排队论在实际当中的应用_毕业设计

第一章排队论问题的基本理论知识

排队是日常生活中经常遇到的现象，本章将介绍排队论的一些基本知识和常见的排队论的模型，使我们对排队论有一个基本的认识。

1.1 预备知识

下图是排队过程的一般模型：各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完成后离开。我们说的排队系统就是图中虚线所包括的部分。

一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。

1.输入过程

输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或到达的间隔时间的概率分布。

2.排队规则

排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。

3.服务机构

可以是一个或多个服务台。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。但大多数情形服务时间是随机型的。对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。

1.2 模型理论分析

1.2.1 模型分类

排队模型的表示：

X/Y/Z/A/B/C

X—顾客相继到达的间隔时间的分布；

Y—服务时间的分布；

M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔朗分布。

Z—服务台个数；

A—系统容量限制（默认为∞）；

B—顾客源数目（默认为∞）；

C—服务规则（默认为先到先服务FCFS)。

1.2.2 模型求解

一个实际问题作为排队问题求解时，只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布须要实测的数据来确定，其他的因素都是在问题提出时给定的。并且必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征值。这些指标通常是：

（1）队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其期望值记为

L；

S 排队长（队列长）：系统中排队等待服务的顾客数，其期望值记为

L；

g [系统中顾客数]=[在队列中等待服务的顾客数]+[正被服务的顾客数] （2）逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其其期望值记为W s；

等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其期望值记为W g；

[逗留时间]=[等待时间]+[服务时间]

（3）忙期：从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度；

系统状态：即指系统中的顾客数；

状态概率：用()

P t表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率；

n

要解决排队问题，首先要确定排队系统的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现有系统原始资料统计出它们的经验分布，然后与理论分布拟合，若能对应，我们就可以得出上述的分布情况。

1、经验分布

经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行的统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。

2、泊松分布

下面我们在一定的假设条件下，推出顾客的到达过程就是一个泊松过程。 若设()N t 表示在时间区间[0,t)内到达的顾客数(t>0)，()1,2n P t t 表示在时间区

间[)12,t t (t2>t1)内有n(≥0)个顾客到达的概率，即

{}(){()}12

21,n P t t P N t N t n =-= （t2>t1，n ≥0）

当()1,2n P t t 符合于下述三个条件时，我们说顾客到达过程就是泊松过程。 (1)再不相重叠的的时间区间内顾客到达数是相互独立的。

(2)对于足够小的Δt ，在时间区间[t ，t+?t)内有1个顾客到达的概率为

()()1,P t t t t t λο+?=?+?（λ>0 是常数，称为概率强度）。

(3)对充分小的Δt,在时间区间[t,t+Δt ）内有2个或2个以上顾客到达的概率是Δt 一高阶无穷小，即

()()2

,n

n P t t t t ο=+?=?∑

为了求()n P t ，即()0,n P t ，需要研究它在时刻t 到t+Δt 时刻的改变量，也就是要建立()n P t 的微分方程。就可以得到：

()()

!

n

t

n t P t n λλ-=

t>0，n=0,1,2,…

负指数分布

设T 为时间间隔，分布函数为(){}T F t P T t =≤，即：(){}t F t P T t =≤。此概率等

价于在[0，t ）区间内至少有1个顾客到达的概率。

没有顾客到达的概率为：()0t P t λ-= ，则 ()()011t T F t P t λ-=-=- （t>0），其概率密度函数为：()t

T T dF f t dt

λλ-=

=

（t>0）。

由前知，λ表示单位时间内顾客平均到达数，这里1/λ表示顾客到达的平均间隔时间，两者是吻合的。

下面我们再谈一下服务时间的分布：

对顾客的服务时间ν，实际是系统处于忙期时两顾客相继离开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，即：()1t V F t λ-=- ()t V f t μμ= 。

其中：μ表示单位时间内能被服务完成的顾客数，即平均服务率。1/μ表示一个顾客的平均服务时间。令λρμ

=

则ρ称为服务强度。

第二章 单服务员排队模型在自动存取款机服务中的应用

2.1理论分析

1. 稳态概率()n P t 的计算

已知顾客到达服从参数为λ的泊松过程，服务时间服从参数为μ的负指数分布。在间刻t+Δt ，系统中有n 个顾客不外乎有下列四种情况。

由于这四种情况是互不相容的，所以Pn(t+Δt)应是这四项之和，将所有的高阶无穷小合并，则有：

()()()()()111n n n n P t t P t t t P t t P t t t λμμλο+-+?=-?-?+??+?+?

令Δt →0，得关于Pn(t)的微分差分方程：

()()()()()11n n n n dP t P t P t P t dt

λμλμ-+=+-+

当n=0时，只有表中的（A ）、（B ）两种情况。

()()()()()00111P t t P t P t t t λλμ+?=-?+-???

............(1) 所以 (2)

稳态时，Pn(t)与时间无关，可以写成Pn ， 它对时间的导数为0，所以由(1)、(2)两式得：

()011=+-++-n n n P P P μλμλ (3)

010=+-P P μλ (4)

上式即为关于Pn 的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图：

这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程,它可以描述细菌的生灭过程。

得到： 00n

n n P P P λρμ??

== ???

(5)

1λρ

μ

=

< (否则排队无限远，无法服务完)

()011n

n P P ρρρ=-?

?=-??

