地球椭球与椭球计算理论
第六章 地球椭球与椭球计算理论
[本章提要]：本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识。
§6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系
6.1.1地球椭球的基本几何参数
地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。 参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
地球椭球的几何定义：O 是椭球中心，NS 为旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴a 椭圆的短半轴b
椭圆的扁率a
b
a -=
α 椭圆的第一偏心率a
b a e 2
2-= 椭圆的第二偏心率b
b a e 2
2-=
' 其中a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。偏心率e 和e '是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数：
B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-=
我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980
年国家大地坐标系
应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值
6.1.2 地球椭球参数间的相互关系
其他元素之间的关系式如下：
??
?
?
?????
??≈-=-='+=-'='+='-='+=-='+=ααα221,11,11,11,122222
2222
2e e V W e W V e e e e e e e
c a e a c e a b e b a
????
??
?????
'+=+=-=-=???
?
??=?'+=????
??=?-=22222222222)1(1)1(sin 111W e V V
e B e W
W
b a W e V V
a b V e W η 式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角
L ，
叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o
～180°）。P 点的法线n P 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由
赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系
??
???+=+=)()
(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ
6.2.2空间直角坐标系
以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体
的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系
设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。
在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。
6.2.4大地极坐标系
M 为椭球体面上任意一点，MN 为过M 点的子午线，S 为连结MP 的大地线长，A 为大地线在M 点的方位角。以M 为极点，MN 为极轴，S 为极半径，A 为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中P 点的位置用S ,A 表示。 椭球面上点的极坐标（S ,A ）与大地坐标(L ,B ）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。
6.2.5各坐标系间的关系
椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。
1.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 过P 点作法线n P ，它与x 轴之夹角为B ，过P 点作子午圈的切线TP ，它与x 轴的夹角为（90°+B ）。子午面直角坐标y x ,同大地纬度B 的关系式如下：
W
B
a B
e B a x cos sin 1cos 22=
-=
V
B b B e W a B
e B e a y sin sin )1(sin 1sin )1(2222=-=
--=
2.空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系
空间直角坐标系中的P P 2相当于子午平面直角坐标系中的y ，前者的2OP 相当于后者的x ，并且二者的经度L 相同。
??
?
??
===y Z L x Y L x X sin cos
3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系
同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。
()()()[]
?
?
?
??
+-=+=+=B H e N z L B H N y L B H N x sin sin cos cos cos 21
()?
??
?
?
?
?
??--=++==2
2
22
1sin sin arctan arctan e N B z H y x B Ne z B x y
L 式中：e ——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式()
2222a b a e /-=算得。
N ——法线长度，可由式B e a N 221sin /
-=算得。
§6.3 几种主要的椭球公式
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，
法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径
子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：
dB
dS M =
子午圈曲率半径公式为：
3
2)1(W e a M -=
3V c M =
或 2
V N M =
M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：
6.3.2卯酉圈曲率半径
过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。即
PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：
W a N = V
c N =
6.3.3 任意法截弧的曲率半径
子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180
°。卯
酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。 任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：
A
B e N
A N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=
η
（7-87）
6.3.4 平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向A R 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径——平均曲率半径R ：
MN R =
或
)1(22
22e W a V N V c W b R -====
因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点子午圈曲率半径M 和卯酉圈曲率
半径N 的几何平均值。 6.3.5 子午线弧长计算公式
子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。 如图所示，取子午线上某微分弧dx P P ='，令P 点纬度为B ，P '点纬度为dB B +，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有： MdB dx =
从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：
?=B
MdB X 0
式中M 可用下式表达：
B
a B a B a B a a M 8cos 6cos 4cos 2cos 86420+-+-=
其中： ???????
??
??????
