直线与圆的方程例题(总结版)

【考试大纲要求】

1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．

【基础知识归纳】 1．直线方程

（1）直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是：0180α?

?

≤<. （2）直线的斜率)90(tan ?≠=ααk .

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.

(3)直线的方向向量

设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量

向量

121

x x -21F F =（1，1

212

x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a

＝(0,1) .

说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．

每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系． （4）直线方程的五种形式

点斜式：)(00x x k y y -=-，(斜率存在) 斜截式：b kx y += (斜率存在) 两点式：

1

21121x x x x y y y y --=

--，(不垂直坐标轴) 截距式：1=+b y

a x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式：0=++C By Ax .

引申：过直线1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为：

111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ∈R ）(除l 2外)．

2．两条直线的位置关系 （1）直线与直线的位置关系

存在斜率的两直线111:l y k x b =+；222:l y k x b =+.有： ①12l l ?12k k =且12b b ≠； ②12l l ⊥?121k k ?=-； ③1l 与2l 相交?12k k ≠； 0④1l 与2l 重合?12k k = 且12b b =. 一般式的直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=.

有①12l l ?12210A B A B -=；且12210B C C B -≠; ②12l l ⊥?12120A A B B +=; ③1l 与2l 相交?12210A B A B -≠;④1l 与2l 重合?12210A B A B -=；且12210B C C B -= （2）点与直线的位置关系

若点00(,)P x y 在直线0=++C By Ax 上，则有000Ax By C ++=；

若点00(,)P x y 不在直0=++C By Ax 上，则有000Ax By C ++≠，此时点00(,)P x y 到直线

0=++C By Ax 的距离为2

2

00B

A C By Ax d +++=

．

平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=之间的距离为 2

2

21B

A C C d +-=．

（3）两条直线的交点

直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的公共点的坐标是方程111222

00A x B y C A x B y C ++=??

++=? 的解

相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解. 重合?方程组有无数解. 3．曲线与方程 4. 圆的方程

(1)圆的定义 (2)圆的方程

标准式：222

()()x a y b r -+-=，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心．

一般式：22

0x y Dx Ey F ++++=（2

2

40D E F +->）.其中圆心为

,2

2D E ??-- ???

参数方程:cos sin x r y r αα=??=?

，cos (sin x a r y b r ααα=+??

=+?是参数）. 消去θ可得普通方程

5. 点与圆的位置关系

判断点(,)P x y 与圆2()x a -+22()y b r -=的位置关系代入方程看符号. 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.

有两种判断方法： （1）代数法：（判别式法）0,0,0?>?=?<时分别相离、相交、 相切. （2）几何法：圆心到直线的距离 ,,d r d r d r >=<时相离、相交、相切. 7．弦长求法

（1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2

2

22l d r ??

+= ???

．

（2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 8．圆与圆的位置关系

题型1：直线的倾斜角

1．（07·上海）直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 答案：4arctan π-

解析： 直线014=-+y x 可化为14-=x y ，

∴）

，（　ππ

θθ2,4tan ∈-==k

∴4arctan π-=θ．

题型2 ：直线的斜率

2．（08·安徽卷）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线

22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ ）

A

．[ B

．( C

．???? D

．

? ?? 答案：C

解析：记圆心为(2,0)D ,记上、下两切点分别记为B C 、，则

30BAD CAD ?

∠==∠，∴l 的斜率

00

tan150,tan

30,

k ??

∈??

即

33k ?∈-???. 题型3 直线的方程

3．（07·浙江）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是 （ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-= Ｄ．230x y +-=

答案：D

解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x =对称点为(2-x, y)在直线

210x y -+=上,

即0122=+--y x ，化简得答案D. 题型4：直线方程的综合题

4．（08·江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，

一同学已正确算的OE 的方程：11110x y b c p a ????-+-= ? ?

????，请你求OF ___________________.

答案：11110x y c b p a ??

??-+-= ? ?????

解析：直线AB 的方程为1=+a y

b x ①

直线CP 的方程为1

=+p y c x ②

②-①得11110x y c b p a ??

??-+-= ? ?????，

直线AB 与CF 的交点F 坐标满足此方程，原点O 的坐标也满足此方程，所以OF 的方程为

11110x y c b p a ??

