职高高一基础模块下册题组练习

高一基础模块下册题组练习

第一章 数列

考点一：数列的基本概念

1、已知数列是它的第则35,,15,11,7,3 项。

2、一个数列{}n a 的首项,,6,31221n n n a a a a a -===++则这个数列的第四项为。

3、已知数列{}n a 的通项公式822+-=n a n 。（1）求6a 。（2）-136是否为数列中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由。

考点二：等差数列的通项公式、求和公式

1、已知等差数列{}n a 的前三项分别为,32,1,1++-a a a 则此数列的通项公式为

2、在等差数列{}n a 中，已知2

11+=-n n a a ，则该数列的公差为。 3、已知数列{}n a 中，=-=2020,23S n a n 项之和则前。

4、三数成等差数列，他们的和是18，他们的平方和是140，求这三个数。

考点三：等比数列的通项公式、求和公式

1、在等比数列{}n a 中，2,11==q a ，则第五项至第九项之和为。

2、各项为正数的等比数列{}n a 中，=++==54331,21,3a a a S a 则。

3、已知等比数列{}n a 的通项公式为分别为则,,,24

11q a a n n ?=、 4、等比数列{}n a 中，求通项公式。,10,54231=+=+a a a a

考点四：数列的应用

1、某渔场养的鱼，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每一年的增长率为前一年增长率的一半。

（1）饲养四年后，鱼的重量为原来的多少倍？

（2）如果由于某种原因，每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后，鱼的总重量开始减少？

考点五：知识延展

1、已知数列{}n a 中，2n S n -=，求该数列的通项公式。

2、在数列{}n a 中，)

1(1+=

n n a n ，求此数列的前8项之和。

作业布置

1、已知数列{}n a 的通项公式为,23+=n n a 则其第2项的值为。

2、求下列数列的一个通项公式。

（1）4,40,400,4000，........

(2)9,99,999,9999,.............

3、在数列{}n a 中，的一次函数。

是通项公式n a a a n ,66,2171== （1）求{}n a 的通项公式。（2）88是否为数列{}n a 中的项。

4、在数列{}n a 中，=≥-==-511),2(2)1(,3

1a n a a a n n n 则。 5、已知等差数列{}n a 的通项公式为.,23n n S n n a 项和求其前-=

6、等差数列{}n a 中，n n a n S d a ,,24,4,61求-=-==

7、在5和3125之间插入三个数，使得这5个数成等比数列，求这三个数。

8、在等比数列{}n a 中，已知441,81,3S a a 求==

9、画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边中点相连得到第2个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形，求10个正方形的面积的和。

第二章 平面向量

考点一：平面向量的线性运算

1、=-+；=++

2、=-+++-)3(4)32(3c a b c b a

3、在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则ED BO AB FA +++2等于

4、在ABC ?中，点D 是BC 中点，,,b a ==则=(用b a ,表示).

考点二：平面向量的坐标运算

1、已知平行四边形ABCD 的三个顶点),2,0(),1,3(),2,1(C B A --点D 的坐标是

2、已知A 、B 、C 三点共线，且),2,5(),6,3(--B A ，若C 的横坐标为6，则其纵坐标为

3、已知点y B x A ),,5(),3,(--的坐标是)2,1(--，则=x ，=y

4、在直角坐标系中，若),5,2(),3,2(21-F F 则21OF OF +的坐标是

5、已知),2,1(),3,2(),4,3(-=--==c b a 求：

（1）b a + （2）c b a 23+- （3）c b a 32+-

6、已知),2,3(),1,1(),2,1(-=-=-=c b a 且有b n a m c +=，求n m ,的值.

7、已知)2,5(),,(22=+=b xy y x a ，若b a =，求y x ,.

8、已知),1,4(),7,2(N M -21,P P 是线段MN 的三等分点，求21,P P 的坐标.

考点三：平面向量的内积及其运算

1、若),1,3(),3,1(==b a 则=?b a 3，=

2、若35=?b a ，5.2=a ，=?30，则b =

3、已知),1,(),2,1(x b a == 且b a 2+与b a -2平行，则=x

4、已知a =4，b =3，=?60，则=+b a

5、已知a =2，b =3，=?135,求b b a ?+)3(

6、已知向量),2,3(),1,1(--=-=b a 求)()3(a b b a

+?-

7、在ABC ?中,)1,3(),2,3(),1,2(---C B A ,BC 边上的高为AD,求点D 和AD 的坐标.