=+=++=+++=+++++=1281632327163816
73215221283516583288
8668644
8
6422
864200m a m m a m m m a m m m m a m m m m m a 经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：
B a B a B a
B a B a X 8sin 8
6sin 64sin 42sin 286420+-+-=
为求子午线上两个纬度1B 及2B 间的弧长，只需按上式分别算出相应的1X 及2X ，而后取差：12X X X -=?，该X ?即为所求的弧长。 克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
B B B B X 6sin 022.04sin 828.162sin 480.16036861.111134-+-=
B B B B B B B X cos sin 697.0cos sin 929.133cos sin 780.32005861.11113453---=
1975年国际椭球子午线弧长计算公式：
B B B B X 6sin 022.04sin 833.162sin 528.16038005.111133-+-=
B B B B B B B X cos sin 698.0cos sin 960.133cos sin 858.32009005.11113353---=
6.3.6 底点纬度计算
在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X ，Y ）反求其大地坐标（L ，B ）。首先X 当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。 （1）迭代法
在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设
8611.111134
/1X B f =
以后每次迭代按下式计算：
8611.111134/))((1i f i f B F X B -=+
i f i f i f i f B B B B F 6sin 0220.04sin 8281.162sin 4803.16036)(-+-=
重复迭代直至ε<-+i f i f B B 1为止。
在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。
（2）直接解法 1975年国际椭球：
133.6367452/X =β
βββββcos sin 10}cos ]cos )cos 222383(293697[50228976{10222??++++=-B B f
克拉索夫斯基椭球： 4969.6367588/X =β
}cos ]cos )cos 222350(293622[50221746{222ββββ++++=f B
6.3.7 大地线
椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”
。因交，故大地线是一条空间曲面曲线。 假如在椭球模型表面A ,B 两点之间，画出相对法截线如图所示，然后在A ,B 两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。
在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。
§6.4 将地面观测值归算至椭球面
6.4.1 概述
参考椭球面是测量计算的基准面。在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。
6.4.2 将地面观测的水平方向归算至椭球面
1．垂线偏差改正u δ
地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以u δ表示。
如图所示，以测站A 为中心作出单位半径的辅助球，u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ηξ,表示，M 是地面观测目标m 在球面上的投影。
垂线偏差改正的计算公式是：
1cot )cos sin (Z A A m m u
ηξδ''-''-='' 1tan )cos sin (αηξm m A A ''-''-=
式中：ηξ,为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；m A 为测站点至照准点的大地方位角；1Z 为照准点的天顶距；1α为照准点的垂直角。
垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。
2.标高差改正h δ 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以h δ表
示。
如图所示，A 为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。这时测站点在
椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是没有影响的。这是因为测站点法线不变，则通过某一照准点只能有一个法截面。
设照准点高出椭球面的高程为a An H ,2和b Bn 分别为A 点及B 点的法线，B 点法线与椭球面的交点为b 。因为通常a An 和b Bn 不在同一平面内，所以在A 点照准B 点得出的法截线是b A '而不是Ab ，因而产生了Ab 同b A '方向的差异。按归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球面上，即需要的是Ab 方向值而不是b A '方向值，因此需加入标高差改正数h δ，以便将b A '方向改到Ab 方向。
标高差改正的计算公式是
1222222sin cos )1(2
A B H e h =''δ
式中：2B 为照准点大地纬度；1A 为测站点至照准点的大地方位角；2H 为照准点高出椭球
面的高程，它由三部分组成：
a H H ++=ζ常2
其中常H 为照准点标石中心的正常高，ζ为高程异常，a 为照准点的觇标高。22/)1(M ρ''=，
2M 是与照准点纬度2B 相应的子午圈曲率半径。
标高差改正主要与照准点的高程有关。经过此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。 3.截面差改正g δ
在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用g δ表示。
如图所示，AaB 是A 至B 的法截弧，它在A 点处的大地方位角为1A '，ASB 是AB 间的大地线，它在A 点的大地方位角是1A ，1A 与1A '之差g δ就是截面差改正。
截面差改正的计算公式为
1122
1222sin cos )2(12A B S e g ρδ'
'-=''
式中S 为AB 间大地线长度，1
1)2(N ρ'
'=
，1N 为测站点纬度1B 相对
应的卯酉圈曲率半径。现令
在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正。但当01''>=ηξ时或者H >2 000m 时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表所示：
6.4.3 电磁波测距边长归算椭球面
电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。如图，大地点
1Q 和2Q 的大地高分别为1H 和2H 。其间用电磁波测距仪测得的斜距为D ，现要求大地点在椭球面上沿法线
的投影点1Q '和2
Q '间的大地线的长度S 。 在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，
因此，所求的大地线的长度可以认为是半径
1
2122cos cos 1A B e N
R A '+=
相应的圆弧长。
电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：
2
3
22421A
A m R D R H D D h D S +-?-= 式中)(2
1
21H H H m +=
。 电磁波测距边长归算的几何意义为：
（1）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；
（2）第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已变成弦线；
（3）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。
电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达：
232
2
241A
A m R D R H h D S +???? ??-?-= 显然第一项即为经高差改正后的平距。
本章作业
1．野外测量的基准面、基准线各是什么？测量计算的基准面、基准线各是什么？为什么野外作业和内业计算要采取不同的基准面？
2．试写出椭球的基本元素及其基本关系式。
3．我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么? 4．绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。
5．在报纸上经常看到X X 号轮船在东经XXX 度，北纬X X 度遇险一类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么?
