组合数学心得体会

学习组合数学心得体会

我们组合数学这一门课程在吴克俭老师的指导下，经过半学期的学习，我们主要学习了包括排列和组合，二项式系数，调和数、Fibonacci数与Catalan数，第二类Stirling数和Bell数，第一类Stirling数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler数，递归数列，形式幂级数等知识内容。老师教会了我数学思维和方法非常重要，而且组合数学学习的思维方法是解决有关的其他数学问题的一个很好的借鉴。

学习数学我感觉是一件很有味道的事情，令人思维变得敏捷活跃。学习组合数学更是令人思维更严谨更具逻辑性。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。经过课堂学习和课外阅读我了解到组合数学的一些应用实例：著名的组合数学家 Thomas Tutte 在组合数学界是泰斗级的大师。Tutte 从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报；在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功；在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题；德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注；1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。等等

我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。

组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。

组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研究那么计数问题则是非常困难的。“排列和组合”是组合数学所研究的最简单、最基本的课题，学好“排列和组合”也是学好组合数学的开始，下面我举例说明：排列主要分为四种：可重复排列、不可重复排列、限定型排列和圆排列。

限定型排列的定义为：设n元集

{}

12

,,...,

n

S a a a

=

，如果在S上取若干元素

的排列中允许1a 出现1m 次，2a 出现2m 次，

,n a 出现2m 次，称这种排列为11m a ，22m a ，，n n m a 型的。（其中,1,2,,i N i n m ∈=）

圆排列的定义为：集合S 上的一个k 元圆排列是指将S 的k 个元素12,,k x x x 按顺时针或逆时针方向排成圆周状，记为12,,,k x x x ，则231,,,k x x x x ，3412,,,,k x x x x x ，，12,,,k k k x x x --。

例如、求多重集{}5,3M a b =的6-排列的个数。

解：设所求为N.因为M 的6-子集有如下3个：{}1

5,1a b A =，{}24,2a b A =，{}33,3a b A =，而1

A 的全排列数为6!65!1!=，2A 的全排列数为6!154!2!=，3A 的全排列数为6!20

3!3!=，所以由加法原则，得N=6+15+20=41.

在吴老师有条理的引导下我对以上两种类型的排列能清楚的掌握。明白如何应用它。

组合主要分为两种：可重复组合和不可重复组合。

下面我通过2个定理来掌握它们的定义。

定理1：n 元集S 上取k 元的不重复组合（或k 元子集）的个数为()!!!n k n k -，记为n k ?? ???或k n C （其中n 为上指标，k 为下指标）

定理2：n 元集S 上取k 元的重复组合（或k 元重集）的个数为

1n k k +-?? ???，记为n k ???? ? ?????，也称为重复组合数。

例子、求把r 件相同的物件分给n

()n r ≤个人，使得每人至少分得一件物

件的不同方法数。

解：设所求为N.又设第i ()

1i n

≤≤

个人分得i

x

件物件，则

1

i

x≥且

12n r

x x x

+++=

，所以N等于不定方程12n r

x x x

+++=

的正整数解的

个数，为

1

r

r n

-

?? ?

-

??。

所以说，在学习组合数学过程中我们掌握好方法很重要，要想完满地解决一个有关排列和组合的问题，往往需要较强的“组合思维”、巧妙的“组合方法”和熟练的“组合技巧”。以上只是浅谈了一下有关“排列和组合”的解决方法，组合数学中还有很多知识的奥妙有待我们探讨，挖掘其中的趣味。

做为一位即将踏入教师讲台的我，我们必须把组合数学的学习放在一个重要的位置上来，掌握基本的组合数学原理，培养专业的数学思维。因为它非常有利于提高我们的逻辑思维能力，让我们提高分析问题和解决问题的能力。而且学好这门课程也是提高我知识面的有效途径，我坚信，只要经过努力，刻苦钻研，我可以更加深层的掌握组合数学的有关知识，更好地领会并应用组合数学的思想、理论和方法。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