8、已知),2,3(),1,2(-==b a 求k 为何值时：

（1）b a k -与b a 2+垂直？

（2）b a k -与b a 2+平行？

9、设),2,3(),2,(),1,4(c m b a -=-=且,5)()(=+?+c a b a 求)()(c b c a +?+

10、在ABC ?中，的坐标是（2,3），的坐标是（k ,1）,且ABC ?的一个内角为直角，求k 的值.

第三章 直线与圆

考点一：距离公式与重点坐标公式的运用

1、已知ABC ?的顶点为)3,1(),2,3(),0,1(C B A -,求BC 边上中线的长度。

2、的坐标。，求点，，，的顶点等边三角形C B A ABC )32()12(==?

3、若点A （-2,4）与点B 关于P(1，5)对称，求点B 的坐标。

4、已知圆的方程为9)2()3(22=++-y x ，圆心到直线121+-

=x y 的距离为 圆与直线的位置关系为。

考点二：求直线方程

1、求出符合下列条件的直线方程。

（1）过点A(2，-3)，B(6，5)的直线方程。

（2）求过点A(2，-3)，B(2，5）的直线方程。

（3）求过点A(2，-3)，B(5，-3）的直线方程。

（4）过点P(-1，2),且倾斜角为?120的直线方程。

（5）斜率为5，且过点（0，-2）的直线方程。

考点三：直线的位置关系

1、判断下列两条直线的位置关系，并说明理由。

（1）043:,013:21=+-=-+y x l y x l

（2）13,0526:21--==++x l y x l

（3）01:,03:21=+=-x l y l

（4）06104:,352:21=-+=+y x l y x l

（5）72:,52

1:21+-=+-=x y l x y l

2、已知点A(0，6),B(-2，4),求线段AB 的垂直平分线L 的方程。

考点四：圆的方程

1、求出符合下列条件的圆的方程

（1）已知圆心C 为（-1，3），半径为5。

（2）圆心在y 轴上，且过点A （3,4），B （7,-4）

（3）圆心C 在直线1+-=x y 上，且过点A （2,3），B （0,-1）

（4）圆过点A （1,2），B （0,0），C （2,4）

2、求过直线063=++y x 和直线0432=+-y x 的交点，且与圆122=+y x 相切的直线方程。

作业布置

1、已知直线的斜率为2，且过点P （1，-2），则该直线的方程为。

2、已知直线方程为0163=-+y x ，则该直线的斜率为，与x 轴的交点坐标为，纵截距为。

3、直线01243:=++y x l 与圆9)1()1(2

2=++-y x 的位置关系为。

4、经过坐标原点作圆1)1(22=+-y x 的切线，求切线方程。

5、当k 为何值时，方程0142222=-+++-+k k y x y x 表示一个圆。

6、已知圆心在直线043=-+y x 上，且与两坐标轴相切，求圆的方程。

7、已知直线01:,012:21=--=-+y x l y mx l 互相平行，求m 的值。

8、两条平行线0354=--y x 与03854=+-y x 之间的距离。

9、经过点(3，1)且与直线0232=+-y x 的直线方程。

第四章 立体几何

考点一：线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定

1、在正方体1AC 中，2=AB ：

(1)证明：直线1111//D C B A AC 平面

(2)证明：11A ACC BD 平面直线⊥

(3)求：所成角；与平面所成角；

与C C BB AC AB DD 1111B AD D --1二面角的平面角。

考点二：柱体、锥体、球的侧面积、全面积、体积计算

1、已知正三棱锥的底面边长为4cm ，高为5cm ，求该几何体的侧面积、全面积、体积。

2、已知正四棱柱的底面边长为4cm ，高为5cm ，求该几何体的侧面积、全面积、体积。

3、已知正三棱柱的体积为312，高为4，求该几何体的侧面积、全面积、体积。

4、在正三棱锥ABC P -中，点O 为底面中心，

,4=PO 底面边长3=AB ,几何体的侧面积、全面积、体积。

5、已知圆柱的底面半径为1，体积为π4，求圆柱的全面积。

6、已知圆锥的底面半径为3cm ，高为1cm ，求该几何体的侧面积、全面积、体积。

7、已知球的表面积为π8，若球的表面积扩大2倍，求扩大后球的体积。

8、球的大圆周长为π4，则该球的表面积和体积各位多少？

9、已知某一个简单组合体的上部分为圆锥，已知高为2，底面半径为5，下半部分为一正四棱柱，已知底面边长为4，它与上半部分的锥体等高，求该组合体的体积。

10、已知圆柱的的轴截面为边长为6的正方形，从上底面向内截取一同底面，高为2的圆锥，求剩下几何体的体积。

职高数学基础模块下册第八章和第九章