6．写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。
7．参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？
8．简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面差距的几何意义。
9．什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？ 10．名词解释
（1）大地经度； （2）大地纬度； （3）大地坐标系； （4）南极、北极；
（5）子午面； （6）予午线、主圈；
（7）平行圈、赤道； （8）大地方位角； （9）大地水准面； （10）大地体； （11）总地球椭球； （12）参考椭球。
11．用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。 12．大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？
13．卯西圈曲率半径N 与子午圈曲率半径M 何时有最大值？何时有最小值？ 14．何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由：
（1）任意方向法截线； （2）子午圈； （3）卯西圈； （4） 平行圈。 15，为什么说任意方向法截线曲率半径A R 随A 的变化是以900
为周期的？这一结论对椭球问题的解算有什么意义？
16．什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？ 17．当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？
18．研究平均曲率半径R 对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R 与A R 的最大差异是多少？试将它对距离化算（用R 代替A R ）的影响作一定量分析。
19．请写出计算子午线弧长公式。若欲求纬度B 1和B 2间的子午线弧长(21B B ≠≠00
)，
如何计算？
20．什么叫大地线？为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？
21．试述三差改正的几何意义。为什么有时在三角测量工作中可以不考虑三差改正？ 22．三差改正的改正数大小，各与什么有关？
23．已知椭球),(2
e a 面上一点P 的空间直角坐标X 、Y 、Z 。试求：
（1）该点的大地坐标(B 、L)；
（2）该点的平行圈半径r ，主曲率半径M 与N ；
（3）该点上大地方位角为A 的方向上的法截弧曲率半径。
24．在边长大致相等的三角网中，各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？ 25．什么是拉普拉斯方程式？在大地测量中有何意义？
26．为什么说通过比较一点的天文经纬度和大地经纬度，可以求出该点的垂线偏差?试绘图导出垂线偏差的计算公式?
27．图示垂线偏差对观测天顶距的影响。
28．将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得：
H A
H s R H
-
=δ 式中H 应为边长所在高程面相对于椭球面的高差，而实际作业中通常用什么数值替代？这对H δ的计算精度是否有影响？为什么？
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者的基本概念
高斯-克吕格投影与UTM投影 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y 值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。 高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系 高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半
RTK测量中如何建立独立坐标系的
RTK测量中独立坐标系的建立 向垂规 （红河州水利水电勘察设计研究院） 摘要：介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法，同时结合工程实例予以验证。关键词：GPS-RTK测量；WGS-84大地坐标系；独立坐标系；坐标转换 1 引言 在水利工程测量中，多数情况下工程所处位置地形复杂，交通不便，通视条件较差，采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用，由于它具有观测速度快，定位精度高，经济效益高等特点，现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说，由于它采用的是WGS-84固心坐标系，而在实际工程应用中，由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系，这就需要将RTK 测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国，由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系，主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系，后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数，所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准，为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑，也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立
在工程应用中，由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因，如在水利工程测量中，常要测定或放样水工建筑物的精确位置，要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范（规范设计阶段）》为5.0cm/km）。如果采用国家坐标系统在许多情况下（如高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系，而在采用GPS-RTK采集数据时，独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样，建立独立坐标要确定的主要元素有：坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据，可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中，我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点，然后以另一点定向，用测距仪测出基线边长，经改正后算出基线端点的坐标；中央子午线常采用测区中央的子午线；投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动，使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好，投影变形可以减到最小，也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标，而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标，这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标，必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点，根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数，具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式，再进行同基准下不同坐标形式的转换，