??-+-= ? ?????.（若敢于类比猜想，交换x 的系数中b 、c 的位置，便很快可得结果.）

题型5：直线与直线的位置关系

5．（06·福建）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于

( )

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1- 答案 D

解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a=－1，选D. 题型6：点与直线的位置关系

6．（06·湖南）圆

224x y x +--4100y -=上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( )

A ．36 B. 18 C. 26 D. 25 答案C

解析：圆

010442

2=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32， 圆心到直线014=-+y x

=>32，

圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C. 题型7：平行线间的距离

【例7】（07·四川）如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l

间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l

上，则△ABC 的边长是

( )

A

．．36

4 C

． D

．3

【答案】D

【解析】过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l

为x 轴、

y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、

(0,2)C -，由A B B C

=

=知

222

()149a b b a -+=+=+=边长2

，检验A ：

222()14912a b b a -+=+=+=，无解；

检验B ：

22

()14a b b -+=+232

93a =+=

，无解； 检验D ：22

()14

a b b -+=+228

93a =+=

，正确.

题型8：动点的轨迹方程

8．（08·上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''

，满足

x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样

的点Q 组成的集合是劣弧 ( )

Ａ．弧AB B ．弧BC C ．弧CD D ．弧DA 答案D

解析：分别在弧AB 、弧BC 、弧CD 、弧DA 上任意取一点Q ，只有在弧DA 上的点Q 满足不存在Ω中的其它点优于Q ，故选D ．

题型9：圆的方程

9. (06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线345

0x y -+=相切的圆的方程为

（ ）

A ．2

2

(2)(1)3x y -++= B ．2

2

(2)(1)3x y ++-=

C ．22(2)(1)9x y -++=

D ．

22

(2)(1)3x y ++-= 答案 C 解析

r =

－（－）＋＝3，故选C.

10.。（08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆 ?

?

?+-=+=θθ

sin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值

范围是 .

解析：将圆化成标准方程得

1)2()1(22=++-y x ，圆心)2,1(-，半径1=r . 直线与圆相离，

∴

1

4

3)2(4132

2>++-?+?m

，∴

5

5>-m ，∴ 100>

题型10：直线与圆的位置关系

11.（09?辽宁）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 （ ）

A.22(1)(1)2x y ++-=

B.

22

(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22

(1)(1)2x y +++= 答案B

解析：圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

题型11：圆与圆的位置关系

12．（07·山东）与直线x y +-20=和曲线

22

1212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_____

答案

22

(2)(2)2x y -+-= 【解析】曲线化为

22

(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=

的距离为

d =

=

所求的最小圆的圆心在直线

y x =

上，其到直线的距离为，圆心坐标为(2,2).标准方程为

22(2)(2)2x y -+-=.

【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：

（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围． （2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（m ＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．

（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．

（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．

（5）对独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．

（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的

始终．

1.（2004年湖北，文2）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3∶2，则m 的值为

A.－

23 B.－32 C.4

1

D.4 解析：设M （x ，y ），点M 分M 1M 2所成比为λ=23. 得x =231236++

=3，y =2

317

23

6+?+=5. 代入y =mx －7，得

m =4.

答案：D

2.（2003年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线y =ax 与y =x +a 正确的是

A

B

C

D

解：根据a 的符号和表示直线的位置特征，显见C 正确，因为当a <0时，y =ax 表示过原点且下降的直线，y =x +a 表示纵截距小于零且上升的直线.故选C.

答案：C

3.（2005年春季北京，6）直线x +3y －2=0被圆（x －1）2

+y 2

=1所截得的线段的长为 A.1 B.2 C.3 D.2 解析：圆心（1，0），r =1到直线x +3y －2=0的距离d =

2

2)3(1|201|+-+=

21. 则2

1

弦长=23.∴弦长为

3.

