程=的解为（）
A．x=﹣1B．x=0C．x=D．x=1
8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan ∠ABD=，则线段AB的长为（）
A．B．2C．5D．10
9．（3.00分）已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2
10．（3.00分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD
（ 上，GE ∥BD ，且交 AB 于点 E ，GF ∥AC ，且交 CD 于点 F ，则下列结论一定正确 的是（
）
A ． =
B ． =
C ． =
D ． =
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
11．
（3.00 分）将数 920000000 科学记数法表示为 ． 12．
（3.00 分）函数 y=中，自变量 x 的取值范围是 ．
13．
（3.00 分）把多项式 x 3﹣25x 分解因式的结果是 14．
（3.00 分）不等式组的解集为 ． 15．
（3.00 分）计算 6﹣10 的结果是 ．
16．
（3.00 分）抛物线 y=2（x +2）2+4 的顶点坐标为 ． 17．
（3.00 分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的 点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率 是
．
18．
（3.00 分）一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm ，则此扇形的面积是 cm 2．
19．
（3.00 分）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，点 D 在 BC 边上，连接 AD ， 若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为
．
20． 3.00 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，AB=OB ， 点 E 、点 F 分别是 OA 、OD 的中点，连接 EF ，∠CEF=45°，EM ⊥BC 于点 M ，EM 交 BD 于点 N ，FN=，则线段 BC 的长为
．
三、解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分)
21．
（7.00 分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中 a=4cos30°+3tan45°． 22．
（7.00 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点 均在小正方形的顶点上．
（ （1）在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD （不是正方形），且点 C 和点 D 均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 2 的等腰三角形 ABE ，点 E 在小正 方形的顶点上，连接 CE ，请直接写出线段 CE 的长．
23． 8.00 分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱 的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五 种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内 随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的 统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图；
（3）若军宁中学共有 960 名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？
24．
（8.00 分）已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 E ，且 AC ⊥ BD ，作 BF ⊥CD ，垂足为点 F ，BF 与 AC 交于点 C ，∠BGE=∠ADE ． （1）如图 1，求证：AD=CD ；
（2）如图 2，BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE ，DE=EG ，在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍．
25．
（10.00 分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买 A 型、 B 型两种型号的放大镜．若购买 8 个 A 型放大镜和 5 个 B 型放大镜需用 220 元； 若购买 4 个 A 型放大镜和 6 个 B 型放大镜需用 152 元． （1）求每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买 A 型放大镜和 B 型放大镜共 75 个，总费用不超过 1180 元，那么最多可以购买多少个 A 型放大镜？
26．
（10.00 分）已知：⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在上，连接 BE 、DE ， 点 F 在上连接 BF 、DF ，BF 与 DE 、DA 分别交于点 G 、点 H ，且 DA 平分∠EDF ．
（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接△BR，若BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．
27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．
2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3.00分）﹣的绝对值是（）
A．B．C．D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：||=，
故选：A．
2．（3.00分）下列运算一定正确的是（）
A．（m+n）2=m2+n2B．（mn）3=m3n3C．（m3）2=m5D．m?m2=m2
【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此选项错误；
B、（mn）3=m3n3，正确；
C、（m3）2=m6，故此选项错误；
D、m?m2=m3，故此选项错误；
故选：B．
3．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
（
C 、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；
D 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； 故选：C ．
4． 3.00 分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】俯视图有 3 列，从左到右正方形个数分别是 2，1，2． 【解答】解：俯视图从左到右分别是 2，1，2 个正方形． 故选：B ．
5．
（3.00 分）如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点 B ，∠P=30°，OB=3，则线段 BP 的长为（
）
A ．3
B ．3
C ．6
D ．9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长．
【解答】解：连接 OA ， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠OAP=90°， ∵∠P=30°，OB=3， ∴AO=3，则 OP=6， 故 BP=6﹣3=3． 故选：A ．
6．
（3.00 分）将抛物线 y=﹣5x 2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位 长度，所得到的抛物线为（
）
A ．y=﹣5（x +1）2
﹣1
B ．y=﹣5（x ﹣1）2﹣1
C ．y=﹣5（x +1）2
+3
D ． y=
2 ﹣5（x ﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线 y=﹣5x 2+1 向左平移 1 个单位长度，得到 y=﹣5（x +1） +
1， 再向下平移 2 个单位长度，
所得到的抛物线为：y=﹣5（x +1）2﹣1． 故选：A ．
7．（3.00 分）方程=的解为（ ）
A ．x=﹣1
B ．x=0
C ．x=