数学竞赛二年级试卷 分值：120分 时间：120分 姓名： 班级： 一、选择题 1. 在正方体ABCD-A ’B’C’D’中,与棱AA ’异面的直线共有几条（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数 a 的值为（ ） A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 6．如果直线ax +2y+2=0与直线3x －y －2=0平行，则a 等于 （ ） A ．－3 B ．－6 C ．2 3- D ．3 2 3． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 3.. 正方体ABCD-A ’B’C’D’中,异面直线CD ’和BC ’所成的角的度数是（ ） A.45° B.60° C.90° D.120°

C C' D D'B' A' A B 、已知直线ax+by+c=0)0(≠abc 与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是 （ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、 钝角三角形 D 、不存在 67. 直线a 是平面α的斜线，b 在平α内，已知a 与b 成60°的角，且b 与a 在平α内的射影成45°角时，a 与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D. αb a O C B A A F D B C G E 1B H 1 C 1D 1A

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第六章：数列 1. ： （1） 已知数列 {a n } 的通 公式 a n =2n-5，那么 a 2n =（ ）。 A 2n-5B 4n-5 C2n-10 D 4n-10 （ 2）等差数列 -7/2， -3， -5/2， -2， ·第 n+1 （ ） A 1 ( n 7) B 1 (n 4) C n 4 D n 7 2 2 2 2 （3）在等差数列 { a n } 中，已知 S 3=36 ， a 2=（ ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列 {a n 2 5 8 ） } 中，已知 a =2 ， a =6， a =（ A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空 ： （ 1）数列 0， 3， 8， 15， 24，? 的一个通 公式 _________________. （ 2）数列的通 公式 a n =（ -1） n+1 ? 2+n, a 10=_________________. （ 3）等差数列 -1， 2， 5， ? 的一个通 公式 ________________. （ 4）等比数列 10，1， 1 ， ?的一个通 公式 ______________. 10 3.数列的通 公式 a n =sin n , 写出数列的前 5 。 4 4.在等差数列 { a n } 中， a 1=2， a 7=20 ，求 S 1 5. 5.在等比数列 { a n } 中， a 5= 3 ， q= 1 ,求 S 7. 4 2 6. 已知本金 p=1000 元，每期利 i=2% ，期数 n=5,按复利 息，求到期后的本利和 7. 在同一根 上安装五个滑 ，它 的直径成等差数，最小与最大的滑 直径分 120 厘米与 216 厘米，求中 三个滑 的直径 .

职高数学基础模块下册复习题

第六章：数列 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ ） A )7(21-n B )4(2 1-n C 42-n D 72-n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为_________________. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=_________________. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为________________. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为______________. 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 6. 已知本金p=1000元，每期利i=2%，期数n=5,按复利计息，求到期后的本利和 7. 在同一根轴上安装五个滑轮，它们的直径成等差数，最小与最大的滑轮直径分别为 120厘米与216厘米，求中间三个滑轮的直径.

