常用的专业销售技巧总结

常用的专业销售技巧总结

I)开场白：

你的自我介绍必须注明以下几点：

你是谁？

你是代表哪家公司？

你的来意？

为什么他们要花吋间听你谈话？

例子：

“陈先生，我们曾经使一家和你们情况类似的公司将他们的产品购买量降低了15%,而他们并没有付出多余的工作。我相信我们也町以为你们这样做——为彻底了解你们的情况，我想问你们儿个问题……

(II)寒喧

你们的寒喧应该友好而简短，你的形象和微笑应该有利于创造一种友好的气氛。密切注意观察你未来的客户。买与不买的感觉通常是很明显的。它告诉你，你应进入销售模式中的哪一步了。你或许已做成了一笔销售业务。但另一方面，客户可能对此根木不感兴趣。他/她或许要么是持非常消级的态度，要么是根本不听你在说些什么。

我们每一次拜访新老客户的时候，我们都会发现自己正面临巻以下三种可?能出现的购买氛围中的一种。

?积极的购买氛围：客户积极地倾向于购买。不必要作任何促销游说，可以直接成交。

?中性的购买氛围：客户既不积极地倾向于也不消极地对待购买.你就必须开始去发现他的需求。如果你销倍技巧运用得当，乂有着足够的产品知识，那么客户就极有可能会购买。

?消极的购买氛围：客户釆取封闭的心态，他根本就不感兴趣，有时还可能说出极其消极的话.在这种情况下，他们不可能作出任何购买的决定.那么我们需极短的时间内把客户至少引领到中性区域，否则你就根木没有机会做成生意。

在首次拜访新客户时，可能出现的主要挑战是怎样把客户从消极的区域引领到中性区域，以使他们从心理和感情上作好接受新内容的准备。许多知识丰富的专业销传人员认为包括寒喧在内你一般只冇25秒钟不到的时间去嵐得客户的兴趣。同时，越来越多的销售人员坚持认为对于消极和冷漠的购买态度加紧催逼是无济于事的。

(Ill)着力宣传，诱发兴趣

赢得客丿'啲兴趣是我们在进行销售时首先碰到的挑战。如果我们同意加紧催逼无济于事这种观点的话，那么我们就只有一种选择了：我们必须设法减少客户的抵触因素。为引起客户的兴趣，许多成功的销售人员都使用了一种类似于报纸为吸引读者阅读而采用标题的技巧，使你去买他的报纸或阅读那篇文章。这一同样的技巧在销佯中已被证明是极其有效的。

对于销售来说，这标题就是问一个概括性的问题或是一句说明，其唯一的目的就是激发起客户的兴趣。

例了：

?你是否听说过在我们的行业中引进了一项新的令人振奋的服务？

?贵公司是否会对一种扩大生产力的技艺感兴趣？

要取得好的效果，用来吸引人的东西应在无需太具体的基础上能够激起人们的兴趣。在我们作产品介绍的时候，如在这一刻就搞得太详细的话将是极具风险的，因为我们尚未了解客户的需求所在。至少准备三个你自己用来觉得舒服的题冃，并先在自己的同伴、家人和朋友处进行试验，看你是否有效地激起了他们的兴趣。在准备这些题日的时候可遵循下述原则:

?笼统而不必具体。

?不要涉及你本人、你的公司和你的产品。

?在介绍情况的时候，不要说任何你H己无法自圆其说的话。

在使用这些题目的时候一定要做到精心挑选.相当一部分的客户会被太过戏剧化的内容摘得兴味索然，清只在你需要它们的时候才用。

在听到这些标题性的题冃后，你未来的客户现在已开始准备听你的洋细介绍了。但是由于你还未能发现客户需要因此你还不具备作洋细介绍的条件。我们需要客户一起参与来完成

这一发现。人们常用的发现客户需求的方法是：“在我们讨论之前，我能问你一些问题吗？”

对于上述要求很少有客尸会予以拒绝，这一关键性提问可减少紧张程度，使客户作好参与的准备（在我们讨论之前），并可延缓你作详细介绍的时间，直到你收集到足够的资料。它可以使你能够让你的客户一同参与到所要解决的问题中去。

（IV）发现客户需求

发现需求的过程就是让我们去揭示我们客户的具体需要，是我们去了解他/她个人及企业需求的一种业务。我们在这一方血能否成功很大程度上依赖于我们能否直接、不断地使我们的客户一同参与到这一过程中。

这一过程的基础是进行有效的问询和倾听。

就这一点而言，对所有客丿、提出的问题都应该是开放式的。

?封闭式的问题：指只需用“是"或“不是”来回答的问题。

?开放式的问题：指需提供有关信息的问题。

我们所问的开放式问题一般分为两大类：

1.发现事实

目的：1）使客户放松

2）收集有价值的信息

3）表明你已作好准备工作

2,征求意见

目的:征求客户的意见和态度

通常最初的2-3个问题的都是有关的事实，一般都很容易回答，并且不太会有引起客户的紧张。我们与客户交谈过程中，开场寒喧和会面结束时最易引起客户（同样也包括销售人员）的紧张。紧张的程度对于你访问的成功与否起着很大的作用。

紧张情绪：

程度低吋——你的客户就更可能想去寻找解决问题的方法

程度高时——你的客户就更可能试图去摆脱造成他/她紧张的根源——你！

1、事实

用以了解事实为目的的题目开场，以帮助降低紧张程度。

2、感觉/看法

在问过最初的2.3个问题后，我们可以开始了解客户的有关看法和感觉了。其提问的内容可包括未来的计划（如扩展计划、未来的需求量等）。在此，我们既可以了解冇关过去的具体事实，也可以问及客户对未来众多可能性的看法或感觉。

向一个未来或老客户了解他/她H前正在使用的某一种同类产品是一件充满风险的事。这种会碰到的风险包括：

?等于是在批评购买者以前所作的购买决定——购买者会坚持他或她没有什么问题，从而变得不很合作。

?无意中加剧了竞争——我们必须正视这一点，因为购买者完全期望着你会说你的产品和服务要:比你竞争对手正在使用的要好。

?加剧了购买者的紧张程度，以致于他/她再也不愿继续与你讨论下去。

?个增加获得这些重要信息的可能性，同时乂使你减少疏远客户的风险的办法是:

第一部分：“你最喜欢你目前使用产品的什么方面？”

客户的冋答可以褚助你清楚地了解顾客所能获得的哪些利益对他们来说最重要。因而在紧接者马上就要进行的产品介绍中，你就可以在这些方面多提供些好处给客户。这肘你对所获得信息的应答就可以是：“不错，我很高兴你能获得这些利益”。

第二部分：“我是否可以问一下你对他们的什么喜欢程度最低？”

尽管你没有去问客户他们不喜欢什么，但是这常常正是你所听到的。通过对第二个问题提问时的小心措辞“你喜欢程度最低的是什么”，你在使客户与你讨论他们不喜欢什么变得更加容易，而旦也没有逼使他们去承认在上次的购买中犯了一?个错误。