D ．x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检 验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x +3=4x ， 解得：x=1，
经检验 x=1 是分式方程的解， 故选：D ．
8．
（3.00 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，BD=8，tan ∠ABD=，则线段 AB 的长为（
）
A ．
B ．2
C ．5
D ．10
【分析】根据菱形的性质得出 AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ，求出 OB ，解直角三角 形求出 AO ，根据勾股定理求出 AB 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan ∠ABD==， ∴AO=3，
n 在 Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB===5， 故选：C ．
9．
（3.00 分）已知反比例函数 y=的图象经过点（1，1），则 k 的值为（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵反比例函数 y=的图象经过点（1，1）， ∴代入得：2k ﹣3=1×1， 解得：k=2， 故选：D ．
10．
（3.00 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD ，点 G 在线段 AD 上，GE ∥BD ，且交 AB 于点 E ，GF ∥AC ，且交 CD 于点 F ，则下列结论一定正确 的是（
）
A ． =
B ． =
C ． =
D ． =
【分析】由 GE ∥BD 、GF ∥AC 可得出△AEG ∽△ABD 、△DFG ∽△DCA ，根据相似 三角形的性质即可找出==，此题得解． 【解答】解：∵GE ∥BD ，GF ∥AC ， ∴△AEG ∽△ABD ，△DFG ∽△DCA ， ∴=， =， ∴==． 故选：D ．
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
11．
（3.00 分）将数 920000000 科学记数法表示为 9.2×108
．
【分析】科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a |＜10， 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n
是负数．
【解答】解：920000000用科学记数法表示为9.2×108，
故答案为；9.2×108
12．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠4．
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣4≠0，
解得，x≠4，
故答案为：x≠4．
13．（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是x（x+5）（x﹣5）【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣25x
=x（x2﹣25）
=x（x+5）（x﹣5）．
故答案为：x（x+5）（x﹣5）．
14．（3.00分）不等式组的解集为3≤x＜4．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：
∵解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为3≤x＜4，
故答案为；3≤x＜4．
15．（3.00分）计算6﹣10的结果是4．
【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=6﹣10×=6﹣2=4，
故答案为：4．
（ 16．
（3.00 分）抛物线 y=2（x +2）2+4 的顶点坐标为 （﹣2，4） ．
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：∵y=2（x +2）2+4， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4）， 故答案为：（﹣2，4）．
17．
（3.00 分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的 点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率 是
．
【分析】共有 6 种等可能的结果数，其中点数是 3 的倍数有 3 和 6，从而利用概 率公式可求出向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率．
【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是 3 的倍数的有 3，6， 故骰子向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率是： =． 故答案为：．
18． 3.00 分）一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm ，则此扇形的面积是
6π
cm 2．
【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：设扇形的半径为 Rcm ， ∵扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm ， ∴=3π， 解得：R=4，
所以此扇形的面积为=6π（cm 2）， 故答案为：6π．
19．
（3.00 分）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，点 D 在 BC 边上，连接 AD ， 若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为 130°或 90° ．
【分析】根据题意可以求得∠B 和∠C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即 可求得∠ADC 的度数．
（ 【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=40°，
∵点 D 在 BC 边上，△ABD 为直角三角形， ∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°， ∴∠ADC=130°， 当∠ADB=90°时，则 ∠ADC=90°，
故答案为：130°或 90°．
20． 3.00 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，AB=OB ， 点 E 、点 F 分别是 OA 、OD 的中点，连接 EF ，∠CEF=45°，EM ⊥BC 于点 M ，EM 交 BD 于点 N ，FN=，则线段 BC 的长为 4 ．
【分析】设 EF=x ，根据三角形的中位线定理表示 AD=2x ，AD ∥EF ，可得∠CAD= ∠CEF=45°，证明△EMC 是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF ≌△MNB ， 则 EN=MN=x ，BN=FN=，最后利用勾股定理计算 x 的值，可得 BC 的长． 【解答】解：设 EF=x ，
∵点 E 、点 F 分别是 OA 、OD 的中点， ∴EF 是△OAD 的中位线， ∴AD=2x ，AD ∥EF ， ∴∠CAD=∠CEF=45°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC=2x ， ∴∠ACB=∠CAD=45°， ∵EM ⊥BC ， ∴∠EMC=90°，
∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴∠CEM=45°， 连接 BE ，
∵AB=OB，AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°，
∴BM=EM=MC=x，
∴BM=FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN=MN=x，BN=FN=，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，
∴，
x=2或﹣2（舍），
∴BC=2x=4．
故答案为：4．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)
21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a=4cos30°+3tan45°时，
所以a=2+3
原式=?
