二次函数压轴题一题多问
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)
求此函数的关系式;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)求四边形ABCD的面积.
(4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长。
(5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN的长度最大? 最大是多少?
(6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?最大面积是多少?(7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少?
(8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。求出点E的坐标;若不存在,说明理由。(9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。
(10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理
由。
(11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。
(12) 在抛物线上是否存在一点Q ,使S △AOQ =S △COQ , 若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。
(13) 在抛物线上是否存在一点E ,使BE 平分△ABC 的面积, 若存在,求出点E 的坐标;若不存在,说明理由。
(14)在抛物线上找一点F ,做FM ⊥X 轴,交AC 与点H ,使AC 平分△AFM 的面积?
(15)在对称轴上有一点K ,在抛物线上有一点L ,若使A,B,K,L 为顶点形成平行四边形,求出K,L 点的坐标。
(16)作垂直于x 轴的直线x=-1,交直线AC 于点M,交抛物线于点N ,以A,M,N,E 为顶点作平行四边形,求第四个顶点E 的坐标。
(17)在抛物线上能不能找到一点P ,使∠POC=∠PCO ?若能,请求出点P 的坐标;若不能,请说明理由.
(18)在线段AC 上是否存在点M ,使△AOM 与△ABC 相似?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
(19)点P 是抛物线上一个动点,作PH ⊥x 轴于H ,是否存在点P ,使得△PAH 与△OBC 相似?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
(20)若点P 从点A 出发向B 运动,同时点Q 从点O 出发向C 运动,当一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动的时
间为t
秒,△
OPQ
的面积为
S
,求
S
与t 的函数关系式,并求出S 的最大值.
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤: 1、基本思路:理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性; 2、基本步骤:审题→建模(建立二次函数模型)→解模(求解)→回答(用生活语言回答,即问什么答什么)。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题
解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点:①设未知数在“当某某为何值时,什么最大(最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;②问的求解依靠配方法或最值公
式而不是解方程。 (1)利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量,设未知数时,总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况:①自变量x是所涨价多少或降价多少;②自变量x是最终销售价格。 例:商场销售M型服装时,标价75元/件,按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动,每件在8折的基础上再降价x元,已知每天销售数量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 (2)利用二次函数解决面积最值 例:已知正方形ABCD边长为8,E、F、P分别是AB、CD、AD上的点(不与正方形顶点重合),且PE⊥PF,PE=PF 问当AE为多长时,五边形EBCFP面积最小,最小面积多少 2、用二次函数解抛物线形问题
巧记实际问题要解决,正确建模是关键;根据题意的函数,提取配方定顶点; 抛物线有对称轴,增减特性可看图;线轴交点是顶点,顶点 纵标最值出。 练习 1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面,装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售
又∵y=x 2-x+m=[x 2-x+(12)2]- 14+m=(x -12)2+414 m - ∴对称轴是直线x=12,顶点坐标为(12,41 4 m -). (2)∵顶点在x 轴上方, ∴顶点的纵坐标大于0,即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时,顶点在x 轴上方. (3)令x=0,则y=m . 即抛物线y=x 2-x+m 与y 轴交点的坐标是A (0,m ). ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m . 当x 2-x+m=m 时,解得x 1=0,x 2=1. ∴A (0,m ),B (1,m ) 在Rt △BAO 中,AB=1,OA=│m │. ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4. ∴ 1 2 │m │·1=4,∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2-x+8或y=x 2-x -8. 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ,b ,c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处. 例2 已知:m ,n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根,且m 为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积; (3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标. 【分析】(1)解方程求出m,n的值.用待定系数法求出b,c的值. (2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出△DMC,梯形BDBO,△BOC的面积,用割补法可求出△BCD的面积. (3)PH与BC的交点设为E点,则点E有两种可能:①EH=3 2EP,②EH=2 3 EP. 【解答】(1)解方程x2-6x+5=0, 得x1=5,x2=1. 