第七章：向量 1. 选择题： （1）平面向量定义的要素是（ ） A 大小和起点 B 方向和起点 C 大小和方向 D 大小、方向和起点 （2）--等于（ ） A 2 B 2 C D 0 （3）下列说法不正确的是（ ）. A 零向量和任何向量平行 B 平面上任意三点A 、B 、 C ，一定有AC BC AB =+ C 若)(R m m ∈=，则// D 若2211,e x e x ==，当21x x =时，= （4）设点A （a 1,a 2 ）及点B （b 1,b 2），则的坐标是（ ） A （2211,b a b a --） B （2121,b b a a --） C （2211,a b a b --） D （1212,b b a a --） （5）若?=-4，||=2，||=22，则<,>是（ ） A ο0 B ο90 C ο180 D ο 270 （6）下列各对向量中互相垂直的是（ ） A )5,3(),2,4(-== B )3,4(),4,3(=-= C )5,2(),2,5(--== D )2,3(),3,2(-=-= 2. 填空题： （1）BC CD AB ++=______________. （2）已知2（+）=3（-），则=_____________. （3）向量,的坐标分别为（2，-1），（-1，3），则b a +的坐标_______， 23+的坐标为__________. （4）已知A （-3，6），B （3，-6），则=__________,||=____________. （5）已知三点A （3+1，1），B （1，1），C （1，2），则<,>=_________.

职高高二数学试卷拓展模块

职教中心2017春季期中考试高二数学试题 考号： ；姓名： ；成绩： A.81 B.64 C.48 D.36 2. 03sin 0cos tan 03!2C π?++?++= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.某公园有4个出入口，某游客从任一出入口进入再从任一出入口出去，进出方案总数为（）种。 A.6 B. 12 C. 15 D.16 4.抛掷1枚骰子，点数不小于4点的概率是（ ）. 1111 (2346) A B C D 5.抛掷两枚骰子，点数和不大于4点的概率是（ ） 1 111 (46912) A B C D 6.用数字0，1，2，3可以组成（ ）个3位数。 A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 7.在10张奖券中，有1张一等奖，2张二等奖，从中抽取一张，中奖概率是（ ）。 1131 (105102) A B C D 8.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则两数都是偶数的概率是（ ）。 1 111 (10864) A B C D 9．高二某班有学生30人，从中选出两人，一人当班长一人当团支书，有（）种选法。 A. 270 B. 290 C. 540 D.870 10.5人站成一排，甲乙两人之间无其他人的排法有（ ）种。 A. 24 B. 48 C. 120 D.144 11.在相同环境下，某人投篮的命中率都是0.8，则其投篮10次恰有8次命中的概率是（ ）。 22828288282810101010.0.80.2.0.80.2.0.80.2.0.80.2A C B C C C D C 12. tan 75?= . .2.2..A B C D 13..下表为某离散型随机变量的概率分布：

职高数学双曲线练习题-(拓展模块)

&下列双曲线既有相同离心率，又有相同渐近线的是（ ) 《双曲线的方程》练习 一、选择题: 1、已知动点P 到F i （-5,0）的距离与它到F 2（5,0）的距离的差等于 2 x 2 y =1 A . 9 16 2 2 C . x y = 1(x _ -3) 9 16 16 2 2 D . 1r1r 1(x -3) 2、设 j ,则方程x 2cosv y 2 sinv -1表示的曲线是（ ） 12丿 3、双曲线x 2 -y 2 = 1上一点，它与两焦点连线互相垂直，则该点的坐标是（ (屈 伍、 A . ---- , ------ 12 2 2 4、两条直线X 二 —把双曲线焦点间的距离三等分，则双曲线的离心率是（ ） C 5、方程 Ax 2 By 2 C =0( A 0,B ：： 0, C ::: 0)表示() B .焦点在x 轴上的双曲线 4 5 4 5 A . B .-- C . -— D.- 5 4 5 4 7、渐近线为 --y -0的双曲线方程- .宀曰 / 定是（ ) a b c .焦点在y 轴上的双曲线 D .椭圆 2 2 6、双曲线- —=1的两条渐近线夹的锐角的正切值是（ ） 16 25 2 2 x 2 a 2 y_ b 2 -1 2 y_ b 2 --1 C . 2 2 x_ y (ak)2 (bk)2 = 1(k =0) 2 x D .兀 a k 6,则点P 的轨迹方程是（ A ?椭圆 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 2.3 B. ■■ 3 C . 2.3 2 A .两条直线 C . D .

