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函数极限与连续

第三节函数极限与连续

一、函数极限内容网络图

函数极限与连续

二、内容与要求

1. 理解函数极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.

2. 掌握函数极限的性质及四则运算法则

3. 掌握函数极限存在的夹逼准则,并会利用它求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.

4. 理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.

5. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.

6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.

重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)

难点函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限.

三、概念、定理的理解与典型错误分析

1.函数极限的概念

定义1.10

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定义1.11 把1中“”换成“”。

定义1.12 把1中“”换成“”。

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定理1.4 且

定义1.13 设在的某空心邻域内有定义,若存在一个常数A,

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,都有。

定义1.14 设在的某左半邻域内有定义,若存在一个常数A,时,都有。

此时也可用记号或表示左极限值A,因此可写成

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定义1.15设在的某右半邻域内有定义,若存在一个常数

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,当时,都有。此时也可用或

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表示右极限。因此可写成。

定理 1.5 且

该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法,而如果在的左右极限存在且相等,则在该点的极限存在,否则不存在。

定义1.16时,都有。此时称时,是无穷大量。

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而,只要把公式中“”改成“”,,只要把上式中“”改成“”。

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定义1.17 。当时,都有。

读者同理可给出定义。

注:(常数)与的区别,前者是表明函数极限存在,后者指函数极限不存在,但还是有个趋于无穷大的趋势。因此,给它一个记号,但还是属于极限不存在之列,以后,我们说函数极限存在,指的是函数极限值是个常数。

定义1.18 。称当是无穷小量。这里的可以是常数,也可以

是。

定理1.6 。

其中。

定义1.19 若时,都有,称时是有界量。

2.无穷小量阶的比较,无穷小量与无穷大量关系

定义1.20 设,

(这里可以是常数,也可以是,以后我们不指出都是指的这个意思)

(1)若,称当时是的高阶无穷小量,记作

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(2)若,称时是的同价无穷小量。

(3)若,称时是的等价无穷小量,记作

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,此时(2)式也可记作。

(4)若,称时是的k阶无穷小量。

由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用,因此,引入

若。记作,

如果均是无穷小量,称为等价无穷小量;如果均是无穷大量,称为等价无穷大量;如果既不是无穷小也不是无穷大,我们称为等价量。

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例如,则。

注:A不能为零,若A=0,不可能和0等价。

无穷小量的性质:

性质1.8 若均为无穷小量,则

(i)

其中均为常数。

(ii)。

性质1.9若时是有界量,,则

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无穷大量的性质:

性质1.9 有限个无穷大量之积仍是无穷大量。

性质1.10 有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。

无穷小量与无穷大量之间的关系:

定理1.7 若;

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若。

3.函数连续的概念。

定义1.21 若处连续。

用语言可写为

定义设的某邻域内有定义,若时,都有

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,称连续。

用函数值增量形式可写为

定义1.22 若,称在处连续。

若,称处左连续。

若称处右连续。

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定理1.8 处连续处既是左连续又是右连续。

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如果处不连续,称为的间断点。

间断点的分类:

(1)若

点。

若为函数的可去间断点,只须补充定义或改变函

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数在该点连续。但须注意,这时函数与已经不是同一个函数但仅在处不同,在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数,使在某闭区间上处处连续,因而有某种性质。当时,也具有这种性质。而时,,所以在的范围内也具有这种性质,从而达到了我们的目的。

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例如,

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则在处连续,但与定义域不同,

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虽然,又如

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知。设

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则在处连续,虽然与定义域相同,但在处,两个函数值不同,知

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与不是同一函数,但仅在不同,其余点函数值处处相同。

(2)若但,称

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为的跳跃间断点,称的跳跃度。

(1)(2)两种类型的特点是左右极限都存在,我们统称为第一类间断点。

(3)若处,左、右极限至少有一个不存在,我们称。

若,我们也称为的无穷型间断点,属于第二类间断点。

4.函数极限的性质

在下述六种类型的函数极限:

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(1)(2)(3)(4)

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(4)(6)