由m 第二章二次函数 第一节二次函数概念以及表示方法 想一想:并把结果写在下面相应的横线上 1、正方形边长用x表示,面积用y表示,如何用x表示y? 2、圆半径用x表示,面积用y表示,如何用x表示y? 3、圆半径为1,若半径再增加x,那么增加的面积用y表示,如何用x 表示y? 4、一个数平方的2倍,再加这个数,再减少1得到另一个数,若第一个 数用x表示,得到的这个数用y表示,如何用x表示y? (1) (2) (3) (4) 5、果园有橙子树100棵时每棵树平均能结橙子600个,若多种一棵,导 致平均每棵树少结5个橙子。 (1)问题中变量有那些。 (2)设增种了x棵树,则总共有棵树,导致每棵少结个橙子,那么平均每棵结橙子个 (3)设总产量为y,则x和y的关系式表示为 (4)列表计算 总结: 二次函数概念: 一般地,若对于两个变量x和y,y可以用x表示成c bx ax y+ + =2的形式(c b a, ,是常数,且0 ≠ a),我们把y叫做x的二次函数。 二次函数特征: (1)x的最高次数 (2)二次项为,二次项的系数为 (3)看分母,它是一个方程 自己写几个二次函数: (1)(2) (3)(4) 设银行年利率为x,若存款额为100元,两年后本息合计为y 元,则如何用x表示y?(注第一年利息计入下年本金) 随堂练习: 【例1】 函数y=(m +2)x 2 2-m +2x -1是二次函数,则m= . 【例2】 下列函数中是二次函数的有( ) ①y=x +x 1;②y=3(x -1)2+2;③y=(x +3)2-2x2;④y=2 1 x +x . A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【例3】正方形的边长是5,若边长增加x ,面积增加y ,求y 与x 之间的函数表达式. 1、 已知正方形的周长为20,若其边长增加x ,面积增加y ,求y 与x 之间的表达式. 2、 已知正方形的周长是x ,面积为y ,求y 与x 之间的函数表达式. 3、已知正方形的边长为x ,若边长增加5,求面积y 与x 的函数表达式. 【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存,到期支取时,银行将扣除利息的20%作为利息税.请你写出两年后支付时的本息和y (元)与年利率x 的函数表达式. 【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x ,请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式. 【例6】如图2-1-1,正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点,QP ⊥AP 交DC 于Q ,如果BP=x ,△ADQ 的面积为y ,用含x 的代数式表示y . 【例6】如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答有关问题: (1)在第n 个图中,第一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖(均用含n 的代数式表示); (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ,请写出y 与(1)中的n 的函数表达式(不要求写出自变量n 的取值范围); (3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n 的值; (4)若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(3)中,共需花多少元购买瓷砖? (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形?请通过计算说明为什么? 课后练习: 1.已知函数y=ax 2+bx +c (其中a ,b ,c 是常数),当a 时,是二次函数;当a ,b 时,是一次函数;当a ,b ,c 时,是正比例函数. 2.当m 时,y=(m -2)x 2 2-m 是二次函数. 3.已知菱形的一条对角线长为a ,另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系. 4.已知:一等腰直角三角形的面积为S ,请写出S 与其斜边长a 的关系表达式,并分别求出a=1,a=2,a=2时三角形的面积. 5.在物理学内容中,如果某一物体质量为m ,它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2 1mv 2 (m 为定值). (1)若物体质量为1,填表表示物体在v 取下列值时,E 的取值: (2 6.下列不是二次函数的是( ) A .y=3x 2 +4 B .y=-3 1x 2 C .y=52-x D .y=(x +1)(x -2) 7.函数y=(m -n )x 2+mx +n 是二次函数的条件是( ) A .m 、n 为常数,且m ≠0 B .m 、n 为常数,且m ≠n C .m 、n 为常数,且n ≠0 D .m 、n 可以为任何常数 8.半径为3的圆,如果半径增加2x ,则面积S 与x 之间的函数表达式为( ) A .S=2π(x +3)2 B .S=9π+x C .S=4πx 2+12x +9 D .S=4πx 2+12x +9π 9.下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)模型的是( ) A .在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B .我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C .竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D .圆的周长与圆的半径之间的关系. 10.下列函数中,二次函数是( ) A .y=6x 2 +1 B .y=6x +1 C .y=x 6+1 D .y=26 x +1 11.如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为 30米的铁栅栏.(1)求梯形的面积y 与高x 的表达式;(2)求x 的取值范围. 12.在生活中,我们知道,当导线有电流通过时,就会发热,它们满足这样一个表达式:若导线电阻为R ,通过的电流强度为I ,则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2.若某段导线电阻为0.5欧姆,通过的电流为5安培,则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= . 13.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每提高1元,其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x 元,每天所赚利润为y 元,请你写出y 与x 之间的函数表达式? 14.某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆,若正方体的棱长为a (m ),则正方体需要涂漆的表面积S (m 2)如何表示? 15.⑴已知:如图菱形ABCD 中,∠A=60°,边长为a ,求其面积S 与边长a 的函数表达式. ⑵菱形ABCD ,若两对角线长a :b=1:3,请你用含a 的代数式表示其面积S . ⑶菱形ABCD ,∠A=60°,对角线BD=a ,求其面积S 与a 的函数表达式. 16.