答案：C

4.（2004年湖北，4）圆C 1：x 2

+y 2

+2x +2y －2=0与圆C 2：x 2

+y 2

－4x －2y +1=0的公切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

答案：B

5.（2004年天津，理7）若P （2，－1）为圆（x －1）2

+y 2

=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 A.x －y －3=0 B.2x +y －3=0 C.x +y －1=0 D.2x －y －5=0 解：由（x －1）2

+y 2

=25知圆心为Q （1，0）.据k QP ·k AB =－1， ∴k AB =－

QP

k 1=1（其中k QP =

1

20

1---=－1）. ∴AB 的方程为y =（x －2）－1=x －3，即x －y －3=0. 答案：A

6.（2002年全国新课程）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B （－1，3），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为

A.（x －1）2

+（y －2）2

=5 B.3x +2y －11=0 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0

解析：设C 点坐标为（x ，y ），则=（x ，y ），=（3，1），=（－1，3）， 所以（x ，y ）=α·（3，1）+β·（－1，3）=（3α－β，α+3β）.

x =3α－β， y =α+3β，

α=

103y

x +， β=103x y -. 因为α+β=1，所以103y x ++10

3x y -=1，即x +2y －5=0.故选D.

7.把直线x －2y +λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x 2

+y 2

+2x －4y =0相切，则实数λ的值为

A.3或13

B.－3或13

C.3或－13

D.－3或－13

解析：直线x －2y +λ=0按a =（－1，－2）平移后的直线为x －2y +λ－3=0，与圆相切，易得λ=13或3.

答案：A

8.（2004年春季北京）若直线mx +ny －3=0与圆x 2

+y 2

=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为

____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3

2

y =1的公共点有____________

个.

解析：将直线方程代入圆方程中“Δ＜0”即可. 答案：0＜m 2

+n 2

＜3 2

9.（2001年上海，理）已知两个圆：①x 2

+y 2

=1；②x 2

+（y －3）2

=1，则由①式减去②式可得两圆的对

所以 变形得

x

称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例.推广命题为____________.

解析：设两圆方程为（x －a ）2

+（y －b ）2

=r 2

①和（x －c ）2

+（y －d ）2

=r 2

.② 由①－②得两圆的对称轴方程为2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2

+b 2

－c 2

－d 2

=0.

所以推广命题为：已知两个圆：①（x －a ）2

+（y －b ）2

=r 2

；②（x －c ）2

+（y －d ）2

=r 2

. 则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.

答案：已知两个圆：①（x －a ）2

+（y －b ）2

=r 2

；②（x －c ）2

+（y －d ）2

=r 2

.则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.

10.已知两圆2210x y +=和

22

(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．

答案：30x y +=

11．圆

0122

2=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．

21

)2()3(22=

-++y x

Ｂ．

21)2()3(22=

++-y x

Ｃ．2)2()3(2

2

=-++y x

Ｄ．2)2()3(2

2

=++-y x

答案C 12

．

圆

心

为

(1，且

与直线

4

x y +=相切的圆的方程

是 ．

22

(1)(1)2x y -+-= 13．若x ，y 满足约束条件1

122x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a

的取值范围是

(A) （1-，2 ） (B) （4-，2 ） (C) (4,0]-答案：B

解析：根据图像判断，当a=0时，显然成立；当a>0时，直线ax+2y-z=0k=-a/2>k AC = -1,a<2;当a<0时，k=-a/2-4,综合得a 的取值范围是（-2 ）

14．（2008全国2，11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x y +-

740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）

A ．3

B ．2

C ．13

-

D ．12

-

15.（2010 福建，8）设不等式组

所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直

线3x-4y-9对称。对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，∣AB ∣的最小值等于

A. 285

B. 4

C. 12

5 D. 2

16．（2010 浙江，7）若实数y x ,满足不等式组??

?

??≥+-≤--≥-+,01,032,

033m y x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m

（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2

17．（2009 安徽 7）若不等式组03434x x y x y ≥??+≥??+≤?

所表示的平面区域被直线4

3y kx =+分为面积相等的两部

分，则k 的值是

（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34

18. (2009 宁夏海南6)设,x y 满足24,

1,22,x y x y x y +≥??-≥?

?-≤?

则z x y =+

（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值

【答案】B

【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z ＝2，无最大值，故选

.B

19．(2009 福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??

-≤??-+≥?

（α为常数）所表示的平面区域

内的面积等于2，则a 的值为

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3

【

解

析

】

如

图

可

得

黄

色

即

为

满

足

010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1）

，故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是2

3

；当a=3时，面积恰好为2，故选D.