(6)

上式就是系统稳态概率，以它为基础可以算出系统的运行指标。 2. 系统的运行指标计算

(1) 系统中的平均顾客数（队长期望值Ls ）：

()0

1n

s n n n L n P n ρρ

∞

∞

===

?=

?-?∑

∑

1ρρ

=

-λμλ

=

- (0<ρ<1) (7)

(2) 队列中等待的平均顾客数Lq （队列长期望值）：

()()()1

1

111n

q n

n n L n P n ρρ

∞

∞

===

-?=

-?-∑∑2

1s L ρ

ρλρρ

μλ

=-=

=

-- (8)

(3) 顾客在系统中的平均逗留时间Ws ：

11010

()()()()()()()()

n n n n dP t P t P t P t dt

dP t P t P t dt

λμλμμλ-+?=+-+???

?=-??×′ì?×a?í?

[]1

s W w μλ

=E =

- ()s s L W λ=

(4)顾客在队列中的等待时间的期望值q W ： 11

1q s W W ρμμλμ

μλ

=-

=

-=

-- ()q q L W λ=

3. 系统的忙期与闲期：

系统处于空闲状态的概率：01P ρ=-

系统处于繁忙状态的概率：()001P N P ρ>=-=

2.2实例

2.2.1 问题提出与模型说明

问题提出

顾客排队等待接受服务，在任何一个服务系统中都是不可避免的。在存取款机排队等待取钱或存钱的排队问题也非常严重，为此, 这里拟用排队论的理论和方法, 建立评价指标,通过实例来探究如何提高工作效率？如何使系统更加优化？

模型说明

某街道口只有一个自动存取款机，从而该种情况是单列单服务台的情况，即为M/M/1模型的情况。 2.2.2 调查方法及数据处理

调查内容

（1）顾客到达时间。（2）服务时间。 调查方法

顾客到达的频率与时间段有关，一般在9：00—lO ：30和下午2：3O 一4：00顾客到达率比其它的时间高。我们把时间分成两段，考虑08：00—9：00、9：OO 一1O ：00的情况，分别代表了一般情况和繁忙时的情况。

（1）服务时间：顾客开始用自动存取款机到服务完成。 （2）顾客到达时间：顾客进入排队系统排队。

以上两项调查，抽样的时间均是分散的、随机的。不可连续和集中抽样。 具体数据如下：

其中，顾客编号i，到达时间

T，服务时间i S，到达间隔i t，排队等待时间i w。

i

表1 08：00—9：00的统计

表2 09：00—10：00的统计

2.2.3模型求解

1、根据表1计算得：

平均时间间隔为()

÷=分钟人

6011 5.45

平均到达率为()

÷人分钟

1260=0.2

平均服务时间为()

4812=4.00

÷分钟人

平均服务率为()

÷人分钟

1248=0.25

2、根据表2计算得：

平均时间间隔为()

÷=分钟人

6017 3.53

平均到达率为()

÷人分钟

1660=0.27

平均服务时间为()

÷分钟人

5716=3.56

平均服务率为()

÷人分钟

1657=0.25

把以上两表结合起来为表3，分析服务时间的分布规律，求出均值和方差。

表3 服务时间和频数

服务时间的期望值为：

()()

E=?=?+?+?+?+?+?+?+?÷=

222736445462729128 3.82 X X p

服务率期望值：

()

μ=÷?+?+?+?+?+?+?+?=

2822273644546272910.26

2.2.4 讨论

理论上讲，顾客到达会形成泊松流，因为：(1)在不相重叠的时间内顾客到达数是相互独立的，即无后效性；(2)对于充分小的时间区间内有一个顾客到达的概率与时刻无关，而与区问长成正比；在我们把时问段分开之后来分析，这一点也是满足的；(3)对于充分小的时间区间，有2个或2个以上顾客到达的概率极小。顾客到达满足以上三个条件，形成泊松流；所以顾客到达率服从负指数分布。而服务时问可看作服从正态分布。然而在统计数据比较少的情况下，并不能得出一一般规律，来精确的算出参数(到达率)和(服务率)。本文对此问题只做简单的分析。

从表1中可以看出，在8：00—9：00时间区问内，有l2个顾客到达，其中有5个顾客必须等待，平均等待()()

W=+++÷=分钟。2中可以得

1111+3120.58

q

出，在9：00—10：00时间区间内，有16个顾客到达，有11个顾客必须等待，平均等待时间：()()

W=++++÷=分钟。

12654+4+2+4+6+3+116 2.375

q

根据以上分析，在8：00—9：00时间区间内，顾客平均到达率0.2人分钟，平均服务率是0.25人钟，在9：00— 1O：00时问区问内分别为0.27人分钟和

0.28人分钟。可以看出，平均服务律是高于平均到达率的。但是，通过表3的数据分析，在8：00—1O：OO时间区间内平均服务率为0.26人分钟，由于表3中的数据量比较大，所以更具有代表性。如果这样分析，平均服务率就小于9：00—1O：OO的顾客平均

到达率0．27，这样就会使排队越来越长而直到高峰期过后才能得到缓解。我们认为在这个系统中，当平均等待时间超过1分钟，系统被视为效率低下，而低于1分钟被视为系统有闲置。通过以上分析，在9：00—10：00时间区间内，等待问题比较严重，而在8；00—9：00系统有闲置现象。现实()1,1εε-+内很难

(ε为很小的数)。

2.3 M\M\1模型中的最优服务率问题

已知有设进入系统的顾客单位时间带来的损失为1c ,单位时间服务台每服务一位顾客的服务成本为2c ,则单位时间总费用的期望值为：

1212()()C c L c c c λμμμμμλ

=+=

+-

由

122

0()

c dC c

d λμμλ=-

=-

解得：μλ=±

由

2

123

20()

c d C d λμ

μλ=

>- 及 /1ρλμ=<

最优服务率为μλ*=+

最优服务率μ*随着进入系统的顾客数λ和损失费1c 的增加而增加,随着服务成本

2c 的增加而减小。

某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/小时.有1个维修工人,每次维修时间服从指数分布, 每台故障机器的修理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间。

由题意知： 最优服务率为：

15(/)μλ*=+

=+

=台小时

即最优的机器维修时间为：

110.2125

μ

*

===小时分钟

第三章 中式快餐店排队系统的优化

3.1 理论分析

当系统容量最大为N 时，排队系统中多于N 个的顾客将被拒绝。当N=1时，即为瞬时制；N →∞时，即为容量无限制的情况。

现在研究系统中有n 个顾客的概率()n P t . 对于()0P t ，前面的式子仍然成立，当n=1,2,…N-1时，也仍能成立。

但当n=N 时，有下面两种情况：

1()()(1)()N N N P t t P t t P t t

μλ-+?=?-?+?