小学数学教师培训心得体会

怎样让学生喜欢上数学课 亲爱的老师朋友们： 你们好！今天非常荣幸由我来和大家一起来进行数学课的交流，同时也深感惶恐，恐怕耽误大家的时间和精力！ 小学数学教学现状分析反思及对策 一、现状与反思 现状之一：重视教师如何教，忽略学生如何学。 现象：“如何教？怎样教得好？如何讲？怎样才能给学生讲懂？” ——专家、研究人员。 “今天这节课讲得好？讲得太精彩了。”——教师。 “那个老师的书教得好？”——家长。 “传道、授业、解惑”——古人 “除讲授法外，自主探索、合作学习、动手实践是重要的学习方式”———《数学课程标准》2011年版 调查结论:100%师生习惯“教师讲学生听、教师问学生答”这种方式，且从来都是这样做的。关注学生怎样学的？怎样重视学生的学？十分薄弱。 一、现状与反思 现状之一：重视教师如何教，忽略学生如何学。关于学生如何学，存在三大认识上的误区： 误区一：数学知识学生难以学会，自主学习适合初中学生，不敢让学

生去自主学习，不相信学生是能自主学会的。 误区二：针对学生的错误往往不究错因，不探学法，不了解学生学的真实状态,给出一个简单的定性评价“错误”，不察觉学生是有思想方法的。 误区三：把成人的理解强加给学生，未研究学生已形成的认知结构，不关注学生自己接受知识的方法与模式。

现状之二：重视学生做题训练，忽略学生学习基本功训练。现象：学生忙于做题,教师忙于讲题。 据统计，新课标人教版数学实验教材以６册为例，共编《练习》25个，练习题194道，最多一个《练习》16题，编《例题》36道，《做一做》题目43道，题目总数273道；学生练习册共编《练习》27个，练习题204道。此两类作业生均每个学习日约需完成5题。一、现状与反思 现状之二：重视学生做题训练，忽略学生学习基本功训练。学生学习数学必须的基本功训练不够，具体体现在： 一是不会倾听。学生普遍不会听他人发言，不会听老师讲课。 如果你说一句话让学生马上复述，能复述个梗概的不到一半，尚不知老师说的是什么的人不低于5%，能去想老师话的含义的人不到5%。此现象小学低年级更为突出，语言没有激情的教师较为突出。倾听同学发言的学生更少。学生不会听，他怎么会想。这与老师不重视对学生倾听方法和习惯的培养有关。

小学数学教研组活动总结

小学数学教研组活动总 结 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）

小学数学教研组活动总结 我校数学教研组在学校教导处的带动以及在各成员的共同努力下，我们的教研活动开展得有声有色。全组教师坚持教育、教学理论的学习，积极参加各项教研活动和探索课堂教学新模式，认真学习先进的教育教学理论和新的课程标准，完善和改进教学方法和手段，为提高我校的数学教学质量做出了不懈的努力。 一、积极参加各类培训与组织理论学习 首先，教导处都将主持大家学习学校的学科计划，让大家从开学就明确自己的教学目标，做到不打无准备之仗。然后教研组再组织大家学习本学科本学期的具体计划，大家出谋划策，积极提供建议和意见，制定具体可操作的目标，本学期取得了良好的教学效果。 其次，每有外出参加培训学习的机会，我校总能最大限度的组织人员前往参加学习。近几年来，我校数学组成员几乎每人都参加过多次外出培训学习。不仅有区教研室、市教研室组织的青年教师培训、骨干教师培训、数学小课题研究、全国远程教育培训等，培训学习返回之后，学校要求每位外出学习的教师都要认真书写培训心得，并上好汇报课。二、教研活动方式 我校数学教研组组织教研活动主要有以下几种： ⑴主题式校本教研：我校数学教研组在教导处组织领导下，定于周二下午办公时间在会议室进行主题式教研活动。（除有几次因客观情况修改了时间或未能组织外）如每周确定一个中心发言人，对下一周要上的单