20．(2008山东11)已知圆的方程为.0862

2

=--+y x y x 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ）

（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406

21．(2010 江苏9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42

2

=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是_________

【解析】考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||

113

c <，c 的取值范围是（-13，13）。

22．（2009，上海，22）已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为

F )

，一条渐近线

m:0=,

设过点

A (-的直线l 的方向向量(1,)e k =v

。

求双曲线C 的方程；

若过原点的直线//a l ，且a 与l

，求K 的值；

证明：当k >

时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l

. 【解析】（1）设双曲线C 的方程为2

2

2(0)x y λλ-=>

32λ

λ∴+=，解2λ=双曲线C 的方程为2

212

x y -=

（2

）直线:0l kx y -+=，直线:0a kx y -=

=

k = （3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线:0b kx y -=

则直线l 与b

的距离d =

当k >

时，d > 又双曲线C 的渐近线为

x 0=∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴ 双曲线C 右支上的任意点到直线l

C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l

【证法二】假设双曲线C 右支上存在点00(,)Q x y 到直线l

则22

00(1)22

(2)x y ?=-=? 由（1

）得00y kx =+±

设t =

k >

时，0t =>；

20t ==>

将00y kx t =+代入（2）得22

200(12)42(1)0k x ktx t ---+

=02

k t >

> ， 22120,40,2(1)0k kt t ∴-<-<-+< ∴ 方程(*)不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l

圆的切线方程： (x-a)(x 0-a)+(y-b)(y 0-b)=r 2

椭圆的切线方程 (x·x 0)/a 2

+ (y·y 0)/b 2

=1. 双曲线的切线方程(x·x 0)/a 2

- (y·y 0)/b 2

=1. 抛物线切线方程 y·y 0 = p·（x+x 0）

【高考实战演习】 一．选择题

1．（09·湖南重点中学联考）过定点()2,1P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，若使△ABC （O 为坐标原点）的面积最小，则l 的方程是 （ ）

A.30x y +-=

B.350x y +-=

C.250x y +-=

D.240x y +-=

2．（09·湖北重点中学联考）若P （2，－1）为圆（x －1）2

+y 2

=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 （ ）

A.x －y －3=0

B.2x +y －3=0

C.x +y －1=0

D.2x －y －5=0

3.（09·陕西）过原点且倾斜角为60?的直线被圆学2

2

40x y y +-=所截得的弦长为（ ）

4.（09·宁夏海南）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆

2C 的方程为 ( )

A.2

(2)

x ++2

(2)

y -=1 B.2

(2)

x -+2

(2)

y +=1 C.2

(2)

x ++2

(2)

y +=1

D.2

(2)x -+2

(2)y -=1

5.（09·重庆）直线1y x =+与圆22

1x y +=的位置关系为 （ ）

A ．相切

B ．相交但直线不过圆心

C ．直线过圆心

D ．相离

6.（09·重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ） A ．2

2

(2)1x y +-= B ．2

2

(2)1x y ++= C ．2

2

(1)(3)1x y -+-=

D ．2

2

(3)1x y +-=

7．（08·湖北）过点(11,2)A 作圆22

241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有

（ ）

A.16条

B. 17条

C. 32条

D. 34条

8．（08·北京）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为 （ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

二．填空题

9．（07·上海）已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为____________.

10.（08·天津）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为____________．

11.（09·四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 w .

12.（09·全国）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是: ①15

②30

③45

④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

13.（09·天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长为，则

a =___________.

14．（09·辽宁）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_____________.

三．解答题

15． （09·广西重点中学第一次联考）设直线l 过点A （2，4），它被平行线x –y +1=0与x -y -l=0所截得的线段的中点在直线x +2y -3=0上，求直线l 的方程.

16．（08·北京）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2

2

34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程；（Ⅱ）当60ABC ∠=

时，求菱形ABCD 面积的

最大值．

17．（08·江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

18．(08·海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：16)1(22=++y x 上的一动点，点B （1，0），点M 是BN 中点，点P 在线段AN 上，且.0=?

（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）试判断以PB 为直径的圆与圆22y x +=4的位置关系，并说明理由. 19．（08·年西城一模）在面积为9的ABC ?中，4

tan 3

BAC ∠=-

，且2=.现建立以A 点为坐标原点，以BAC ∠的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示.

（Ⅰ）求AB 、AC 所在的直线方程；

(Ⅱ)求以AB 、AC 所在的直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；

(Ⅲ)过D 分别作AB 、AC 所在直线的垂线DF 、DE （E 、F 为垂足），求DE DF ?

的值.