1()()()N N N dP t P t P t dt

μλ-=-+

其状态转移图为:

在稳态情况下有：

×′ì?×a?í?

011110()00n n n N N P P P P P P P λμλμλμμλ-+--+=?

?

+-+=??-+=?

解得 ： 0111111N n

n N P P ρρρρρ++-?

=?-?

∴?

-?=?-?

(ρ≠1,n ≤N)

下面计算其运行指标： (1) 平均队长Ls ：

1

11N

N

n

s n N n n L n P n

ρ

ρρ

+==-=

?=

??-∑

∑

1

11N

n

N n n ρρ

ρ

+=-=

?-∑

1

1

(1)11N N N ρρρ

ρ

+++?=

-

-- (ρ≠1)

（2）队列长（期望值）：

01

(1)(1)N

q n

s n L n P

L P ==

-=--∑

当研究顾客在系统平均逗留时间和在队列中平均等待时间，要注意平均到达率λ 是在系统中有空时的平均到达率，当系统已满是则到达率为0，因此可以验证：有效到达率 0(1)e P λμ=-。

（3）顾客逗留时间（期望值）：

01

(1)(1)

q

s

s N L L w P P μλμ

=

=

+--

（4）顾客等待时间（期望值）：

1

q s w w μ

=-

3.2 实例

3.2.1 问题提出与模型分析

问题提出

随着经济水平的提高,外出用餐的人越来越多,由于服务生产与消费的同步性、服务的不可储藏性,以及顾客到达的随机性,让顾客进行排队等待是不可避免的。文中以

学校附近一个中式快餐店为例,针对其周末晚上人满为患的现象并结合工作日的客流状况对其排队系统进行研究,进而提出优化策略。

模型分析

本文中小型饭店的排队模型是单队单服务台模型，即为M/M/1模型。由于快餐店容量有限为7桌，所以其排队模型M/M/1/K/FCFS(K=7),为单服务台模型：顾客的相继到达时间服从参数为λ的的负指数分布(顾客到达过程为Poisson 流)，服务时间服从参数为μ的负指数分布,服务台数为1，系统空间为K ，客源容量无限,实行先到先服务的排队规则。

3.2.2数据调查与模型求解

调查方法：

对该中式快餐店客流量进行连续一周人工调查统计,由于其主要客源是学生,所以分别调查周末和工作日两种情况下的客流量变化。对每晚（客流高峰期）两小时的顾客数进行调查记录。

数据处理：

根据调查数据可以得出：

平均到达率()()3λ=周末人小时 ()()=2λ工作日人小时

根据统计服务员对每位顾客的服务时间可得该中式快餐店的平均服务率为：

()=4μ人小时

通过计算可以得出： 1、周末的服务指标 服务强度3=

==0.784

λρμ=

没有顾客的概率()

08

314

0.27783

14P -=

=-

系统中的平均顾客数()()1

1

1 2.1111N s N N L ρ

ρ

ρ

ρ

+++=

-

=--人

队列中等待的平均顾客数()()01 1.39q s L L P =--=人

系统中顾客逗留时间的期望值()

()()00.73=43.81s

s L W P μ=

=-小时分钟

在队列中排队等待时间的期望()()1

0.730.240.49=29.4q s W W μ

=-=-=小时分钟

2、工作日的服务指标 服务强度2=

==0.54λρμ

没有顾客的概率()

08

214

0.52

14P -=

=-

系统中的平均顾客数()()

1

1

10.8711N s N N L ρ

ρ

ρ

ρ

+++=

-

=--人

队列中等待的平均顾客数()()010.37q s L L P =--=人 系统中顾客逗留时间的期望值()

()()00.44=20.41s

s L W P μ=

=-小时分钟

在队列中排队等待时间的期望()()分钟小时122.024.044.01

==-=-=μ

s q W W

3.2.3讨论

一般情况下,顾客等待10—15分钟是可以忍耐的，上述情况下顾客在周末的等待时间为29.4分钟，这很容易造成顾客的不满。下面我们将从两个角度对该快餐店排队系统进行优化：

（1） 服务效率的提高

中式饭店的服务流程包含很多细节,内容也非常广泛。如果我们认真对其流程进行调查研究,找出服务的潜在失败点和等待点并着手进行流程优化设计,就能大大提高服务效率。通过观察并进行对比发现该快餐店服务效率4μ=存在问题，仍可提高。该饭店也通过引进标准化设备并对服务人员进行培训以实行标准化流程的规范操作,带来效率和品质的提升。服务效率的提高必然会使顾客排队等待的时间降低，这里不再作定量的分析。

（2） 在忙期适当的增加桌子

这也是排队系统的常规优化方案设计。在上例的分析中我们看到在周末排队等候的队列较长，等待时间也较长，这不但会使顾客产生不满，而且一些顾客由于不愿等待如此长的时间而离开，从而使饭店蒙受损失，适当的增加桌子会使队长和等待时间都有所增加。

第四章 排队论在门诊注射室管理中的应用

4.1 理论分析

标准的[M/M/C]模型与标准的[M/M/1]模型的各特征规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相同，即μ1=μ2=μ3=…=μc=μ，于是整个服务机构的平均服务率为：c μ(n ≥c 时) ，n μ(n

令c λρμ

=

，只有当

1c λμ

<时，才不会形成无限队列。

从下图的队列图，分析系统中的状态转移关系，状态转移图见下图。

由上图知，当n ≤c 时，顾客被服务离去的速率为n μ,当n>c 时，为c μ，故可得差分方程：

1111(1)()()n n n n n n P P n P P n P c P P c P

μλμλμλμλμλ+-+-=?