元进行说课，说教材，说重难点，说教学设计等，其余老师对中心发言人的说课的建议，得到共同认可后，这个老师再对本堂课设计进行修改，下周本教研组其他老师再来听课，再对本堂课进行评价及建议。直到大家都觉得满意为止。这样下来，迫使每位老师必须钻研教材，熟悉课标，认真分析及组织课堂活动，使校本教研真正落到实处。活动中既有认可也有争论，但总会有颇多的收获。活动结束再共同确定下次交流主题，以便各位数学教师能够充分的思考准备。 ⑵对比式：我校数学教研组确定有数学教学骨干教师新参加工作的数学教师参与数学教研，组织了多次听课、评课活动。数学教研组在教导处组织下进行了低年级组数学教师和高年级数学教师的同课异构数学教研活动，活动分年级组确定同一课题-----《三角形的分类》进行备课及分析，并由陈飞老师试讲，取得了良好的效果。 ⑶评比式：组织赛课，展示课堂教学成果。数学教研组在教导处的指导下，组织了以青年教师为主赛课活动。有时集中于中心小学进行，讲课结束后及时组织评课交流活动；有时则由教导处带领教研组成员到村小组织听课评课活动。 ⑷案例分析式：组织听课后进行针对性评课。每学期至少组织两次课堂教学展示课。教研组都会在学校多功能教室组织全体参与教师进行案例分析交流活动。 本组的教研活动，以提高我校教育教学质量为前提，以校本教研为主题，达到不断积累与探究，让每个教师以教促研，让教研活动真正落到实处。

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组合数学学习心得体会 学习数学我感觉是一件很有味道的事情，令人思维变得敏捷活跃。学习组合数学更是令人思维更严谨更具逻辑性。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。经过课堂学习和课外阅读我了解到组合数学的一些应用实例： 我们组合数学这一门课程在吴克俭老师的指导下，经过半学期的学习，我们主要学习了包括排列和组合，二项式系数，调和数、Fibonacci数与Catalan数，第二类Stirling数和Bell数，第一类Stirling数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler数，递归数列，形式幂级数等知识内容。老师教会了我数学思维和方法非常重要，而且组合数学学习的思维方法是解决有关的其他数学问题的一个很好的借鉴。 著名的组合数学家 Thomas Tutte 在组合数学界是泰斗级的大师。Tutte 从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报；在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功；在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题；德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注；1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。等等 我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。 组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。 组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研究那么计数问题则是非常困难的。“排列和组合”是组合数学所研究的最简单、最基本的课题，学好“排列和组合”也是学好组合数学的开始，下面我举例说明：排列主要分为四种：可重复排列、不可重复排列、限定型排列和圆排列。 限定型排列的定义为：设n元集 {} 12 ,,..., n S a a a = ，如果在S上取若干元素 的排列中允许1 a出现1m次，2a出现2m次，,n a出现2m次，称这种排列为

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

关于小学数学学习心得体会5篇

关于小学数学学习心得体会5篇培训使我们充分认识到新一轮的数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化。要实现数学课程改革的目标，教师是关键。下面是小编为大家收集关于小学数学学习心得体会，欢迎借鉴参考。 小学数学学习心得体会一 暑假这十一天学习活动，丰富了使我的假日生活。下面，我来谈谈对这次培训活动的几点心得。 对于如何才能更好地"关注课堂，实施有效教学"，=确实是我们每一位老师值得讨论、研究的一个问题，也是我执教近几年来的最大困惑，现在我以一名参与者的身份来谈一下自己的感受。 首先，培训活动加深了我对课前备课环节的理解。 平时教学中，我知道了小学数学备课都应该备什么，都应该关注哪些方面。但具体在实际操作中该怎样去落实，还是很模糊的。通过这次培训活动后，我真正弄清了有效教学准备活动的流程是：课标解读与教材分析----学习者特征分析-----确定教学目标------最近发展区分析------教学处理及策略选择-----展示教学预案。先说一下教材分析：教材分析不单单是就教材去谈教材。还要在教材分析中明确编者意图，我们可以借此落实哪些阶段目标?我们应该在怎样的总目标的指引下具体落实到课堂上的目标?我们的教学到底要使学生形成怎样的能力?另外，从其他几块的准备中，我还知道了我们的教学还要关注学习者的特征，关注他们的最近发展区，怎样才能使我们的教学真正使他们受益，形成他们的一种能力，这才是我们教学的最终目的。因