=
=
22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D 均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正
（ （ （ 方形的顶点上，连接 CE ，请直接写出线段 CE 的长．
【分析】 1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）利用数形结合的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）如图所示，矩形 ABCD 即为所求；
（2）如图△ABE 即为所求，CE=4．
23． 8.00 分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱 的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五 种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内 随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的 统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图；
（3）若军宁中学共有 960 名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？
【分析】 1）由“诗词”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去其他种类的人数求得“书法”的人数即可补全条形图； （3）用总人数乘以样本中“国画”人数所占比例．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为 24÷20%=120 人；
（2）“书法”类人数为 120﹣（24+40+16+8）=32 人， 补全图形如下：
（3）估计该中学最喜爱国画的学生有 960×=320 人．
ADC =2a =2S △ADE ，证△ADE ≌△BGE 得 BE=AE=2a ，再分别求出 S △ABE 、S △ACE 、S △BHG ，
（ 24．
（8.00 分）已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 E ，且 AC ⊥ BD ，作 BF ⊥CD ，垂足为点 F ，BF 与 AC 交于点 C ，∠BGE=∠ADE ． （1）如图 1，求证：AD=CD ；
（2）如图 2，BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE ，DE=EG ，在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍．
【分析】 1）由 AC ⊥BD 、BF ⊥CD 知∠ADE +∠DAE=∠CGF +∠GCF ，根据∠BGE= ∠ADE=∠CGF 得出∠DAE=∠GCF 即可得；
（2）设 DE=a ，先得出 AE=2DE=2a 、EG=DE=a 、AH=HE=a 、CE=AE=2a ，据此知 S △
2
从而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE ，∠BGE=∠CGF ， ∴∠ADE=∠CGF ， ∵AC ⊥BD 、BF ⊥CD ，
∴∠ADE +∠DAE=∠CGF +∠GCF ， ∴∠DAE=∠GCF ， ∴AD=CD ；
（2）设 DE=a ，
则 AE=2DE=2a ，EG=DE=a ， ∴S △ADE =AE?DE=?2a?a=a 2， ∵BH 是△ABE 的中线， ∴AH=HE=a ， ∵AD=CD 、AC ⊥BD ， ∴CE=AE=2a ，
则 S △ADC =AC?DE=?（2a +2a ）?a=2a 2=2S △ADE ； 在△ADE 和△BGE 中， ∵，
（ （y ∴△ADE ≌△BGE （ASA ）， ∴BE=AE=2a ，
∴S △ABE =AE?BE=?（2a ）?2a=2a 2，
S △ACE =CE?BE=?（2a ）?2a=2a 2， S △BHG =HG?BE=?（a +a ）?2a=2a 2
，
综上，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD 、△ABE 、△BCE 、△BHG ．
25．
（10.00 分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买 A 型、 B 型两种型号的放大镜．若购买 8 个 A 型放大镜和 5 个 B 型放大镜需用 220 元； 若购买 4 个 A 型放大镜和 6 个 B 型放大镜需用 152 元． （1）求每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买 A 型放大镜和 B 型放大镜共 75 个，总费用不超过 1180 元，那么最多可以购买多少个 A 型放大镜？
【分析】 1）设每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜分别为 x 元，y 元，列出方程 组即可解决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
【解答】解： 1）设每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜分别为 x 元， 元，可得：， 解得：，
答：每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜分别为 20 元，12 元；
（2）设购买 A 型放大镜 m 个，根据题意可得：20a +12×（75﹣a ）≤1180， 解得：x ≤35，
答：最多可以购买 35 个 A 型放大镜．
26．
（10.00 分）已知：⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在上，连接 BE 、DE ， 点 F 在上连接 BF 、DF ，BF 与 DE 、DA 分别交于点 G 、点 H ，且 DA 平分∠EDF ． （1）如图 1，求证：∠CBE=∠DHG ；
（2）如图 2，在线段 AH 上取一点 N （点 N 不与点 A 、点 H 重合），连接 BN 交 DE 于点 L ，过点 H 作 HK ∥BN 交 DE 于点 K ，过点 E 作 EP ⊥BN ，垂足为点 P ，当 BP=HF 时，求证：BE=HK ；
（ （ （3）如图 3，在（2）的条件下，当 3HF=2DF 时，延长 EP 交⊙O 于点 R ，连接 △BR ，若 BER 的面积与△DHK 的面积的差为，求线段 BR 的长．