?

++=+???+=+??

(1≤n ≤c) (n>c) 这里：0

1i i P ∞

==∑ ，ρ≤

1

n

n>c

利用递推法解该差分方程可求得状态概率为：

当(n ≤c), 1

100111()()!!1c k c k P k c λλμ

ρμ--=??

=+????

-??∑

当(n>c)， 01(

)!n

n n c

P P c c

λμ

-=

??

系统的运行指标为：

21

()()!(1)

s

s q c

q n n c s

s q

q L L L c L n c P P c L W L W λ

ρρρλ

λ

∞

=+?=+

????

=-=

??-???=???=

??

∑

4.2实例

4.2.1 问题提出

排队论, 就是对排队现象进行数学研究的理论,也称随机服务理论, 是运筹学中一个独立的分支。作为一种工具或方法, 已在许多行业的管理领域包括医院的管理领域应用。

门诊注射室的服务工作, 是一种随机性服务, 即患者的到达时间、到达数量、注射所用时间, 都是一种随机现象。这种服务以什么指标才能比较客观地表示、反映注射室的工作质、工作效率？如何评价注射室的人员、设备配备的合理性？为此, 笔者拟用排队论的理论和方法, 建立评价指标, 为寻求既不使患者排队成龙, 又不浪费医院人力物力的最优方案,提供科学依据, 使注射室管理从经验管理转为科学管理。 4.2.2 调查方法及数据处理

调查内容：

（1）单位时间内到达的患者数。（2）服务时间。 调查方法

(1)服务时间：从某患者进人注射室开始记时, 到该患者接受注射后走出注射室止。共随机记录了593人次的服务时间。

(2)单位时间内到达的患者数：以5分钟为一个时间单位,任意选取若干个时间单

位，记录每个5分钟到达的患者数。共随机抽取了168个时间单位。

以上两项调查，抽样的时间均是分散的、随机的，不可连续和集中抽样。调查资料经统计处理后如下：

1、单位时间内到达的患者数

2、服务时间

经曲线拟合检验, 服务时间的概率分布服从负指数分布, 单位时间内到达患者数的概率分布服从泊松分布。从而求出排队系统的两个重要参数, 患者平均到达率λ和平均服务率μ。又因注射室内有两个注射凳—服务台C=2，故符合排队论中M/M/C型排

队模型。应用M/M/C 型计算公式计算各项指标。 4.2.3模型求解

（1）基本参数

1、患者平均到达率()0.71λ=人分钟

2、平均服务率()=0.45μ人分钟 （2）注射室运行状态指标（C=2） 1、服务强度0.71=

0.7920.45

C λρμ

=

=?

说明注射室有79%的时间是忙期，21%的时间是空闲的。 2、空闲概率：即注射室没有病人的概率。

1

100111!!1K

C

c k P K C λλμρμ--=??????=+???

? ?-????????

∑

()()()1

0121.58 1.58 1.581

0!1!2!10.79-??=++???

-????

0.12

=

（3）反映患者排队情况指标 1、队列长：等待注射的患者数。 期望值()()

()02

2.68!1C

q C L P C ρρ

ρ=

=-人

2、队长：队列长+正在接受注射的患者数。

期望值()2.68 1.58 4.26s q L L C ρ=+=+=人 3、 平均等待时间

()2.68 3.770.71

q

q L W λ

=

==分钟

4、平均逗留时间

()1

3.77 2.22 5.99s q W W μ

=+

=+=分钟

现假设只配备一名护士负责注射,即C=1,那么服务强度0.71=

=

=1.580.45

λρμ

。在排队

论中，当1

ρ>时，说明系统处于超负荷状态,将会持续出现排队成龙现象。故此时不可取的。

4.2.4 讨论

1、排队论的应用,可以为合理使用人力、物力提供客观依据。

由下表可见注射室现有的服务台C=2时，注射室有71%的时间被利用，在等注射的人数为2.68个，等待时间为3.77分钟。如果服务台增为3个时，注射室将53%的时间被利用, 排队等待的平均人数小于1，平均等待时间不足半分钟。若服务台增为4 个, 排队人数和排队时间几乎为0, 但是注射室被利用的时间只有39% , 61%的时间处于空闲, 造成

人力浪费。因此, 设两个服务台, 基本合理,若条件允许, 设三个服务台, 将是最佳选择。

2、排队论的应用, 可以建立和完善评价注射室运行效率和服务质量的数量指标。（1）患者排队人数及排队时间的指标：据心理学调查结果表明, 在就诊中, 等待时间是患者最敏感的问题, 长时间排队会形成心理压力,产生不良情绪, 是患护