最新地球基本参数
地球基本参数
地球基本参数 2009-07-27 10:27:23| 分类：自然哲学 | 标签： |字号大中小订阅 地球是我们人类的家乡，尽管地球是太阳系中一颗普通的行星，但它在许多方面都是独一无二的。比如，它是太阳系中唯一一颗面积大部分被水覆盖的行星，也是目前所知唯一一颗有生命存在的星球。 地球的基本参数： 平均赤道半径: ae = 6378136.49 米 平均极半径: ap = 6356755.00 米 平均半径: a = 6371001.00 米 赤道重力加速度: ge = 9.780327 米/秒2 平均自转角速度: ωe = 7.292115 × 10-5 弧度/秒 扁率: f = 0.003352819 质量: M⊕ = 5.9742 ×10^24 公斤 地心引力常数: GE = 3.986004418 ×10^14 米3/秒2 万有引力常量为 G=6.67x10^-11 N·m2 /kg2 平均密度: ρe = 5.515 克/厘米3 太阳与地球质量比: S/E = 332946.0 太阳与地月系质量比: S/(M+E) = 328900.5 回归年长度: T = 365.2422 天 离太阳平均距离: A = 1.49597870 × 10^11 米 逃逸速度: v = 11.19 公里/秒 表面温度: t = - 30 ～ +45 表面大气压: p = 1013.250毫巴 地球自转 地球存在绕自转轴自西向东的自转，平均角速度为每小时转动15度。在地球赤道上，自转的线速度是每秒465米。天空中各种天体东升西落的现象都是地球自转的反映。人们最早利用地球自转作为计量时间的基准。自20世纪以来由于天文观测技术的发展，人们发现地球自转是不均的。1967年国际上开始建立比地球自转更为精确和稳定的原子时。由于原子时的建立和采用，地球自转中的各种变化相继被发现。现在天文学家已经知道地球自转速度存在长期减慢、不规则变化和周期性变化。 通过对月球、太阳和行星的观测资料和对古代月食、日食资料的分析，以及通过对古珊瑚化石的研究，可以得到地质时期地球自转的情况。在6亿多年前，地球上一年大约有424天，表明那时地球自转速率比现在快得多。在4亿年前，一年有约400天，2.8亿年前为390天。研究表明，每经过一百
地球椭球体基本要素地球椭球体
3.2地球椭球体基本要素 3.2.1地球椭球体 我们称大地水准面包围形成的形体为大地球体。由于地球体内部物质分布的不均匀，导致重力方向的变化，因此与重力方向成正交的大地水准面也是不规则的，仍不能利用数学方法表达。大地水准面的形状虽然十分复杂，但从整体上看，起伏是微小的，它是一个接近绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以，在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。 地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小通常用两个半径：长半径a和短半径b或者由一个半径和扁率来决定。扁率α表示椭球的扁平程度，扁率的计算公式为：α=（a-b）/a。这些地球椭球体的基本元素a、b和α等，由于推求它的年代、使用的方法以及测定的地区不同，其结果并不一致，故地球椭球体的参数值有很多种，现将世界常用的地球椭球体的参数值列于表3-1。 表3-1各种地球椭球体模型的参数值 椭球体名称年代长半轴（m）短半轴（m）扁率 埃维尔斯特（Everest）1830 6377276 6356075 1：300.8 贝赛尔（Bessel）1841 6377397 6356079 1：299.15 克拉克（Clarke）1866 6378206 6356584 1：295.0 克拉克（Clarke）1880 6378249 6356515 1：293.5 海福特（Hayford）1910 6378388 6356912 1：297 克拉索夫斯基1940 6378245 6356863 1：298.3 I.U.G.G 1967 6378160 6356775 1：298.25 中国在1952年以前采用海福特椭球体，从1953—1980年采用克
国家基础坐标系知识
国家基础坐标系知识 北京54坐标系(BJZ54)北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系，其坐标详细定义可参见参考文献[朱华统。1954年北京坐标系的历史：新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。西安80坐标系1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换作为这种转换在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋转（WX）， Y 旋转（WY）， Z 旋转（WZ），尺度变化（DM ）。要求得七参数就需要在一个地区需要 3 个以上的已知点。如果区域范围不大，最远点间的距离不大于 30Km（经验值），这可以用三参数，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而将 X 旋转， Y 旋转， Z 旋转，尺度变化面DM视为 0 。 方法如下（MAPGIS平台中）： 第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对（即54坐标x，y，z和80坐标x，y，z） 第二步：将三个点的坐标对全部转换以弧度为单位。（菜单：投影转换/输入单点投影转换，计算出这三个点的弧度值并记录下来） 第三步：求公共点求操作系数（菜单：投影转换/坐标系转换）。如果求出转换系数后，记录下来。 第四步：编辑坐标转换系数。（菜单：投影转换/编辑坐标转换系数。）最后进行投影变换，“当前投影”输入80坐标系参数，“目的投影”输入54坐标系参数。进行转换时系统会自动调用曾编辑过的坐标转换系数。 举个例子，野外采集GPS数据，数据是用大地坐标表示的，也就是用经纬度和高程表示。而采集的数据要在地图上显示出来，就需要将经纬度转化为平面坐标，也就是通常说的x,y坐标。因为我国地形图一般采用高斯投影，所以通常转化成高斯平面坐标显示到地图上。而在经纬度向平面坐标转化的过程中，需要用到椭球参数，因此要考虑所选的坐标系，我国常用的坐标系有北京54，西安80，WGS-84坐标系，不同的坐标系对应的椭球体是不一样的，这里你可能会不明白根椭球体有啥关系，是这样的，我们所说的地理数据都是为了描述大地水准面上的某一个点，而大地水准面是不规则的，我们用一个规定的椭球面去拟合这个水
地球椭球体基本要素