为现代社会要求公民具备良好的人文素养和科学素养，具备合作的意识和开放的视野，具备包括计算与实际应用在内的多方面的基本能力，以及运用现代技术搜集和处理信息的能力。所以，数学教学应该能够为造就现代社会所需的一代新人发挥重要作用。就是说，我们的教学要使学生形成能力，形成能力的最终目的是为社会服务。只有明确了这一点，我们的教学才会更有效。 其次，为我创造了一个学习的机会。 现代的教育强化了学科的整合，要求教师做教育的研究者。这就要求我们教师必须学会合作，同伴互助，发挥团队的力量，才可以把我们的教育搞好。事实也是如此，在这次培训活动中，每每思考之余，浑身都不由然汲取一种力量，那就是为体现自己的人生价值而奋发努力!这也许就是人为什么是群居动物的原因吧。 再次，通过这次培训，使我能够取长补短，见识到了很多老教师的风采，也认识了不少优秀的年轻教师，通过交流我了解了自身确实还有很多不足的地方，可以向他们学习、请教，对我自己也是一种成长的好方式。 另外，参加本次活动后我也有以下一点思考： 因为这种教学准备活动耗时费力，不可能把准备过程全部呈现给大家。所以，应该思考怎样处理好"研磨"的真实有效性问题? 通过参加这次的培训学习，确实使我大开眼界，从其他老师身上学到了很多有价值的东西，我会把学到的技能用于今后的教学当中。 一下午的培训学习使我对小学数学教学规范有了初步的认识.在

小学数学教研活动总结6篇

小学数学教研组教学活动总结紧张忙碌而收获多多的教研活动月即将结束。总体看，全体数学教师认真执行学校教育教学工作计划，转变思想，积极探索，改革教学，把新课程标准的新思想、新理念和数学课堂教学的新思路、新设想结合起来，收到很好的效果。 一、坚持理论学习，认真撰写论文 “问渠哪得清如许，为有源头活水来”，教师如果不学习，教研活动就会成本“无本之木，无源之水”。为加强修养，提高素质，我们认真学习了《新课程标准解读》，《小学数学教师》中的《如何上好解决问题课》，还学习了《教师博览》的《一位年轻校长对青年教师的十条建议》一文，让全组教师受到了深刻的教育。组织教师学习学科刊物，了解教研改信息，善学才能善研，善研才能善教，已成为全组教师的共识，不光如此，我们还注意用教学理论指导教学实践，认真撰写论文。论文的撰写正是我们组的弱项，因此，加强论文撰写方面的培训已经成为我们组的重要课题之一 二、积极参加和开展教研活动 我们每学期初教研活动有计划，学期末教研活动有总结。本学期我们每位数学教师都是课堂教学的实践者，为保证新课程标准的落实，我们把课堂教学作为有利于学生主动探索的数学学习环境，把学生在获得知识和技能的同时，在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想，把数学教学看成是师生之间学生之间交往互动，共同发展的过程，为了改革课堂结构和教学方法，提高教师的课堂教学水平，提高课堂教学效益，我们坚持开展听、评、说课活动，且把这个活动做为一个重要的教研活动。每星期开展听评课，我组教师十分重视听评课活动，听课前认真备课，设计教案，互相切磋。听课后认真评课，如教学内容安排否恰当，难点是否突破，教法是否得当，教学手段的使用，教学思想、方法的渗透，是否符合素质教育的要求，老师的教学基本功等方面进行中肯，全面的评论、探讨。听评课活动促进了教学水平的提高。 三、认真撰写教学反思 教学反思的撰写，既要写下自己执教时的切身体会或疏漏，也要记下学生学习中的闪光点或困惑，是教师最宝贵的第一手资料，教学经验的积累和教训的吸取，对今后改进课堂教学和提高教师的教学水平是十分有用。因此，教师认真撰写教学反思，期中交流是每位教师都有丰富的内容，大家互换教学反思本，即检查又互学。并有多篇反思上传到校园网上发表。研讨——反思，将公开课上的精华延伸运用于日常教学实践。聆听名师的专题讲座，观摩其示范教学，领悟名师的高尚师德，探究名师精湛的课堂教艺，因此组织教师观摩名师讲学。与此同时，我们统筹安排学生课外兴趣活动，活动有组织、有计划，内容、老师、场地均得到落实。组织二年级口算比赛、五年级图形拼组竞赛。学生在多样的兴趣活动中不仅巩固、运用了所学的知识，也为今后构建新的知识结构，提高实践、应用能力，打下了基础，真正做到第一课堂打基础，第二课堂发展特长。 一份耕耘，一份收获。教学工作苦乐相伴。我们将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把工作搞得更好。

