第五章 5.4平面向量的应用-学生版
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →
，则A ，B ，C 三点共线．( ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( )
(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →
<0，则△ABC 为钝角三角形．( )
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →
＋t (AB →＋AC →
)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( )
2、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
3、已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →
|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4
D ．3
4、若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( )
第1课时
进门测
A. 3 B ．－3 C. 6
D ．－6
5、平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP → ·OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是____________．
无
题型一 向量在平面几何中的应用 命题点1 向量和平面几何知识的综合
例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →
＝1，则AB ＝________.
(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则 |P A →＋3PB →
|的最小值为________． 命题点2 三角形的“四心”
作业检查
阶段训练
第2课时
例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →
＋λ(AB →＋AC →
)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 引申探究
1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →
＋λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →
＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →
|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
命题点3 平面向量数量积与余弦定理
例3 在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →
＝6，则BC 等于( ) A ．213 B ．10 C ．237 D ．14
【同步练习】
(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →
满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．三边均不相等的三角形
(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →
＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．
题型二 向量在解析几何中的应用 命题点1 向量与解析几何知识的综合
例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →
＝0，则y x ＝
___________.
命题点2 轨迹问题
例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →
＋12PQ →)·(PC →－12PQ →
)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；
(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →
的最值．
【同步练习】
(1)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →
的最小值为________．
(2)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P
→
|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →
，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±
55x B ．y ＝±1
2x
C ．y ＝±32
x D ．y ＝±
33
x
题型四 函数与方程思想在向量中的应用
例6 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x |
|b |的最大值等
于______．
(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →
，则λ＋μ＝________.
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
第3课时
阶段重难点梳理
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题――→设向量
向量问题――→运算
解决向量问题――→还原
解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】
1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →
＝0.
2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．
题型五 平面向量与三角函数 命题点1 向量与三角恒等变换的结合
例1 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a ＋b ＝(0,1)，则α＝________，β＝________. 命题点2 向量与三角函数的结合
例2 已知向量a ＝(sin x ，3
2)，b ＝(cos x ，－1)．
(1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；
(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π
2，0]上的值域．
重点题型训练
命题点3向量与解三角形的结合
例3已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b与c的值．
【同步练习】(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是 最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝6，sin A －sin C ＝sin(A －B )，若1≤a ≤6，则sin C 的取值范围是________．
题型六 向量与学科知识的交汇 命题点1 向量与不等式相结合
例4 (1)设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →
＝b e 1－2e 2(a >0，b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2
b 的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 (2)已知x ，y 满足????
?
y ≥x ，x ＋y ≤2，
x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →
的最大值是最小值的8倍，则实
数a 的值是________．
命题点2 向量与数列结合
例5 设数列{x n }的各项都为正数且x 1＝1.如图，△ABC 所在平面上的点P n (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3∶1，若(2x n ＋1)P n C →＋P n A →＝13
x n ＋1P n B →
，则x 5的值为( )
A ．31
B ．33
C ．61
D ．63
【同步练习】(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组???
0≤x ≤
2，
y ≤2，
x ≤2y
给定．若M (x ，y )
为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2
D ．42
(2)角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，向量m 满足|m |＝
6
2，且m ＝(2sin B ＋C 2，cos B －C 2
)，当角A 最大时，动点P 使得|PB →|，|BC →|，|PC →
|成等差数列，则|P A →||BC →|的最大值是( )
A.233
B.223
C.24
D.324
题型六 和向量有关的创新题
例6 称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( ) A ．a ⊥b B ．b ⊥(a －b ) C ．a ⊥(a －b )
D ．(a ＋b )⊥(a －b )
【同步练习】定义一种向量运算“?”：a ?b ＝?
????
a ·
b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时 (a ，b 是任意的两个向
量)．对于同一平面内向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ?b ＝b ?a ；
②λ(a ?b )＝(λa ) ?b (λ∈R )； ③(a ＋b ) ?c ＝a ?c ＋b ?c ； ④若e 是单位向量，则|a ?e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
例7 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π
2)一个周期内的图象上的四个点，如图所
示，A ????－π
6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →
在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )
A ．ω＝2，φ＝π
3
B ．ω＝2，φ＝π
6
C ．ω＝12，φ＝π
3
D ．ω＝12，φ＝π
6
一、向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 二、向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意
思导总结
义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a ⊥b ?a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法． 三、向量最值
求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解．
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2AB →·AC →
＝a 2－(b ＋c )2，a cos B ＋b cos A ＝2c sin C ，b ＝23，则△ABC 的面积为( ) A.334 B.332
C ．3 3
D ．63
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →
＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74
3. 函数y ＝tan(πx 4－π
2)(0 象交于C ，B 两点．则(OB →＋OC →)·OA → 等于( ) 作业布置 A ．－8 B ．－4 C ．4 D ．8 4．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种运算：a ?b ＝(a 1，a 2)?(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝(12，4)，n ＝(π6，0)．点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ → ＝m ?OP → ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间[π6，π3]上的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D ．23 5．记max{x ，y }＝????? x ，x ≥y ，y ，x y ，x ≥y ，x ，x 设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 6．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上与A ，B 不重合的一个动点，且OC →＝xOA → ＋yOB → ，若u ＝x ＋λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(1 3，3) C ．(1 2 ，1) D ．(1 2 ，2) 7. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π 2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象 的最高点和最低点，且OM →·ON → ＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( ) A.π6 B. 7π12 C. 7π6 D. 7π3 8．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC → ＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________. 9．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM → ≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP → 的最大值为________． 10．已知△ABC 中，|BC →|＝1，BA →·BC →＝2，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ →＝P A →＋PB →＋PC → ，则PQ →·PB → 的最小值为________． 11．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ，若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32 ，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－ sin C 2)，且m 与n 的夹角为π 3. (1)求角C ； (2)已知c ＝72，S △ABC ＝332，求a ＋b 的值． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB →·AC →＝BA →·BC → ，sin A ＝53. (1)求sin C 的值； (2)设D 为AC 的中点，若△ABC 的面积为85，求BD 的长．