如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm ,BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动, 同时, 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动,设运动开始后第t 秒钟时,五边形APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式,并指出自变量t 的取值范围. 17.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8.点D 在斜边AB 上,分别作 DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,得四边形DECF .设DE=x ,DF=y . (1)AE 用含y 的代数式表示为:AE= ; (2)求y 与x 之间的函数表达式,并求出x 的取值范围; (3)设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式. 个性化辅导教育 新启点教育学科辅导讲义 年级:姓名:辅导科目: 授课内容 教学内容 个性化辅导教育 二次函数应用题分类 二次函数是初中学段的难点,学生学起来觉的比较的吃力,可以把应用问题进行分类: 第一类、利用待定系数法 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系,并且给出几对变量值,要求求出函数关系式,并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法,准确求出函数关系式。 例1. 某公司生产的A 种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验,每年投入的广告费是x (十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y 倍,且y 是x 的二次函数,它们的关系如下表: x (十万元) 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … (1)求y 与x 的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S (十万元)与广告费x (十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10—30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大? 二、分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系,要求在分析的基础上直接写出函数关系式,并进行应用。解答的关键是认真分析题意,正确写出数量关系式。 例2. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。市场调查发现:单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克。在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。设销售单价为x 元,日均获利为y 元。 (1)求y 关于x 的二次函数关系式,并注明x 的取值范围; (2)将(1)中所求出的二次函数配方成的形 式,写出顶点坐标;在图2所示的坐标系中画出草图;观察图象,指出单价 定为多少元时日均获得最多,是多少? a 4 b a c 4)a 2b x (a y 2 2-+ += 二次函数最值问题 一.选择题(共8小题) 1.如果多项式P=a2+4a+2014,则P的最小值是() A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 2.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3,那么m的值等于()A.10 B.4 C.5 D.6 3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为(2,﹣3),则此函数有() A.最小值2 B.最小值﹣3 C.最大值2 D.最大值﹣3 4.设x≥0,y≥0,2x+y=6,则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是()A.B.18 C.20 D.不存在 5.二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125 B.4 C.2 D.0 6.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为() A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 7.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为() A.B.2 C.D. 8.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连结DC,DB,则△BCD的面积的最大值是() A.7 B.7.5 C.8 D.9 二.填空题(共2小题) 9.已知二次函数y=2(x+1)2+1,﹣2≤x≤1,则函数y的最小值是,最大值是. 10.如图,在直角坐标系中,点A(0,a2﹣a)和点B(0,﹣3a﹣5)在y轴上, =6.当线段OM最长时,点M的坐标为. 点M在x轴负半轴上,S △ABM 三.解答题(共3小题) 11.在平面直角坐标系中,O为原点,直线l:x=1,点A(2,0),点E,点F,点M都在直线l上,且点E和点F关于点M对称,直线EA与直线OF交于点P.(Ⅰ)若点M的坐标为(1,﹣1), ①当点F的坐标为(1,1)时,如图,求点P的坐标; ②当点F为直线l上的动点时,记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.(Ⅱ)若点M(1,m),点F(1,t),其中t≠0,过点P作PQ⊥l于点Q,当OQ=PQ时,试用含t的式子表示m. 二次函数的应用 一、顶点坐标公式的应用(基本题型) 1、某超市销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱50 元销售,平均每天可销售90 箱,价格每降低1 元,平均每天多销售3 箱;价格每升高1 元,平均每天少销售3 箱. (1)写出平均每天的销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式(注明自变量x 的取值范围); (2)求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润 b 24a c b 2 =售价-进价);(3)请把(2)中所求出的二次函数配方成y a(x )2的形式,并指出当x=40、70 时, 2a 4a W 的值.(4)在坐标系中画出(2)中二次函数的图象,请你观察图象说明:当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润为多少? 