201111数学分析学习心得体会

数学分析学习心得体会 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了 300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课：（1）矩阵理论（2）随机过程（3）信息论与编码（4）现代数字信号处理（5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。（6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习中的困难。在本书中，以有界数集的确界定理作为出发点，不加证明地承认该定理，利用它证明了单调有界数列的极限存在定理，然后逐步展开证明了其他几个基本定理。定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，举例来说，在课后习题中有这样一题，证明单调有界函数存在左右极限。这题着实将我难住许久许久，尽管该题在数学分析中只是初级的难度，但初学者的我起初甚是无解。写到这里，我又发现我的一个问题，当然这个问题也是共性的。许多同学在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，课后解题却不知所措。这一问题的产生由于一方面对基本概念、基本定理理解得不够深入，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分知识之间的联系区别不甚清楚。在极限续论中，由于内容相当抽象，在老师一次次的详细讲解下，上课基本能听懂，但这就可能是大学与高中最大的区别，特别是我的专业要求——理论要求，自己

排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A =

小学数学培训心得体会范文

小学数学培训心得体会范文 小学数学培训心得体会范文1 为了提高小学教师数学课堂教学的有效性。在教学时应该合理创设教学情境，准确把握教学重点点，精心组织数学活动，实施有效评价策略，提高数学课堂魅力，促进学生和谐发展。下面结合自己高效课堂理论学习与教学实际谈几点粗浅的认识。 一、创设故事情境，激发学习兴趣，提高课堂教学有效性。 柴可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪、意志领域，触及学生的精神需要，这种教学法就能发挥高度有效的作用。”创设富有童趣的故事情景的问题情境，来激发学生学习知识的情趣，点燃探索的欲望，自然而然就会促使学生带着问题乐意、自觉地参与学习过程，从而收到事半功倍的效果。 二、关注生活经验，提高课堂教学有效性 小学数学知识与学生生活有着密切的联系，在一定程度上，学生生活经验是否丰富，教学中能否利用学生已有的生活经验，激活学生已有的知识积累，让学生在解决问题中学习数学、理解数学。 三、转变教学方式，提高课堂教学有效性 课堂教学的核心是调动全体学生主动参与到学习的全过程，使学生自主地学习、和谐地发展。新课程强调要实现学生学习方式的根本转变，提倡自主、探索与合作的学习方式。但是，在实际教学中，

有些教师常常对之作出片面的理解，在教学方式的转变中，只求形似不求神似，只重形式不重实质，导致了探究性学习的浅层化、庸俗化和形 式化。要提高教学的有效性，必须“逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式的变革”，合理组织课堂教学结构，使各种教学组织形式的空间组合方式更趋于合理和完善。 四、讲究评价策略，提高课堂教学有效性 首先，评价时要关注学生的个体差异，兼顾学生不同的知识基础，采用激励性评价，呵护他们学习数学的热情和信心。 其次，评价时要注意评价方式多样化。《数学课程标准》指出：“评价的方式应当多样化，可以将考试、课题活动、撰写论文、小组活动、自我评价及日常观察等多种方法结合起来。形成一个科学为合理的评价机制。” 再次，评价要有针对性。教师要根据该堂课的教学任务确定评价的主要范围，如计算为主的课，要着重放在对学生的计算评价活动上；以练习为主的课，要着重放在学生的练习效果上。要注意评价的实效性，教师对学生活动的评价要简练、明确、到位，使评价起到画龙点睛的作用，要防止评价的形式主义。 小学数学培训心得体会范文2 我有幸参加了小学数学探索规律的同课异构，经过学习，使我受益匪浅。我的教育思想、教学观念、等都得到了更新，而且我的教学方法、教学手法、教育教学策略也得到了很大的提高。现就将本次培