产生矛盾冲突的重要原因。同时, 由于排队所浪费的时间称为误工费用, 据有

关部门报道, 我国每一名全民所有制工业企业职工日创产值38.67元, 每耽误

一小时, 国家损失4.83元。因此, 无论从心理因素还是经济因素, 等待时间都应成为反映注射室服务质量的指标之一。

（2）服务时间指标：患者接受注射的时间,不同于卖票、收款等服务, 不能越快越好。因此也应成为评价服务质量的另一项指标, 以免求速度请效率。

3、排队论的应用, 为决策人员制定工作规划提供预见性资料。

注射室现配有三名护士, 但因建筑面积狭窄, 无法安排三套注射桌凳及物品, 服务台只有两个, 人力未能得到最大限度的发挥。如果门诊健全各项指标统计, 积累资料, 就可以较客观地掌握在本院服务半径内,在一定的人口密度下, 所承受的患者源有多大,为医院建设和发展提供预见性资料。

第五章结束语

排队现象是日常生活中经常会遇到的现象，排队论是专门研究带有随机因素，产生拥挤现象的优化理论而发展的一门学科。在上述理论及实例运用中，充分体现了用排队论模型求解的优越性。排队论应用十分广泛，虽然，在实际的应用中它还存在许多的不足之处，众多的科学工作者都在这个领域，不懈努力，孜孜以求，相信随着这些问题的不断的得到解决，排队论这门学科将不断的完善和进步，排队论必将更好的应用到诸多领域中去，这必将为现代科技的进步，为国民经济的发展作出新的贡献。

排队论的应用

排队论的应用 ——食堂排队问题 刘文骁 摘要 本文通过运筹学中排队论的方法，为食堂排队问题建立模型，研究学生排队就餐时间节约的影响因素，通过简单计算，得出影响最大因素。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，找出可以减少排队时间的最大影响因素。 关键词 排队论；M/M/s模型；食堂排队 引言 在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。 1.多服务台排队系统的数学模型 1.1排队论及M/M/s模型 排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。 排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。 其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表

示服务台的个数；A 表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B 表示顾客源的数目；C 表示服务规则。 排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。 当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。 据此，可得任一状态下的平衡方程如下： 由上述平衡方程，可求的： 平衡状态的分布为：)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中：)2(,2,1,1 10 21 == ---n C n n n n n μμμλλλ 有概率分布的要求：10=∑∞ =n n p ，有：1100=?? ? ???+∑∞ =p C n n ，则有： )3(1100 ∑∞ =+= n n C p 注意：（3）式只有当级数∑∞=o n n C 收敛时才有意义，即当∑∞ =?∞o n n C 时才能由上 述公式得到平稳状态的概率分布。

排队论及其在通信领域中的应用

排队论及其在通信领域中的应用 信息与通信工程学院 2班 姓名：李红豆 学号：10210367 班内序号：26 指导老师：史悦 一、摘要 排队论是为了系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。排队是一种司空见惯的现象，因此排队论可以用来解决许多现实问题。利用排队论的知识可以来解决通信服务中的排队论问题。应用排队论一方面可以有效地解决通信服务系统中信道资源的分配问题；另一方面通过系统优化，找出用户和服务系统两者之间的平衡点，既减少排队等待时间，又不浪费信号资源，从而达到最优设计的完成。 二、关键字 排队论、最简单流、排队系统、通信 三、引言 排队论又称随机服务系统, 主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞) 现象的规律的一门学科, 排队论的创始人Erlang 是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。可以说, 凡是出现拥塞现象的系统, 都属于随机服务系统。随着电子计算机的不断发展和更新, 通信网的建立和完善, 信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题, 从而使排队论理论与应用得到发展。 四、正文 1、排队论概述： 1.1基本概念及有关概率模型简述： 排队论是一个独立的数学分支有时也把它归到运筹学中。排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象(排队、等待)的科学也称为随机服务系统理论或拥塞理论。它专于研究各种排队系统概率规律性的基础上解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。 排队论起源于20世纪初。当时美国贝尔Bell电话公司发明了自动电话以后如何合理配臵电话线路的数量以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题出现了。 1909年丹麦工程师爱尔兰发表了具有重要历史地位的论文“概率论和电话交换”从而求解了上述问题。 1917年又提出了有关通信业务的拥塞理论用统计平衡概念分析了通信业务量问题形成了概率论的一个新分支。后经C.Palm等人的发展由近代概率论观点出发进行研究奠定了话务量理论的数学基础。

排队论之简单排队系统设计

5.2.4 无限源的简单排队系统 所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。 1.//1/M M ∞排队系统 //1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。 为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n ???=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,???，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。 图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图 由此，我们有 状态 离开速率＝进入速率 0 01p p λμ= ,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+ 解方程组，容易得到 00,1,2,i i p p i λμ????? == ??? ， 再根据 001 1()1n n n n p p p λμ λμ ∞ ∞ === == -∑∑ 得到： 01p λμ =- ，

()(1),1n n p n λλ μ μ =- ≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。值得注意的是这里要求 1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因 此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。 于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为 ,1,1j j L jp λρ ρμλ ρ ∞ == = = <--∑ （5-52） 由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为： 1 ,1L W ρλ μλ = = <- （5-53） 平均等待时间为： 1 [],1()(1) Q W W E S W λρ ρμ μμλμρ=-=- = =<-- （5-54） 平均等待队长为： 22 ,1()1Q Q L W λρλρμμλρ ===<-- （5-55） 另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。显然，ρ越大，系统越繁忙。 队长()N t 由0变成1的时刻忙期即开始，此后()N t 第一次又变回0时忙期就结束。由简单流与负指数分布的性质，显见忙期的长度与忙期的起点无关。可以证明，闲期的期 望值为1λ，令忙期平均长度为b ， 则在统计平衡下，有：平均忙期：平均闲期＝(1)ρρ-： ，因此平均忙期长度为： 1 11b ρμλρ?