练习:2、我市有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30 元/千克收购了这种野生菌1000 千克存 放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310 元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160 天,同时,平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售. (1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元? (利润=销售总额-收购成本-各种费用) 练习3、汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价为25 万元,市场调研表明:当销售价为29 万元时,平均每周能售 出8 辆,而当销售价每降低0.5 万元时,平均每周能多售出4 辆.如果设每.辆.汽车降价x 万元,每辆汽车的销售.利.润.为y 万元.(销售利润销售价进货价) (1)求y 与x的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;(3 分) (2)假设这种汽车平均每周..的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式;(3分) (3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?( 4 分) 练习4、某集团将下设的内部小型车场改为对外开放的收费停车场。试运营发现:每辆次小车的停车费不超过 5 元时,每天来此处停放的小车为1440 辆次,超过 5 元时,每涨 1 元,每天来此处停放的小车就减少120 辆次,而此停车场每天需固定支出的费用(设施维修费、车辆管理人员工资等)为800 元。为便天结算,规定每辆次小车的停车费x(元)只取整数,用y (元)表示此停车场的日净收入,且要求日净收不低于2512 元。(日净收入=每天共收取的停车费-每天的固定支出) (1)当x≤5时,写出y 与x 之间的关系式。并说明每辆次小车的停车费最少不低于多少元;(2)当x>5时,写出y 与x 之间的函数关系式(不必写出x 的取值范围); (3)该集团要求此停车场既要吸引客户,使每天小车停放的辆次校多,又要有较大的日净收入。按此要求,每辆次小车的停 中考数学二次函数压轴题第2问基本题型 在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A (-3,0),B (1,0)两点,与y 轴交于点C . (1)求这个二次函数的关系解析式; 长度型:(2)点M 为直线AC 上方抛物线上一动点,过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 当点M 的坐标为多少时,线段MN 有最大值,并求出其最大值; (3)点M 为直线AC 上方抛物线上一动点,过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 作ME ⊥AC 于点E ,当点M 的坐标为多少时,△MEN 的周长有最大值,并求出其最大值; 面积型:(4)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;(铅垂法) 变式:点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,使△ACP 的面积为整数的点P 有几个,并说明理由; (5)点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点,是否存在点Q ,使10ACQ S =?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在, 说明理由;(铅垂法) (6)点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点,是否存在点Q ,使32ACQ ACO S S =?若存在,求出点Q 的坐标;若不 存在,说明理由;(转化法) 变式:抛物线上是否存在点P ,使OPC OPA S S =,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由;(同侧作平行, 异侧过中点) 特殊三角形存在性:(7)在平面直角坐标系中,是否存在点Q ,使△BCQ 是等腰直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;(等腰直角三角形:弦图) (8)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使△BCQ 是等腰三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由; (等腰三角形:两圆一线) (9)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ACQ 为直角三角形;若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由; (直角三角形:两线一圆) 几何最值型:(10)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△BCQ 的周长最小;若存在,求出点Q 的坐标与周长最小 值;若不存在,说明理由;(线段和最小与差最大:大同小异) (12)若D 为OC 的中点,P 是抛物线对称轴上一动点,Q 是x 轴上一动点,当P 、Q 两点的坐标为多少时四边形CPQD 的周长最小?并直接写出四边形CPQD 周长的最小值; D D P Q 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示, 则a 、b 、c ,?,c b a ++,c b a +-的符号 为 , 例4 (镇江2001中考题)老师给出一个函数y=f (x ),甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x <2时,y 随x 的增大而减小。丁:当x <2时,y >0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 (荆州2001)已知二次函数y=x 2+bx +c 的图像过点A (c ,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式可能是 (只要写出一个可能的解析式) 例6 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax 2+bx +c 的图像的顶点可能在( ) (A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (C )第一或第四象限 (D )第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内,则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是( ) 例8 在同一坐标系中,直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知:函数c bx ax y ++=2的图象如图:那么函数解析式为((A )322++-=x x y (B )322--=x x y (C )322+--=x x y (D )322---=x x y 《23.1二次函数》教学设计 主备人:余河初中徐斌(九年级数学) 参备人:刘进华刘华丽徐观群朱德鹏周宜昌徐观兵朱礼义 一、教学目标 1、知识与技能:掌握二次函数的概念;能够表示简单的变量之间的二次函数关系;知道实际问题中存在的二次函数关系中,对自变量的取值范围的要求。 