方法：“观察” + “提问” + “倾听”，发掘客户需要。

进行的问讪和倾听冇利于创造一种轻松、非正式的讨论甄围，从而使信息的收集变得极为可能。

?个困扰着大多数的销售人员，并使他们在这?重耍领域的工作不十分到位的问题是对自己在作产品介绍时会“失控”的担心。毕竟，有时大部分时间可能会是客户在讲话。有经验的销售人员懂得保持对局势控制并不意味着得山你来讲话。事实上，事情恰恰相反，客户的参与程度越高，我们就越可能了解和针对他们的需要行事，我们越能针对他们的需要行事。就越能在双方间建立信用和信任，双方间越再信用和信任，我们就越能控制局势，就越可能在这次访问中实现我们总的冃标。

（V）介绍产品特点，提供解决问题的方法:

在至此己经开始的问询与倾听过程屮，我们正试图揭示客户的一?些需求或需要解决的问题。我们同时也在了解在哪些方面客戸的需求己经得到了满足。通过了解客户的那些需求己经得到了满

足，我们就可决定是否有必要去满足他们的比可以从目前正使用某一竞争性产品或服务中得到的更多的要求。

专业销售人员只冇在他们与客广一致确认了需求的性质以及这些需求相对于客户的更要性后才会提出解决问题或满足这些需求的方法。

上面的这句话表明销侣人员关心的是客户的需求而非本公司的产品或服务。

注意：人们不是买我们的产品或服务，人们是向那些他们认为能够理解他们需求的人购买需求的满足和解决问题的方法。

我们并非出售我们的产品或服务，我们是出售巾我们的产品或服务所带来的利益，并旦这些利益能满足客户的需求。

取得产品介绍成功的要点：

1.保持简短扼要

我们要尽可■能清楚、简洁地表达我们的思想。尽可能避免使用一?些行业术语以及一?连串的由首字母构成的词。这些术语和词往往只有我们自己和我们的同伴能懂，而对于其他大多数的人来说则是亳无意义的。

购买者并不总是象我们一样熟悉那些行业的术语，而旦既使他们听不憧我们在说些什么，他们通常也不会告诉我们?这时我们所面临的主耍风险是人们通常不会购买他们所不了解的产品。我们是否可以使用这些术语得视购买者而定。否则就将它们留在你的办公室吧!

最后，每次只宜解决一个问题，并需要不断得到客户的反馈。只冇这样才能极大地增加你被理解的可能性，并进而増加你得到定单的可能性。

注意：滔滔不绝并非销吿，我们要用最简要、清晰，易懂的语言与客户沟通。

2.视觉手段

运用视觉手段有助于我们清楚明了地展示我们的产品和服务，有助于我们的客户形象地了解他/她所能得到的好处。如果你把这些视觉材料放在一个活页夹中时，你就必须熟悉它们摆放的次序，这样你就能很快地找到你所拜访的客户所需的资料。产品样品和试用的方式对帮助客户了解他们的需求是否能被满足很有好处。但在试用和征求定单之间不要留太多的时间，拖延的时间越长，就越会增加得不到定单的危险。

3.运用第三者的例子

所谓第三者的例子是指向客户介绍那些己经成功地使用我们的产品或服务来满足他们需求的人的例子，这些例子除了能使我们所作的介绍更加生动外，还能帮助我们的客戸形象地了解我们的产品或服务所能给他们带来的好处。另外也可有助于我们树立信誉。在介绍一个第三者的例子时，我们可要么使用普通代词“其他人”，要么使用某个具体公司和个人的名称来挙例说明他们那些与客户相同的需求已经通过我们的产品或服务得到了满足。这些例了还可冇助于避免销侈人员的难堪，因为如果客户不同意销传人员的观点，那他是在不同意第三者的做法。要么他持赞同的观点的话，那他通常就是赞同该销售员了。

在举第三者的例子时，如要使用具体的公司或个人名称的话，每次都应吿诉客户你是得到允许才援引该例子的，如果你不这样做，你的客户就会确信你会把每个人的事情告诉任何人。没有人是会愿意与一个不尊重原本属于他人专享的信息的人做生意的。因此在没有得到允许前千万不要引用任何具体第三者的例子。这样当你在使用这?销吿的强力工具时就可极大地降低可能遭遇到的风险。

4.对特征——功能——用途进行说明

专业销售人员可以使用的另一个极为重要的工具是向客户作（产品/服务的）特征、功能、用途介绍。这是一个最少为客户所理解的，因此也是最少为销售人员所使用的技巧。

我们多以某一具体客户的需求开始。

特征——介绍的“是什么”，即针对的是客户需要的是什么产品。

功能——介绍的是该产品能做什么。

用途——介绍的是它可以满足客户的什么需求。

大多数的销售人员存在的主要问题是不知如何区别功能与用途，除非我们能够学着去做，否则我们将面临只注重介绍我们的产品或服务能做什么，而忽视了介绍它们能满足客戸的什么需求或解决客户的什么问题。所谓用途是指客户的需求可以得到满足。

在把各要点介绍完后，我们必须花些时间去确认客户是否赞同我们的介绍。这种反馈告诉我们该客戸是否会“购买我们解决问题的方案”，是否对我们的产品或服务能够解决他的问题或满足他的需要抱有信心。没有这种反馈，我们就会发现我们所要解决的问题并不是客户所最关心的。此时我们最常用的技巧是用封闭式的问题提问，比如：

“对你来说节省时间是很重要的，对吗？”

“其品质的优劣是很重要的，是吗？”

客户对你表示赞同的话表明你己瞄准了方向，并使你冇机会达到你的Id标。

?征求订单

?预订初步订单

?根据规格出价

?安排一次产品展示

?递交一份计划书

识别购买信号

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征求订单的最佳时机应是客户已经在思想上接受了我们的产品和服务。如果我们能将我们的产品和服务正确定位成客户需求的满足物时，客户就将能够预见到他们的需求会得到满足，并会向我们发出相应的信号。

要识别“购买信号”，我们必须要能把精力集中在客户身上。除非我们己经对自己的产品和工艺非常的熟悉，否则我们会发现白己老是在注意白己该说些什么，而不是在听客丿'［告诉我们些什么。

简单地说，购买信号就是用身体与声咅表现满意的形式。这也就是说客户所说和所做的一切都在告诉你他/她已作出了愿意购买的决定。在大多数情况下，购买信号的出现是较为突然的，有的时候，客户甚至可能会用某种购买信号打断你的讲话，因此清保持你的警觉性。

1、语言的信号

?“听起来倒挺有趣的……"

?“我愿……”

?“你们的售货条件是什么?"

