构造函数法证明导数不等式的八种方法Word版
构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F
(完整版)函数与导数专题(含高考试题)
函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
考点一：导数几何意义： 角度一 求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ?? ?? π4，f ′(x )是f (x ) 的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0 C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0 解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝ f ′? ?? ??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 角度二 求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1，－1) C ．(1,3) D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3 x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值 3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )
利用导数解决不等式恒成立中的参数问题学案
利用导数解决不等式恒成立中的参数问题 一、单参数放在不等式上型： 【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数()x x f x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：令()()g x f x ax =-，则()()x x g x f x a e e a -''=-=+-， （1）若2a ≤，当0x >时，()20x x g x e e a a -'=+->-≥，故()g x 在(0,)+∞上为增函数， ∴0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥． （2）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x = 此时，若1(0,)x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数． ∴1(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(,2]-∞． 说明：上述方法是不等式放缩法． 【针对练习1】（10课标理）设函数2 ()1x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围． 解： 【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（1）2()663f x x ax b '=++， ∵函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=? ，解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,3)x ∈时，()0f x '>． ∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． ∵对于任意的[0,3]x ∈，有2()f x c <恒成立，∴298c c +<，解得1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-+∞． 最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值． 【针对练习2】（07重庆理）已知函数44 ()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中 a 、b 、c 为常数． （1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间； （3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围．
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．
法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.
函数与导数专题复习
函数与导数专题复习 类型一 导数的定义 运算及几何意义 例1：已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(' +=，则=)1('f （ ） A ．-ｅ B.-1 C.1 D.e 解：x f x f 1)1(2)(''+=，1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。 变式训练1 曲线33+-=x x y 在点（1,3）处的切线方程为 类型二 利用导数求解函数的单调性 例2：d cx bx x x f +++= 233 1)(何时有两个极值，何时无极值？)(x f 恒增的条件是什么？ 解：,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=?c b 时， 即c b >2时，0)('=x f 有两个异根2,1x x ，由)('x f y =的图像知，在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号，故2,1x x 是极值点，此时)(x f 有两个极值。 当c b =2时，0)('=x f 有实数根0x ，由)('x f y =的图像知，在0x 左右两侧)(' x f 同号，故0x 不是)(x f 的极值点 当c b <2时，0)(' =x f 无根，当然无极值点 综上所述，当时c b ≤2，)(x f 恒增。 【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号，②c b =2 时，根0x 不是极值点也易错。 变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式；
利用导数解决不等式问题
考点43 利用导数解决不等式问题 1.（13天津T8）设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ） A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a << C. 0()()g a f b << D. ()()0f b g a << 【测量目标】利用导数解决不等式问题. 【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小. 【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解. ()e 10x f x '=+>，∴()x f 是增函数. （步骤1） ∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x '=+> ∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2） ∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3） (1)20,g =-<(2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4） 2.（13湖南T21）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x x f x x -= +． ⑴求()f x 的单调区间； ⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<． 【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用． 【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法． 【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（）， 2211()e e 11x x x x f x x x '--??'=+ ?++?? 222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-?+--?=+（（22232e 1)x x x x x --+=?+（（步骤1） 22420?=-?<，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，
17.导数中的不等式放缩
第121课 导数中不等式放缩 基础知识： （1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时， ()e 2e 1ln 1x x x x +--?. 二、课堂练习 1. 已知()e ln x f x x =-. （1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数； （2）求证：()2f x >. 2. 已知函数()() 23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+. （1）当1m 3时，求函数()g x 的极值； （2）若72a ? ，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+. 三、课后作业 1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x . 2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >.