2、过程与方法:经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验,体会从特殊到一般的数学思想和函数思想。 3、情感、态度和价值观:经历尝试、猜测以及动手验证等过程,发展合作交流意识,以及数学应用能力。 二、内容分析 本节从实际问题入手,结合学生已有的知识经验观察、归纳出二次函数的概念,以及一般表达式,学生会在探知过程中体会函数思想。 1、教学重点:二次函数的概念。 2、教学难点:具体地分析、确定实际问题中函数关系式。 三、教学方法:启发、探究、合作交流。 四、教学互动过程设计 (一)创设情景,导入新课 我们已学习了正比例函数及一次函数,现在来看看下面几个例子: 问题1.写出圆的半径是R(CM),它的面积S(CM2)与R 的关系式 答:S=πR2.(1) 问题2 某水产养殖湖用长40m的围栏,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗。要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米? 分析设围成的矩形水面的长是x米,那么水面的宽为(20-x)米,它的面积S平方米,则 S=X (20-X)(2) 问题3 一种商品售价为每件10元,一周可卖50件。市场调查表明:这种商品如果每件涨价1元,每周要卖5件。已知该商品进价每件为8元,问每件商品涨价多少,才能使每周得到的利润最多? 分析设每件商品涨价X元,每周获得的利润为Y元,那么 Y=(10+X)(50-5X)-8(50-5X)(3) 问题4.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地,矩形面积S (M2)与矩形一边长L(M)之间的关系 答:S=L(30-L)=30L-L2(4) 分析:(1)(2)(3)(4)四个关系式中S和R ,S 和X,Y和X之间是否存在函数关系? 它们是否是一次函数? 他们不是一次函数,那么他们是什么函数呢?这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢? 答:二次函数。 这一节课我们将研究二次函数的有关知识。(板书课题)(二). 归纳抽象、形成概念 一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0), 二次函数经典应用题“8”道 1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少? 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台. (1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少? 3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米. (1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值. 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y (元)与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+,去年的月销售量p (万台)与月份x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表: 月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 (1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少? (2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m 的值(保留一位小数). 5.8315.916 6.0836.164) 5、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y k x b =+,且65x =时, 55y =;75x =时,45y =. (1)求一次函数y k x b =+的表达式; (2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范围. 二次函数压轴题一题多问 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D. (1)求此函数的关系式; (2)判断△ACD的形状,并说明理由; (3)求四边形ABCD的面积. (4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长 (5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN 的长度最大? 最大是多少? (6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?最大面积是多少? (7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少? (8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。 (10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由。 (11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。 (13) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分△AFM的面积? (15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。 (16)作垂直于x轴的直线x=-1,交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形,求第四个顶点E的坐标。 (17)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函 数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 22.1二次函数(第1课)教学反思 本节课教学了《二次函数》的第一课时。课堂上学生活跃的思维、积极的发言、大家争抢着回答问题说明学生的学习是有效的。从中,我感到了教学的魅力,更感到这样的魅力是需要教师尽心准备、创造的。 设计意图: 这节课是在学生学习了一次函数、一元二次方程之后的二次函数的第一节课。从课本的体系来看,这节课的知识目标,学生在原有知识的储备基础上是很容易迁移和接受的。那么这节课还有什么好设计的呢?……重新思索教材的编写意图,发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题,由此引出了二次函数,我意识到这节课的教学重点是“让学生经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验,从而形成定义”,有了这个认识,一切就变得简单了! 设计流程: 整节课的教学流程概括如下:回顾函数的定义——复习学过的所有函数形式——设问:有没有新的函数形式呢?——给出生活中几幅抛物线形状的图片——探索新的问题——从实际问题中形成关系式——是函数吗?——是学过的函数吗?