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数学物理方法第十章作业答案

分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)：

2000(,)(,) (0)0 , 0

() , ()

tt xx x x x l t t t u x t a u x t x l u u u x u x ?ψ====?=≤≤??

==??==?? 其中()x ?，()x ψ，为已知函数．

解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t =

其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得

()()()()()()()

()

T''t X''x T''t X x a X''x T t a T t X x =?

等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即

()()()()

T ''t

X ''x

a T t

X x λ==- 则得到两个常微分方程

()()0 (1)()()0 (2)

T''t a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X'X l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2)

的解为12()cos sin

(4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数)

将(4)代入(3)

的第一式得2(0)=0X'C C =?，而1C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得

1(21)(21)()cos

0cos 02

2n n X l C l

--==?=?=?=

（1,2,3,n =???）

∴ λ只能取相应的一系列值

(21)4n n l

λλ-==

（1,2,3,n =???）---由定解问题决定的本征值

而 1(21)()()cos

2n n X x X x C x l

-==---由定解问题决定的本征函数

将22

(21)4n n l

λλ-==

代入(1)，解得

(21)(21)()()cos

sin

22'

n n n n a

n a

T t T t A t B t l

ππ--==+ (,''

n n A B 为任意常数)

∴ 1(21)(21)(21)(,)()()[cos

sin

]cos 222'

n n n n n n a

n a

n u x t X x T t A t B t C x l

πππ

---==+

(21)(21)(21)[cos

sin

]cos

222n n n a

n a

n A t B t x l

πππ

---=+

即 1

(21)(21)(21)(,)(,)[cos

sin

]cos 222n n n n n n a

n a

n u x t u x t A t B t x l

πππ

∞

==---==

+∑

∑

而

(21)(21)(21)(21)(21)(,)[sin

cos

]cos

22222t n

n n a

n a

n u x t A t B t x l

πππππ

∞

=-----=

-+∑

任意常数n A ，n B 的确定由初始条件有

(21)()()cos

(0)2n t n n u

x x A x x l l

??∞

==-=?=

≤≤∑

2(21)()cos

d (1,2,3)2l n n A n l

?ξξξ-?=

=????

(21)(21)()cos

(0)22t

n t n n a

n u x B x x l l

ππ

ψ∞

==--=?

≤≤∑

(21)2(21)()cos

d 22l n n a

n B l

ππ

ψξξξ--?

(21)()cos

d (1,2,3)(21)l n n B n n a

ψξξξπ-?=

=???-?

10.3分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)：

2000(,)(,) (0)0 , 0

() , ()

tt xx x x x l t t t u x t a u x t x l u u u x u x ?ψ====?=≤≤??

==??==?? 其中()x ?，()x ψ，为已知函数．

解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t =

其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得

()()()()()()()

()

T''t X''x T''t X x a X''x T t a T t X x =?

等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即

()()()()

T ''t

X ''x

a T t

X x λ==- 则得到两个常微分方程

()()0 (1)()()0 (2)

T''t a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X X'l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2)

的解为12()cos sin

(4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数)

将(4)代入(3)的第一式得1(0)=0X C =，而2C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得

(21)(21)()=0cos 02

2n n X'l C l

--=?=?=

（1,2,3,n =???）

∴ λ只能取相应的一系列值

(21)4n n l

λλ-==

（1,2,3,n =???）---由定解问题决定的本征值

而 2(21)()()sin

2n n X x X x C x l

-==---由定解问题决定的本征函数

将22

(21)4n n l

λλ-==

代入(1)，解得

(21)(21)()()cos

sin

22'

n n n n a

n a

T t T t A t B t l

ππ--==+ (,''

n n A B 为任意常数)