参加数学教研活动心得体会

参加数学教研活动心得体会 鲤鱼江完小：夏荣莲曾经看过一段话：“让学生喜欢我的学科，让学生喜欢我的为人，让学生喜欢我的课堂，今生能为人师足以。”名师们就是这样，他们对学生、对教育、对生活那深情的爱，使我深受震撼，真正感受到了“新课程、新理念、新思路”带到的新变化。他们那博大的思想和睿智的想法在课堂教学方面有着独特的见解。他们上的真正的生活数学，让孩子们感受到数学就在我们身边，数学无处不在。 参加这次数学教师的教研活动，让我回味无穷。其中王丽燕老师的课让我的印象深刻。当时听的课是《数与形》，一般人都觉得这样的课难度大，内容抽象，很难达到教学目标。可她用那生动、有趣、多样的评价语，把学生的积极性真正调动起来并参与课堂。每个环节都吸引孩子，孩子们学的轻松，掌握扎实。整节课给我的最深的印象就是师生间那默契的互动，孩子们踊跃的思考，真正树立以学生为主。让人回味无穷！她对每一节课的设计都有独到之处，不步人后尘，不因循守旧，不照搬别人的教案，不复制别人的思路，努力把课讲出新意。同时告诉我们，要多学习，多思考，多研究，只要这样才能设计出精彩的课堂。 有人说：“名师是大树，能改善一方环境，且在树叶间闪动精彩。”不错的，这一次我们教研活动又让我再一次感受到名师对我们的影响，他们的“新课程、新理念、新思路”在我们的老师中得到了充分应用和释放。特别是在课堂上他们认真的倾听学生想法，引导学生深入思考，对学生进行“点拨”、“启发”、“激励”，让学生们的思维得到了充

分的发展。学生也积极参与课堂。从老师们的授课中，我学到了要上好一节课一定要精心设计每一个环节，以学生的为主，多样的评价来鼓励学生的积极性。只有这样才能真正有效地改革课堂教学。 走近名师，感受名师，更使我明白了：教育是我们一生的事业，讲台是我们的舞台，学习是我们生活的一部分。教师要想真正拥有自己的今天，把握住明天，就必须勤奋而又智慧性的吮吸知识的甘露，走出属于自己的路。

排列组合方法总结

排列组合方法总结(新导航用) 1、【特殊元素、特殊位置】优先法 在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。 例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ） 解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的 元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有1 4C ；最后排其他位置共计有 34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 2、【相邻问题】捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排 法种数有（ ） 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种， 3、【相离问题】插空法 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ） 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种 数是52563600A A =种 4、【选排问题】先选后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有2 4C 种，再排： 在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 5、【相同元素分配问题】隔板法 将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插 入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:1 1--m n C 。 如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵

参加小学数学培训心得体会

参加小学数学培训心得体会 白银区二小陶明芳 2014年7月20日至21日，我参加了白银市义务教育学段教材培训，这次培训的主要内容有三项，第一项观摩三校教师和出版社邀请的专家现场做课、授课教师说课说课、参训教师评课，专家点评；第二项是专家对新课标教材的解读；第三项是专家讲座以及和专家的互动研讨。通过这次培训，我从教学理念、教材观念、教学方法等方面对小学数学学有了新的认识，也有了很多的感触，现将对我启迪最深的几点记录下来和大家一起分享。 一、总体印象：授课说课别开生面 观摩课共两节：第一节课是白银三校骨干教师张建兵老师讲的《温度》，第二节是吉林专家所讲的《重复的奥妙》。两位老师授课有以下几点值得我们学习： 第一、他们善于“攻心”。两位老师都能利用恰当的时机抓住学生年龄、心理特点对学生进行最大程度的鼓励，如在组织教学时提到：“听说我们这个班是我们学校表现最好、最棒的一个班，相信今天同学们和老师的合作会更加优秀！”看似简单而且与上课内容无关的几句话，很大程度上已经拉近了老师和学生的距离，调动了学生的积极性。特别是专家杨老师和学生之间通过分别说“优秀的学生”“漂亮的老师”互夸的这种互动活动，很快的和学生融为一体，为课堂的开

展奠定了良好人缘。所以培训完，我的感受是我们不但要会教数学，同时还应该是一位心理学家，能够在课堂上抓住学生的心。 第二、他们善于创新：两位老师都能根据小学生的特点，为学生创设充满趣味的学习情景，充分发挥学生的主体作用，以激发学生的学习兴趣。他们都能以学生的生活为背景，创设情境引入新课。如张建兵老师引入时问学生现在是什么季节，同学们都穿着短袖，能一直这样穿到冬天吗，为什么？学生都会想到冬天气温太低，自然引入到新课《温度》的学习。 第三、他们善于交心：老师的授课语气让人倍感情切、随和、自然、和蔼可亲，特别具有亲和力，学生一下子就喜欢上老师了。更值得欣赏的是杨老师的语言非常丰富，准确、优美，有着比较深的文学功底和文化底韵，所以她的授课如行云流水，轻松自然、不留痕迹。 二、最大亮点：授课抓住了核心问题 1、张建斌老师《温度》一课突出的核心，是让学生通过预习导学提出质疑，围绕学生提出的问题为核心，以三个探究任务为主线展开教学。在具体教学有这样一个核心环节：在孩子从地图上认识了最低温度和最高温度后，提出了“探究一”的学习任务，让孩子们导学单上完成以下活动：以自己喜欢的方式写出北京的最低气温——零下2摄氏度，最高气温零上5摄氏度。张老师给了学生充分的思考时间，通过积极思考，学生们想到了多种表示方式：（1）用最高、最低表示；（2）用热和冷；（3）箭头朝上、箭头朝下；（4）”+”表示最高,”-“表

