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北京市朝阳区2011届高三数学保温测试文

数学试卷（文史类）

（考试时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知全集U =R ，集合{|21}x

A x =>，1

0}1

B x x =>-，则()U A B I e= （A ）{|1}x x > （B ）{|01}x x << （

C ）{|01}x x <≤ （

D ）{|1}x x ≤ （2）若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为

（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 （3）设13

log 2a =，2log 3b =，0.3

1()2

c =，则

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）b a c << （4）已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（A ） //a b ，//b α，则//a α

（B ） a ，b α?，//a β，//b β，则//αβ （C ） a α⊥，//b α，则a b ⊥

（D ）当a α?，且b α?时，若b ∥α，则a ∥b （5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为

（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤ （6）要得到函数sin(2)4

y x π

的图象，只要将函数sin 2y x =的图象

（A ）向左平移

4π单位（B ）向右平移4π

单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8

单位

（7）直线l 过点(4,0)-且与圆22

(1)(2)25x y ++-=交于,A B 两点，如果||8AB =，则直线l 的方程为

（A ）512200x y ++= （B ）512200x y -+=或40x += （C ）512200x y -+= （D ）512200x y ++=或40x +=

（8）已知椭圆2

214

x y +=的焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠=，则点P 的纵坐标可以是（A ）2

（B ）33 （C ）233 （D ）263

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．（9）命题：0,2

≥∈?x R x 的否定是．（10）向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若3

a b ，则θ2sin = . （11）如果实数,x y 满足条件10,10,10,x y y x y -+≥??

+≥??++≤?

那么2x y -的最大值为．

（12）年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为，方差为．

（13）右图是一个几何体的三视图（单位：cm ），根据图中数据，可得该几何体的体积是 .

（14）知向量(1, ), (1, )t t ==-a b .若2-a b 与b 垂直, 则||=a .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）题满分13分）已知函数2

cos sin sin 3)(2-

x x x x f ()R x ∈．（Ⅰ）求)4

(πf 的值；（Ⅱ）若)2

0(π

∈x ，求)(x f 的最大值；

（16）本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区

服务次数在区间[25, 30)内的概率.

分组

频数频率 [10,15) 10 0.25

[15,20) 24

[20,25) m

[25,30)

0.05 合计

频率/组距

15 25 20 10 0

30 次数

（17）（本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形，AC

BD O =，侧棱

1AA ⊥BD ，点F 为1DC 的中点．

（I ）证明：//OF 平面11BCC B ；（II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .

（18）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S （*

n ∈N ）．

（Ⅰ）证明:数列{}n a 是等比数列；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．

B 1

C 1

A D F

1D O

（19）（本小题共14分）已知圆C 经过点(2,0), (0,2)-A B ，且圆心在直线y x =上，且又直线:1l y kx =+与圆Ｃ相交于P ，Q 两点.（I ）求圆Ｃ的方程；（II ）若2OP OQ =-，求实数k 的值；

（20）（本小题满分14分）已知函数1)(2

-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .

（I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；（II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值.

高三数学练习题参考答案（文科）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）C （7）D （8）B 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）R x ∈?，02

（11）1 （12）85，3.2 （13）4 （14）2

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）2

cos

4sin

4sin 3)4

f 21

=． ……………4分（Ⅱ）2

)2cos 1(3)(x x f -=+23

2sin 21-

x x x 2cos 2

2sin 21-=

2sin(π

-=x ． ………………………………………………6分

20π<

2323π

ππ<-<-∴x ．

∴当232

x ππ

-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………………8分 16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，

0.25M

=，所以40M =. ……………………………………………………………2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ……………3分

40.1040

m p M =

==. ……………………………………………………4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以24

0.12405a =

=?. …6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. …8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b

2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ……10分

而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………………………12分所以所求概率为114

11515

P =-

=.（约为0.93） ………………………13分

17. （共13分）

解：（I ）四边形ABCD 为菱形且AC

BD O =，

O ∴是BD 的中点 . ..........................................................................2分又点F 为1DC 的中点,

∴在1DBC ?中，1//BC OF , ........................................................4分 ?OF 平面11BCC B ，?1BC 平面11BCC B ,

∴//OF 平面11BCC B . ......................................................................6分（II ）四边形ABCD 为菱形,

AC BD ⊥∴. ................................................................................8分又⊥BD 1AA ，1

,AA AC A =且1,AA AC ?平面11ACC A , .................10分

⊥∴BD 平面11ACC A . .....................................................................11分 ?BD 平面1DBC , ∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ...................13分 (18)（共13分）

（Ⅰ）证明：由34-=n n a S ，1n =时，3411-=a a ，解得11=a .

因为34-=n n a S ，则3411-=--n n a S (2)n ≥，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14

n n a a -=

.又110a =≠，所以{}n a 是首项为1，公比为4

的等比数列. ……………………………6分（Ⅱ）解：因为1

4()

n n a -=，

由*1()n n n b a b n +=+∈N ，得1

14()

n n n b b -+-=.

可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

＝1)34(33