地球近似一个球体，它的自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面。在大陆上，最高点珠穆朗玛峰8844.43米，在海洋中，最深点为马利亚纳海沟-11034米，二点高差近两万米。由于地球表面的不规则，必须寻找一个形状和大小都很接近地球的球体或椭球体来代替它。 通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。见图3－3。 随着现代对地观测技术的迅猛发展，人们已经发现地球的形状也不是完全对称的，椭球子午面南北半径相差42米，北半径长了10米，南半径短了32米；椭球赤道面长短半径相差72米，长轴指向西经31°。地球形状更接近于一个三轴扁梨形椭球，且南胀北缩，东西略扁。但是，这与地球表面起伏和地球极半径与赤道半径之差都在20公里相比，是十分微小的。 二、地球体的物理表面——大地水准面 由于地球表面高低起伏，且形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面，这就提出了用一个什么样的曲面来代替地球表面的问题？大地水准面——将一个与静止海水面相重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲面。 大地水准面所包围的球体称为大地体。大地水准面作为测量的基准面，铅垂线作为测量的基准线。但是由于地球内部物质分布的不均匀性，因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作为测量计算和制图的基准面。 三、地球体的数学表面——地球椭球面 由于大地水准面的不规则性，不能用一个简单的数学模型来表示，因此测量的成果也就不能在大地水准面上进行计算。所以必须寻找一个与大地体极其接近，又能用数学公式表示的规则形体来代替大地体——地球椭球体。它的表面称为地球椭球面，作为测量计算的基准面。 为了便于测绘成果的计算，我们选择一个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来代替，即以椭圆的短轴(地轴)为轴旋转面成的椭球面，称之为地球椭球面。它是一个纯数学表面，可以用简单的数学公式表达，有了这样一个椭球面，我们即可将其当作投影面，建立与投影面之间一一对应的函数关系。 地球椭球体的形状和大小常用下列符号表示(图3－6)：长半径a(赤道半径)、短半径b，(极轴半径)、扁率α，笫一偏心率e和第二偏心率e′，这些数据又称为椭球体元素。它们的数学表达式为： 扁率(3－1) 笫一偏心率(3－2) 第二偏心率(3－3) 四、地球的三级逼近 1．地球形体的一级逼近： 大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。 2．地球形体的二级逼近 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。 3．地球的三级逼近
(整理)地球椭球的基本几何参数及相互关系
§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系 7.1.1地球椭球的基本几何参数 地球椭球 参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。 有关元素 O 为椭球中心； NS 为旋转轴； a 为长半轴； b 为短半轴； 子午圈（或径圈或子午椭圆）； 平行圈（或纬圈）； 赤道。 旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即： 椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)
椭圆的第一偏心率： a b a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3) 其中：a 、b 称为长度元素； 扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。 e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。 五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号： b a c 2 = tgB t = B e 222cos '=η (7-4) 式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数， B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5) 传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角 L ， 叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o ～180°）。 P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ， 叫做P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。 大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ?? ???+=+=)() (大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6.2.2空间直角坐标系 以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。 地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。 6.2.3子午面直角坐标系 设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。
第四部分 控制测量练习(7。椭球面计算)
第七章 椭球面上的测量计算 1．试写出椭球的基本元素及其基本关系式。 2．在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号：t 、η、W 、V ，试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？ 3．我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么? 4．绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。 5．在报纸上经常看到X X 号轮船在东经XXX 度，北纬X X 度遇险一类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么? 6．写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。 7．什么叫子午圈？什么叫平行圈？ 8．参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？ 9．简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面差距的几何意义。 10．什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？ 11．画图表示地心纬度坐标系和归化纬度坐标系，这两种坐标系在大地测量中有何意义？ 12．用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。 13．何为大地纬度、归化纬度、地心纬度？三者间有何关系？ 14．简要叙述M 、N 、R 三种曲率半径之间的关系。 15．大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？ 16．试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。 17．B ≠00的平行圈是否有可能是法截线？为什么？ 18．卯酉圈曲率半径N 与子午圈曲率半径M 何时有最大值？何时有最小值？ 19，为什么说任意方向法截线曲率半径A R 随A 的变化是以900为周期的？这一结论对椭球问题的解算有什么意义？ 20．什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？ 21．当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？ 22．已知欧拉公式： A N A M R A 22sin 1cos 11+= 试由椭球基本元素及公式出发，用两种方法导出计算任意方向法截线曲率半径A R 的公式和平均曲率半径R 的公式。 23．研究平均曲率半径R 对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R 与A R 的最大差异是多少？试将它对距离化算（用R 代替A R ）的影响作一定量分析。 24．在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度B 1和B 2间的子午线弧长(21B B ≠≠00)，如何计算？