排队论医院应用

医院排队论模型 医院排队论模型 医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形 式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务. 这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者. 以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的. 排队系统模拟 所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行 为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据. 如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务 设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重 要分支之一. 在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随 机服务系统. 这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等. 医院排队系统的组成 排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过 程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.

1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接 受服务. ⑴来到过程 常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛. 所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入： ①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段 时间的长度和患者数有关； ②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立 的； ③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不 存在同时到达2个以上患者的情况； ④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可 能有无限个患者到达. 患者的总体可以是无限的也可以是有限的； 患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的； 相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的； 患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联； 到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的； ⑵服务时间

泊松过程及其在排队论中的应用

泊松过程及其在排队论中的应用 摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于， t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式： o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ

排队论及其在通信中的应用

排队论及其在通信中的应用 姓名：徐可学号：2012202120131 专业：通信与信息系统 摘要：排队论又称随机服务系统理论，它广泛应用于通信领域，是通信网络流量设计的基础理论。本文通过对排队论基本概念的介绍，进而阐述了排队论在通信网中的应用，以实例分析的方法揭示了排队论在通信网络流量设计中的重要作用。 关键词：排队论通信网络 Abstract:Queuing theory which is also called the theory of random service system is widely used in the communication field,and it is the basic theory of traffic flow in the communication network design.This paper introduce the basic concept of queuing theory, and expounds the queuing theory in communication network applications. with a case analysis,this paper reveals the important role of the queuing theory in communication network design . Key words: Queuing theory communication network 1 排队论基本概念 1.1 排队系统的概念 把要求服务的一方称为顾客，把提供服务的一方称为服务机构，而把服务机构内的具体设施称为服务员（或服务窗口）。 顾客要求的随机性和服务设施的有限性是产生排队现象的根本原因。排队论就是利用概率论和随机过程理论，研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系，以便合理地设计和控制排队系统[1]。 由于顾客到达的数目和要求提供服务的时间长短都是不确定的，这种由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构成的系统称为随机服务系统或排队系统。 1.2 排队系统的基本参数 排队系统的基本参数包括：顾客到达率λ，服务员数目m，和服务员服务速率μ。

排队论的简单应用

基于排队论的简单实际应用 摘要：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工 作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本文根据排队论进行了一个简单的实际应用讨论。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，用)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统中顾客数为n ）的概率。通过输入过程，排队规则，和服务机构的具体情况建立关于 )(t Pn 的微分差分方程求解。令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程，而不再含微 分了，因此这样意味着把)(t Pn 当作与t 无关的稳态解。关于标准的M/M/s 模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同.==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs ；令,s = μ λ ρ只有当1

一、基于排队论的简单介绍 M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，//1 前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 排队论研究的基本问题 （1）排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。 （2）系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 （3）最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。 二、排队论在实际问题中的应用 问题的陈述：办公室有三条电话线可以打进，也就是说在任意时刻最多能打进接待三通话者来访，打进的电话是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布，每次电话的持续时间是均值为6分钟的随机变量，经理关心由于占线而可能打不进来的人数。他们当中有人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。 1、问题的提出：请仿真这个办公室的电话系统并给出如下估计： （1）无电话占线，有一条、两条占线和三条占线的时间百分比； （2）没有打进电话的人所占的百分比。 （3）若办公室再新装一部电话，你怎样修改模型？改进这一模型还需要其他什么信息？ 2、问题的分析：这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K，顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布，系统的空

通信网基础-排队论及其应用

时间t 内有k 个顾客到达的概率： p (t)k k! k 0, 1, 2, 产生排队的原因： 顾客需求的 随机性和服务设施的 有限性。 排队系统一般分为： 窗口数W 认长，容许一定数量顾 客排队，趙过容量则拒絶 丰拒絶糸统：糸统弁许排队无隗扣售爲.炎■共电话 排队系统的三个基本参数： m ：窗口数 :顾客到达率或系统到达率 ，即单位时间内到达系统的平均顾客数。 其单位为个/时间或份 /时间。 有效到达率： e （1 R ） 或 e （N L s ） 0 :一个服务员（或窗口）的服务速率，即单位时间内由一个服务员（或窗口）进行服务所 离开系统的平均顾客数。 一 1/ 是单个窗口对顾客的平均 服务时间，也是一个呼叫的平均持续时间。 系统模型： X/Y/m/n/N X :顾客到达时间间隔分布 Y :服务时间分布 m :窗口或服务员数目（此处特指并列排队系统） n :截止队长（省略这一项表示 n ，即为非拒绝系统） N :潜在的顾客总数（潜在的无限顾客源，即 N 时，可省去这一项） 指数分布 . k P k P{ X k} 一e k i ； k! F(t) 1 e t t 0 0 t 0 E( X ) D( X 1 1 E(t)丄 D(t) J 最简单流：平稳性 无后效性 疏稀性 1?务机构杲否允许顾 客井队等待服务 即时拒绝系统 窗口数X 队长，不披服务就被拒 绝，如电话网

Q3: M/M/1 系统 平均队长：L 1 t f(t)dt 一个随机过程为泊松到达过程 =到达时间间隔为指数分布 若顾客的离去过程也满足最简单流条件，则离去过程(即服务过程)也为泊松过程, 完成服务的平均时间： 1 E( ) t f (t)dt - Q1:泊松过程，求：时间间隔 t 内，有k 次呼叫的概率: (t)k e t e k! P k (t) 0, 1, 2, Q2 :泊松过程 的顾客到达时间间隔分布 求 顾客到达时间 间隔小于t 的概率，即t Step1: t 内没顾客的概率 P0(t) t | k! I k 0 内有顾客的概率分布 P o (t) Step2: t 内有顾客概率： F T (t) P(T 1-step1 t) 1 P(T t) 1 P o (t) 1 e t E(T) o