∴ 22(21)(21)(21)(,)()()[cos

sin

]sin

222'

n n n n n n a

n a

n u x t X x T t C A t C B t x l

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πππ

---==+

(21)(21)(21)[cos

sin

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222n n n a

n a

n A t B t x l

πππ

---=+

即 1

(21)(21)(21)(,)(,)[cos

sin

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n a

n u x t u x t A t B t x l

πππ

∞

==---==

+∑

∑

而

(21)(21)(21)(21)(21)(,)[sin

cos

]sin

22222t n

n n a

n a

n u x t A t B t x l

πππππ

∞

=-----=

-+∑

任意常数n A ，n B 的确定由初始条件有

(21)()()sin

(0)2n t n n u

x x A x x l l

??∞

==-=?=

≤≤∑

2(21)()sin

d (1,2,3)2l n n A n l

?ξξξ-?=

=????

(21)(21)()sin

(0)22t

n t n n a

n u x B x x l l

ππ

ψ∞

==--=?

≤≤∑

(21)2(21)()sin

d 22l n n a

n B l

ππ

ψξξξ--?

(21)()sin

d (1,2,3)(21)2l n n B n n a

ψξξξπ-?=

=???-?

10.3分离变量法(驻波法)求一维有界区域的热传导问题(第一类齐次边界条件)：

200(,)(,) (0)0 , 0

()

t xx x x l t u x t a u x t x l u u u x ?===?=≤≤??

==??=?? 其中()x ?为已知函数．

解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t =

其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得

()()()()()()()

()

T't X''x T't X x a X''x T t a T t X x =?

等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即

()()()()

T 't X ''x

T t

X x λ==- 则得到两个常微分方程

()()0 (1)()()0 (2)

T't a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X X l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2)

的解为12()cos sin

(4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数)

将(4)代入(3)的第一式得1(0)=0X C =，而2C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得

2()sin

0sin 0n X l C n l

ππ==?=?=?=

（1,2,3,n =???）

∴ λ只能取相应的一系列值

()n n l

πλλ== （1,2,3,n =???）---由定解问题决定的本征值

而 2()()sin

n n X x X x C x l

π==---由定解问题决定的本征函数

将22

n n l

πλλ==

代入(1)，解得

2()()n a t

n n T t T t C e

π-== ('

n C 为任意常数)

∴ 2

22(,)()()sin

sin

n a t

n n n n

n a t

n n u x t X x T t C C e

x l

n C e

ππππ--===

即 2

(,)(,)sin

n a t

n n n n n u x t u x t C e

x l

ππ∞

∞

-===

∑

任意常数n C 的确定由初始条件有

()()sin

(0)n t n n u

x x C x x l l

π??∞

===?=

≤≤∑

2()sin

d (1,2,3)l n n C n l

π?ξξξ?=

=????

数学物理方法第八章作业答案

P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点．设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学（2009—2010学年第一学期）《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。一填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院专业班学号姓名装订线装订线装订线

于该区域的点，这样的区域称为复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指边界条件和初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为波动方程、输运方程和稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

数学物理方法填空题答案

1. 复数1i e -的模为，主辐角为弧度。 2. 函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。 3. ln1=_________. 4. =ix e _________。 5. ln(1)i --=23(21)(2),0,1,2,2 n n n π-++=±±L 。 6.复数 =-)4ln(),2,1,0()12(4ln Λ±±=++k i k π。 7. 复数=i cos 2/)(1-+e e 。 8. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部xy y x y x v +-=22),(，则实部=),(y x u c xy y x +--22/)(2 2 。 9. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部(,)v x y x y =+且(0)1f =，则解析函数为 z zi +。 10. 积分 dz z z z ?=12sin =______ . 11. 求积分=?=1cos z dz z z _________ 12. 2000 |2009|3(2011)z z dz --=-=?? 0 。 13. 设级数为∑∞ =1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 14.设级数为)211n n n n z z + ∑∞=（，求级数的收敛区域。