它们具有与数列极限相类似的一些性质,我们以为例,其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了。

性质1.11(唯一性)若极限存在,则它只有一个极限。

性质1.12(局部有界性)若极限存在,则存在的某空心邻域,使在

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内有界。

注意:存在,只能得出在的某邻域内有界,得不出在其定义域内有界。

性质1.13 若,则存在的某空心邻域,使时,都有。

性质1.14(局部保号性)若,则对任何常数

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,存在的某空心邻域,使得对一切,都

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有成立。

性质1.15(不等式)若,且存在的某空心邻域,使得对一切,都有。

性质1.16(函数极限的四则运算)若均存在,则函数

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(1);(2)

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(3);又若在时的极限也存在,且有

(4)。

利用极限的四则运算,可得下列重要结果。

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上面的结论可作为公式用。

定理1.9(归结原则或海涅(Heine)定理)存在的充要条件是:

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都存在且相等。

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逆否定理若存在两个数列==且

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或存在不存在,则

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不存在。

此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。

5.函数连续的性质

若函数处连续,即,利用极限的性质1-5可得到函数在

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连续的局部有界性,局部保号性,不等式等,只要把即可,读者自己叙述出来。

利用极限的四则运算,我们有

性质1.17(连续函数的四则运算)若处连续,则

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性质1.18 若处连续,则

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处也连续且

在满足性质2的条件下,极限符号与外函数可交换顺序,如果仅要可交换顺序,有

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推论若

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证设则处连续,又

处连续,由性质2知。

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由于。

在这里,我们巧妙地利用可去间断点的性质,构造一个连续函数,以满足所需的条件,上面的性质1.18及推论也是求函数极限的一个重要方法。

即极限符号与外函数交换顺序,把复杂函数极限转化为简单函数极限。

定理1.10 初等函数在其定义域上连续。

6.闭区间上连续函数的性质

定理 1.11 (最大值与最小值定理)若在闭区间上连续,则在上一定能取到最大值与最小值,即存在,使得对一切,都有

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推论1 若上连续,则上有界。

定理1.12(根的存在定理或零值点定理)若函数上连续,,则至少存在一点。

推论1 若函数上连续,且之间的任何常数,则至少存在一点。

推论2 若函数上连续,则。

这几个定理非常重要,请大家要记住这些定理的条件与结论,并会运用这些定理去解决问题。

7.重要的函数极限与重要的等价量

利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换,夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。

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1. 2. .

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3..

4..

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5. .

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6、.

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7..

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8..

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9..

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10..

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11.若

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=

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即。

注:不仅要记住这些公式的标准形式,更要明白一般形式。即上面公式中的可换成,只要时,,结论依然成立。

利用上述重要极限,我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量,在解题中经常要利用他们

当时,.

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.

注:上式中的可换成,只要时,.结论依然成立。

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例如。

此外,若.

例1. 求.

典型错误一

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.

点评由于不存在,不能用极限的乘积运算法则.

典型错误二

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.

点评错误运用了.它的一般形式,若,则

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.

而这里不符合一般形式的条件。

解由无穷小量的性质:有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量,故.

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例2..

典型错误

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.

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点评这里分母用x3替代是合理的,因为是分母中的因式,而分子中的

用x替代是不合理的,原因是不是分子中的因式,故不能替代.

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解.

例问两个无穷大量之和是否为无穷大量.

典型错误是

点评没有注意到正无穷大量与负无穷大理都是无穷大量.

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答不一定例,但.

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,都是无穷大量,但.

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、都是无穷大量,而时是无穷大量.

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例3.求

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典型错误

点评这里的三个并不一定相等,只是告诉你是x的一个表达式且

解由于.

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于是.

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同理,其中.

例初等函数在这们的定义域中每一点都连续吗?

典型错误是

点评应当是初等函数在它们的定义域区间上每一点处都连续.

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例,由它们定义域是,得,该函数定义域为

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,是x轴上离散的点,的去心邻域为空集,无意义,不满足

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,故f(x)在处不连续.

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例4..

典型错误由不存在,故不存在.

点评笼通地说不存在是不严密的。

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解,,

知在处的右极限不存在,故不存在.

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例5..

典型错误由于时,分子、分母的极限都是无穷大、故该极限无法求出.

点评想为法转化为某些函数的四则运算,而这些函数的极限可以求出,并能利用极限的四则运算。

解原式=

利用有函数与无穷小量之积仍是无穷小量知,故原式=1.