20.（08·朝阳一模）已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2:l y x =-

()0x ≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ? 的面积为定值2．

(Ⅰ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点()0,2N 作直线l ，与曲

线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程．

参考答案 一．选择题 1．【答案】D

【解析】由题设，可知12ABC S ab ?=

，且21

1a b

+=，

∴2ab a b =+≥

8.ab =?≥

当且仅当2422

a b a b a ab b ==?????

+==??时，8ab =.∴ l 的方程为：1240.42x y

x y +=?+-= ∴应选D.

2．【答案】A

【解析】由（x －1）2

+y 2

=25知圆心为Q （1，0）.据k QP ·k AB =－1， ∴k AB =－

QP

k 1=1（其中k QP =

1

20

1---=－1）. ∴AB 的方程为y =（x －2）－1=x －3， 即x －y －3=0.∴ 应选A. 3. 【答案】D

【解析】直线方程y ,圆的方程为：22(2)4x y +-= ∴圆心(0,2

)到直线的距

离1d ==，由垂径定理知所求弦长为

*d =，选D.4.【答案】B

【解析】设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有11

1022

111

a b b a -+?--=???-?=-?+?，

解得2

2a b =??=-?

，对称圆的半径不变，为1.

5.【答案】B

【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=

的距离2d =

=，

而01<

<，选B.

6.【答案】A

【解法】设圆心坐标为(0,)b

1=，解得2b =，

故圆的方程为22(2)1x y +-=. 7．【答案】C

【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A 点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A 点的弦长中最短的是过A 点且垂直于线段PA 的弦，也只有一条，其长度为10（PA 的长为12，弦长=2221213-=10），而其它的弦可以看成是绕A 点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A 点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C ．

8．【答案】C

【解析】此圆的圆心为C （5，1），半径

2=r .设直线x y l =:上的点P 符合要求，连结PC ，则由题意知l PC ⊥，

又222

15=-=

PC .

设2l 与⊙C 切于点A ，连结AC ，则2=

AC .在PAC ?Rt 中，

2

1

=

PC

AC ，∴?=∠30APC ， ∴l 1与l 2的夹角为60°. 故选C. 二．填空题

9．【答案】32-

【解析】 212

3113

m m =

≠?=---. 10.【答案】2

2

(1)18x y ++=.

【解析】圆C 的圆心与P （－2,1）关于直线y =x +1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为

.)1(222R y x =++设AB 中点为M ，连结CM 、CA ，在三角形CMA 中

2

2

222304(1)11

3,

5

||3,

3318,

CM AM R CM MA ?+?--=

==∴=+=+=又

故圆的方程为.18)1(2

2

=++y x 11.【答案】4

【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ， 且53||5<

所以有525)52()5(222±=?=+=m m ∴45

20

52=??=AB . 12.【答案】①或⑤

【解析】两平行线间的距离为21

1|13|=+-=

d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为

o 45，

所以直线m 的倾斜角等于0

754530=+o

或0

153045=-o

. 13.【答案】1

【解析】由知22260x y ay ++-=

,

222)3()1(6=---+a a 解之得1=a .

14．【答案】2

2

(1)(1)2x y -++=

【解析】圆心在x ＋y ＝0上,结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

三．解答题

15．【答案】3x -y -2=0

【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y =x 上，将x +2y -3=0与y =x 联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线l 过点A （2，4）由两点式得直线l 的方程为：3x -y -2=0.

16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方

程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．

由2234x y y x n

?+=?=-+?，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上， 所以2

12640n ?=-+>，

解得n <<．

设A ，B 两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，

则1232n x x +=，212344

n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．

所以122

n

y y +=

． 所以AC 的中点坐标为344n n ??

???

，． 由四边形ABCD 为菱形可知， 点344n n ??

???

，在直线1y x =+上， 所以

3144

n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--， 即20x y ++=．

（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形， 且60ABC ∠=

， 所以AB BC CA ==．

所以菱形ABCD 的面积2

S =

． 由（Ⅰ）可得22

2

2

1212316

()()2

n AC x x y y -+=-+-= 所以S =

2316)433n n ??

-+-<< ? ??

?．

所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值

17．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()2

20f x x x b =++=，

由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：2x 2

0y Dx Ey F ++++=， 令y ＝0 得2

0x Dx F ++=． 这与2

2x x b ++＝0 是同一个方程，