15. ) 3)(2(1)(--=z z z f 在3||2<时，()0f x =。则函数的()f x 傅里叶变换为2()(1cos 2)B ωωπω=- 25. 函数 ???><=)1|(|0 )1|(|)(t t t t f 的傅里叶变换为)/()/sin cos (2πωωωω+-。 26.=+??-dx x ] )6([sinx 2009 2008 πδ -1/2 。

数学物理方法典型习题

典型习题一、填空题： 1 的值为，，。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为。 4、ln(5)-的值为。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为、。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为，f （k ）的傅里叶逆变换为。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为。二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数学物理方法第08章习题

第八章习题答案 8.1-1 证明递推公式：（1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得（目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得（目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得：（目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+

【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算：（1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3）求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。由于在平面上可微所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

数学物理方法

数学物理方法课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称：数学物理方法所属专业：物理、应用物理专业课程性质：数学、物理学学分：5 （二）课程简介、目标与任务这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。（四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编二、课程内容与安排第一部分线性空间及线性算子第一章R3空间的向量分析第一节向量的概念第二节R3空间的向量代数

第三节R3空间的向量分析第四节R3空间的向量分析的一些重要公式第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析第一节R3空间中的曲线坐标系第二节曲线坐标系中的度量第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间第一节线性空间的定义第二节线性空间的内积第三节Hilbert（希尔伯特）空间第四节线性算符第五节线性算符的本征值和本征向量第二部分复变函数第四章复变函数的概念第一节映射第二节复数第三节复变函数第五章解析函数第一节复变函数的导数第二节复变函数的解析性第三节复势第四节解析函数变换第六章复变函数积分第一节复变函数的积分第二节Cauchy（柯西）积分定理第三节Cauchy（柯西）积分公式第四节解析函数高阶导数的积分表达式第七章复变函数的级数展开

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

《高等数学》第四册(数学物理方法)

第一章复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

数学物理方法第二章习题及答案整理

第二章答案一、简述 1．简述状态空间描述与输入/输出描述的不同。解：输入/输出描述是系统的外部描述，是对系统的不完全描述，用微分方程及其对应传递函数表征；状态空间描述是系统的内部描述，是对系统的完全描述，用状态空间表达式表征。 2．线性定常系统经非奇异线性变换哪些量和性质不变？（至少列举3项）解：特征值不变，传递矩阵不变，可控性及可观测性不变。二、多选题 1.对于n 阶线性定常系统 x Ax Bu =+&，下列论述正确的是（ ABD ） A 当系统矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n υυυL 时，则矩阵A 可化为对角线规范形； B 系统矩阵A 的n 个特征值12,,,n λλλL 两两互异，则矩阵A 可化为对角线规范形； C 系统矩阵A 有重特征值，则矩阵A 不能化为对角线规范形； D 系统矩阵A 有重特征值，但重特征值的几何重数等于其代数重数，则矩阵A 可以化为对角线规范形。三、求状态空间描述 1、给定系统的传递函数为 1 ()(4)(8)G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。解：由传递函数 32 11 ()(4)(8)1232g s s s s s s s ==++++ 可写出原系统的能控标准形 01000010032121u ???????????? ????--????x =x +& 2．已知系统的传递函数为 2325 ()1510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。解：

能控标准型： 01000010101501[521]x x u y x ???? ????=+????????--????=& （2分）能观标准型： 00105101520101[0 01]x x u y x -???? ????=-+????????????=& 3．已知系统的传递函数为 2323 ()510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。解：能控标准型： 0100001010501[321]x x u y x ???? ????=+????????--???? =& （2分）能观标准型： 010*********[0 01]x x u y x -???? ????=-+???????????? =& 3．已知系统的传递函数为 32 20 ()43G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。解：（1）由传递函数 3220 ()43G s s s s =++可写出原系统的可控标准型 []01 00001003412000u y x ???? ????????????--????=&x =x + 4．已知系统的传递函数为 210 ()1 G s s = +