?“它可不可以被用来……？”

? “多少钱？"

2、身体的信号

购买信号冇时是非语言和很微妙的。请注意观察看客户是否:

?突然变得轻松起来。

?转向旁边的人说：“你看怎么样？"

-突然叹气

?突然放开交叉抱在胸前的手（双手交叉抱在胸前表示否定，当把它们放下时，障碍即告消除。?身体前倾或后仰，变得松弛起来。

?松开了原本紧握的拳头。

?伸手触摸产品或拿起产品说明书。

当以上任何情形出现时，你就可以征求订单了，因为你观察到了正确的购买信号。

3、表示友好的姿态

有时客户突然对你表现出友好和客气的姿态。

?“要不耍喝杯咖啡？”

?“要喝点什么饮料吗？”

?“留下来吃午饭好吗？”

?“你真是个不错的销售员。”

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? “你真的对你的产品很熟悉。”

请密切注意你客丿、所说的和所做的一切，也许获得订单的最大绊脚石是销售员本人的太过健谈，从而忽视了客户的购买信号。任何时候你认为你听到或看到了一种购买信号，你就可征求订单了。这时你要是还得不到订单的话，那就该你倒楣了：你将会听到一个以前不曾提到过的不同意见。

如何处理客户反对意见

为什么人们会提出反对意见？主要因为：

1）不明白你的讲解

2）顾客需要不被了解

3）害怕“被出卖”

4）没冇说服

5）主要购买动机没有得到满足

有经凝的销佐人员喜欢冇反对意见。因为他们知道如果他们能够满足?个客户的真正的需求，他们就乂向做成这笔业务迈进了一步。

80%的反对意见来自于下列种基木的类别:

1.价格

2.质量

3.服务

4.竞争

5.应用

6.交货

7.经验

8.信誉

II

? “你真的对你的产品很熟悉。”

请密切注意你客丿、所说的和所做的一切，也许获得订单的最大绊脚石是销售员本人的太过健谈，从而忽视了客户的购买信号。任何时候你认为你听到或看到了一种购买信号，你就可征求订单了。这时你要是还得不到订单的话，那就该你倒楣了：你将会听到一个以前不曾提到过的不同意见。

如何处理客户反对意见

为什么人们会提出反对意见？主要因为：

1）不明白你的讲解

2）顾客需要不被了解

3）害怕“被出卖”

4）没冇说服

5）主要购买动机没有得到满足

有经凝的销佐人员喜欢冇反对意见。因为他们知道如果他们能够满足?个客户的真正的需求，他们就乂向做成这笔业务迈进了一步。

80%的反对意见来自于下列种基木的类别:

1.价格

2.质量

3.服务

4.竞争

5.应用

6.交货

7.经验

8.信誉

II

当客户提岀反对意见时，不耍争论，不要反击，要提供更多的令人信服的信息。

处理反对意见的步骤

1、倾听反对意见

第一步是倾听人们提出的反对意见，看到底是真正的问题还是想象中的问题，如果是个真正的问题，就应该马上着手处理。如果只是一个假象的问题，也仍然要予以处理。只不过我们可以把它推迟到在进行产品介绍时找一个合适的地方予以处理。

2、表示理解

表示理解是指对客户的反对意见表示理解，而不是同意或同情。比如：

购买者：“李先生，恐怕你的价格太髙了些。”

销售员：“我理解你为什么会有这种感觉

这种表示理解的表述目的在于承认购买者对价格的忧虑，但却没有表示赞同或表现出防卫的意识，在答复人们的反对意见时永远不要使用“但是”或“然而”这样的转折词。用了这两个词就好象是在马上否定掉它们前1(11的那句话，因而也就在销吿人员和购买者之冋竖起了一道障碍，如果你一定用连词的话，请用“那么”。

错误表述：“是啊，似乎是貴了点，但是……”

正确表述：“陈先生，我理解你的观点，让我们就来谈谈这个问题。”

这样双方就建立起了合作关系，而不是抵触的情绪。

3、让客户对你的反驳作好准备

在这一刻我们的H标是降低客户的紧张程度，从而减少引起冲突的可能性。

4、提供新的证据

至此，既然反对意见已经得到了降温，我们便可以提出反驳了。根据反对意见的类别, 定出最具体的、符合逻辑和确切的答夏，接着把它们记住，并一遍遍地使用直到它听起来让你感到自然为止。

5、征求订单

处理反对意见的最后一?步是征求订单。在你作出尽可能最佳的答复后，你可以征求客户意见，是否同意购买。

处理反对意见的技巧

在处理反对意见时，我们的目标是既消除不同意见，又不让客户失去面了。

1、把它转换成一个问题

儿乎所有购买者提出的反对意见都可以被转换成问句的形式。如果购买者同意把它看成是一个问题的话，那么他/她就再也不会把它看成是?一个反对意见了。这时购买者是在等待对这个问题的的答复。在你作出答負后，他便只能作出两种选择了(1)“是，这确实是个问题”或(2) “不……。”如果购买者说“不”，那你就可收集到更多的信息。

购买者：“不，这倒不是个问题疽’

销偲员：“哦，是吗！那清你告诉我你主耍的问题是什么？”

购买者：“嗯，我想要的是。”

瞧，他就要说出真正的问题所在了。这第一个确实不是什么问题。如果你能满足他第二个问题，双方就可能做成生意了。

2、自己觉得——人家觉得——发现

这种用“自己的感觉一一人家的感觉——最终发现……”的方法来处理客户的反对意见能有

效地引导客户接受我们的条件，同时也可避免发生冲突的潜在危险。

下面我们可以来分析一?下这种方法，并用我们自己的反对意见穿插到这种方法中去模拟练习一下。

自己去感觉——“我理解你的感觉……"

目的：表示理解和同感。

人家的感觉——“其他人也觉得……"

目的：这样可以帮助客戸不失面子。

发现——“……而旦他们发现……”

目的：

1、舒缓销售人员面临的压力

2、使客户作好接受新证据的准备

这样做，如果双方有什么分歧，那问题在第三者身上。但如果如果达成一?致，那么你想谁将获利？你！

我们耍有“期盼反对意见”的心态来面对客户的反对意见。这显示顾客对我们有兴趣, 它能使我们可能大道圆满的结局。

至此，在我们拜访客户期间，我们达到了下述目的：

?赢起了他/她的兴趣

?发现了他/她的需求

?提岀了解决他/她问题的方法

?处理好了他/她原本所持有的反对意见

至此，既使我们一切都干得很好，如果我们不征求订单的话，我们也还是可能得不到它。尽管我们双方都认为我们的产品/服务可以满足客户的需求，但作出决定的过程仍可能会极大程度地引起客户的紧张情绪，以致于反而一下子倒作不了决定。这时我们的作用在于帮助客户克服这一窘境。现在的问题己经不是客户是否愿意购买我们的产品/服务，而是在于我们该如何帮助他/她完成这一?决策的过程。只有尽量使客户的决策变得容易，我们双方才能最大程度地获得利益。

（VI）取得合同/订单的技巧（拍板）

专业销售人员应该懂得掌握各种如何拍板技巧。下面是一些经常使用的拍板技巧。既然你巳与客户达成-?致，认为你所提供的产品能够满足他/她的需求，并旦你也注意到了那些你认为是的购买信号，你要不失时机地采用各种办法拍板成交，获取订单。以卜,是一些经常使用并行之有效的方法：