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
导数与不等式常考题型
导数与不等式题型 1．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立． 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力． 对于第（1）问，只要运用导数的方法法研究出函数()f x 的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3）问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明． 解析： (1) '()ln 1f x x =+， 当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． ① 102t t e <<+< ，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min 110()1ln t e e f x t t t e ?-<，则2 (3)(1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==． 因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=． （3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e > -∈+∞， 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到．
2012函数与导数(较难)含答案)
函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】 【常见题型及解法】 1. 常见题型 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
【基本练习题讲练】 【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发 现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚 乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ） 【答案】 B 【解析】在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．【点评】函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力， 在复习时应引起重视． 【例2】（山东高考题）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若 方程 ()(0 f x m m =>在区间 [8,8 -上有四个不同的根 123,,,x x x x ，则 1234 _________.x x x x +++= A B C D
【例3】若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ） A ． 2 3错误！未指定书签。 B ． 3 2 C ．3 D ． 31 【例4】若函数 ()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【例 5】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是（ ） （A ）（ 1，2） (B) ［1，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）
构造函数法解决导数不等式问题教学设计公开课
构造函数法解决导数不等式问题 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x = ，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。 构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥ 构造''[()][()()]x x e f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造''[()]()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ （注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 （1）' ()()0f x f x -≥ 构造'''2()()()()()[]()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）' ()()0xf x f x -≥ 构造''2()()()[]f x xf x f x x x -= （3）' ()()0xf x nf x -≥构造'1''21()()()()()[]()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论）
导数中的不等式运用
专题09 导数与不等式的解题技巧 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④? ???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． （一）构造函数证明不等式 例1．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在（﹣∞，0）上的函数f （x ），其导函数记为f'（x ），若 成立，则下列正确的是（ ） A ．f （﹣e ）﹣e 2f （﹣1）＞0 B ． C ．e 2f （﹣e ）﹣f （﹣1）＞0 D ． 【答案】A 【分析】由题干知： ，x ＜﹣1时，2f （x ）﹣xf′（x ）＜0．﹣1＜x ＜0时，2f （x ）﹣xf′（x ） ＞0．构造函数g （x ）=，对函数求导可得到x ＜﹣1时，g′（x ）＜0；﹣1＜x ＜0，g′（x ）＞0，利用函 数的单调性得到结果.
练习1．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式 恒成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小. 【解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以 ，，，根据单 调性有.故，即，故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题04 函数与导数之零点问题
专题04 函数与导数之零点问题 一．考情分析 零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性 质,达到化难为易,化繁为简的目的. 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 二．经验分享 1.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法： (1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断． (2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题． (3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点． 2.导数研究函数图象交点及零点问题 利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；
导数的应用利用导数证明不等式
导 数 的 应 用 --------利用导数证明不等式 教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值； 二、新课引入 引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用． 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来证明不等式 例1：当x>0时,求证：x 2x 2 -＜ln(1+x) . 证明：设f(x)= x 2x 2-－ln(1+x) (x>0), 则f '(x)=2x 1x -+． ∵x>0,∴f '(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x)1+x 解：(1)f ′(x)＝ ae x －ｘ， ∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f ′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，
利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型 1. (2017·课标全国III 卷理）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．1 -２ B ．13 C ． 12 D ．1 2.（2016?天津卷文） 已知函数2(43)3,0 ()(01)log (1)1,0 a x a x a x f x a a x x ?+-+≠?++≥??且在R 上单调递 减，且关于x 的方程|()|23 x f x =- 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 3.（2015·北京理）(本题满分13分) 已知函数x x x f -+=11ln )(． (I)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (II)求证：当)1,0(∈x 时，3 23 （）（）x f x x >+； (III)设实数k 使得)3 ()(3 x x k x f +>对)1,0(∈x 恒成立，求k 的最大值． 4. (2017·课标全国II 卷文)(本题满分12分）设函数f(x)=(1－x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. 5. （2015·课标全国II 卷理）(本题满分12分) 设函数mx x e x f mx -+=2 )(. (I)证明：)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增； (II)若对于任意1x ，]1,1[2-∈x ，都有1|)()(|21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围.
6.（2015?山东卷文）(本题满分13分)设函数x a x x f ln )()(+=，x e x x g 2 )(=，已知曲线 )(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行. (I)求a 的值； (II)是否存在自然数k ，使方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出 k ；如果不存在，请说明理由； (III)设函数),)}(min((),(min{)(q p x g x f x m =表示p ，q 中的较小值)，求)(x m 的最大值. 7.（2015·课标全国Ⅰ卷理）(本题满分12分) 已知函数4 1 )(3++=ax x x f ，x x g ln )(-=. (I)当a 为何值时，x 轴为曲线)(x f y =的切线； (II)用},min{n m 表示m ，n 中的最小值，设函数)0)}((),(min{)(>=x x g x f x h ，讨论) (x h 零点的个数. 8.（2016·天津理）（本题满分14分） 设函数b ax x x f ---=3 )1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4 1 . 9.（2017·课标全国III 卷理）（本题满分12分）
导数的不等式恒成立问题
导数的不等式恒成立问题 Prepared on 24 November 2020
导数的应用 【考查重点与常见题型】 题型一 运用导数证明不等式问题 例1 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2， 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 2(1－ln 2＋a ) 单调递增 故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )的最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 上是增加的． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 已知f (x )＝x ln x . (1)求g (x )＝ fx ＋k x (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋k x ， ∴令g ′(x )＝x －k x 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0. ∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》真题汇编含答案
【最新】《函数与导数》专题 一、选择题 1．三个数0.20.4 0.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.2 0.43<4log 0.5< B ．0.40.2 0.43.