【西大2017版】[0135]《数学物理方法》网上作业题答案

（0135）《数学物理方法》网上作业题答案 1：第一次 2：第二次 3：第三次 4：第四次 5：第五次 1：[论述题]10(附件）参考答案：10题答案 2：[论述题]9(附件）参考答案：9题答案 3：[填空题]8(附件）参考答案：8题答案 4：[填空题]7(附件）参考答案：7题答案 5：[填空题]6(附件）参考答案：6题答案 6：[填空题]5(附件）参考答案：5题答案 7：[填空题]4(附件）参考答案：5题答案 8：[论述题] 1(点击) 参考答案：1题答案 9：[论述题]2(点击) 参考答案：1题答案 10：[论述题]3(点击) 参考答案：3题答案 1：[论述题]10（附件）参考答案：10题答案 2：[填空题]9（附件）参考答案：1/2 3：[填空题] 8(附件）参考答案：0 4：[填空题]7（附件）参考答案：7题答案 5：[填空题]6(附件）

参考答案：0 6：[填空题]5(附件）参考答案：0 7：[填空题]4(附件）参考答案：0 8：[论述题]1(点击) 参考答案：1题答案9：[论述题]2(点击) 参考答案：2题答案10：[论述题] 3(点击) 参考答案：3题答案1：[论述题]10（附件）参考答案：10题答案2：[论述题]9（附件）参考答案：10题答案3：[填空题]8（附件）参考答案：3 4：[填空题]7（附件）参考答案：3 5：[填空题]6（附件）参考答案：3 6：[填空题]5（附件）参考答案：1 7：[填空题]4（附件）参考答案：2 8：[论述题] 1(点击) 参考答案：1题答案9：[论述题]2(点击) 参考答案：2题答案10：[论述题]3(点击) 参考答案：3题答案1：[论述题]10（附件）参考答案：10题答案2：[论述题]9（附件）参考答案：9题答案3：[论述题]8（附件）参考答案：8题答案4：[论述题]7（附件）参考答案：0

【最新】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式：由三角形式得：3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法考试模拟试题答案

一 1D 2B 3D 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10D 二（10分）已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数。 .解： y e y u y e x u x x cos sin ==????（2分）由C -R 条件，有x u y v ????=，y u x v ????-=，（2分） ∴. )(cos sin x y e ydy e dy x u dy y v v x x ?????+-====??? （2分）再由y e y u x y e x v x x cos )(cos -=-='+-=?????，得,)(,0)(C x x =='??于是 ∴C y e v x +-=cos （2分） )()cos (sin )(C e i C y e i y e z f z x x +-=+-+=(2分) 三求解一维无界弦的自由振动，设弦的初始位移为φ（x ），初始速度为-a φ’(x)。解：定解问题为：分）（分）分）2)sin()]sin())[sin((21)]sin()[sin(212()(21)]()([21),(6() cos() sin(0002at x at x at x a a at x at x d a at x at x t x u x a u x u u a u at x at x t t t xx tt -=--+-+-++=+-++=?????-===-?+-==ξξψ?? 四定解问题为 u tt -a 2u xx =0 u │x=0=0, u x │x=l =0 u │t=0=0 u t │t=0=v o （8分）

数学物理方法习题答案

数学物理方法习题答案：第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。（2）左半平面0,x <但是除去圆2 2 (1)2x y ++=及其内部；圆 2211()416x y - += 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 3 2,2[c o s (3)s i n (3)i e i π ππ+； ,(c o s 1s i n 1i e e e i ?+ 3、2k e ππ --； (623) i k e π π +； 42355c o s s i n 10c o s s i n s i n ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()c o s 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。（2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1)2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()22u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、（1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1220 11()1(0)2!2!1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξ ξξξξξξπξξπξξ+=======?? 第四章： 1、（1）23 23()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3 ）2 11111()()[(1)(1)](1)11 222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =- -- ①3z <时 110 11( )34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时