1、征询意见法

有些时候我们并不能肯定是否该向客户征求订単了，我们也许不敢肯定是否正确地观察到了客丿、的购买信号。在这些情况下，最好能够使用征求意见法

?“陈先生，你认为这?服务能解决你送货的困难吗？”

?“在你看来这会对贵公司有好处吗？”

?“如果我们能解决这一色料的问题，陈先生你认为这是否解决了贵公司的问题？”

这种方式能让你去探测“水的深浅”，并且在一个没冇什么压力的环境下，征求客户订单。当然，如果你能得到?-个肯定的答复，那你就可填写订单了。你再也不必重新罗嗦怎样成交了。象其它任何领域内的销售一样，你说的越多，越可能冇失去订单的风险。

2、从较小的问题着手法

从较小的问题着手?来结束谈判就是请你的客户作出一个较小的决定，而不是一下了就要作出什么重要的决定，比如让他们回答“你准备订货吗？”之类的问题。所提的问题应该是:

?“你看哪一天交货最好？”

?“第一批货你喜欢什么颜色的？”

?“你希望把它装配在哪里？”

3、选择法

用以下的提问方法给你的客户以选择的余地一一无论哪一个都表明他/她同意购买你的产品或服务。

?“你看是星期四还是星期五交货好？”

?“是付现金还是赊购？”

?“我们是20,000还是50,000起售?"

?“你是要红色的还是要黄色的？”

4、总结性

通过总结法，主耍是把客户将得到的服务进行一下概括，然而以提问一个较小的问题或选择题来结朿会谈。

“陈先生，我们双方同意采用大包装，你看是先送20箱还是50箱？”

5、直接法

直接法顾明思义就是用一句简单的陈述或提问直接征求订单。

?“陈先生，那我就给你下订单了。”

? “李经理，那我就把货物的规格写下了

6、敦促法

“朱先生，该产品的需求量非常大，如果你现在不马上订货的话，我就不能保证在你需要的时候一定冇货/

7、悬念法

“唐先生，价格随时都会上涨，如果你现在行动的话，我将保证这批订货仍按目前的价格收费。”

VII）巩固销售（封板）

祝贺你得到了订单，但千万不要沾沾自喜，更不能有一种“我羸了，客户输了”的观点, 千万避免：“谢谢你的订单，我貞?的对此表示感谢

我们与客户实际上刚完成了一个完全的协商过程。我们的产品/服务介绍是针对客户的需求，客户购买了能满足他们需求的东西，感到非常高兴，如果我们仅为他的订单而去感谢他, 则很可能突出了这样一个事实，即我们对客户的销吿成功了，而不是客户自己作出了购买决定。

利用这个机会说上儿句利于巩固销倍的话。比如：“陈先生，你作出了非常好的决定，这将冇利于你……。”对此，你的客户很可能报以这样的回应：“谢谢你！”

如果你以前还碰到过客户在你交货前取消订单的，那你将会发现用“巩固销告的话语” 代替“谢谢你”之类的话，你就能极大地降低客户取消订单的风险，人们打个电话取消你销供给他的订单要比让他取消他自己决定要买的订货容易得多。

销售技巧是一种技能，唯有在实践销吿过程中不断磨练，你才能熟练掌握。

想要成为一名成功的职业销您大师除了掌握并熟练运用这些专业销侣技巧外，还要不断学习各种相关的知识以充实自己，提高自己的自命素质。销售是一个与人交往的工作，唯冇客户认可并接受你的个人素质，客户才有可能购买你的产品，你才可能成功。

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常用的计算公式

常用的计算公式 【和差问题公式】 （和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。 【和倍问题公式】 和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或和-一倍数=另一数。 【差倍问题公式】 差÷（倍数-1）=较小数； 较小数×倍数=较大数， 或较小数+差=较大数。 【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。 【一般行程问题公式】 平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。 【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：

（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 【列车过桥问题公式】 （桥长+列车长）÷速度=过桥时间； （桥长+列车长）÷过桥时间=速度； 速度×过桥时间=桥、车长度之和。 【行船问题公式】 （1）一般公式： 静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；船速-水速=逆水速度； （顺水速度+逆水速度）÷2=船速； （顺水速度-逆水速度）÷2=水速。 （2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。 （求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。 【工程问题公式】 （1）一般公式：

高数积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d () x x ax b +? ＝ 21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +? ＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18 ． x ? ＝2a x -+ （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

常用统计量

统计学基本概念 13.3常用统计量 统计量 设想你参加了一次考试，在知道自己得到了78分后，希望了解自己的成绩在班级上处于什么水平。你会怎样做？ 你对自己未来工作收入的预期是什么？ 定义：设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，若样本函数(),,,12n T T X X X = 中不含有任何未知参数，则称T 为统计量。统计量的分布称为抽样分布。********************************************************** 强国知十三数：境内仓口之数，壮男壮女之数，老弱之数，官士之数，以言说取食者之数，利民之数，马牛刍藁之数。欲强国，不知国十三数，地虽利，民虽众，国愈弱至削。国无怨民曰强国。兴兵而伐，则武爵武任，必胜；按兵而农，粟爵粟任，则国富。兵起而胜敌，按兵而国富者，王。 （秦·商鞅《商君书》） 商鞅（前390～前338年），卫国家，思想家，著名法 家代表人物。应秦孝公求贤令入秦，说服秦孝公变法图强。孝公死后，受到贵族诬害以及秦惠文王的猜忌，车裂而死。其在秦执政二十余年，秦国大治，史称“商鞅变法”。 **********************************************************

统计量是对样本的一种加工。常用的统计量有样本均值、样本方差等。 定义设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，则12n X X X X n +++= =1 1n i i X n =∑称为样本均值。 定理设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值， （1）若总体()2,~σμN X ，则~,2X N n σμ?? ?? ?；证明：,,,12n X X X 相互独立，()2~,1,2,k X N k n μσ= ()()()1212n n E X E X E X X X X n E n n n μμ++++++??=== ??? ()()()22121222n n Var X Var X Var X X X X n Var n n n n σσ++++++??=== ??? （2）若总体分布不是正态分布，已知()μ=X E ，()2σ=X D ，则n 较大时，X 的渐近分布为??? ? ??n N 2,σμ，常记为~,2X N n σμ?? ??? 。**********************************************************定义设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值，则 ()22 111n i i S X X n ==--∑称为样本方差。定理设总体X 具有二阶中心矩，()μ=X E ，()2Var X σ=<+∞，,,,12n X X X 为来自该总体的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()22E S σ=。样本方差是总体方差的无偏估计，样本均值是总体期望的无偏估计。**********************************************************