北京54坐标系与西安80坐标系及常用坐标系参数
北京54坐标系与西安80坐标系及常用坐标系参数西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换，作为这种转，在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即X平移，Y平移，Z平移，X旋转（WX），Y旋转（WY），Z旋转（WZ），尺度变化（DM）。要求得七参数就需要在一个地区需要3个以上的已知点。如果区域范围不大，最远点间的距离不大于30Km（经验值），这可以用三参数，即X平移，Y平移，Z平移，而将X旋转，Y旋转，Z旋转，尺度变化面DM视为0。 方法如下： 第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对； 第二步：求公共点的操作系数。 第三步：利用相关软件进行投影变换。 54国家坐标系： 建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为：
a．属参心大地坐标系； b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数； c.大地原点在原苏联的普尔科沃； d．采用多点定位法进行椭球定位； e．高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面； f．高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。 自P54建立以来，在该坐标系内进行了许多地区的局部平差，其成果得到了广泛的应用。 1954北京坐标系参考椭球基本几何参数 长半轴a＝6378245m 短半轴b＝6356863.0188m 扁率α＝1/298.3 第一偏心率平方＝0.006693421622966 第二偏心率平方＝0.006738525414683 80国家坐标系：采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省泾和县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。 C80是为了进行全国天文大地网整体平差而建立的。根据椭球定位的基本原理，在建立C80坐标系时有以下先决条件：（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇；
大地水准面、参考椭球体、基准面、地图投影之关系
1 地图投影： 大地水准面：指平均海平面通过大陆延伸勾画出的一个连续的封闭曲面。大地水准面包围的球体称为大地球体。从大地水准面起算的陆地高度，称为绝对高度或海拔。 地球椭球体（拟地球椭球体、似地球椭球体）：近似的代表地球大小和形状的数学曲面，一般采用旋转椭球。其大小和形状常用长半径a 和扁率α表示。1980年中国国家大地坐标系采用国际大地测量学与地球物理学联合会第十六届大会推荐的1975年椭球参考值：a=6378140，α=1∶298257。 参考椭球体：形状、大小一定，且经过定位，定向的地球椭球体称为参考椭球。是与某个区域如一个国家大地水准面最为密和的椭球面。 参考椭球面是测量计算的基准面，法线是测量计算的基准线。我国的大地原点，即椭球定位做最佳拟合的参考点位于陕西省泾阳县永乐镇。 大地基准面：用于尽可能与大地水准面密合的一个椭球曲面，是人为确定的。椭球面和地球肯定不是完全贴合的，因而，即使用同一个椭球面，不同的地区由于关心的位置不同，需要最大限度的贴合自己的那一部分，因而大地基准面就会不同。椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky
椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。 每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的1975地球椭球体（IAG75）建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前大地测量基本上仍以北京54坐标系作为参照，北京54与西安80坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。WGS1984基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以WGS1984为基准。因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。 地图投影： 将地球球面坐标转化为平面坐标的过程便是投影过程；投影所需要的必要条件是： 第一、任何一种投影都必须基于一个椭球（地球椭球体）； 第二、将球面坐标转换为平面坐标的过程（投影算法）。 简单的说投影坐标系是地理坐标系+投影过程。
几种主要的椭球公式
§6.3 几种主要的椭球公式 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。 6.3.1子午圈曲率半径 子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =， 相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中 心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。 任意平面曲线的曲率半径的定义公式为： dB dS M = 子午圈曲率半径公式为： 32)1(W e a M -= 3V c M = 或 2 V N M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示： 6.3.2卯酉圈曲率半径 过椭球面上一点的法线，可作无限个法截 面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭 球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中 E PE '即为过P 点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径 用N 表示。 为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O ' 为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂 直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于 子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。即 PT 垂直于Pn 。 所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。 卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：