高教版中职数学基础模块下册8-精品

高教版中职数学基础模块下册8-精品 2020-12-12 【关键字】方法、条件、问题、难点、掌握、特点、位置、思想、基础、重点、能力、方式、关系、分析、倾斜、教育、解决、巩固 【教学目标】 知识目标： （1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用两条直线平行的条件解题． 能力目标： 培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力． 【教学重点】 两条直线平行的条件． 【教学难点】 两条直线平行的判断及应用． 【教学设计】 从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受．知识讲解的顺序为：． 两条直线平行?同位角相等?倾斜角相等? 90 90 ?≠? ? =? ? α α 倾斜角斜率相等; 倾斜角斜率都不存在. 教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法．其步骤为：首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断．例1就是这种方法的巩固性题目．考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系． 例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

过 程 行为 行为 意图 间 *揭示课题 8．3 两条直线的位置关系（一） *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 我们知道，平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合．并且知道，两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件． 【问题】 两条直线平行，它们的斜率之间存在什么联系呢？ 介绍 质疑 引导 分析 了解 思考 启发 学生思考 0 10 *动脑思考 探索新知 【新知识】 当两条直线1l 、2l 的斜率都存在且都不为0时（如图8－11（1）），如果直线1l 平行于直线2l ，那么这两条直线与x 轴相交的同位角相等，即直线的倾角相等，故两条直线的斜率相等；反过来，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾角相等，即两条直线与x 轴相交的同位角相等，故两直线平行． 当直线1l 、2l 的斜率都是0时（如图8－11（2）），两条直线都 与x 轴平行，所以1l //2l ． 当两条直线1l 、2l 的斜率都不存在时（如图8－11（3）），直线1l 与直线2l 都与x 轴垂直，所以直线1l // 直线2l ． 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 带领 学生 分析 图8-11 (1)

职高数学基础模块下册复习题及答案

复习题6 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ B ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ A ） A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72 -n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ B ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ C ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为an=n^2-1. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=8. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为an=3n-4. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为an=10^(2-n) 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 解：sin π/4=根号2/2 sin π/2=1 sin 3π/4=根号2/2 sin π =0 sin 5π/4=-根号2/2 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 解：an=a1+(n-1)d a1=2 a7=a1+(7-1)d 20=2+6d 所以d=3 sn=na1+n(n-1)/2*d 所以s15=15*2+15*14/2*3=345 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 解：a5=a1*q^(5-1),∴a1=12

中职数学基础模块下册概率与统计初步练习题及答案

概率与统计初步 例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少种 解：4×3=12 例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件 ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。 ③如果0 a=。 a，则b -b = ④某人买某一期的体育彩票中奖。 解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。 例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A表示“至少有1名女生代表”，求) P。 (A 解：) P=15×14×13/20×19×18=273/584 (A 例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件哪些是对立事件哪些不是互斥事件 ①恰有1件次品和恰有2件次品互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ④至少有1件次品和全是正品对立事件 例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。 解：P(A)=3×2/6×5=1/5

例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36. (1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9 (2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6 例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率； ③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。 解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标} （1）16 .04.04.0)()()(=?==B P A P B A P （2） 36.06.06.0)()()(=?==B P A P AB P （3）48.04.06.06.04.0)()(=?+?=+B A P B A P (4)84.016.01)(1=-=-B A P 例8.种植某种树苗成活率为，现种植5棵。试求： ①全部成活的概率； ②全部死亡的概率； ③恰好成活4棵的概率； ④至少成活3棵的概率。 解：（1）××××=