建筑施工常用计算公式大全及附图

建筑施工常用计算公式大全及附图 工程量计算公式 （建筑物场地厚度在±30cm以内的挖、填、运、找平。） 1、平整场地计算规则 （1）清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 （2）定额规则：按设计图示尺寸以建筑物外墙外边线每边各加2米以平方米面积计算。 2、平整场地计算公式 S=（A+4）×（B+4）=S底+2L外+16 式中：S——平整场地工程量； A—建筑物长度方向外墙外边线长度； B—建筑物宽度方向外墙外边线长度； S底—建筑物底层建筑面积； L外—建筑物外墙外边线周长。 该公式适用于任何由矩形组成的建筑物或构筑物的场地平整工程量计算。

点击>>工程资料免费下载 二、基础土方开挖计算 1、开挖土方计算规则 （1）清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。 （2）定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指基础底宽外加工作面，当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。2、开挖土方计算公式 （1）清单计算挖土方的体积：土方体积＝挖土方的底面积×挖土深度。（2）定额规则：基槽开挖：V=（A+2C+K×H）H×L。 式中：V—基槽土方量； A—槽底宽度； C—工作面宽度； H—基槽深度； L—基槽长度。. 其中外墙基槽长度以外墙中心线计算，内墙基槽长度以内墙净长计算，交接重合出不予扣除。

基坑开挖： V=1/6H[A×B+a×b+(A+a)×(B+b)+a×b]。 式中：V—基坑体积； A—基坑上口长度； B—基坑上口宽度； a—基坑底面长度； b—基坑底面宽度。 三、回填土工程量计算规则及公式 1、基槽、基坑回填土体积=基槽（坑）挖土体积-设计室外地坪以下建（构）筑物被埋置部分的体积。 式中室外地坪以下建（构）筑物被埋置部分的体积一般包括垫层、墙基础、柱基础、以及地下建筑物、构筑物等所占体积 2、室内回填土体积=主墙间净面积×回填土厚度-各种沟道所占体积 主墙间净面积=S底-（L中×墙厚+L内×墙厚） 式中：底—底层建筑面积； L中—外墙中心线长度；

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

常用的计算公式大全

齐全的计算公式 在实际生活中我们往往会遇到各种各样的计算，为此特向大家提供各种换算公式，以供参考。 1平方公里（km2）=100公顷（ha）=247.1英亩（acre）=0.386平方英里（mile2） 1平方米（m2）=10.764平方英尺（ft2） 1平方英寸（in2）=6.452平方厘米（cm2） 1公顷（ha）=10000平方米（m2）=2.471英亩（acre） 1英亩（acre）=0.4047公顷（ha）=4.047×10-3平方公里（km2）=4047平方米（m2 ） 1英亩（acre）=0.4047公顷（ha）=4.047×10-3平方公里（km2）=4047平方米（m2 ） 1平方英尺（ft2）=0.093平方米(m2) 1平方米（m2）=10.764平方英尺（ft2） 1平方码（yd2）=0.8361平方米（m2） 1平方英里（mile2）=2.590平方公里（km2） 体积换算 1美吉耳（gi）=0.118升（1）1美品脱（pt）=0.473升（1） 1美夸脱（qt）=0.946升（1）1美加仑（gal）=3.785升（1） 1桶（bbl）=0.159立方米（m3）=42美加仑（gal）1英亩·英尺＝1234（注本文介绍的生活常用资料，销售小技巧，一些小方法的消防安全法律知识所

立方米（m3 ） 1立方英寸（in3）=16.3871立方厘米（cm3）1英加仑（gal）=4.546升（1） 10亿立方英尺（bcf）=2831.7万立方米（m3） 1万亿立方英尺（tcf）=283.17亿立方米（m3） 1百万立方英尺（MMcf）＝2.8317万立方米（m3） 1千立方英尺（mcf）=28.317立方米（m3） 1立方英尺（ft3）=0.0283立方米（m3）=28.317升（liter）1立方米（m3）=1000升（liter）=35.315立方英尺（ft3）=6.29桶（bbl）长度换算 1千米（km）=0.621英里（mile）1米（m）=3.281英尺（ft）=1.094码（yd） 1厘米（cm）=0.394英寸（in）1英寸（in）=2.54厘米（cm） 1海里（n mile）=1.852千米（km）1英寻（fm）=1.829（m） 1码（yd）=3英尺（ft）1杆（rad）=16.5英尺（ft） 1英里（mile）=1.609千米（km）1英尺（ft）=12英寸（in） 1英里（mile）=5280英尺（ft）1海里（n mile）=1.1516英里（mile）质量换算 1长吨（long ton）=1.016吨（t）1千克（kg）=2.205磅（lb） 1磅（lb）=0.454千克（kg）[常衡] 1盎司（oz）=28.350克(g) 1短吨（sh.ton）=0.907吨（t）=2000磅（lb） （注本文介绍的生活常用资料，销售小技巧，一些小方法的消防安全法律知识所

Excel常用的函数计算公式大全(一看就会)

计算机等级考试 =公式名称（参数1，参数2，。。。。。） =sum(计算范围) =average(计算范围) =sumifs(求和范围，条件范围1，符合条件1，条件范围2，符合条件2，。。。。。。) =vlookup(翻译对象，到哪里翻译，显示哪一种，精确匹配) =rank(对谁排名，在哪个范围里排名) =max(范围) =min(范围) =index(列范围，数字) =match(查询对象，范围，0) =mid(要截取的对象，从第几个开始，截取几个) =int(数字) =weekday(日期，2) =if(谁符合什么条件，符合条件显示的内容，不符合条件显示的内容) =if(谁符合什么条件，符合条件显示的内容，if(谁符合什么条件，符合条件显示的内容，不符合条件显示的内容)) EXCEL的常用计算公式大全 一、单组数据加减乘除运算： ①单组数据求加和公式：=（A1+B1） 举例：单元格A1：B1区域依次输入了数据10和5，计算：在C1中输入=A1+B1 后点击键盘“Enter（确定）”键后，该单元格就自动显示10与5的和15。 ②单组数据求减差公式：=（A1-B1） 举例：在C1中输入=A1-B1即求10与5的差值5，电脑操作方法同上； ③单组数据求乘法公式：=（A1*B1） 举例：在C1中输入=A1*B1即求10与5的积值50，电脑操作方法同上； ④单组数据求乘法公式：=（A1/B1） 举例：在C1中输入=A1/B1即求10与5的商值2，电脑操作方法同上； ⑤其它应用： 在D1中输入=A1^3即求5的立方（三次方）； 在E1中输入=B1^（1/3）即求10的立方根 小结：在单元格输入的含等号的运算式，Excel中称之为公式，都是数学里面的基本 运算，只不过在计算机上有的运算符号发生了改变——“×”与“*”同、“÷”与 “/”同、“^”与“乘方”相同，开方作为乘方的逆运算，把乘方中和指数使用成分数 就成了数的开方运算。这些符号是按住电脑键盘“Shift”键同时按住键盘第二排 相对应的数字符号即可显示。如果同一列的其它单元格都需利用刚才的公式计算，只 需要先用鼠标左键点击一下刚才已做好公式的单元格，将鼠标移至该单元格的右下 角，带出现十字符号提示时，开始按住鼠标左键不动一直沿着该单元格依次往下拉到 你需要的某行同一列的单元格下即可，即可完成公司自动复制，自动计算。