【分析】 1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对 的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；
（2）如图 2，过 H 作 HM ⊥KD ，垂足为点 △M ，根据题意确定出 BEP ≌△HKM ， 利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）根据 3HF=2DF ，设出 HF=2a ，DF=3a ，由角平分线定义得到一对角相等，进 而得到正切值相等，表示出 DM=3a ，利用正方形的性质得到△BED ≌△DFB ，得 到 BE=DF=3a ，过 H 作 HS ⊥BD ，垂足为 S ，根据△BER 的面积与△DHK 的面积的 差为，求出 a 的值，即可确定出 BR 的长． 【解答】 1）证明：如图 1， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵∠F=∠A=90°， ∴∠F=∠ABC ， ∵DA 平分∠EDF ， ∴∠ADE=∠ADF ， ∵∠ABE=∠ADE ， ∴∠ABE=∠ADF ，
∵∠CBE=∠ABC +∠ABE ，∠DHG=∠F +∠ADF ， ∴∠CBE=∠DHG ；
（2）如图 2，过 H 作 HM ⊥KD ，垂足为点 M ， ∵∠F=90°， ∴HF ⊥FD ， ∵DA 平分∠EDF ， ∴HM=FH ， ∵FH=BP ， ∴HN=BP ，
∵KH∥BN，
∴∠DKH=∠DLN，
∴∠ELP=∠DLN，
∴∠DKH=∠ELP，
∵∠BED=∠A=90°，
∴∠BEP+∠LEP=90°，
∵EP⊥BN，
∴∠BPE=∠EPL=90°，
∴∠LEP+∠ELP=90°，
∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，
∵HM⊥KD，
∴∠KMH=∠BPE=90°，
∴△BEP≌△HKM，
∴BE=HK；
（3）解：如图3，连接BD，
∵3HF=2DF，BP=FH，
∴设HF=2a，DF=3a，
∴BP=FH=2a，
由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴tan∠HDM=tan∠FDH，
∴==，
∴DM=3a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE，∴∠DBF=∠BDE，
∵∠BED=∠F，BD=BD，
∴△BED≌△DFB，
∴BE=FD=3a，
过H作HS⊥BD，垂足为S，
∵tan∠ABH=tan∠ADE==，
∴设AB=3m，AH=2m，
∴BD=AB=6m，DH=AD﹣AH=m，
∵sin∠ADB==，
∴HS=m，
∴DS==m，
∴BS=BD﹣DS=5m，
∴tan∠BDE=tan∠DBF==，
∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE==，
∵BP=FH=2a，
∴RP=10a，
在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，∴△BET≌△HKD，
∴∠BTE=∠KDH，
∴tan∠BTE=tan∠KDH，
∴=，即PT=3a，
∴TR=RP﹣PT=7a，
∵S△BER﹣S△DHK=，
∴BP?ER﹣HM?DK=，
∴BP?（ER﹣DK）=BP?（ER﹣ET）=，
∴×2a×7a=，
解得：a=（负值舍去），
∴BP=1，PR=5，
则BR==．
（ 27．
（10.00 分）已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的 负半轴上，直线 y=﹣x +与 x 轴、y 轴分别交于 B 、C 两点，四边形 ABCD 为菱形． （1）如图 1，求点 A 的坐标；
（2）如图 2，连接 AC ，点 P 为△ACD 内一点，连接 AP 、BP ，BP 与 AC 交于点 G ， 且∠APB=60°，点 E 在线段 AP 上，点 F 在线段 BP 上，且 BF=AE ，连接 AF 、EF ， 若∠AFE=30°，求 AF 2+EF 2 的值；
（3）如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，求点 P 的坐标．
【分析】 1）利用勾股定理求出 BC 的长即可解决问题；
（2）如图 2 中，连接 CE 、CF ．想办法证明△CEF 是等边三角形，AF ⊥CF 即可解 决问题；
（3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H ，作 PQ ⊥AB 于 Q ，PK ⊥OC 于 K ， 在 BP 设截取 BT=PA ，连接 AT 、CT 、CF 、PC ．想办法证明△APF 是等边三角形， AT ⊥PB 即可解决问题； 【解答】解：（1）如图 1 中，
∵y=﹣x +，
∴B （，0），C （0，）， ∴BO=，OC=，
在 Rt △OBC 中，BC==7， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=7，
∴OA=AB ﹣OB=7﹣=， ∴A （﹣，0）．
（2）如图 2 中，连接 CE 、CF ．
∵OA=OB ，CO ⊥AB ， ∴AC=BC=7，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠APB=60°，
∴∠APB=∠ACB，
∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，
∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=60°，EF=FC，
∵∠AFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，
在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，
∴AF2+EF2=49．
（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．
∵△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，EC=CF，
∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，
∴∠H=∠CEF﹣∠EFH=30°，
∴∠H=∠EFH，
∴EH=EF，
∴EC=EH，
∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，
∴△CPE≌△HAE，