教案教学设计中职数学拓展模块3.1.2组合

课时教学设计首页（试用） 日

所以 类似地，「一般地，: 数为 P m ^m 厂n C n ~m C3 P；3 3! 可以得到组合数的计算公式. 求从n个不冋兀素中取m （m w n）个不冋兀素的组合 思考 引导学生 发现解决 问题方法n(n -1)(n -2)...(n -m + 1) m!(3.7) 由于p n m n! D m pm —，P n c n L P m, (n -m)! 故组合数公式还可以写作 c m n!（3.8) m!(n _m)! 其中n, m* € N,并且m w n. 可以证明，组合数具有如下性质（证明 略） : 性质1「m c n =c n (m W n). 利用这个性质，当m> n时，通过计算「n _m C n 可以简单得到c m的 2 值，如 理解」820^8 2 20 疋19 c20—c 20 — c20 —— = 190. 2!记忆 性质2c m c n 卅=C n +C n (m W n) 性质2反映出组合数公式中的m与n之间存在的联系. *巩固知识典型例题 例5 计算c7、C；和c0?观察注意 观察 3 P77 乂6汉5 “思考学生 解c；----------- =35; 3! 3!是否 主动理解 c4 p4 一p^ 4汇芥2X1 - -1; 求解知识4!4! 点 05! 5! c5 _一—1. 0!(5 -0)! 5! 说明一?般 地, 可以得到c n =1, c0=1.

☆ 第4页(总页)

课时教学设计尾页（试用） ☆补充设计☆ 板书设计 ?、复习三、例题分析 1、两个计数原理 2、排列的概念及排列数公式 、新课： 1、组合：四、强化练习 2、组合数公式： 作业设计 1学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法? 2现有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，共有多少种不同的选法？ 3 教材习题3. 1 （必做）；学习指导3. 1 （选做） 教学后记

中职数学基础模块下册《等差数列》公开课教案

嘉兴市中职数学教研活动 数学公开课教案 授课教师：孙贤授课班级：1203班授课时间：2013年4月17日 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 等差数列的概念 教学目标：1、明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2、会解决知道、、d、n中的三个，求另一个的问题 教学重点：等差树立的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学课型：新授课 教学课时：1课时 教学道具：多媒体、投影仪 教学过程： 一.知识回顾 数列的定义、通项公式。 二.情景引入 ○1Tom觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只有yes，no，you，me，he5个。他决定从今天起每天背起10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5,15,25,35,45，…… （问：多少天后他的单词量达到995个？） ○2Linda很喜欢画画，可总是画不好排成一列的柱子的透视图，老师启发她：第一根柱子100mm，第二根90mm，第三根80mm，第四根70mm，……（你能帮Linda总结一下规律吗？） 从上面两个例子中，我们分别得到两个数列： ○15,15,25,35,45，……和○2100,90,80,70，…… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？ 共同特征:从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列。 三.讲解新课：

中职数学拓展模块教学设计：正态分布(公共基础类数学)

【课题】 3．5正态分布 【教学目标】 知识目标： 理解正态分布的概念、会利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率． 能力目标： 学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高． 【教学重点】 正态分布的概念． 【教学难点】 服从二项分布的随机变量的概率的计算． 【教学设计】 从统计中职学校学生的身高，画出频率分布直方图等学生已经掌握的知识入手，对直方图进行分析，直观地引入概率密度曲线与概率密度函数的概念． “ξ在区间(,)a b 内取值的概率恰好为图中阴影部分图形的面积”是非常重要的，它是后面计算的基础．研究正态曲线形状的时候，结合参数为,μσ的课件进行，帮助学生认识正态曲线的三个特征． 0,1μσ==的正态分布叫做标准正态分布，即~(0,1)N ξ．相应的曲线叫做标准正态分布曲线．利用图形，介绍标准正态分布的概率的关系式．例1、例2和例3都是利用“标准正态分布表”求概率的基本题．要注意合理选择公式与正确查“标准正态分布表”．这里都是近似计算，一般要求保留4个有效数字．正态随机变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率小于4.6%，在区间(3,3)μσμσ-+以外取值的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件为小概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的．例4就是应用这个原理来制定质量控制指标的题目． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

过程行为行为意图间 图3－2 15 *动脑思考探索新知 由频率直方图可以看出，该校16岁女生的身高的分布状况 具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm 的人数最多，越往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边 近似对称． 样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中 的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距 无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地 接近于一条光滑曲线y＝f（x），我们把这条曲线叫做概率密度 曲线（如图3－3）． 图3－3 概率密度曲线精确地反映了随机变量ξ在各个范围内取值的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做ξ的概率密度函数．总结 归纳 思考 引导 学生 发现 解决 问题 方法