W a N = V c N = 6.3.3 任意法截弧的曲率半径 子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。卯 酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。现在来讨 论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。 任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下： A B e N A N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η （7-87） 6.3.4 平均曲率半径 在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向A R 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径——平均曲率半径R ： MN R = 或 )1(2222e W a V N V c W b R -==== 因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点子午圈曲率半径M 和卯酉圈曲率半径N 的几何平均值。 6.3.5 子午线弧长计算公式 子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。 如图所示，取子午线上某微分弧dx P P ='，令P 点纬度为B ， P '点纬度为dB B +，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有： MdB dx = 从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长可由下列积分求 出： ?=B MdB X 0 式中M 可用下式表达： B a B a B a B a a M 8cos 6cos 4cos 2cos 86420+-+-=
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面P 角，叫做点的大地经度，由起始子午面起算，向东L P 为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经 （0o ～180°）。点的法线与赤道面的夹角，叫做P Pn B 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬P （0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在椭球面上，表示P L B 点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高，L B H 它同正常高及正高有如下关系 正常H 正H ?????+=+=)() (大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交O 线为轴，在赤道面上与轴正交的方向为轴，X X Y 椭球体的旋转轴为轴，构成右手坐标系-，Z O XYZ 在该坐标系中，点的位置用表示。P Z Y X ,,地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。6.2.3子午面直角坐标系 设点的大地经度为，在过点的子午面上，以 P L P 子午圈椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系。在该 y x ,坐标系中，点的位置用,表示。P L y x ,
国家2000大地坐标系等坐标系统相关知识介绍
2000国家大地坐标系 相关知识 国家测绘局测绘标准化研究所
主要内容 ?坐标系统基本知识?相关政策法规 ?实用文献
地球坐标系 地固坐标系 参心坐标系 地心坐标系大地地理坐标系 空间直角坐标系 平面直角坐标系大地坐标系 空间直角坐标系 平面直角坐标系天文地理坐标系 1.坐标系统基本知识 高程系统 大地原点
地球自然形体：是一个不规则的几何体。地球自然表面很不规则， 有高山、丘陵、平原和海洋。其中最高的珠峰高出海水面达8848.13m，最低的马里亚纳海沟低于海水面达11022m。但是这 样的高低起伏，相对于地球半径6371km来说还是很小的。再顾及 到海洋约占整个地球表面的71%，因此，人们把海水面所包围的 地球形体视为地球的形状。 水准面：静止的水面，受地球重力影响而形成，是一个处处与重 力方向垂直的连续曲面，是一个重力场的等位面。 大地水准面：设想处于完全静止的平均海水面向陆地和岛屿延伸 所形成的闭合曲面。是地球的物理表面，是测量外业的基准面。 大地体：大地水准面所包围的代表地球形状和大小的形体。 地球椭球体:一个非常接近大地体，用数学 式表示几何形体，作为地球的参考形状和大 小。它是一个椭圆绕其短轴旋转而形成的形 体，故又称旋转椭球体。 地球椭球面:地球椭球体外表面，是地球的 数学表面，是球面坐标系/测量内业的基准面。
测量外业工作的基准线—铅垂线(重力方向线)。测量外业工作的基准面—大地水准面。 测量内业计算的基准线—法线。 测量内业计算的基准面—参考椭球面。
地心坐标系与参心坐标系的区别 P P' P P'a b a b M 铅 垂线法线 (大地原点） 大地水准面 总地球椭球体面 参考椭球体面 地面 总地球椭球体 参考椭球体 赤道赤 道 （北极） （南极） 总地球椭球定位方法：椭球中心与地球中心重合， 椭球短轴与地球自转轴重合等条件。参考椭球定位方法：椭球中心与地球中心不要求重合，要求椭球短轴与地球自转轴平行，使大地起始子午面与天 文起始子午面平行，使椭球面与本国大地水准面充分接近。上述两种椭球大小相同：长半径a=6378140m ，短半径b=6356755.3m ，扁率α=1:298.257 用途：全球测图用途：国家测图原点定义以地球质心（总地球椭球体中心）为原点的坐标系以参考椭球体中心为原点的坐标系椭球定位总地球椭球体中心与地球质心重合总地球椭球面与全球大地水准面差距的平方和最小参考椭球体中心与地球质心不重合 参考椭球面与区域大地水准面差距的平方和最小椭球定向椭球短轴与地球自转轴重合椭球短轴与地球自转轴平行适用范围全球测图 区域（国家）测图 实例 WGS84坐标系、2000国家大地坐标系 1954年北京坐标系、1980西安坐标系
第6章 地球椭球与椭球面计算理论
§6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 6.1.1地球椭球的基本几何参数 地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。 参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。 地球椭球的几何定义：O是椭球中心，NS为旋转 轴，a为长半轴，b为短半轴。 子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭 圆。 纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆， 也叫平行圈。 赤道：通过椭球中心的平行圈。 地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴a 椭圆的短半轴b 椭圆的扁率 a b a- = α 椭圆的第一偏心率 a b a e 2 2- = 椭圆的第二偏心率 b b a e 2 2- =' 其中a、b称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。偏心率e和e'是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。 两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数： B e V B e W 2 2 2 2 cos 1 sin 1 ' + = - = 我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。 几种常见的椭球体参数值 克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体 a 6 378 245.000 000 000 0（m） 6 378 140.000 000 000 0（m） 6 378 137.000 000 000 0（m）