——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——练习巩固定义特点——给出二次函数的一般形式——练习巩固一般形式——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提 出新的问题,深入讨论——课堂的小结。 这样一气呵成的设计,感觉上无拖沓生硬之处,最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律,让学生亲自经历探索和概括的过程,从而形成新知识。 设计说明: 1、对于实际问题的选择,我将3个问题整合于同一个实际背景下,这样设计既能引起学生兴趣,也尽量减少学生审题的时间,显得很有层次性,这些实际问题贯穿整个课堂的始终,使整个课堂有浑然天成的感觉。 2、对于练习的设计,尽量做到每题针对一个问题,并进行及时小结,也遵循了从开放到封闭的原则,达到了良好的效果。 3、最后讨论题的设计和提出,我设计了一个探索性的问题:横看成岭侧成峰,远近高低各不同——变换角度分析问题 若函数y=x 2m+n - 2x m-n +3是以x为自变量的二次函数,求m、n的 值。 这个问题是整节课的一个高潮和精华,对学生的解答,不论对错,不论全面还是有所偏颇,我都给予肯定。事实证明:只要教师给了足够的空间,学生总能从各方面进行思考和解释。 教后心得: 学生普遍对二次函数的概念能够较好地掌握,但对最后的讨论题,由于缺乏实践经验和知识的抽象,少数学生的思维无法独立产生飞跃,这也在情理之中。这样的教学,学生就犹如享受知识的大餐――自助 1 二次函数经典应用题 1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少? 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台. (1)假设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少? 3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的 墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如 图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米.矩形ABCD 的 面积为S 平方米. (1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围). (2)当x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值. (参考公式:二次函数2 y ax bx c =++(0a ≠),当2b x a =-时,2 44ac b y a -=最大(小)值) 2 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y (元)与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+,去年的月销售量p (万台)与月份x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表: 月份 1月5月销售量 3.9万台 4.3万台 (1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少? (2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m 的值(保留一位小数). 5.831≈ 5.916 6.083 6.164) 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)求此函数的关系式; (2)判断△ACD的形状,并说明理由; (3)求四边形ABCD的面积. (4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐 标及△BPC的周长。 (5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN的长度最大? 最大是多少? (6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?最大面积是多少? (7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积 最大,且最大面积是多少? (8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。 (10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出 点N的坐标;若不存在,说明理由。 (11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。 (13) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在, 求出点E的坐标;若不存在,说明理由。 (14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分 △AFM的面积? (15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。 二次函数 【课题】二次函数【课型】一对一 ______ 分校___年级讲师:__ 授课时间:____年___月___ 日 【教学目标】 1掌握二次函数的概念及求表达式 1.掌握二次函数的图像和性质 3.掌握二次函数的综合运用 【考纲要求】 1.图像与系数的关系 2.掌握二次函数综合运用 【知识点击一】 一、二次函数的概念 、、形如c + =2(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,其中x,是自变量,a b c bx ax y+ 分别是函数表达式的二次项系数,一次项系数和常数项。 【典型例题一】 1.下列函数是二次函数的是() A.y=3x+1 B.y=ax2+bx+c C.y=x2+3 D.y=(x﹣1)2﹣x2 2.已知二次函数y=1﹣3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=﹣3,c=5 B.a=1,b=3,c=5 C.a=5,b=3,c=1 D.a=5,b=﹣3,c=1 3.(2015秋?重庆校级期中)是二次函数,则m的值为() A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 【对点演练一】 1.下列函数属于二次函数的是() A.y=﹣4x B.C.y=﹣x2﹣x D.y=﹣x﹣1 2.(2015?甘孜州)二次函数y=x2+4x﹣5的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()() A.a=1,b=﹣4,c=5 B.a=1,b=4,c=-5 C.a=0,b=4,c=5 D.a=0,b=4,c=-5 3.(2014秋?河东区校级期中)若y=(m2+3m+2)为二次函数,则m的值为() A.﹣2 或1 B.﹣2 C.﹣1 D.1九下 第二章 二次函数第一节 教学设计 (于海峰)
二次函数典型应用题
二次函数最值问题(含答案)
二次函数的应用题总结
中考数学二次函数压轴题第2问基本题型
二次函数典型例题解析
二次函数第一节教学设计
二次函数经典应用题八道
二次函数压轴题一题多问
二次函数经典测试题及答案解析
22.1二次函数(第1课)教学反思.1二次函数(第1课)教学反思
二次函数经典应用题“8”道
二次函数一题多问)
二次函数新课讲义第一节