人教版中职数学拓展模块1.1和角公式

和角公式 【自主学习】 1、=+)cos(βα 2、=+)sin(βα =-)sin(βα= 3、=+)tan(βα 变形：=+βαtan tan 【自我检测】 1．若4cos ,5αα=-是第三象限的角，则sin()4 πα+= A ． B ． C ． D 2．在ABC ?中，已知A C B sin sin cos 2=，则ABC ?一定为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．正三角形 3. 函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2 4、已知锐角α 、β满足552cos = α，1010sin =β，则等于βα+ A ．434ππ 或 B.4 π C. 43π D. 45π 5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 【合作探究】 1、 已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2 ,2(ππβα-∈、， 求βα+的值 2、已知1 11cos ,cos(),714ααβ=+=-且,(0,),2 παβ∈求βcos ． 【收获总结】1、公式的正用和逆用 2、角的拆分 【达标检测】

1、化简1sin10=? ．. 2、已知32tan(),tan(),tan()6765 αβαβππ-=+=+则= . 3、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是（ ） A ．1813 B ．2213 C ．223 D ．6 1 4、设cos α＝-55，tan β＝31, π＜α＜23π, 0＜β＜2 π求α－β的值

中职数学基础模块下册-概率与统计初步练习题及答案

概率与统计初步 例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少 种？ 解：4×3=12 例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？ ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。 ③如果0=-b a ，则b a =。 ④某人买某一期的体育彩票中奖。 解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。 例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A 表示“至少有1名女生代表”，求)(A P 。 解：)(A P =15×14×13/20×19×18=273/584 例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件？哪些是对立 事件？哪些不是互斥事件？ ①恰有1件次品和恰有2件次品 互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品 不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品 不是互斥事件 ④至少有1件次品和全是正品 对立事件 例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。 解：P(A)=3×2/6×5=1/5 例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36. (1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9 (2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6 例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率； ③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。 解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标} （1）16.04.04.0)()()(=?==B P A P B A P （2） 36.06.06.0)()()(=?==B P A P AB P （3）48.04.06.06.04.0)()(=?+?=+B A P B A P

职高数学拓展模块期末考试试卷

数学（拓展模块）试题 班级 姓名 _ 一、选择题（每题4分，共40分） 1．设cos α=－1 2，且α∈(π，2π)，则cos α2的值为 ( ) A 、12 B 、32 C 、－3 2 D 、－12 2．双曲线x 2m －y 2 4=1的一个焦点为(3，0)，则m 的值是 （ ） A 、5 B 、 5 C 、13 D 、13 3．在△ABC 中，若sin(A+B)=2cosAsinB ，则三角形的形状一定为 ( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、钝角三角形 4．抛物线y 2＝ax 的准线方程是x =－2，则a = ( ) A 、-4 B 、4 C 、-8 D 、8 5．函数y =3sin2x +cos2x 的最小值是 ( ) A 、－2 B 、－ 3 C 、－3－1 D 、－1 6．椭圆x 29＋y 2 m ＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 ( ) A 、(0，3) B 、(0，9) C 、(3，+∞) D 、(9，+∞) 7．在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=7，则∠B = ( ) A 、π6 B 、π4 C 、π3 D 、2π3 8．双曲线9x 2－16y 2=144的渐近线方程是 ( ) A 、y ＝± 4 3x B 、y ＝± 3 4x C 、y ＝± 9 16x D 、y ＝±16 9x 9．若sinA+cosA=3 2，则sin2A= ( ) A 、－12 B 、－3 2 C 、－14 D 、14 10．已知tanA=3，tanB ＝2，则tan(A －B)= ( ) A 、15 B 、17 C 、－15 D 、57 二、填空题：（每题4分，共20分） 11．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e = 。 12．已知△ABC 中，a :b :c =3:5:7，则其最大角度数为______________。 13．焦点在y 轴上，过点(0，－4)，离心率为1.5的双曲线的标准方程为 。

高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》word教案

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量的概念； （2）理解平面向量的线性运算； （3）了解共线向量的充要条件 能力目标： （1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题； （2）正确进行平面向量的线性运算，并作出相应的图形； （3）应用共线向量的充要条件判断两个向量是否共线； （4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标： （1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯． （2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ?=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学备品】