积分公式大全

积分公式大全

2 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4 5 6．2 d () x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2 d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8． 2 2d ()x x ax b +?＝ 2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d () x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ?＝ C 11 ．x ?＝2 2(3215ax b C a -

3

4 22 23．2 d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 24． 2 2d x x ax b +?＝2 d x b x a a ax b -+? 25．2d () x x ax b +? ＝ 2 21ln 2x C b ax b ++ 26．2 2 d ()x x ax b +?＝2 1d a x bx b ax b --+? 27．32d () x x ax b +? ＝ 2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．2 2 d ()x ax b +?＝2 2 1d 2()2x x b ax b b ax b +++? （五）含有2 ax bx c + +(0) a >的积分 29．2 d x ax bx c ++?＝ 22(4) (4) C b ac C b ac +<+> 30．2 d x x ax bx c ++? ＝2 21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c ++- ++? (0) a >的积分 31．＝1 arsh x C a +＝ln(x C +

Excel常用的函数计算公式大全(一看就会)

EXCEL的常用计算公式大全 一、单组数据加减乘除运算： ①单组数据求加和公式：=（A1+B1） 举例：单元格A1：B1区域依次输入了数据10和5，计算：在C1中输入 =A1+B1 后点击键盘“Enter（确定）”键后，该单元格就自动显示10与5的和15。 ②单组数据求减差公式：=（A1-B1） 举例：在C1中输入 =A1-B1 即求10与5的差值5，电脑操作方法同上； ③单组数据求乘法公式：=（A1*B1） 举例：在C1中输入 =A1*B1 即求10与5的积值50，电脑操作方法同上； ④单组数据求乘法公式：=（A1/B1） 举例：在C1中输入 =A1/B1 即求10与5的商值2，电脑操作方法同上； ⑤其它应用： 在D1中输入 =A1^3 即求5的立方（三次方）； 在E1中输入 =B1^（1/3）即求10的立方根 小结：在单元格输入的含等号的运算式，Excel中称之为公式，都是数学里面的基本运算，只不过在计算机上有的运算符号发生了改变——“×”与“*”同、“÷”与“/”同、“^”与“乘方”相同，开方作为乘方的逆运算，把乘方中和指数使用成分数就成了数的开方运算。这些符号是按住电脑键盘“Shift”键同时按住键盘第二排相对应的数字符号即可显示。如果同一列的其它单元格都需利用刚才的公式计算，只需要先用鼠标左键点击一下刚才已做好公式的单元格，将鼠标移至该单元格的右下角，带出现十字符号提示时，开始按住鼠标左键不动一直沿着该单元格依次往下拉到你需要的某行同一列的单元格下即可，即可完成公司自动复制，自动计算。 二、多组数据加减乘除运算： ①多组数据求加和公式：(常用) 举例说明：=SUM（A1:A10）,表示同一列纵向从A1到A10的所有数据相加； =SUM（A1:J1）,表示不同列横向从A1到J1的所有第一行数据相加； ②多组数据求乘积公式：（较常用） 举例说明：=PRODUCT（A1:J1）表示不同列从A1到J1的所有第一行数据相乘； =PRODUCT（A1:A10）表示同列从A1到A10的所有的该列数据相乘； ③多组数据求相减公式：(很少用) 举例说明：=A1-SUM（A2:A10）表示同一列纵向从A1到A10的所有该列数据相减； =A1-SUM（B1:J1）表示不同列横向从A1到J1的所有第一行数据相减； ④多组数据求除商公式：(极少用) 举例说明：=A1/PRODUCT（B1:J1）表示不同列从A1到J1的所有第一行数据相除； =A1/PRODUCT（A2:A10）表示同列从A1到A10的所有的该列数据相除； 三、其它应用函数代表： ①平均函数 =AVERAGE（:）；②最大值函数 =MAX （:）；③最小值函数 =MIN （:）； ④统计函数 =COUNTIF（:）：举例：Countif ( A1：B5，”>60”) 说明：统计分数大于60分的人数，注意，条件要加双引号，在英文状态下输入。

高等数学积分公式大全

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +

常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布 一．正态分布 1. ∑==n i i X n X 1 1EX → 2. 2 12)(11∑=--=n i i X X n S ][112 1 2∑=--=n i i X n X n DX → 3. 定理： X ～),(2σμN ，n X X X ,,,21 为X 的样本，则 (1). X ～), (2 n N σμ， (2). 2 2 )1(σ S n -～)1(2-n χ, (3). X 与2S 相互独立。 二．2χ分布 1. 定义 设n X X X ,,,21 独立同分布，且～)1,0(N ，则)(~2122 n X n i i χχ∑== 2. 性质： (1). 若X ～)(12n χ，Y ～)(22n χ，且X ,Y 独立，则X +Y ～)(212n n +χ。 (2). 若X ～)(2n χ，则n EX =，2DX n =。 三．t 分布 1. 定义 设X ～)1,0(N ,Y ～)(2n χ，且X ,Y 独立，则n Y X T =～)(n t 。 2. 定理： 设n X X X ,,,21 独立同分布，且～),(2σμN ，则

n S X μ -σ σ μS n X )(-=1 )1() (2 2 ---= n S n n X σσ μ～)1(-n t （因为 n X σ μ-～)1,0(N ， 2 2 )1(σ S n -～)1(2-n χ）。 3. 定理： 设1,,,21n X X X 为总体X ～),(21σμN 的样本， 1,,,21n Y Y Y 为总体Y ～),(22σμN 的样本，且Y X ,独立，则 2 12111)()(n n S Y X w +---μμ～)2(21-+n n t ，其中 2 )1()1(212 2 22112 -+-+-=n n S n S n S w 。 证：因为 2 2 11)1(σ S n -～)1(12 -n χ, 2 2 2 2)1(σ S n -～)1(22-n χ， 所以 2 2 2 2211)1()1(σS n S n -+-～)2(212-+n n χ； 又X ～), (1 2 1n N σμ，Y ～), (2 2 2n N σμ， 所以X Y -～), (2 2 1 2 21n n N σσμμ+ +， 所以 2 12111) ()(n n Y X +---σ μμ～)1,0(N ，所以 2 12111)()(n n S Y X w +---μμ 2 12111) ()(n n Y X +---= σμμ/ )2/()1()1(212 2 2 2211-+-+-n n S n S n σ ～)2(21-+n n t 。