排队论开题报告

基于Matlab的排队论问题 仿真模拟研究 一、选题意义 排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的应用非常广泛。它适用于一切服务系统。尤其在通信

系统、交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等发面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。 二、论文综述 基于现实生活，我选取用餐高峰时间的高校的食堂某摊位的窗口数量和用餐学生排队等候情况为研究对象，采集数据，分析整理。首先采用排队论理论知识进行推断，建立模型，确定输入过程，服务规则，和服务台。理论计算出顾客流的概率分布，损失制，等待制，服务台数量及构成，最后确定顾客等待时间及合理的窗口数量。再采用Matlab 软件进行仿真模拟，产生随机数模拟顾客流，运用语言确定服务规则，进行模拟，仿真出顾客流概率，顾客等待时间，窗口设置情况。最后理论和模拟实验一同对比分析，得出结论提出合理建议。 三、论文提纲 一、文献综述 1、研究背景及意义 2、国内外发展状况 3、研究内容及目标 · 二、排队论模型的理论支撑 1、排队论模型的概念及特征 2、排队论模型计常用公式及模型方法 三、基于蒙特卡罗方法的排队论模型随机模拟 1、基本思想 2、算法 3、程序清单 4、运行与调试结果 四、结果与分析

排队论在超市的运用与分析

摘要 近年来，大型超市不断的兴起给人们带来了许多便利。但是由于种种原因大型超市的排队服务系统并不完善，常常出现了队列过长或者服务台空闲等问题，因此，优化大型超市排队服务系统，减短队列便有具有了重大意义。 本文针对沈阳乐购超市服务排队系统进行优化。首先对排队论的相关知识进行介绍，对多服务窗等待制M/M/n/∞/∞排队模型进行了重点阐述。其次对沈阳乐购超市浑南店顾客服务时间，到达时间等数据进行调查，取得原始数据代入排队模型进行实证分析，计算出了相应的目标参量，确定了该超市各个时段应该开放的最佳收银台的数量。然后运用FLEXSIM对服务系统进行仿真以确定该优化方案是可行的。在此基础上本文对乐购超市的收银通道，扫描，员工专业度等方面提出问题并对其优化，最后对超市的发展提出意见。 本文的研究成果对大型商场、医院、银行等具有收费服务系统的服务企业具有普遍的借鉴意义。 关键词：大型超市；排队服务系统；建模；仿真；优化

Abstract In recent years, the continuous rise of large supermarkets have brought a lot of convenience to peaple. However, due to various reasons, the large supermarket's queuing system is not perfect, many problems often arised, such as the queue is too long or deskes are idling. Therefore, to optimize the queuing service system of large supermarket to shorten the queue will have a great significance. This thesis aimed at to optimize the service queuing system of Shenyang Tesco Supermarket. At first, the knowledge about queuing theory has beed introduced, and the multi-window waiting for M/M/n/∞/∞queuing model has beed focused on. Secondly, a survey of customer service time, arrival time and other data has beed conducted at Shenyang Tesco supermarket Hunnan store. Then, the original data abtained from the survey has been put into the queuing model to conduct a empirical analysis. And as a result, the corresponding target parameters are calculated, and so to determine the number of cash register at various hours of the supermarket should beed opened. Next, by using the FLEXSIM service system to conduct a simulation, finding out the optimization is feasible. On this basis, this thesis discussed the problem of cashier channel, scanning equipment and staff professionalism of the Tesco supermarket,and optimizing these problem at the same time.Finally, this thesis has give some advices about how to development the supermarket. The results of this paper have universal referenceto for large shopping malls, hospitals, banks and other service enterprises who have the fee-based services systems. Keywords: supermarkets; queuing service system; modeling; simulation; optimization

实验排队论问题的编程实现

实验排队论问题的编程 实现 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

实验7 排队论问题的编程实现 专业班级信息112 学号18 姓名高廷旺报告日期 . 实验类型：●验证性实验○综合性实验○设计性实验 实验目的：熟练排队论问题的求解算法。 实验内容：排队论基本问题的求解算法。 实验原理对于几种基本排队模型：M/M/1、M/M/1/N、M/M/1/m/m、M/M/c等能够根据稳态情形的指标公式，求出相应的数量指标。 实验步骤 1 要求上机实验前先编写出程序代码 2 编辑录入程序 3 调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程 4 经反复调试后，运行程序并验证程序运行是否正确。 5 记录运行时的输入和输出。 预习编写程序代码： 实验报告：根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。 实验总结：排队问题用lingo求解简单明了，容易编程。加深了对linggo中for语句，还有关系式表达的认识。挺有成就感。很棒。 参考程序 例题 1 M/M/1 模型 某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务，新来维修的顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要排队等待，假设来维修的顾

客到达过程为Poisson流，平均每小时5人，维修时间服从负指数分布， 平均需要6min，试求该系统的主要数量指标。 例题 2 M/M/c 模型 设打印室有 3 名打字员，平均每个文件的打印时间为 10 min，而文件的到达率为每小时 16 件，试求该打印室的主要数量指标。 例题 3 混合制排队 M/M/1/N 模型 某理发店只有 1 名理发员，因场所有限，店里最多可容纳 5 名顾客，假设来理发的顾客按Poisson过程到达，平均到达率为 6 人/h，理发时间服从负指数分布，平均12 min可为1名顾客理发，求该系统的各项参数指标。 例题 4 闭合式排队 M/M/1/K/1 模型 设有 1 名工人负责照管 8 台自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。设平均每台机床两次停车的时间间隔为1h，停车时需要工人照管的平均时间是6min，并均服从负指数分布，求该系统的各项指标。 参考程序

