安徽省安庆市2020届高三上学期期末教学质量监测数学(理)
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安徽省安庆市2020届高三上学期期末教学质量监测数学（理）
时间：120分钟满分：152分命卷人：
guomeng2014 审核人：guomeng2014
一、选择题（每小题5分,共60分）
1. 设全集为R,集合A={x|x2?2x<0{{}}},B={x|x?1?0},则A∩(C R B)=( )
A. {x|0 B. {x|0 C. {x|1?x<2} D. {x|0 【答案】B 【解析】,,. 2. i是虚数单位,复数z=√3i 1+3i ,则( ) A. |z?1 2|=√3 2 B. |z|=√3 4 C. z=3 2?√3 2i D. z=3 4+ √3 4i 【答案】D 【解析】.故选D. 3. 已知a,b,c满足4a=6,b=log1 24,c3= 3 5,则( ) A. a B. b C. c D. c 【解析】,,,,,故. 4. 二项式(x2?1 2x) 6的展开式中x3的系数为( ) A. ?52 B. 5 2 C. 15 16 D. ?316 【答案】A 【解析】通项为令,则,. 5. 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,?1),则它的离心率为( ) A. √3 B. √5 C. √3 2D. √ 5 2 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为,其渐近线为, 点在渐近线上,所以,由. 装 订 线 6. 某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动,学校安排了2名教师带队,4名学生参与,为了调查更具有广泛性,将参加人员分成2个小组,每个小组由1名教师和2名学生组成,到甲、乙两地进行调查,不同的安排方案共有( ) A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【答案】A 【解析】采取分步计算. 7. 函数y =e x +e ?x e x ?e ?x 的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 8. 若x,y 满足 ,则 y?4 x 的最大值为( ) A. ?72 B. ?52 C. ?32 D. ?1 【答案】D 【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示,表示的几何意义是区域内的点到点的斜率 班级： 姓名： 线 订 装 由图可知经过点,,取得最大值 9. 在△ABC 中,D 是BC 中点,E 是AD 中点,CE 的延长线交AB 于点F,则( ) A. DF ????? =?16AB ????? ?12AC ????? B. DF ????? =?13AB ????? ?14AC ????? C. DF ????? =?34 AB ????? + 12 AC ????? D. DF ????? =?12 AB ????? ? 16 AC ????? 【答案】A 【解析】设,,因为三点共线,则,,所以. 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,且对于任意n >1,n ∈N ?,满足S n+1+S n?1=2(S n +1),则( ) A. a 4=7 B. S 16=240 C. a 10=19 D. S 20=381 【答案】D 【解析】当时,,所以,即数列的从第2项起是首项为,公差为的等差数列,所以,,,,. 11. 已知圆锥顶点为P ,底面的中心为O ,过直线OP 的平面截该圆锥所得的截面是面积为3√3的正三角形,则该圆锥的体积为( ) A. 3√3π B. 3π C. 3√2π D. 9π 【答案】B 【解析】∵过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形,设正三角形边长为,则,解得,所以圆 锥的高为,底面圆的直径为,所以该圆锥的体积为. 12. 已知函数f(x)=2(|cosx|+cosx)?sinx ,给出下列四个命题: ①f(x)的最小正周期为π②f(x)的图象关于直线x =π4对称 ③f(x)在区间[?π4,π 4]上单调递增 ④f(x)的值域为[?2,2]其中所有正确的编号是( ) A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】,可知:,,,故函数的最小正周期不是,故①错误. 由于,,∴, 故的图象不关于直线对称,故排除 ②. 在区间上,,,单调递增,故③正确.当时,,故它的最大值为,最小值为;当时,, 综合可得,函数的最大值为,最小值为,故④正确. 二、填空题（每小题5分,共20分） 13. 曲线y =lnx 在点(1,0)处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】因为,所以,所以,利用点斜式方程可知为. 14. 设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若bcosC +ccosB =asin 2A ,则A =__________. 【答案】 【解析】,由正弦定理得,,,,则. 15. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 3=2S 2+2,a 4=2S 3+2,则数列公比q 为__________. 【答案】3 【解析】,,以上相减可得,所以数列的公比为. 16. 已知函数f(x)=ln(√x 2+1+x),若实数a,b 满足f(1+a)+f(a)=0,则a =__________. 【答案】 【解析】由,为奇函数,易知函数为增函数, 故,, 三、解答题（每小题12分,共60分） 17. 在ΔABC 中,角A,B,C 所对的边为a,b,c ,若(a +c)2=b 2+3ac ,点D 在边AB 上,且BD =1,DA =DC . (Ⅰ)若ΔBCD 的面积为√3 2 ,求CD 的长; (Ⅱ)若AC =√3,求∠A 的大小. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)或. 【解析】(1)又由可得,由余弦定理可得,,所以, 因为的面积为,即,所以,在中,由余弦定理,得,所以. (2)由题意得设,在△ADC 中,由正弦定理,得①,在中,由正弦定理即②,由①②可得所以,即,由,解得, 由解得.故或. 18. 在几何体ABCDE 中,∠CAB = π 2 ,CD ⊥平面ABC ,BE ⊥平面ABC ,AB =AC =BE =2,CD =1. 班级： 姓名： 线 订 装 (Ⅰ)设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ,求证:l//平面BCDE ; (II)求二 面角A ?DE ?B 的正弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ). 【解析】(I) 因为平面,平面,所以, 又因为 平面,平面,所以平面,平面平面,则, 又平面,平面,所以 平面; (II)建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,. 所以, 则,,,,, 设平面的法向量为,,,则,即,令,则,, 所以,设平面的法向量为,,,则 ,即, 取,则,所以,, 所以,故二面角的正弦值. 19. 某学校开设了射击选修课,规定向A 、B 两个靶进行射击:先向A 靶射击一次,命中得1分,没有命中得0分,向B 靶连续射击两次,每命中一次得2分,没命中得0分;小明同学经训练可知:向A 靶射击,命中的概率为45 , 向B 靶射击,命中的概率为3 4 ,假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考 核. (Ⅰ)求小明同学恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望E(X). 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)记:“小明恰好命中一次”为事件,“小明射击靶命中”为事件, “该射手第 一次射击靶命中”为事件,“该射手第二次射击靶命中”为事件, 由题意可知,,由于,; (Ⅱ),,,,,,,0 1 2 3 4 5. 20. 如图,设F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,直线:x =?a 2 c 与x 轴交于P 点,AB 为椭圆的长 轴,已知|AB|=8,且|PA|=2|AF|,过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M,N , 装 订 线 (Ⅰ)当k =1 4时,线段MN 的中点为H ,过H 作HG ⊥MN 交x 轴于点G , 求 ; (Ⅱ)求ΔMNF 面积的最大值. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)∵, ∴,又∵,∴,∴,, ∴椭圆的 标准方程为,点的坐标为,点的坐标为, 直线的方程为,即,联立,可得,设,,则,,所以,,直线的斜 率为,直线的方程为,令,解得,即, 所以, (Ⅱ)直线的方程为,当时,, 当时,设,直线的方程为, 联立 ,可得,设,,解得或,,, , 点到直线的距离,, 当且仅 当,即时(此时适合于的条件)取等号, 所以当时,直线为时,面积取得最大值为. 21. 已知函数f(x)=(x +1)lnx +1,g(x)=e ?x +lnx +1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设?(x)=f(x)?g(x),若?(x)的最小值为M ,证明:?2e 2?1 e . 【答案】见解析 【解析】(Ⅰ),, 设,,所以在上单调递减,在上单调递增,,即,所以在上单调递增, (Ⅱ),, 设,, 设,,所以在上单调递增,,即,所以在上单调递增,所以在上恰有一个零点且(*),在上单调递减,在上单调递增,,, 由(Ⅰ)知在上单调递增, 所以, 所以. 四、选做题（每小题12分,共24分） 22A. 在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为 (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点, (Ⅰ)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)由可得,所以即,所以直线直角坐标方程.由可得,所以, 所以曲线的直角坐标方程为. (Ⅱ)