造价工程师常用的计算公式总结

资金时间价值是资金社会再生产过程所产生的增值，实质是劳动者创造的剩余价值。 一、资金成本 1、资金成本可以用绝对数表示，也可以用相对数表示。 K= 其中：K 资金成本率(一般统称为资金成本) P 筹集资金总额 D 使用费 F 筹资费 f 筹资费费率(即筹资费占筹集资金总额的比率) 2、各种资金来源的资金成本计算 1)普通股成：如果普通股各年份的股利固定不变，则 Kc= = = 其中：Kc 普通股成 本率 普通股股票面值或时常总额 D 每年固定股利总额(i 为股利率) f 筹资费率 2)优先股成本： Kp= = = 其中：Kp 优先股成本率 Dp 优先股每年股息 Po 优先股票面值 i 股息率 f 筹资费率 例：某企业发行优先股股票，票面额按正常市场价计算为300万元，筹资率为4%，股息年利率为15%，则其成本率为多少? 解：Kp= = = = =% 3)债券成本：企业发行债券 后，所支付的债券利息是列入企 业的成本开支的，因而使企业少 缴一部分所得税，两者抵消后， 实际上企业支付的债券利息仅 为：债券利息：债券利息×(1- 所的税税率) 其中：KB 债券成本率 Bo 债券发行总额 I 债券年利息总额 f 筹资费率 T 所得税税率 i 债券年利息率 例：某企业发行长期债券500 万元，筹资费率为3%，债券利息率为13%，所得税税率为33%，则起成本率为多少? =% 4)银行借款：企业所支付的利息和费用一般可作为企业的费用开开支，相应减少部分利润，会使企业少缴纳一部分所得税，因而使企业的实际支出相应减少。 对每年年末支付利息，贷款期末一次全部还本的的借款，其借款成本率： 其中：Kg 借款成本率 G 贷款总额 I 贷款年利息(i 为贷款年利息) F 贷款费用 5)租赁成本：将租赁成本列入企业成本，可以减少应付所得税： 其中： 租赁成本率 租赁资产价值 E 年租金额 T 所得税税率 例：某企业租入施工机械一台，价值50万元，年租金10万元没，所得税税率33%，计算租赁成本率? =% 利率 利率也称为利息率，是单位时间内利息量和本金的比率 其中：i 利率 L 单位时间内的利息 P 本金 单位时间也称为计息周期，通常为一年，但也有以半年、季度、月甚至周为单位。 资金利息计算 1、单利计算：仅用本金计算利息，不计算利息所产生的利息(私人多年定期存款中，银行不将第一年所获得利息转入到后一年本金去)。 利息发生在计息周期末。如果有n 个计息周期，则 L=P×i×n 到投资期末，本金与利息之和(本利和)，则 F=P(1+ 其中：n 计息周期数 F 本利和 例：某人存入银行1000元，定期为3年，年利率为13%，3年后本利和为? F=P(1+=1000(1+×3)=1390元 2、复利计算：除了本金利息外，还要计算利息产生的利息。 例：某人存入银行1000元，定期为3年，年利率为13%，3年 后本利和为? 若采用复利计算则：F=P(1+3=1000(1+×1)3=(元) 资金的时间价值 1、一次支付终值公式 已知：在第一年投入资金P ，以年利率i 进行复利计算，问第n 年末的本利和F? F=P(1+i)n 式中：(1+i)n 称为复利终值系数，(，i ，n)表示 则F=P(，i ，n) 例：某企业向银行借款100万元，年利率为7%，5年后偿还? F=P(1+i)n =100(1+5=(万元) 2、一次支付现值公式 已知：欲在n 年后取出款金额F ，银行利率i 进行复利计算，现在应付P? P = F(1+i)-n 式中：(1+i)-n 称为复利终值系数，(，i ，n)表示 则P =F(，i ，n) 例：某企业两年后拟从银行取出50万元，假定年利率为8%，现应存多少? P = F(1+i)-n =50(1+-2=(万元) 3、等额年终值公式： 在经济活动期内，每单位时间间隔里具有相同的收入与支出 (年等值)。设在n 个时间周期内，每个时间周期末支出(或收入)相同的金额A ，并在投资期末将资金全部收入(或支出)。 年终值公式：F=A 系数称为等额年终值公式系数，记为(，i ，n) 故：F=A(，i ，n) 例：连续每年年末投资1000元，年利率为6%，到第五年末可得本利和? F=A=1000=5637(元) 若发生在年初，则=(1+×F=(元) 4、等额存储偿债基金公式： 已知：一笔n 年末的借款F ，拟在1至n 年末等额存储一笔资金A ，以便到n 年期末偿还债务F ，问A? A = F 系数称为偿债资金系数，记 为(，i ，n) 故：A=F(，i ，n) 例：为了在五年末获得5637元的资金，当资金利率为6%，每 年末应存款多少? A = F =5637=1000(元) 5、等额支付资金回收公式： 现投入一笔资金P ，希望今后n 年内将本利和在每年末以等额A 的方式回收，问A? A = P 系数称为偿债资金系数，记为(，i ，n) 故：A=P(，i ，n) 例：现投资100万元，预期利率为10%，坟年回收，每年可回收多少? A = P =100=(万元) 6、等额年现金值公式： 已知：n 年内每年年末有一笔等额的收入(支出)A ，求现值P? P=A 系数称为偿债资金系数，记 为(，i ，n) 故：P = A(，i ，n) 例：某公司拟投资一个项目，预计建成后每年获利10万元，3年后回收全部投资的利和，设贷款利率为10%，问该项目总投资为多少? P=A=10=(万元) 实际利率与名义利率 1、名义利率计算：在一年内，不考虑多次计息中利息产生的利息，此时资金的年利率成为名义利率;

统计学常用分布

二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率 {}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q += (),()E X np Var X npq == ()()tX t n E e q pe =+其中t -￥<<￥ 解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率 几何分布()Geo p p 为成功概率 ()x P X x pq == 2(),()E X q p Var X q p == ()(1),ln tX t E e p qe t q =-<- 解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次 负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率 1{}x k x k x P X x C p q +-== 2(),()E X kq p Var X kq p == ()(),ln 1tX k t p E e t q qe =<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率 泊松分布()P l {},0! x P X x e x l l l -==> (),()E X Var X l l == (1)()t tX e E e e l -=，t -￥<<￥ 解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数

均匀分布(,)U a b 1 (),X f x a x b b a =<<-；(),X x a F x a x b b a -=<<- 2 ()(),()212a b b a E X Var X +-== 11 ()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+- 正态分布2(,)N m s 2 1) 2()x X f x m s -- = 2(),()E X Var X m s == 22 1 2()t t tX E e e m s += 对数正态分布2log (,)N m s 2 1 ln () 2()x X f x m s --=2 221 22(),()(1)E X e Var X e e m m s s ++==- 22 1 2()t t t E X e m s += 解释：如果X~2log (,)N m s ,则logX ～2(,)N m s 指数分布()Exp l ()x X f x e l l -=，()1x X F x e l -=- 21 1 (),()E X Var X l l == (1) ()r r r E X l G += 1()(1,X t M t t l l -=-<

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.