数学教研活动心得体会

数学教研活动心得体会 鲤鱼江完小：李全芳“教学有法，教无定法，贵在得法”。本周进行的数学教研活动，让我想到了这句话。 周三下午，数学教师齐聚阶梯教师，欣赏了由教学专家王丽燕老师带来的精彩示范课《数与形》。本节课王老师教态自然，教学语言多样丰富，整节课设计很有新意。课堂开始前，王老师用2幅错觉图引出从不同角度看问题可能会有不同的结果，为接下来的教学内容做好铺垫，学习过程中，先抛出两个难度较大的式子让学生尝试解决1+2+3+...+59+60+59+...+3+2+1= 1+3+5+7+...+n= （100个奇数相加） 学生没能解决这两个问题，但这两个问题充分激发了学生的求知欲，这时王老师让大家从简单的问题入手，寻找解决这两个难题的方法。这样的教学方式让学习由浅入深，符合学生的认知规律，并进行了数学学习方法的教育——较难的问题从简单入手，从简单的问题中寻找解决难题的方法。教师第一次出示点阵图，让学生观察发现点阵图的规律，了解点阵图的数量关系，同时教师介绍点阵图的相关信息。接下来让学生尝试从5号点阵图中找到算式 1+2+3+4+5+4+3+2+2=，学生很快发现，斜着看点子的数量加起来就是这个算式，由此发现第一个式子的解决方法，就是联系60号点阵图，得出结果是3600。这时王老师第二次出示点阵图，让学生换个角度观察5号点阵图，试一试找到5号点阵图与算式

1+3+5+7+9=的联系，并下发学具，让学生在点阵图上画一画，自己动手发现新的规律，最后学生发现如果把点拐着弯连起来就是连续奇数相加，由此发现几个连续奇数相加的和就是奇数个数的平方，这时王老师引导学生解决之前提出来的第二个问题，学生运用规律轻松解决。这样的教学设计给了学生充分的动脑和动手实践的时间，最后解决问题的方法是学生自己探究出来的，既让学生掌握了解决问题的方法，又培养了学生探究学习的能力。 结合我们学校的学生情况来欣赏这节课，我感受颇多。现在的学生数学运算能力和探究学习能力不强，原因就是教师在课堂上让学生动脑动手的时间太少了，大部分课堂都是教师的一言堂，知识都是以教师的说来呈现，学生只是被动接受，这样的学习不扎实，对于知识学生没有经历形成的过程，往往知其然不知其所以然。而王丽燕老师的数学课给了学生大量的动手动脑时间，达到了培养学生探究性学习能力的课程目标。虽然我们的学生人数多，素质不均匀，直接使用王老师这样的教学方式显然是行不通的，但我们可以学习她的教学设计理念，在日常教学设计中多思考怎样让学生多动脑动手去探究，设计教学时让学生经历新知识的形成，最终让学生自己发现知识并且表达出来。当我们有了这样的想法再去设计我们的教学，一定会有不同。学生的探究学习能力不是一蹴而就的，而是日积月累的长时间的训练，教学要有耐心，贵在坚持，我将秉持这样的理念努力钻研我的教学，提升自己的教学能力。以上就是我这次教研活动的心得体会。 2017年11月30日

离散数学学习体会

我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一

(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有mi 种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的 方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m 1 m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…, 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N g m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及 多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列冋题（有序）还是组合（无序）冋题,兀素总数是多少及取出多少个兀 素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有A 3 由分步计数原理得C 4C 3A 3 288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A^A I A 2 480种不同 的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序 有多少种？ A 3 1 3