位似4

27. 3 位似（一）

一、教学目标

1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．

二、重点、难点

1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．

2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．

3．难点的突破方法

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2），并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．

三、例题的意图

本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形的概念，让学生理解位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通过例2 的教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．讲解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位

置有关（如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2 中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形的关键．要及时强调注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），并让学生练习找所给图形的位似中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图形的概念与作图．

四、课堂引入

1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？

2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即

新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一

种方法吗？

五、例题讲解

例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．

解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）

例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的

21． 分析：把原图形缩小到原来的2

1，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为

1∶2 ．

作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；

（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；

（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点

A ′、

B ′、

C ′、

D ′， 使得2

1OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、

D ′A ′，得到所要画的四边形

A ′

B ′

C ′

D ′，如图2．

问：此题目还可以如何画出图形？

作法二：（1）在四边形ABCD

外任取一点O ；

（2）过点O 分别作射线OA ，

OB ， OC ，OD ；

（3）分别在射线OA ， OB ，

OC ， OD 的反向延长线上取点

A ′、

B ′、

C ′、

D ′，使得

2

1OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，

如图3．

作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；

（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；

（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得2

1OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．

（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）

六、课堂练习

1．教材P61．1、2

2．画出所给图中的位似中心．

1．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．

七、课后练习

1．教材P65．1、2、4

2．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，

使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求

（1）位似中心在△ABC的外部；

（2）位似中心在△ABC的内部；

（3）位似中心在△ABC的一条边上；

（4）以点C为位似中心．

教学反思

27. 3 位似（二）

一、教学目标

1．巩固位似图形及其有关概念．

2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变

换．

二、重点、难点

1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

3．难点的突破方法

（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．

（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k．

（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．

（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．

三、例题的意图

本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变

换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2

是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转

和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于

观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己

来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己

总结出这四种变换的异同．

四、课堂引入

1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，

C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，

写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；

（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；

（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．

2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．

3．探究：

（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为3

1，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，

C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，

观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平

面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似

比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．

五、例题讲解

例1（教材P63的例题）

分析：略（见教材P63的例题分析）

解：略（见教材P63的例题解答）

问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！

解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)2

1(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）

例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴

对称、旋转和位似这些变换吗？

分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是

一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它

还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1

的位似图形，……．

解：答案不惟一，略．

六、课堂练习

1． 教材P64．1、2

2．△ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．

3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．

七、课后练习

1．教材P65．3，P66．5、8

2．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图

案（选择的变换不限）．

3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到1.5倍，

请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．

教学反思