高教版中职数学拓展模块2.2双曲线

教学准备 1. 教学目标 知识与技能 掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法 掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力． 情感、态度与价值观 通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想． 2. 教学重点/难点 教学重点 双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程． 教学难点 在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系． 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 教学过程 教学过程设计 新知探究 探究点一双曲线的定义 【问题导思】

1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． 2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 【提示】双曲线的一支． 3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|? 【提示】只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在． 4 . 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？ 【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－ 5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝ 6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线． (2)∵ 表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴ |PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．

全国中等职业教育数学基础模块下册数学练习题

全国中等职业教育数学基础模块下册数学练习题 一、填空题 1． 如果直线l 经过点(2,0),(5,3)--，那么直线l 的倾斜角是_______________ 2． 已知(3,4),(5,2)A B --，则AB =_____________ 3．2246120x y x y +---=的半径=_______________ 4.已知点A (1,2)、B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是_______________ 5．方程220x y -=表示的图像是_______________ 6．(1,2)C -为圆心，且与直线3490x y -+=相切的圆的方程为_______________ { 7．若直线0x y a ++=（其中a 是常数）经过圆222460x y x y +-+-=的圆心，则a =________ 8．设直线过点(0,)a ,其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为_______________ 9. 若直线x －y =2被圆(x －a )2+y 2=4所截得的弦长为22,则实数a 的值为_______________ 10. 在正方体ABCD A B C D ''''-中，,M N 分别是AB ，DD '的中点，则异面直线B M '与CN 所成的角为_______________ 11. 三条直线10,280x y x y ++=-+=x 和350ax y +-=只有两个不同的交点，则a =____________ 12. 已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程是_______________ 13. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 ． 14. 已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 ． % 15. 直线3410x y --=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系是_______________ 16. 若方程220x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是_______________ 17.设圆2220x y ax ++-=的圆心是(1,0)，则圆的半径等于________ 18．过原点且倾斜角为60?的直线被圆 2240x y y +-=所截得的弦长为

【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》教案设计

排列组合教案 第一部分基本内容 一．课标要求： 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 二．命题走向 本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。 排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。 考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档

题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。 三．要点精讲 1．排列、组合、二项式知识相互关系表 2．两个基本原理 （1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步； 正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3．排列 （1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系m n A =)! (!m n n -=n ·(n －1)…(n －m+1)； （3）全排列列：n n A =n!； （4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m = )!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (???-?+ m m n ； （3）组合数的性质 ①C n m =C n n-m ；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；

最新职高数学基础模块下册复习题

第六章：数列 1 1. 选择题： 2 （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ ）。 3 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 4 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ ） 5 A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72-n 6 （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ ） 7 A 18 B 12 C 9 D 6 8 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ ） 9 A 10 B 12 C 18 D 24 10 2．填空题： 11 （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为_________________. 12 （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=_________________. 13 （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为________________. 14 （4）等比数列10，1，10 1，…的一个通项公式为______________. 15 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 16 17 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 18

19 20 5.在等比数列{ a n }中，a 5 = 4 3 ，q= 2 1 ,求S7. 21 22 23 6.已知本金p=1000元，每期利i=2%，期数n=5,按复利计息，求到期后的本24 利和 25 26 27 28 29 7.在同一根轴上安装五个滑轮，它们的直径成等差数，最小与最大的滑轮直30 径分别为 31 120厘米与216厘米，求中间三个滑轮的直径. 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 第七章：向量 42 1.选择题： 43 （1）平面向量定义的要素是（） 44 A 大小和起点 B 方向和起点 C 大小和方向 D 大小、方向和起点 45

高教版中职数学基础模块下册7-精品

高教版中职数学基础模块下册7-精品 2020-12-12 【关键字】方法、条件、问题、难点、合作、发展、了解、研究、意识、基础、重点、能力、作用、树立、解决、方向 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量的概念； （2）理解平面向量的线性运算； （3）了解共线向量的充要条件 能力目标： （1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题； （2）正确进行平面向量的线性运算，并作出相应的图形； （3）应用共线向量的充要条件判断两个向量是否共线； （4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标： （1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯． （2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ?=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.