【精品】椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.2。1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构 成的二面角L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午 面起算,向东为正，叫东经（0°～180°)，向西为 负，叫西经（0o ～180°）.P 点的法线n P 与赤道面的夹角B ,叫做P 点的大地纬度.由赤道面起算,向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°）. 大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的.过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的 大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东 经(0°~180°），向西为负，叫西经（0°～— 180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北 纬(0°～90°)，向南为负,叫南纬（0°～-90°）。 从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地 高。大地坐标坐标系中,P 点的位置用L ，B 表示.如果点不在椭球面上，表示点 的位置除L ，B 外,还要附加另一参数—-大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有
如下关系 ?? ???+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6。2.2空间直角坐标系 以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道 面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向 为Y 轴,椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标 系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。 地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午 面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右 手坐标系。 6.2。3子午面直角坐标系 设P 点的大地经度为L ,在过P 点的子午面上,以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,
我国四大常用坐标系及高程坐标系
我国四大常用坐标系及高程坐标系 1.北京54坐标系(BJZ54) 北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。 新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。 北京54坐标系，属三心坐标系，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3； 2.西安80坐标系 1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即IAG75地球椭球体。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。 西安80坐标系，属三心坐标系，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101 3.WGS－84坐标系 WGS－84坐标系（WorldGeodeticSystem）是一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向国际时间局（BIH）1984.0定义的协议地极（CTP）方向，X轴指向BIH1984.0的协议子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系。这是一个国际协议地球参考系统（ITRS），是目前国际上统一采用的大地坐标系。GPS广播星历是以WGS-84坐标系为根据的。 WGS84坐标系，长轴6378137.000m，短轴6356752.314，扁率1/298.257223563。由于采用的椭球基准不一样，并且由于投影的局限性，使的全国各地并不存在一至的转换参数。对于这种转换由于量较大，有条件的话，一般都采用GPS联测已知点，应用GPS软件自动完成坐标的转换。当然若条件不许可，且有足够的重合点，也可以进行人工解算。
地球椭球
地球椭球 由于地球真实形状的不规则性，要在地面上开展一系列大地测量计算，必须选定一规则曲面作为测量计算的基准面。例如，常规地面测量通过野外观测只能获得地面点间的方向、距离和天文方位角，为了求得水平控制网点的坐标，要进行一系列的计算，这就需要选定计算的基准面。 适于大地测量计算的基准面应当满足以下三个要求： （1）应是接近地球自然形体的曲面，这样可使地面观测量归算的改正数很微小； （2）这个曲面应是一个便于计算的数学曲面，从而能保证由观测量计算坐标的可行性； （3）这个曲面与大地体的位置要固定下来，即能建立起地面点与基准面上点的一一对应。 大地水准面是接近地球形体的一个不规则曲面，但这种不规则性很微小，因为它的起伏主要是地壳层的物质质量分布不均匀引起的，而地壳质量仅占地球总质量的1/65。所以大地水准面在总体上应非常接近于一个规则形体，十七世纪以来的大地测量结果表明，这个规则形体是一个南北稍扁的旋转椭球面。
旋转椭球是由一个椭圆绕其短轴旋转而成的几何形体。图5.4表示以O为中心，以NS为旋转轴的椭球。 大地测量中，用来代表地球形状和大小的旋转椭球称为地球椭球，简称椭球，它是对地球形状的几何概括，是地球真实形状的数学化模型。 包含椭球旋转轴（短轴）的平面称为大地子午面,子午面与椭球面的截线称为子午圈（子午线）。通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面称为大地赤道面，赤道面与椭球面的截线称为赤道。平行于赤道的平面与椭球面的截线称为平行圈（平行线）,也称纬圈。椭球面上旋转轴的两端点N、S分别称为北极和南极。 地球椭球中常用的几何参数有以下6个: 以上6个参数中只要给定一个长度参数和其它任意一个参数就可确定椭球的形状和大小。大地测量中常用长半径和扁率来表示地球椭球。 在经典大地测量中，地球椭球的几何参数是根据天文、大地和重力测量资料推算出来的。六十年代以后，应用卫星大地测量观测数据推算出了许多更精确的地球椭球。表5.1是我国采用的椭球参数表。 表5.1 我国采用的地球椭球参数表