排队论及其应用

排队系统的符号表述 描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥ 各符号的意义： ①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入； EK——表示K阶爱尔朗分布； G——表示一般相互独立的随机分布。 ②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。 ③——表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。 ④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0

排队论在实际当中的应用_毕业设计

第一章排队论问题的基本理论知识 排队是日常生活中经常遇到的现象，本章将介绍排队论的一些基本知识和常见的排队论的模型，使我们对排队论有一个基本的认识。 1.1 预备知识 下图是排队过程的一般模型：各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完成后离开。我们说的排队系统就是图中虚线所包括的部分。 一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。 1.输入过程 输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或到达的间隔时间的概率分布。 2.排队规则 排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。 3.服务机构

可以是一个或多个服务台。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。但大多数情形服务时间是随机型的。对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。 1.2 模型理论分析 1.2.1 模型分类 排队模型的表示： X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时间的分布； Y—服务时间的分布； M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔朗分布。 Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为∞）； B—顾客源数目（默认为∞）； C—服务规则（默认为先到先服务FCFS)。 1.2.2 模型求解 一个实际问题作为排队问题求解时，只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布须要实测的数据来确定，其他的因素都是在问题提出时给定的。并且必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征值。这些指标通常是： （1）队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其期望值记为 L； S 排队长（队列长）：系统中排队等待服务的顾客数，其期望值记为 L； g [系统中顾客数]=[在队列中等待服务的顾客数]+[正被服务的顾客数] （2）逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其其期望值记为W s； 等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其期望值记为W g； [逗留时间]=[等待时间]+[服务时间] （3）忙期：从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度； 系统状态：即指系统中的顾客数； 状态概率：用() P t表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率； n

排队论及其在通信领域中的应用

排队论及其在通信领域中的应用

排队论及其在通信领域中的应用 信息与通信工程学院 2010211112班 姓名：李红豆 学号：10210367 班内序号：26 指导老师：史悦

一、摘要 排队论是为了系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。排队是一种司空见惯的现象，因此排队论可以用来解决许多现实问题。利用排队论的知识可以来解决通信服务中的排队论问题。应用排队论一方面可以有效地解决通信服务系统中信道资源的分配问题；另一方面通过系统优化，找出用户和服务系统两者之间的平衡点，既减少排队等待时间，又不浪费信号资源，从而达到最优设计的完成。 二、关键字 排队论、最简单流、排队系统、通信 三、引言 排队论又称随机服务系统, 主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞) 现象的规律的一门学科, 排队论的创始人Erlang 是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。可以说, 凡是出现拥塞现象的系统, 都属于随机服务系统。随着电子计算机的不断发展和更新, 通信网的建立和完善, 信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题, 从而使排队论理论与应用得到发展。 四、正文 1、排队论概述： 1.1基本概念及有关概率模型简述： 1.1.1排队论基本概念及起源： 排队论是一个独立的数学分支有时也把它归到运筹学中。排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象(排队、等待)的科学也称为随机服务系统理论或拥塞理论。它专于研究各种排队系统概率规律性的基础上解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。 排队论起源于20世纪初。当时美国贝尔Bell电话公司发明了自动电话以后如何合理配臵电话线路的数量以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题出现了。 1909年丹麦工程师爱尔兰A.K.Erlang发表了具有重要历史地位的论文“概率论和电话交换”从而求解了上述问题。 1917年A.K.Erlang又提出了有关通信业务的拥塞理论用统计平衡概念分析了通信业务量问题形成了概率论的一个新分支。后经C.Palm等人的发展由近代概率论观点出发进行研究奠定了话务量理论的数学基础。 排队论广泛应用在网络的设计和优化方法移动通信系统中的切换呼叫的处理方法随机接入系统的流量分析方法ATM业务流的数学模型及其排队分析方法等。 1.1.2排队论系统的组成 一个排队系统由三个基本部分组成，输入过程、排队规则和服务机构。

排队论的综述与应用文献综述

毕业论文文献综述 数学与应用数学 排队论的综述与应用 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 1.写作目的 本文主要在于介绍排队论的历史背景，不同的排队模型，以及实际的应用．目的在于对排队论的历史背景，模型等进行综述，并总结排队论在生活各个领域的应用. 2.基本概念 排队现象是很常见的，排队论(queuing theory)也称随机服务系统理论（random service system theory）,是一门研究拥挤现象（排队、等待）的科学【1】，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益【2】。 3.用排队论来研究排队服务系统，首先要对各种排队系统进行分类描述.任何排队服务系统可以描述为以下四个方面【3】： 1.输入——指顾客到达服务系统的情况.按到达的时间隔分：有确定的时间间隔，有随机的时间间隔；从顾客到达人数的情况看：有按单个到达，有按成批到达的；从顾客来源总体看：有顾客源总数无限及有限两类，但只要顾客源总数足够大时，可以吧顾客源总数有限的情况近似的当成顾客源总数无限的情况处理【4】. 2.输出——是指顾客从得到服务到离开服务机构的情况，有定长的服务时间，一随机的服务时间；按一名服务员同时服务的顾客人数区分，有单个服务，有成批服务等.

基于排队论的简单实际应用

基于排队论的简单实际 应用 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

基于排队论的简单实际应用 摘要：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过 程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本文根据排队论进行了一个简单的实际应用讨论。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，用)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统中顾客数为n ）的概率。通过输入过程，排队规则，和服务机构的具体情况建立关于)(t Pn 的微分差分方程求解。令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程，而不再含微分了，因此这样意味着把)(t Pn 当作与t 无关的稳态解。关于标准的M/M/s 模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同 .==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs ；令,s = μ λ ρ只有当1