spss教程-常用的数据描述统计：频数分布表等--统计学

第二节常用的数据描述统计 本节拟讲述如何通过SPSS菜单或命令获得常用的统计量、频数分布表等。 1．数据 这部分所用数据为第一章例1中学生成绩的数据，这里我们加入描述学生性别的变量“sex”和班级的变量“class”，前几个数据显示如下（图2－2），将数据保存到名为“2-6-1.sav”的文件中。 图2－2：数据输入格式示例 1．Frequencies语句 （1）操作 打开数据文件“2-6-1.sav”，单击主菜单Analyze /Descriptive Statistics / F requencies…，出现频数分布表对话框如图2-3所示。 图2－3： Frequencies定义窗口 把score变量从左边变量表列中选到右边，并请注意选中下方的Display frequency table复选框（要求显示频数分布表）。如果您只要求得到一个频数分布表，那么就可以点OK按钮了。如果您想同时获得一

些统计量，及统计图表，还需要进一步设置。

①Statistics选项 单击Statistics按钮，打开对话框，请按图2-4自行设置。有关说明如下： （ⅰ）在定义百分位值（percentile value）的矩形框中，选择想要输出的各种分位数，SPSS提供的选项有： ●Quartiles四分位数，即显示25%、50%、75%的百分位数。 ●把数据平均分为几份。如本例中要求平均分为3份。 ●Percentile显示用户指定的百分位数，可重复多次操作。本例中要求15%、50%、85%的百分位数。(ⅱ) 在定义输出集中趋势（Central Tendency）的矩形框中，选择想要输出的集中统计量，常用的选项有： ●Mean 算术平均数 ●Median 中数 ●Mode 众数 ●Sum 算术和 （ⅲ）在定义输出离散统计量（Dispersion）的矩形框中，选择想要输出的离散统计量，常用的选项有：●Std. Deviation 标准差 ●Variance 方差 ●Range 全距 ●Minimum 最小值 ●Maximum 最大值 ●S.E. mean 平均数的标准误 （ⅳ）描述数据分布（Distribution）的统计量 ●Skewness 偏度，非对称分布指数。 ●Kurtosis 峰度，CASE围绕中心点的扩展程度。 另外，频数过程（Frequence）除了能够提供上面常用的统计量外，还可以对分组数据计算百分位数和中数（Values are group midpoints），即对于已经分组的数据，并且数据中的原始数据表示的是组中数的数据计算百分位数的值和中位数。

造价工程师常用的计算公式总结

常用的计算公式总结 资金时间价值是资金社会再生产过程所产生的增值，实质是劳动者创造的剩余价值。 一、资金成本 1、资金成本可以用绝对数表示，也可以用相对数表示。 K= 其中：K资金成本率(一般统称为资金成本) P筹集资金总额D使用费F筹资费 f筹资费费率(即筹资费占筹集资金总额的比率) 2、各种资金来源的资金成本计算 1)普通股成：如果普通股各年份的股利固定不变，则 Kc= = = 其中：Kc普通股成本率普通股股票面值或时常总额 D每年固定股利总额(i为股利率) f筹资费率 2)优先股成本： Kp= = = 其中：Kp优先股成本率Dp优先股每年股息 Po优先股票面值i股息率f筹资费率 例：某企业发行优先股股票，票面额按正常市场价计算为300万元，筹资率为4%，股息年利率为15%，则其成本率为多少? 解：Kp= = = = =8.98% 3)债券成本：企业发行债券后，所支付的债券利息是列入企业的成本开支的，因而使企业少缴一部分所得税，两者抵消后，实际上企业支付的债券利息仅为：债券利息：债券利息×(1-所的税税率) 其中：KB债券成本率Bo债券发行总额

I债券年利息总额f筹资费率 T所得税税率i债券年利息率 例：某企业发行长期债券500万元，筹资费率为3%，债券利息率为13%，所得税税率为33%，则起成本率为多少? =8.98% 4)银行借款：企业所支付的利息和费用一般可作为企业的费用开开支，相应减少部分利润，会使企业少缴纳一部分所得税，因而使企业的实际支出相应减少。 对每年年末支付利息，贷款期末一次全部还本的的借款，其借款成本率： 其中：Kg借款成本率G贷款总额 I贷款年利息(i为贷款年利息) F贷款费用 5)租赁成本：将租赁成本列入企业成本，可以减少应付所得税： 其中：租赁成本率租赁资产价值 E年租金额T所得税税率 例：某企业租入施工机械一台，价值50万元，年租金10万元没，所得税税率33%，计算租赁成本率? =13.4% 利率 利率也称为利息率，是单位时间内利息量和本金的比率 其中：i利率L单位时间内的利息P本金 单位时间也称为计息周期，通常为一年，但也有以半年、季度、月甚至周为单位。 资金利息计算

常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布 一．正态分布 1. ∑==n i i X n X 1 1EX → 2. 2 12 )(11∑=--=n i i X X n S ][112 1 2∑=--=n i i X n X n DX → 3. 定理： X ～),(2σμN ，n X X X ,,,21Λ为X 的样本，则 (1). X ～), (2 n N σμ， (2). 2 2 )1(σS n -～)1(2-n χ, (3). X 与2S 相互独立。 二．2χ分布 1. 定义 设n X X X ,,,21Λ独立同分布，且～)1,0(N ，则)(~2122 n X n i i χχ∑== 2. 性质： (1). 若X ～)(12n χ，Y ～)(22n χ，且X ,Y 独立，则X +Y ～)(212n n +χ。 (2). 若X ～)(2n χ，则n EX =，2DX n =。 三．t 分布 1. 定义 设X ～)1,0(N ,Y ～)(2n χ，且X ,Y 独立，则n Y X T =～)(n t 。 2. 定理： 设n X X X ,,,21Λ独立同分布，且～),(2σμN ，则

n S X μ -σ σ μS n X )(-=1 )1() (2 2 ---= n S n n X σσ μ～)1(-n t （因为 n X σ μ-～)1,0(N ， 2 2 )1(σS n -～)1(2-n χ）。 3. 定理： 设1,,,21n X X X Λ为总体X ～),(21σμN 的样本， 1,,,21n Y Y Y Λ为总体Y ～),(22σμN 的样本，且Y X ,独立，则 2 12111)()(n n S Y X w +---μμ～)2(21-+n n t ，其中 2 )1()1(212 2 22112-+-+-=n n S n S n S w 。 证：因为 2 2 11)1(σS n -～)1(12 -n χ, 2 2 2 2)1(σS n -～)1(22-n χ， 所以 2 2 2 2211)1()1(σ S n S n -+-～)2(212-+n n χ； 又X ～), (1 2 1n N σμ，Y ～), (2 2 2n N σμ， 所以X Y -～), (2 2 1 2 21n n N σσμμ+ +， 所以 212111) ()(n n Y X + ---σμμ～)1,0(N ，所以 2 12111)()(n n S Y X w +---μμ 2 12111) ()(n n Y X +---= σ μμ/ )2/()1()1(212 2 2 2211-+-+-n n S n S n σ ～)2(21-+n n t 。